學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．2。2不等式的解集考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)不等式的解集與不等式組的解集會(huì)求解一元一次不等式及一元一次不等式組的解集數(shù)學(xué)運(yùn)算絕對(duì)值不等式能借助絕對(duì)值的幾何意義求解含絕對(duì)值的不等式的解集數(shù)學(xué)運(yùn)算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P64－P67的內(nèi)容,思考以下問題：1．什么是不等式的解集？2．什么是不等式組的解集?3．絕對(duì)值不等式的概念是什么？4．｜a｜的幾何意義是什么？5．若A、B是數(shù)軸上不同的兩點(diǎn),線段AB的長(zhǎng)度及A、B的中點(diǎn)分別是什么？1．不等式的解集與不等式組的解集（1）一般地,不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集．（2)對(duì)于由若干個(gè)不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集．■名師點(diǎn)撥若不等式中所含不等式解集的交集為?時(shí),則不等式組的解集為?.2．絕對(duì)值不等式（1）絕對(duì)值不等式的概念一般地,含有絕對(duì)值的不等式稱為絕對(duì)值不等式．（2）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式一般地,如果實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，即A(a），B（b)，則線段AB的長(zhǎng)為｜AB｜＝｜a－b｜,線段AB的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)x＝eq\f（a＋b,2）．■名師點(diǎn)撥(1）求線段AB的長(zhǎng)｜AB|時(shí)，不要忽視絕對(duì)值;(2）線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)與A、B兩點(diǎn)的順序無關(guān)．判斷正誤（正確的打“√"，錯(cuò)誤的打“×”)(1)不等式2x＋1＞0的解集為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)，＋∞)).（)(2）不等式ax＋b＞0的解集為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（b，a），＋∞）).（)（3)不等式|x｜＜eq\f（1，2）的解集為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)，\f(1，2））).（)（4)不等式｜x|＜a的解集為（－a，a）．（）(5)若｜a｜＞｜b|，則a＞b。（)答案：（1）√(2)×（3）√（4)×(5）×不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＞0,，x＋1＜3)）的解集為________．答案:eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)，2)）不等式｜x－1|＜1的解集為________．答案：（0，2）不等式|x－2｜＞3的解集為________．答案：(－∞，－1）∪（5，＋∞）若A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)分別為A（2),B（－4)，則|AB｜＝________，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為________．答案：6M(－1）不等式組的解法解下列不等式組：（1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x－5＞1＋2x，①,3x＋2≤4x；②))（2）eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(\f（2，3)x＋5＞1－x，①，x－1≤\f（3,4)x－\f(1，8)。②))【解】（1)解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2.把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：由圖可知，解集沒有公共部分，不等式組無解，即不等式組的解集為?.（2)解不等式①，得x＞－eq\f（12，5），解不等式②，得x≤eq\f(7，2)，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：由圖可知不等式組的解集為eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f（12,5),\f(7,2)))。eq\a\vs4\al（)解不等式組的三個(gè)步驟（1)求出不等式組中每個(gè)不等式的解集．(2）借助數(shù)軸找出各解集的公共部分．（3）寫出不等式組的解集．已知關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（5－2x≥－1，①,x－a＞0②))無解，求a的取值范圍．解：解不等式①，得x≤3。解不等式②,得x＞a.因?yàn)樵摬坏仁浇M無解,所以不等式①和②的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示．所以a＞3。當(dāng)a＝3時(shí)，代入不等式組，得x≤3，且x＞3,此時(shí)，不等式組也無解，滿足題意，所以a的取值范圍為a≥3。含有一個(gè)絕對(duì)值號(hào)不等式的解法解下列不等式:（1）｜2x＋5｜＜7;（2)|2x＋5｜＞7＋x；(3）2≤|x－2｜≤4?！窘狻浚?）原不等式等價(jià)于－7＜2x＋5＜7.所以－12＜2x＜2，所以－6＜x＜1,所以原不等式的解集為（－6，1)．（2)由不等式|2x＋5｜＞7＋x，可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－（7＋x），所以x＞2或x＜－4.所以原不等式的解集為（2，＋∞)∪（－∞，－4）．(3）原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（|x－2｜≥2，①，｜x－2｜≤4.②）)由①得x－2≤－2，或x－2≥2，所以x≤0，或x≥4.由②得－4≤x－2≤4，所以－2≤x≤6。所以原不等式的解集為［－2,0]∪[4，6］．eq\a\vs4\al()含有一個(gè)絕對(duì)值號(hào)不等式的常見類型及其解法（1)形如|f(x)｜＜a(a＞0）和｜f(x）|＞a（a＞0)型不等式可運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化法化成等價(jià)的不等式(組）求解．（2）形如|f(x)|＜g（x)和|f（x)|＞g（x)型不等式的解法如下：①等價(jià)轉(zhuǎn)化法：|f（x）｜＜g（x）?－g(x)＜f（x)＜g(x），|f(x)|＞g(x）?f(x)＜－g(x）或f（x）＞g（x)．（這里g(x)可正也可負(fù))②分類討論法：|f(x）｜＜g（x)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（f（x）≥0,f(x）＜g（x））)或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（f（x）＜0,－f（x）＜g（x）)）,｜f（x)|＞g（x）?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（f(x)≥0，f(x）＞g(x)))或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（f（x)＜0,－f（x）＞g（x))）.解不等式:1＜｜x－2|≤3。解:原不等式等價(jià)于不等式組eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(|x－2｜＞1，|x－2|≤3，)）即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＜1或x＞3，，－1≤x≤5，）)解得－1≤x＜1或3＜x≤5，所以原不等式的解集為[－1，1）∪（3，5]．含有兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)不等式的解法解下列不等式：(1）|x－1｜＞｜2x－3|；(2)｜x－1|＋|x－2|＞2;(3）｜x＋1|＋|x＋2｜＞3＋x.【解】(1）因?yàn)椋黿－1｜＞|2x－3｜，所以(x－1)2＞（2x－3)2，即(2x－3)2－(x－1）2＜0，所以（2x－3＋x－1)（2x－3－x＋1）＜0,即（3x－4)(x－2)＜0，所以eq\f(4,3）＜x＜2.即原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2））.（2）原不等式?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x≤1,1－x＋2－x＞2)）或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(1＜x＜2，x－1＋2－x＞2））或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x≥2，x－1＋x－2＞2））?eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x≤1,x＜\f（1,2）)）或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（1＜x＜2,－1＞0)）或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x≥2,x＞\f（5，2）））?x＜eq\f（1,2)或x＞eq\f（5,2)，所以原不等式的解集為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－∞，\f(1，2）））∪eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(5,2），＋∞））.（3）原不等式?eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x≤－2,－x－1－x－2＞3＋x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（－2＜x＜－1，－x－1＋x＋2＞3＋x)）或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x≥－1，x＋1＋x＋2＞3＋x))?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x≤－2,x＜－2））或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（－2＜x＜－1，x＜－2））或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x≥－1,x＞0））?x＜－2或x＞0.所以原不等式的解集為(－∞，－2）∪（0，＋∞）．eq\a\vs4\al（）(1)含絕對(duì)值不等式｜x｜＜a與|x｜＞a的解法①|(zhì)x|＜a?eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（－a＜x＜a(a＞0），，?(a≤0).)）②｜x｜＞a?eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x∈R(a＜0），，x∈R且x≠0(a＝0）,,x＞a或x＜－a(a＞0）.）)(2）|ax＋b｜≤c(c＞0）和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|(zhì)ax＋b｜≤c?－c≤ax＋b≤c。②｜ax＋b｜≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c。（3)求解｜f（x）|＞｜g（x）|或｜f（x）|＜｜g（x)｜型不等式的方法為平方法，如本例(1）．（4)|x－a|＋｜x－b｜≥c和|x－a｜＋｜x－b|≤c型不等式的2種解法①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義．②利用x－a＝0，x－b＝0的解，將數(shù)軸分成三個(gè)區(qū)間,然后在每個(gè)區(qū)間上將原不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式而解之．1．不等式|x＋3｜－|x－3｜＞3的解集是(）A。eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（x｜x＞\f（3,2））) B。eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x|\f（3，2）＜x≤3））C．{x｜x≥3} D．{x|－3＜x≤0｝解析:選A。當(dāng)x＜－3時(shí)，－(x＋3)＋(x－3)＞3，－6＞3，無解．當(dāng)－3≤x≤3時(shí)，x＋3＋x－3＞3，所以x＞eq\f（3，2),故eq\f(3，2）＜x≤3。當(dāng)x＞3時(shí)，x＋3－(x－3)＞3，6＞3，所以x＞3.綜上可知原不等式的解集為eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(x｜x＞\f(3，2)))。2．解不等式|2x－1｜＜｜x｜＋1。解：當(dāng)x＜0時(shí),原不等式可化為－2x＋1＜－x＋1，解得x＞0，又因?yàn)閤＜0，所以這樣的x不存在．當(dāng)0≤x＜eq\f(1，2）時(shí),原不等式可化為－2x＋1＜x＋1,解得x＞0，又因?yàn)?≤x＜eq\f（1，2），所以0＜x＜eq\f(1,2).當(dāng)x≥eq\f（1，2）時(shí)，原不等式可化為2x－1＜x＋1,解得x＜2，又因?yàn)閤≥eq\f(1，2）,所以eq\f（1,2)≤x＜2.綜上所述，原不等式的解集為｛x｜0＜x＜2}．1．不等式組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(2x－1≥5，,8－4x＜0））的解集在數(shù)軸上表示為()解析：選C.解不等式2x－1≥5,得x≥3,解不等式8－4x＜0,得x＞2，故不等式組的解集為［3，＋∞)．選C。2．不等式3≤|5－2x｜＜9的解集為()A．［－2，1）∪[4，7） B．（－2,1］∪(4，7]C．[－2，1］∪［4，7) D．（－2，1］∪[4,7）解析：選D.因?yàn)椋?－2x|＝|2x－5|，則原不等式等價(jià)于3≤2x－5＜9或－9＜2x－5≤－3，解得4≤x＜7或－2＜x≤1，故解集為(－2，1］∪[4,7)．3．不等式｜x－2|≤｜x｜的解集是________．解析：｜x－2｜≤｜x|?（x－2）2≤x2?4－4x≤0?x≥1。答案：{x|x≥1}4．不等式組eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(\f(1－2x，3)－\f（4－3x,6)≥\f(x－2，2)，,2x－7≤3（x－1)））的解集為________．解析：記原不等式組為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f（1－2x,3)－\f（4－3x,6)≥\f(x－2,2），①,2x－7≤3（x－1）.②))解不等式①,得x≤1.解不等式②，得x≥－4。故原不等式組的解集為［－4,1］．答案：[－4，1]5．已知關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（2x－3a＜7b,，6b－3x＜5a))的解集是（5，22)，則a＝________，b＝________．解析：記原不等式組為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（2x－3a＜7b，①，6b－3x＜5a，②）)解不等式①，得x＜eq\f（3a＋7b，2).解不等式②,得x＞eq\f（6b－5a，3）。因?yàn)樵坏仁浇M的解集為（5，22),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋7b,2)＝22，，\f(6b－5a,3)＝5.））解這個(gè)關(guān)于a，b的二元一次方程組，得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a＝3，，b＝5。)）答案：35[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．在一元一次不等式組eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(2x＋1＞0，,x－5≤0))的解集中,整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（)A．4 B．5C．6 D．7解析：選C。解不等式2x＋1＞0，得x＞－eq\f（1,2）.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式組的解集為eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)，5))，整數(shù)解為0，1,2，3，4，5，共6個(gè)．2．若不等式組eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(1＋x＜a，，\f（x＋9,2）＋1≥\f(x＋1，3）－1))有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)＜－36 B．a(chǎn)≤－36C．a(chǎn)＞－36 D．a(chǎn)≥－36解析:選C.解不等式1＋x＜a，得x＜a－1.解不等式eq\f(x＋9,2）＋1≥eq\f（x＋1,3）－1，得x≥－37，因?yàn)椴坏仁浇M有解，所以a－1＞－37,即a＞－36。3．不等式1≤|2x－1|＜2的解集為（)A.eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x｜－\f(1,2)＜x＜0或1≤x≤\f（3，2））)B.eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x｜－\f(1,2）＜x≤0或1≤x≤\f(3,2）)）C。eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x｜－\f(1，2)＜x≤0且1＜x≤\f（3,2））)D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x｜－\f（1,2）＜x≤0或1≤x＜\f（3,2））)解析：選D.1≤｜2x－1｜＜2則1≤2x－1＜2或－2＜2x－1≤－1，因此－eq\f(1，2)＜x≤0或1≤x＜eq\f(3，2).4．使eq\f（\r（3－|x｜），\r（|2x＋1|－4)）有意義的x滿足的條件是(）A．－3≤x＜eq\f（3，2） B．－eq\f（5,2)＜x≤3C．－3≤x＜－eq\f（5,2）或eq\f（3，2）＜x≤3 D．－3≤x≤3解析：選C.依題意應(yīng)有eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（3－|x｜≥0,｜2x＋1|－4＞0)），即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（－3≤x≤3，2x＋1＞4或2x＋1＜－4））,解得－3≤x＜－eq\f（5,2)或eq\f(3，2）＜x≤3。5．不等式｜x－1|＋｜x－2|≤3的最小整數(shù)解是(）A．0 B．－1C．1 D．2解析：選A.原不等式可化為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＞2，x－1＋x－2≤3）)或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（1≤x≤2,x－1－（x－2）≤3）)或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＜1,－（x－1）－（x－2)≤3)），解得0≤x≤3，所以最小整數(shù)解是0，故選A。6．不等式組eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（\f（2x－1，3)－\f（5x－1,2)≤1，，5x－2＜3（x＋2）))的所有正整數(shù)解的和為________．解析：解原不等式組,得不等式組的解集是－eq\f（5,11)≤x＜4,所以不等式組的正整數(shù)解是1，2，3，故它們的和為1＋2＋3＝6.答案：67．關(guān)于x的不等式｜mx－2｜＜3的解集為eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x｜－\f（5，6)＜x＜\f(1,6)）），則m＝________．解析：|mx－2｜＜3?－3＜mx－2＜3?－1＜mx＜5，①若m＞0,則－eq\f（1，m)＜x＜eq\f(5,m)，由題意得－eq\f（1,m）＝－eq\f(5,6)且eq\f（5,m)＝eq\f(1,6)，無解．②若m＜0,則eq\f（5,m)＜x＜－eq\f(1，m),由題意得eq\f(5,m)＝－eq\f（5,6）且－eq\f(1，m)＝eq\f(1,6)，所以m＝－6，綜上可得m＝－6.答案：－68．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式｜x＋7｜≥m＋2恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析:令y＝｜x＋7|,要使任意x∈R,|x＋7｜≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin，因?yàn)閥min＝0，所以m＋2≤0,所以m≤－2，所以m的取值范圍是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]9．解下列不等式：(1)x＋｜2x＋3｜≥2；(2）|x＋1｜＋｜x－1|≥3。解:(1)原不等式可化為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＜－\f(3，2），,－x－3≥2))或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x≥－\f(3,2），,3x＋3≥2。））解得x≤－5或x≥－eq\f(1,3）。綜上,原不等式的解集是eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－5或x≥－\f(1,3）))。（2)當(dāng)x≤－1時(shí)，原不等式可以化為－(x＋1)－(x－1)≥3，解得x≤－eq\f(3,2)。當(dāng)－1＜x＜1時(shí),原不等式可以化為x＋1－(x－1)≥3,即2≥3。不成立,無解．當(dāng)x≥1時(shí)，原不等式可以化為x＋1＋x－1≥3.所以x≥eq\f(3，2）。綜上，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1（－∞，－\f（3，2）））∪eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3,2）,＋∞)).10．如果關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(3x－a≥0,，2x－b≤0））的整數(shù)解僅有1，2，試求整數(shù)a,b的所有可能的值．解：原不等式組的解集可利用a，b表示為eq\f(a,3）≤x≤eq\f(b，2)。根據(jù)不等式組的整數(shù)解僅有1,2，可確定a，b的范圍為0＜eq\f(a，3)≤1,2≤eq\f(b，2）＜3，即0＜a≤3，4≤b＜6。因?yàn)閍,b均為整數(shù)．所以a的值可能為1或2或3，b的值可能為4或5。［B能力提升］11．不等式eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\f(ax－1，x）)）＞a的解集為M,且2?M,則a的取值范圍是（)A。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,4),＋∞）) B.eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞）)C.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(1，2))) D。eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(0,\f（1,2）））解析：選B。因?yàn)??M，所以2∈?RM，所以eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（\f（2a－1,2)））≤a，即－a≤eq\f(2a－1,2)≤a，解得a≥eq\f(1，4).12．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|｜x－2｜－1｜≤1的解集為________．解析：由于｜|x－2｜－1｜≤1，即－1≤|x－2|－1≤1，即｜x－2｜≤2，所以－2≤x－2≤2，所以0≤x≤4。答案：[0，4]13．對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T(x，y)＝eq\f（ax＋by，2x＋y）（其中a，b均為非零常數(shù))，這里等式右邊是普通的四則運(yùn)算，例如:T(0，1）＝eq\f（a×0＋b×1,2×0＋1)＝b.已知T(1，－1）＝－2，T（4，2）＝1.（1）求a，b的值；(2）若關(guān)于m的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（T（2m，5－4m）≤4,,T(m，3－2m）＞p))恰好有3個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)p的取值范圍．解：（1)由T(1，－1）＝－2,T(4,2)＝1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（\f(a×1＋b×（－1）,2×1－1)＝－2,,\f（a×4＋b×2,2×4＋2）＝1,))即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a－b＝－2,，4a＋2b＝10，）)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（a＝1,，b＝3.))(2）由（1），得T(x，y）＝eq\f(x＋3y,2x＋y），則不等式組eq\b\lc\｛（\a