2022-2023學(xué)年湖北省隨州市曾都區(qū)高二上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（

）A． B．C． D．B【分析】根據(jù)空間向量的基底性質(zhì)——基底向量由三個(gè)不共面的非零向量構(gòu)成，即不共線，以此作為判斷依據(jù).【詳解】對(duì)于A.,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B.不共面，故B正確；對(duì)于C.,故C錯(cuò)誤對(duì)于D.,故D錯(cuò)誤故選:B2．某地為方便群眾接種新冠疫苗，開設(shè)了，，，四個(gè)接種點(diǎn)，每位接種者可去任一個(gè)接種點(diǎn)接種．若甲，乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點(diǎn)接種疫苗的概率為（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)題意列出甲，乙兩人去，，，四個(gè)接種點(diǎn)接種新冠疫苗的所有選擇，然后再求出甲，乙兩人不在同一個(gè)接種點(diǎn)接種的情況有多少種，從而可求出概率.【詳解】甲，乙兩人去，，，四個(gè)接種點(diǎn)接種新冠疫苗的所有選擇共有16種，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，；其中兩人不在同一個(gè)接種點(diǎn)接種的情況有12種，從而有.故選：C．3．已知三棱錐中，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)G為的重心，設(shè)，，，則向量（

）A． B． C． D．A【分析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知，，則，故選：A4．已知直線將圓平分，且與直線垂直，則直線的方程為（

）A． B． C． D．C【分析】首先判斷過圓的圓心，然后結(jié)合與直線垂直設(shè)出的方程，利用求得的方程.【詳解】因?yàn)橹本€將圓平分，所以直線過圓心，因?yàn)橹本€與直線垂直，假設(shè)直線的方程為，將代入得：，所以直線的方程為.故選：C5．已知空間三點(diǎn)，則C到直線的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．5B【分析】首先求出、，再根據(jù)夾角公式求出，從而求出，再根據(jù)距離公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，，則，，，所以，則，所以到直線的距離為.故選：B6．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A． B． C． D．A【詳解】分析：先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．7．已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．C【分析】利用對(duì)稱求出點(diǎn)，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到，，最后根據(jù)傾斜角與斜率的變化關(guān)系得到范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，有，解得，，，，結(jié)合圖可知，.故選：C．8．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則異面直線與所成角的取值范圍是（

）A． B． C． D．C【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，取中點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出平面平面，從而的軌跡是線段，建立空間之間坐標(biāo)系后，利用空間向量求解異面直線夾角的余弦值，即可得角度范圍.【詳解】解：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，取中點(diǎn)，連接，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，，，，，，平面平面，是底面內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面，的軌跡是線段，如圖，以D為原點(diǎn)，為軸建立空間之間坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2則，，，，由于在線段上，設(shè)，且所以則，又所以由于，所以所以異面直線與所成角的取值范圍.故選：C.二、多選題9．已知向量，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．不存在實(shí)數(shù)，使得D．若，則AC【分析】根據(jù)向量的模的計(jì)算公式，可判定A選項(xiàng)正確；根據(jù)向量垂直的條件，列出方程，可判定B選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)共線向量的條件，列出方程組，可判定C選項(xiàng)正確；根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程，可判定D選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，解得，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B中，由，可得，解得，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C中，若存在實(shí)數(shù)，使得，則，顯然無解，即不存在實(shí)數(shù)，使得，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D中，若，則，解得，于是，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.本題主要考查了空間向量的垂直與共線的表示及應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記空間向量的垂直與共線的條件，以及數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.10．下列選項(xiàng)正確的是（

）A．過點(diǎn)且和直線平行的直線方程是B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．若直線與平行，則與的距離為D．直線的傾斜角的取值范圍是ACD【分析】由直線的點(diǎn)斜式方程可判斷A，由兩直線垂直對(duì)應(yīng)的斜率關(guān)系可判斷B，由兩平行線的距離公式可判斷C，由斜率和傾斜角的關(guān)系可判斷D.【詳解】對(duì)于A，直線的斜率為，所以過點(diǎn)且和直線平行的直線方程為，即，A正確；對(duì)于B，時(shí)，直線的斜率，直線的斜率，滿足，所以兩直線垂直，而當(dāng)時(shí)，直線也與直線垂直，故“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線與平行，則，則直線與的距離為，C正確；對(duì)于D，直線的斜率，即，所以，D正確.故選：ACD11．某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)：戊，重大疾病保險(xiǎn)，各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賭，該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：用樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是（

）A．30～41周歲參保人數(shù)最多 B．隨著年齡的增長人均參保費(fèi)用越來越少C．30周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)20% D．丁險(xiǎn)種最受參保人青睞AD【分析】根據(jù)選項(xiàng)逐一對(duì)相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】對(duì)A：由扇形圖可知，31～41周歲的參保人數(shù)最多，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：由折線圖可知，隨著年齡的增長人均參保費(fèi)用越來越多，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：由扇形圖可知，30周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的80%，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：由柱狀圖可知，丁險(xiǎn)種參保比例最高，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.12．如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是（）A．DP∥面AB1D1B．三棱錐A﹣D1PC的體積為C．平面PB1D與平面ACD1所成二面角為90°D．異面直線與所成角的范圍是ACD【分析】A利用面面平行的性質(zhì)證面；B應(yīng)用等體積法，根據(jù)特殊點(diǎn)：與重合時(shí)求的體積；C先證明面，再利用面面垂直的判定定理證面面即可；D由，根據(jù)在線段的位置，即可確定異面直線與所成角的范圍.【詳解】A：連接，，，，由于，由面面平行的判定定理，可證明面面，又面，所以面，正確；B：，因?yàn)榈矫娴木嚯x不變，且△的面積不變，所以三棱錐的體積不變，當(dāng)與重合時(shí)得，錯(cuò)誤；C：由三垂線定理，可證明，再由線面垂直的判定定理可得面，又面，則面面，正確；D：由，異面直線與所成角即為與所成角，又為等邊三角形，當(dāng)與線段的兩端點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取最小值，當(dāng)與線段的中點(diǎn)重合時(shí)，與所成角取最大值，故與所成角的范圍，正確.故選：ACD．三、填空題13．在上的投影向量為________________．【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】設(shè)在上的投影向量為，與的夾角為，則，，，則.故答案為.14．寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)椋?，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故或或.15．已知矩形，沿對(duì)角線將折起，使二面角的平面角的大小為，則與之間距離為___________.【分析】過和分別作，則由題意可求得，，由二面角的平面角為，得，再利用可求得結(jié)果.【詳解】過和分別作，，，，則，即，二面角的平面角為，，則，即與之間距離為，故四、解答題16．已知圓心為的圓經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線過點(diǎn)，若直線被圓截得的弦長為10，求直線的方程．(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，帶入三點(diǎn)坐標(biāo)解方程組可得答案；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，得直線方程求弦長；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，利用圓心到直線的距離、圓的半徑、弦的一半構(gòu)成的直角三角形計(jì)算可得答案.【詳解】(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)檫^，所以，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，由，解得或，所以直線被圓截得的弦長為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為10，所以，即，解得，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.17．A，B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效，若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組，設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為.（1）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；（2）觀察3個(gè)試驗(yàn)組，求這3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的概率.（1）；（2）.【分析】（1）由題意知本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)所給的兩種藥物對(duì)小白鼠有效的概率，計(jì)算出小白鼠有效的只數(shù)的概率，對(duì)兩種藥物有效的小白鼠進(jìn)行比較，得到甲類組的概率．（2）根據(jù)對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）設(shè)表示事件:一個(gè)試驗(yàn)組中，服用有效的小鼠有只，，1，2，表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用有效的小鼠有只“，，1，2，依題意有：，．，，所求概率為：（2）依題意這3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的對(duì)立事件為這3個(gè)試驗(yàn)組中沒有一個(gè)甲類組的.所以概率；本題考查相互獨(dú)立事件的概率公式的應(yīng)用，以及對(duì)立事件的概率計(jì)算，屬于中檔題.18．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．（1）見解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形對(duì)角線交點(diǎn)為原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，通過取中點(diǎn)，可證得平面，得到平面的法向量；再通過向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個(gè)法向量夾角的余弦值，進(jìn)而可求得所求二面角的正弦值.【詳解】（1）連接，，分別為，中點(diǎn)

為的中位線且又為中點(diǎn)，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形

則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則：，，，D（0，-1,0）取中點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形且

為等邊三角形又平面，平面平面，即平面為平面的一個(gè)法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，

二面角的正弦值為：本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.19．某市為了了解人們對(duì)“中國夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20，25），第二組：[25，30），第三組：[30，35），第四組：[35，40），第五組：[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求m的值并估計(jì)這m人年齡的第80百分位數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢(mèng)”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲?乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計(jì)這m人中35～45歲所有人的年齡的方差.(1)，第80百分位數(shù)為(2)（i）；（ii）10【分析】（1）根據(jù)第一組的人數(shù)及所占比例求出，利用百分位數(shù)的計(jì)算公式求出第80百分位數(shù)為；（2）（i）利用列舉法求解甲?乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）結(jié)合第四組和第五組的平均數(shù)和方差，利用公式求出這m人中35～45歲所有人的平均數(shù)和方差.【詳解】(1)由題意，，所以.設(shè)第80百分位數(shù)為，因?yàn)?，，故?0百分位數(shù)位于第四組：[35，40）內(nèi)，由，解得：，所以第80百分位數(shù)為；(2)（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，甲，乙，甲，乙），（B，D），（C，甲），（甲，乙），（甲，D），（乙，D）共15個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件“甲?乙兩人至少一人被選上”，則，甲，乙，甲，乙），，甲，乙），（甲，乙），（甲，乙，，共有9個(gè)樣本點(diǎn).所以.（ii）設(shè)第四組?第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，方差分別為，則，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計(jì)這人中年?在歲的所有人的年齡方差約為10.20．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．(1)證明過程見解析(2)與平面所成的角的正弦值為【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】(1)因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?(2)連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋允堑冗吶切危驗(yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)椋?，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.21．在平面直角坐標(biāo)系中，圓M是以兩點(diǎn)