..反比例函數(shù)一．填空題〔共19小題1．〔2013?XX如圖,已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個定點,AC⊥x軸于點M,交直線y=﹣x于點N．若點P是線段ON上的一個動點,∠APB=30°,BA⊥PA,則點P在線段ON上運動時,A點不變,B點隨之運動．求當(dāng)點P從點O運動到點N時,點B運動的路徑長是．2．〔2014?市中區(qū)一模如圖,已知雙曲線經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OA的中點D,且與直角邊AB相交于點C．若點A的坐標(biāo)為〔﹣6,4,則△AOC的面積為．3．〔2014?XX校級一模如圖,Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上,斜邊AC上的中線BD反向延長線交y軸負(fù)半軸于E,雙曲線y=的圖象經(jīng)過點A,若S△BEC=8,則k=．4．〔2014?同安區(qū)校級質(zhì)檢如圖,直線y=﹣x+b與雙曲線y=﹣〔x＜0交于點A,與x軸交于點B,則OA2﹣OB2=．5．〔2014?邳州市二模如圖,點P在雙曲線y=〔x＞0上,以P為圓心的⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切,點E為y軸負(fù)半軸上的一點,過點P作PF⊥PE交x軸于點F,若OF﹣OE=6,則k的值是．6．〔2014?XX二模如圖,矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點,矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸,點C在反比例函數(shù)的圖象上．若點A的坐標(biāo)為〔﹣2,﹣2,則k的值為．7．〔2013?XX如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b〔a≠0的圖象與反比例函數(shù)〔k≠0的圖象交于二、四象限的A、B兩點,與x軸交于C點．已知A〔﹣2,m,B〔n,﹣2,tan∠BOC=,則此一次函數(shù)的解析式為．8．〔2013?XX如圖,已知直線y=x與雙曲線y=〔k＞0交于A、B兩點,點B的坐標(biāo)為〔﹣4,﹣2,C為雙曲線y=〔k＞0上一點,且在第一象限內(nèi),若△AOC的面積為6,則點C的坐標(biāo)為．9．〔2013?XX如圖,點P1〔x1,y1,點P2〔x2,y2,…,點Pn〔xn,yn在函數(shù)〔x＞0的圖象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形,斜邊OA1、A1A2、A2A3,…,An﹣1An都在x軸上〔n是大于或等于2的正整數(shù),則點P3的坐標(biāo)是；點Pn的坐標(biāo)是〔用含n的式子表示．10．〔2013?XX如圖,等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上,∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函數(shù)y=〔x＞0的圖象分別與AB,BC交于點D,E．連結(jié)DE,當(dāng)△BDE∽△BCA時,點E的坐標(biāo)為．11．〔2013?XX如圖,菱形OABC的頂點O是坐標(biāo)原點,頂點A在x軸的正半軸上,頂點B、C均在第一象限,OA=2,∠AOC=60°．點D在邊AB上,將四邊形OABC沿直線0D翻折,使點B和點C分別落在這個坐標(biāo)平面的點B′和C′處,且∠C′DB′=60°．若某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B′,則這個反比例函數(shù)的解析式為．12．〔2013?蘆淞區(qū)模擬已知雙曲線,的部分圖象如圖所示,P是y軸正半軸上一點,過點P作AB∥x軸,分別交兩個圖象于點A,B．若PB=2PA,則k=．13．〔2013?阜寧縣二模如圖,D是反比例函數(shù)的圖象上一點,過D作DE⊥x軸于E,DC⊥y軸于C,一次函數(shù)y=﹣x+m與的圖象都經(jīng)過點C,與x軸分別交于A、B兩點,四邊形DCAE的面積為4,則k的值為．14．〔2013?鄧州市校級一模如圖,已知梯形ABCO的底邊AO在x軸上,BC∥AO,AB⊥AO,過點C的雙曲線交OB于D,且OD：DB=1：2,若△OBC的面積等于3,則k的值是．15．〔2012?XX如圖,點A在雙曲線上,點B在雙曲線上,且AB∥y軸,點P是y軸上的任意一點,則△PAB的面積為．16．〔2012?XX如圖,直線y=6x,y=x分別與雙曲線y=在第一象限內(nèi)交于點A,B,若S△OAB=8,則k=．17．〔2012?XX如圖,點A〔3,n在雙曲線y=上,過點A作AC⊥x軸,垂足為C．線段OA的垂直平分線交OC于點M,則△AMC周長的值是．18．〔2015?XX模擬如圖,直線y=x與雙曲線y=〔x＞0交于點A,將直線y=x向下平移個6單位后,與雙曲線y=〔x＞0交于點B,與x軸交于點C,則C點的坐標(biāo)為；若=2,則k=．19．〔2012?桐鄉(xiāng)市校級三模如圖,點A〔a,b在雙曲線上,AB⊥x軸于點B,若點是雙曲線上異于點A的另一點．〔1k=；〔2若a2=169﹣b2,則△OAB的內(nèi)切圓半徑r=．二．解答題〔共11小題20．解方程組：21．〔2014?XX如圖,點A與點B的坐標(biāo)分別是〔1,0,〔5,0,點P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點．〔1使∠APB=30°的點P有個；〔2若點P在y軸上,且∠APB=30°,求滿足條件的點P的坐標(biāo)；〔3當(dāng)點P在y軸上移動時,∠APB是否有最大值？若有,求點P的坐標(biāo),并說明此時∠APB最大的理由；若沒有,也請說明理由．22．〔2013?XX如圖①,O為坐標(biāo)原點,點B在x軸的正半軸上,四邊形OACB是平行四邊形,sin∠AOB=,反比例函數(shù)y=〔k＞0在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A,與BC交于點F．〔1若OA=10,求反比例函數(shù)解析式；〔2若點F為BC的中點,且△AOF的面積S=12,求OA的長和點C的坐標(biāo)；〔3在〔2中的條件下,過點F作EF∥OB,交OA于點E〔如圖②,點P為直線EF上的一個動點,連接PA,PO．是否存在這樣的點P,使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形？若存在,請直接寫出所有點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．23．〔2014?XX如圖,直線y=﹣x+3與x,y軸分別交于點A,B,與反比例函數(shù)的圖象交于點P〔2,1．〔1求該反比例函數(shù)的關(guān)系式；〔2設(shè)PC⊥y軸于點C,點A關(guān)于y軸的對稱點為A′；①求△A′BC的周長和sin∠BA′C的值；②對大于1的常數(shù)m,求x軸上的點M的坐標(biāo),使得sin∠BMC=．24．〔2013?XX如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b〔k≠0的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于一、三象限內(nèi)的A、B兩點,直線AB與x軸交于點C,點B的坐標(biāo)為〔﹣6,n,線段OA=5,E為x軸正半軸上一點,且tan∠AOE=．〔1求反比例函數(shù)的解析式；〔2求△AOB的面積．25．〔2013?XX如圖,將邊長為4的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標(biāo)系xoy中,F是AB邊上的動點〔不與端點A、B重合,過點F的反比例函數(shù)y=〔k＞0,x＞0與OA邊交于點E,過點F作FC⊥x軸于點C,連結(jié)EF、OF．〔1若S△OCF=,求反比例函數(shù)的解析式；〔2在〔1的條件下,試判斷以點E為圓心,EA長為半徑的圓與y軸的位置關(guān)系,并說明理由；〔3AB邊上是否存在點F,使得EF⊥AE？若存在,請求出BF：FA的值；若不存在,請說明理由．26．〔2013?XX如圖,已知雙曲線y=經(jīng)過點D〔6,1,點C是雙曲線第三象限上的動點,過C作CA⊥x軸,過D作DB⊥y軸,垂足分別為A,B,連接AB,BC．〔1求k的值；〔2若△BCD的面積為12,求直線CD的解析式；〔3判斷AB與CD的位置關(guān)系,并說明理由．27．〔2012?XX如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A〔﹣2,0、B〔0,1、C〔d,2．〔1求d的值；〔2將△ABC沿x軸的正方向平移,在第一象限內(nèi)B、C兩點的對應(yīng)點B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上．請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線B′C′的解析式；〔3在〔2的條件下,直線BC交y軸于點G．問是否存在x軸上的點M和反比例函數(shù)圖象上的點P,使得四邊形PGMC′是平行四邊形？如果存在,請求出點M和點P的坐標(biāo)；如果不存在,請說明理由．28．〔2012?XX如圖,已知一次函數(shù)y1=kx+b圖象與x軸相交于點A,與反比例函數(shù)的圖象相交于B〔﹣1,5、C〔,0兩點．點P〔m,n是一次函數(shù)y1=kx+b的圖象上的動點．〔1求k、b的值；〔2設(shè)﹣1＜m＜,過點P作x軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點D．試問△PAD的面積是否存在最大值？若存在,請求出面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由；〔3設(shè)m=1﹣a,如果在兩個實數(shù)m與n之間〔不包括m和n有且只有一個整數(shù),求實數(shù)a的取值范圍．29．〔2012?XX如圖,正方形AOCB的邊長為4,反比例函數(shù)的圖象過點E〔3,4．〔1求反比例函數(shù)的解析式；〔2反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點D,直線過點D,與線段AB相交于點F,求點F的坐標(biāo)；〔3連接OF,OE,探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關(guān)系,并證明．30．〔2012?XX一模如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點A、B分別落在x軸、y軸的正半軸上,頂點C在第一象限,BC與x軸平行．已知BC=2,△ABC的面積為1．〔1求點C的坐標(biāo)．〔2將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°,△ABC旋轉(zhuǎn)到△A1B1C的位置,求經(jīng)過點B1的反比例函數(shù)關(guān)系式．2015年03月05日1161622024的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．填空題〔共19小題1．〔2013?XX如圖,已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個定點,AC⊥x軸于點M,交直線y=﹣x于點N．若點P是線段ON上的一個動點,∠APB=30°,BA⊥PA,則點P在線段ON上運動時,A點不變,B點隨之運動．求當(dāng)點P從點O運動到點N時,點B運動的路徑長是．考點：一次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：〔1首先,需要證明線段B0Bn就是點B運動的路徑〔或軌跡,如答圖②所示．利用相似三角形可以證明；〔2其次,如答圖①所示,利用相似三角形△AB0Bn∽△AON,求出線段B0Bn的長度,即點B運動的路徑長．解答：解：由題意可知,OM=,點N在直線y=﹣x上,AC⊥x軸于點M,則△OMN為等腰直角三角形,ON=OM=×=．如答圖①所示,設(shè)動點P在O點〔起點時,點B的位置為B0,動點P在N點〔終點時,點B的位置為Bn,連接B0Bn∵AO⊥AB0,AN⊥ABn,∴∠OAC=∠B0ABn,又∵AB0=AO?tan30°,ABn=AN?tan30°,∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°〔此處也可用30°角的Rt△三邊長的關(guān)系來求得,∴△AB0Bn∽△AON,且相似比為tan30°,∴B0Bn=ON?tan30°=×=．現(xiàn)在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑〔或軌跡．如答圖②所示,當(dāng)點P運動至ON上的任一點時,設(shè)其對應(yīng)的點B為Bi,連接AP,ABi,B0Bi∵AO⊥AB0,AP⊥ABi,∴∠OAP=∠B0ABi,又∵AB0=AO?tan30°,ABi=AP?tan30°,∴AB0：AO=ABi：AP,∴△AB0Bi∽△AOP,∴∠AB0Bi=∠AOP．又∵△AB0Bn∽△AON,∴∠AB0Bn=∠AOP,∴∠AB0Bi=∠AB0Bn,∴點Bi在線段B0Bn上,即線段B0Bn就是點B運動的路徑〔或軌跡．綜上所述,點B運動的路徑〔或軌跡是線段B0Bn,其長度為．故答案為：．點評：本題考查坐標(biāo)平面內(nèi)由相似關(guān)系確定的點的運動軌跡,難度很大．本題的要點有兩個：首先,確定點B的運動路徑是本題的核心,這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次,由相似關(guān)系求出點B運動路徑的長度,可以大幅簡化計算,避免陷入坐標(biāo)關(guān)系的復(fù)雜運算之中．2．〔2014?市中區(qū)一模如圖,已知雙曲線經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OA的中點D,且與直角邊AB相交于點C．若點A的坐標(biāo)為〔﹣6,4,則△AOC的面積為9．考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：要求△AOC的面積,已知OB為高,只要求AC長,即點C的坐標(biāo)即可,由點D為三角形OAB斜邊OA的中點,且點A的坐標(biāo)〔﹣6,4,可得點D的坐標(biāo)為〔﹣3,2,代入雙曲線可得k,又AB⊥OB,所以C點的橫坐標(biāo)為﹣6,代入解析式可得縱坐標(biāo),繼而可求得面積．解答：解：∵點D為△OAB斜邊OA的中點,且點A的坐標(biāo)〔﹣6,4,∴點D的坐標(biāo)為〔﹣3,2,把〔﹣3,2代入雙曲線,可得k=﹣6,即雙曲線解析式為y=﹣,∵AB⊥OB,且點A的坐標(biāo)〔﹣6,4,∴C點的橫坐標(biāo)為﹣6,代入解析式y(tǒng)=﹣,y=1,即點C坐標(biāo)為〔﹣6,1,∴AC=3,又∵OB=6,∴S△AOC=×AC×OB=9．故答案為：9．點評：本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及其函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．3．〔2014?XX校級一模如圖,Rt△ABC的直角邊BC在x軸正半軸上,斜邊AC上的中線BD反向延長線交y軸負(fù)半軸于E,雙曲線y=的圖象經(jīng)過點A,若S△BEC=8,則k=16．考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．專題：壓軸題．分析：方法1：因為S△BEC=8,根據(jù)k的幾何意義求出k值即可；方法2：先證明△ABC與△OBE相似,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列式整理即可得到k=2S△BEC=16．解答：解：方法1：設(shè)OB=x,則AB=,過D作DH⊥x軸于H,∵D為AC中點,∴DH為△ABC中位線,∴DH=AB=,∵∠EBO=∠DBC=∠DCB,∴△ABC∽△EOB,設(shè)BH為y,則EO=,BC=2y,∴S△EBC=BC?OE=??2y==8,∴k=16．方法2：∵BD是Rt△ABC斜邊上的中線,∴BD=CD=AD,∴∠DBC=∠ACB,又∠DBC=∠OBE,∠BOE=∠ABC=90°,∴△ABC∽△EOB,∴=,∴AB?OB=BC?OE,∵S△BEC=×BC?OE=8,∴AB?OB=16,∴k=xy=AB?OB=16．故答案為：16．點評：主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義為：反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標(biāo)之積是定值k,同時|k|也是該點到兩坐標(biāo)軸的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積．本題綜合性強(qiáng),考查知識面廣,能較全面考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力．4．〔2014?同安區(qū)校級質(zhì)檢如圖,直線y=﹣x+b與雙曲線y=﹣〔x＜0交于點A,與x軸交于點B,則OA2﹣OB2=2．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：由直線y=﹣x+b與雙曲線y=﹣〔x＜0交于點A可知：x+y=b,xy=﹣1,又OA2=x2+y2,OB2=b2,由此即可求出OA2﹣OB2的值．解答：解：∵直線y=﹣x+b與雙曲線y=﹣〔x＜0交于點A,設(shè)A的坐標(biāo)〔x,y,∴x+y=b,xy=﹣1,而直線y=﹣x+b與x軸交于B點,∴OB=b∴又OA2=x2+y2,OB2=b2,∴OA2﹣OB2=x2+y2﹣b2=〔x+y2﹣2xy﹣b2=b2+2﹣b2=2．故答案為：2．點評：此題難度較大,主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì),也考查了圖象交點坐標(biāo)和解析式的關(guān)系．5．〔2014?邳州市二模如圖,點P在雙曲線y=〔x＞0上,以P為圓心的⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切,點E為y軸負(fù)半軸上的一點,過點P作PF⊥PE交x軸于點F,若OF﹣OE=6,則k的值是9．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：計算題；壓軸題．分析：過P點作x軸、y軸的垂線,垂足為A、B,根據(jù)⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切可知,PA=PB,由∠APB=∠EPF=90°可證△BPE≌△APF,得BE=AF,利用OF﹣OE=6,求圓的半徑,根據(jù)k=OA×PA求解．解答：解：如圖,過P點作x軸、y軸的垂線,垂足為A、B,∵⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切,∴PA=PB,四邊形OAPB為正方形,∵∠APB=∠EPF=90°,∴∠BPE=∠APF,∴Rt△BPE≌Rt△APF,∴BE=AF,∵OF﹣OE=6,∴〔OA+AF﹣〔BE﹣OB=6,即2OA=6,解得OA=3,∴k=OA×PA=3×3=9．故答案為：9．點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)圓與坐標(biāo)軸相切的關(guān)系作輔助線,構(gòu)造全等三角形,正方形,將有關(guān)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化．6．〔2014?XX二模如圖,矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點,矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸,點C在反比例函數(shù)的圖象上．若點A的坐標(biāo)為〔﹣2,﹣2,則k的值為1或﹣3．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：綜合題；壓軸題．分析：根據(jù)矩形的對角線將矩形分成面積相等的兩個直角三角形,找到圖中的所有矩形及相等的三角形,即可推出S四邊形CEOF=S四邊形HAGO,根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可求出k2+4k+1=4,再解出k的值即可．解答：解：如圖：∵四邊形ABCD、HBEO、OECF、GOFD為矩形,又∵BO為四邊形HBEO的對角線,OD為四邊形OGDF的對角線,∴S△BEO=S△BHO,S△OFD=S△OGD,S△CBD=S△ADB,∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD,∴S四邊形HAGO=S四邊形CEOF=2×2=4,∴xy=k2+2k+1=4,解得k=1或k=﹣3．故答案為1或﹣3．點評：本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義、矩形的性質(zhì)、一元二次方程的解法,關(guān)鍵是判斷出S四邊形CEOF=S四邊形HAGO．7．〔2013?XX如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=ax+b〔a≠0的圖象與反比例函數(shù)〔k≠0的圖象交于二、四象限的A、B兩點,與x軸交于C點．已知A〔﹣2,m,B〔n,﹣2,tan∠BOC=,則此一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+3．考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．專題：計算題；壓軸題．分析：過點B作BD⊥x軸,在直角三角形BOD中,根據(jù)已知的三角函數(shù)值求出OD的長,得到點B的坐標(biāo),把點B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中,求出反比例函數(shù)的解析式,然后把點A的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式中求出點A的坐標(biāo),最后分別把點A和點B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式,求出a和b的值即可得到一次函數(shù)解析式．解答：解：過點B作BD⊥x軸,在Rt△BOD中,∵tan∠BOC===,∴OD=5,則點B的坐標(biāo)為〔5,﹣2,把點B的坐標(biāo)為〔5,﹣2代入反比例函數(shù)〔k≠0中,則﹣2=,即k=﹣10,∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣,把A〔﹣2,m代入y=﹣中,m=5,∴A的坐標(biāo)為〔﹣2,5,把A〔﹣2,5和B〔5,﹣2代入一次函數(shù)y=ax+b〔a≠0中,得：,解得,則一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+3．故答案為：y=﹣x+3．點評：此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題,以及三角函數(shù)值,用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式,是常用的一種解題方法．同學(xué)們要熟練掌握這種方法．8．〔2013?XX如圖,已知直線y=x與雙曲線y=〔k＞0交于A、B兩點,點B的坐標(biāo)為〔﹣4,﹣2,C為雙曲線y=〔k＞0上一點,且在第一象限內(nèi),若△AOC的面積為6,則點C的坐標(biāo)為〔2,4．考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．專題：壓軸題．分析：把點B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k值,再根據(jù)反比例函數(shù)圖象的中心對稱性求出點A的坐標(biāo),然后過點A作AE⊥x軸于E,過點C作CF⊥x軸于F,設(shè)點C的坐標(biāo)為〔a,,然后根據(jù)S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE列出方程求解即可得到a的值,從而得解．解答：解：∵點B〔﹣4,﹣2在雙曲線y=上,∴=﹣2,∴k=8,根據(jù)中心對稱性,點A、B關(guān)于原點對稱,所以,A〔4,2,如圖,過點A作AE⊥x軸于E,過點C作CF⊥x軸于F,設(shè)點C的坐標(biāo)為〔a,,若S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE,=×8+×〔2+〔4﹣a﹣×8,=4+﹣4,=,∵△AOC的面積為6,∴=6,整理得,a2+6a﹣16=0,解得a1=2,a2=﹣8〔舍去,∴==4,∴點C的坐標(biāo)為〔2,4．若S△AOC=S△AOE+S梯形ACFE﹣S△COF=,∴=6,解得：a=8或a=﹣2〔舍去∴點C的坐標(biāo)為〔8,1〔與圖不符,舍去．故答案為：〔2,4．點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題,反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義,作輔助線并表示出△ABC的面積是解題的關(guān)鍵．9．〔2013?XX如圖,點P1〔x1,y1,點P2〔x2,y2,…,點Pn〔xn,yn在函數(shù)〔x＞0的圖象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形,斜邊OA1、A1A2、A2A3,…,An﹣1An都在x軸上〔n是大于或等于2的正整數(shù),則點P3的坐標(biāo)是〔+,﹣；點Pn的坐標(biāo)是〔+,﹣〔用含n的式子表示．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：綜合題；壓軸題．分析：過點P1作P1E⊥x軸于點E,過點P2作P2F⊥x軸于點F,過點P3作P3G⊥x軸于點G,根據(jù)△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3都是等腰直角三角形,可求出P1,P2,P3的坐標(biāo),從而總結(jié)出一般規(guī)律得出點Pn的坐標(biāo)．解答：解：過點P1作P1E⊥x軸于點E,過點P2作P2F⊥x軸于點F,過點P3作P3G⊥x軸于點G,∵△P1OA1是等腰直角三角形,∴P1E=OE=A1E=OA1,設(shè)點P1的坐標(biāo)為〔a,a,〔a＞0,將點P1〔a,a代入y=,可得a=1,故點P1的坐標(biāo)為〔1,1,則OA1=2a,設(shè)點P2的坐標(biāo)為〔b+2,b,將點P2〔b+2,b代入y=,可得b=﹣1,故點P2的坐標(biāo)為〔+1,﹣1,則A1F=A2F=﹣1,OA2=OA1+A1A2=2,設(shè)點P3的坐標(biāo)為〔c+2,c,將點P3〔c+2,c代入y=,可得c=﹣,故點P3的坐標(biāo)為〔+,﹣,綜上可得：P1的坐標(biāo)為〔1,1,P2的坐標(biāo)為〔+1,﹣1,P3的坐標(biāo)為〔+,﹣,總結(jié)規(guī)律可得：Pn坐標(biāo)為：〔+,﹣．故答案為：〔+,﹣、〔+,﹣．點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合,涉及了點的坐標(biāo)的規(guī)律變化,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)解析式求出P1,P2,P3的坐標(biāo),從而總結(jié)出一般規(guī)律,難度較大．10．〔2013?XX如圖,等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上,∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函數(shù)y=〔x＞0的圖象分別與AB,BC交于點D,E．連結(jié)DE,當(dāng)△BDE∽△BCA時,點E的坐標(biāo)為〔,．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：由相似三角形的對應(yīng)角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可設(shè)E〔a,,D〔b,,由等腰直角三角形的性質(zhì)可以求得ab=3；最后,將其代入直線AD的解析式即可求得a的值．解答：解：如圖,過點D作DF⊥BC于點F,∵∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函數(shù)y=〔x＞0的圖象分別與AB,BC交于點D,E,∴∠BAC=∠ABC=45°,且可設(shè)E〔a,,D〔b,,∴C〔a,0,B〔a,2,A〔a﹣2,0,∴易求直線AB的解析式是：y=x+2﹣a．∵△BDE∽△BCA,∴△BDE也是等腰直角三角形,∴DF=EF,∴a﹣b=﹣,即ab=3．又∵點D在直線AB上,∴=b+2﹣a,即2a2﹣2a﹣3=0,解得,a=,∴點E的坐標(biāo)是〔,．故答案是：〔,．點評：本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．解題時,注意雙曲線的對稱性的應(yīng)用．11．〔2013?XX如圖,菱形OABC的頂點O是坐標(biāo)原點,頂點A在x軸的正半軸上,頂點B、C均在第一象限,OA=2,∠AOC=60°．點D在邊AB上,將四邊形OABC沿直線0D翻折,使點B和點C分別落在這個坐標(biāo)平面的點B′和C′處,且∠C′DB′=60°．若某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B′,則這個反比例函數(shù)的解析式為y=﹣．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：連接AC,求出△BAC是等邊三角形,推出AC=AB,求出△DC′B′是等邊三角形,推出C′D=B′D,得出CB=BD=B′C′,推出A和D重合,連接BB′交x軸于E,求出AB′=AB=2,∠B′AE=60°,求出B′的坐標(biāo)是〔3,﹣,設(shè)經(jīng)過點B′反比例函數(shù)的解析式是y=,代入求出即可．解答：解：連接AC,∵四邊形OABC是菱形,∴CB=AB,∠CBA=∠AOC=60°,∴△BAC是等邊三角形,∴AC=AB,∵將四邊形OABC沿直線0D翻折,使點B和點C分別落在這個坐標(biāo)平面的點B′和C′處,∴BD=B′D,CD=C′D,∠DB′C′=∠ABC=60°,∵∠B′DC′=60°,∴∠DC′B′=60°,∴△DC′B′是等邊三角形,∴C′D=B′D,∴CB=BD=B′C′,即A和D重合,連接BB′交x軸于E,則AB′=AB=2,∠B′AE=180°﹣〔180°﹣60°=60°,在Rt△AB′E中,∠B′AE=60°,AB′=2,∴AE=1,B′E=,OE=2+1=3,即B′的坐標(biāo)是〔3,﹣,設(shè)經(jīng)過點B′反比例函數(shù)的解析式是y=,代入得：k=﹣3,即y=﹣,故答案為：y=﹣．點評：本題考查了折疊性質(zhì),菱形性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的計算能力,題目比較好,有一定的難度．12．〔2013?蘆淞區(qū)模擬已知雙曲線,的部分圖象如圖所示,P是y軸正半軸上一點,過點P作AB∥x軸,分別交兩個圖象于點A,B．若PB=2PA,則k=﹣4．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：因為AB∥x軸,PB=2PA,所以可知A和B點的縱坐標(biāo)相同,B點的橫坐標(biāo)的長度是A橫坐標(biāo)的2倍,從而可求出k的值,因為過第二象限,所以k＜0．解答：解：∵AB∥x軸,PB=2PA,∴=∴k=﹣4．故答案為：﹣4．點評：本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì),以及從反比例函數(shù)獲得信息,關(guān)鍵是看到縱坐標(biāo)相同時,橫坐標(biāo)的不同,從而求出解．13．〔2013?阜寧縣二模如圖,D是反比例函數(shù)的圖象上一點,過D作DE⊥x軸于E,DC⊥y軸于C,一次函數(shù)y=﹣x+m與的圖象都經(jīng)過點C,與x軸分別交于A、B兩點,四邊形DCAE的面積為4,則k的值為﹣2．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：計算題；壓軸題．分析：由的圖象經(jīng)過點C,可求C〔0,2,代入一次函數(shù)y=﹣x+m求m的值,得出A點坐標(biāo),計算△AOC的面積,由四邊形DCAE的面積為4,可知矩形OCDE的面積,從而得出k的值．解答：解：∵的圖象經(jīng)過點C,∴C〔0,2,將點C代入一次函數(shù)y=﹣x+m中,得m=2,∴y=﹣x+2,令y=0得x=2,∴A〔2,0,∴S△AOC=×OA×OC=2,∵四邊形DCAE的面積為4,∴S矩形OCDE=4﹣2=2,∴k=﹣2．故答案為：﹣2．點評：本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)求法,矩形面積與反比例系數(shù)的關(guān)系．關(guān)鍵是通過求三角形的面積確定矩形的面積．14．〔2013?鄧州市校級一模如圖,已知梯形ABCO的底邊AO在x軸上,BC∥AO,AB⊥AO,過點C的雙曲線交OB于D,且OD：DB=1：2,若△OBC的面積等于3,則k的值是．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：設(shè)C〔x,y,BC=a．過D點作DE⊥OA于E點．根據(jù)DE∥AB得比例線段表示點D坐標(biāo)；根據(jù)△OBC的面積等于3得關(guān)系式,列方程組求解．解答：解：設(shè)C〔x,y,BC=a．則AB=y,OA=x+a．過D點作DE⊥OA于E點．∵OD：DB=1：2,DE∥AB,∴△ODE∽△OBA,相似比為OD：OB=1：3,∴DE=AB=y,OE=OA=〔x+a．∵D點在反比例函數(shù)的圖象上,且D〔〔x+a,y,∴y?〔x+a=k,即xy+ya=9k,∵C點在反比例函數(shù)的圖象上,則xy=k,∴ya=8k．∵△OBC的面積等于3,∴ya=3,即ya=6．∴8k=6,k=．故答案為：．點評：此題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用、平行線分線段成比例及有關(guān)圖形面積的綜合運用,綜合性較強(qiáng)．15．〔2012?XX如圖,點A在雙曲線上,點B在雙曲線上,且AB∥y軸,點P是y軸上的任意一點,則△PAB的面積為1．考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．專題：壓軸題；探究型．分析：設(shè)A〔x,,則B〔x,,再根據(jù)三角形的面積公式求解．解答：解：設(shè)A〔x,,∵AB∥y軸,∴B〔x,,∴S△ABP=AB?x=〔﹣×x=1．故答案為：1．點評：本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,先根據(jù)題意設(shè)出A點坐標(biāo),再由AB∥y軸得出B點坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．16．〔2012?XX如圖,直線y=6x,y=x分別與雙曲線y=在第一象限內(nèi)交于點A,B,若S△OAB=8,則k=6．考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．專題：壓軸題．分析：過點A作AC⊥x軸于點C,過點B作BD⊥x軸于點D,根據(jù)雙曲線設(shè)出點A、B的坐標(biāo),并用直線與雙曲線解析式聯(lián)立求出點A、B的橫坐標(biāo),再根據(jù)S△OAB=S△OAC+S梯形ACDB﹣S△OBD,然后列式整理即可得到關(guān)于k的方程,求解即可．解答：解：如圖,過點A作AC⊥x軸于點C,過點B作BD⊥x軸于點D,設(shè)點A〔x1,,B〔x2,,聯(lián)立,解得x1=,聯(lián)立,解得x2=,S△OAB=S△OAC+S梯形ACDB﹣S△OBD,=x1?+〔+×〔x2﹣x1﹣x2?,=k+〔k﹣k+k﹣k﹣k,=?k,=×k,=×k,=k,∵S△OAB=8,∴k=8,解得k=6．故答案為：6．點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題,反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義,作出輔助線表示出△AOB的面積并整理成只含有k的形式是解題的關(guān)鍵．17．〔2012?XX如圖,點A〔3,n在雙曲線y=上,過點A作AC⊥x軸,垂足為C．線段OA的垂直平分線交OC于點M,則△AMC周長的值是4．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：先求出點A的坐標(biāo),根據(jù)點的坐標(biāo)的定義得到OC=3,AC=1,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知AM=OM,由此推出△AMC的周長=OC+AC．解答：解：∵點A〔3,n在雙曲線y=上,∴n==1,∴A〔3,1,∴OC=3,AC=1．∵OA的垂直平分線交OC于M,∴AM=OM,∴△AMC的周長=AM+MC+AC=OM+MC+AC=OC+AC=3+1=4．故答案為：4．點評：本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和線段中垂線的性質(zhì),將求△AMC的周長轉(zhuǎn)換成求OC+AC是解題的關(guān)鍵．18．〔2015?XX模擬如圖,直線y=x與雙曲線y=〔x＞0交于點A,將直線y=x向下平移個6單位后,與雙曲線y=〔x＞0交于點B,與x軸交于點C,則C點的坐標(biāo)為〔,0；若=2,則k=12．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：計算題；壓軸題．分析：根據(jù)題意得到直線BC的解析式,令y=0,得到點C的坐標(biāo)；根據(jù)直線AO和直線BC的解析式與雙曲線y=聯(lián)立求得A,B的坐標(biāo),再由已知條件=2,從而求出k值．解答：解：∵將直線y=x向下平移個6單位后得到直線BC,∴直線BC解析式為：y=x﹣6,令y=0,得x﹣6=0,∴C點坐標(biāo)為〔,0；∵直線y=x與雙曲線y=〔x＞0交于點A,∴A〔,,又∵直線y=x﹣6與雙曲線y=〔x＞0交于點B,且=2,∴B〔+,,將B的坐標(biāo)代入y=中,得〔+=k,解得k=12．故答案為：〔,0,12．點評：此題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì),聯(lián)立方程求出點的坐標(biāo),同時還考查學(xué)生的計算能力．19．〔2012?桐鄉(xiāng)市校級三模如圖,點A〔a,b在雙曲線上,AB⊥x軸于點B,若點是雙曲線上異于點A的另一點．〔1k=60；〔2若a2=169﹣b2,則△OAB的內(nèi)切圓半徑r=2．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：〔1把P點坐標(biāo)代入反比例函數(shù),即可求k；〔2先把A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)可得ab=60,再結(jié)合a2=169﹣b2組成方程組,解可得a、b的值,進(jìn)而利用勾股定理可求OA,再結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑公式,易求r．解答：解：〔1把〔5,4代入反比例函數(shù),可得k=5×4=60；〔2把〔a,b代入反比例函數(shù),得ab=60與a2=169﹣b2聯(lián)合組成方程組為：,解得或,即知OB=12,AB=5或OB=5,AB=12,在Rt△AOB中,OA=13,故△AOB內(nèi)切圓的半徑r===2．點評：本題考查了反比例函數(shù)的知識、勾股定理,解題的關(guān)鍵是能根據(jù)所給的點,求出k,并能解二元二次方程組．二．解答題〔共11小題20．解方程組：考點：解二元一次方程組．專題：換元法．分析：如果我們把方程組中的""、""看成一個整體,這個方程組就是一個關(guān)于和的二元一次方程組了．此題需要用換元法把分式方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程組來解．解答：解：設(shè)m=,n=,原方程組變形為,解這個方程組,得．把m=,n=﹣1分別代入m=,n=中,得．點評：此題考查的是用換元法解二元一次方程組,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的運用．21．〔2014?XX如圖,點A與點B的坐標(biāo)分別是〔1,0,〔5,0,點P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點．〔1使∠APB=30°的點P有無數(shù)個；〔2若點P在y軸上,且∠APB=30°,求滿足條件的點P的坐標(biāo)；〔3當(dāng)點P在y軸上移動時,∠APB是否有最大值？若有,求點P的坐標(biāo),并說明此時∠APB最大的理由；若沒有,也請說明理由．考點：圓的綜合題；三角形的外角性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；切線的性質(zhì)．專題：綜合題；壓軸題；探究型．分析：〔1已知點A、點B是定點,要使∠APB=30°,只需點P在過點A、點B的圓上,且弧AB所對的圓心角為60°即可,顯然符合條件的點P有無數(shù)個．〔2結(jié)合〔1中的分析可知：當(dāng)點P在y軸的正半軸上時,點P是〔1中的圓與y軸的交點,借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可求出符合條件的點P的坐標(biāo)；當(dāng)點P在y軸的負(fù)半軸上時,同理可求出符合條件的點P的坐標(biāo)．〔3由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中,同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角．要∠APB最大,只需構(gòu)造過點A、點B且與y軸相切的圓,切點就是使得∠APB最大的點P,然后結(jié)合切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識即可解決問題．解答：解：〔1以AB為邊,在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC,以點C為圓心,AC為半徑作⊙C,交y軸于點P1、P2．在優(yōu)弧AP1B上任取一點P,如圖1,則∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的點P有無數(shù)個．故答案為：無數(shù)．〔2①當(dāng)點P在y軸的正半軸上時,過點C作CG⊥AB,垂足為G,如圖1．∵點A〔1,0,點B〔5,0,∴OA=1,OB=5．∴AB=4．∵點C為圓心,CG⊥AB,∴AG=BG=AB=2．∴OG=OA+AG=3．∵△ABC是等邊三角形,∴AC=BC=AB=4．∴CG===2．∴點C的坐標(biāo)為〔3,2．過點C作CD⊥y軸,垂足為D,連接CP2,如圖1,∵點C的坐標(biāo)為〔3,2,∴CD=3,OD=2．∵P1、P2是⊙C與y軸的交點,∴∠AP1B=∠AP2B=30°．∵CP2=CA=4,CD=3,∴DP2==．∵點C為圓心,CD⊥P1P2,∴P1D=P2D=．∴P2〔0,2﹣．P1〔0,2+．②當(dāng)點P在y軸的負(fù)半軸上時,同理可得：P3〔0,﹣2﹣．P4〔0,﹣2+．綜上所述：滿足條件的點P的坐標(biāo)有：〔0,2﹣、〔0,2+、〔0,﹣2﹣、〔0,﹣2+．〔3當(dāng)過點A、B的⊙E與y軸相切于點P時,∠APB最大．理由：可證：∠APB=∠AEH,當(dāng)∠APB最大時,∠AEH最大．由sin∠AEH=得：當(dāng)AE最小即PE最小時,∠AEH最大．所以當(dāng)圓與y軸相切時,∠APB最大．①當(dāng)點P在y軸的正半軸上時,連接EA,作EH⊥x軸,垂足為H,如圖2．∵⊙E與y軸相切于點P,∴PE⊥OP．∵EH⊥AB,OP⊥OH,∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四邊形OPEH是矩形．∴OP=EH,PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°,AH=2,EA=3,∴EH===∴OP=∴P〔0,．②當(dāng)點P在y軸的負(fù)半軸上時,同理可得：P〔0,﹣．理由：①若點P在y軸的正半軸上,在y軸的正半軸上任取一點M〔不與點P重合,連接MA,MB,交⊙E于點N,連接NA,如圖2所示．∵∠ANB是△AMN的外角,∴∠ANB＞∠AMB．∵∠APB=∠ANB,∴∠APB＞∠AMB．②若點P在y軸的負(fù)半軸上,同理可證得：∠APB＞∠AMB．綜上所述：當(dāng)點P在y軸上移動時,∠APB有最大值,此時點P的坐標(biāo)為〔0,和〔0,﹣．點評：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì),切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識,綜合性強(qiáng)．同時也考查了創(chuàng)造性思維,有一定的難度．構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵．22．〔2013?XX如圖①,O為坐標(biāo)原點,點B在x軸的正半軸上,四邊形OACB是平行四邊形,sin∠AOB=,反比例函數(shù)y=〔k＞0在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A,與BC交于點F．〔1若OA=10,求反比例函數(shù)解析式；〔2若點F為BC的中點,且△AOF的面積S=12,求OA的長和點C的坐標(biāo)；〔3在〔2中的條件下,過點F作EF∥OB,交OA于點E〔如圖②,點P為直線EF上的一個動點,連接PA,PO．是否存在這樣的點P,使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形？若存在,請直接寫出所有點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：〔1先過點A作AH⊥OB,根據(jù)sin∠AOB=,OA=10,求出AH和OH的值,從而得出A點坐標(biāo),再把它代入反比例函數(shù)中,求出k的值,即可求出反比例函數(shù)的解析式；〔2先設(shè)OA=a〔a＞0,過點F作FM⊥x軸于M,根據(jù)sin∠AOB=,得出AH=a,OH=a,求出S△AOH的值,根據(jù)S△AOF=12,求出平行四邊形AOBC的面積,根據(jù)F為BC的中點,求出S△OBF=6,根據(jù)BF=a,∠FBM=∠AOB,得出S△BMF=BM?FM,S△FOM=6+a2,再根據(jù)點A,F都在y=的圖象上,S△AOH=k,求出a,最后根據(jù)S平行四邊形AOBC=OB?AH,得出OB=AC=3,即可求出點C的坐標(biāo)；〔3分別根據(jù)當(dāng)∠APO=90°時,在OA的兩側(cè)各有一點P,得出P1,P2；當(dāng)∠PAO=90°時,求出P3；當(dāng)∠POA=90°時,求出P4即可．解答：解：〔1過點A作AH⊥OB于H,∵sin∠AOB=,OA=10,∴AH=8,OH=6,∴A點坐標(biāo)為〔6,8,根據(jù)題意得：8=,可得：k=48,∴反比例函數(shù)解析式：y=〔x＞0；〔2設(shè)OA=a〔a＞0,過點F作FM⊥x軸于M,∵sin∠AOB=,∴AH=a,OH=a,∴S△AOH=?a?a=a2,∵S△AOF=12,∴S平行四邊形AOBC=24,∵F為BC的中點,∴S△OBF=6,∵BF=a,∠FBM=∠AOB,∴FM=a,BM=a,∴S△BMF=BM?FM=a?a=a2,∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2,∵點A,F都在y=的圖象上,∴S△AOH=k,∴a2=6+a2,∴a=,∴OA=,∴AH=,OH=2,∵S平行四邊形AOBC=OB?AH=24,∴OB=AC=3,∴C〔5,；〔3存在三種情況：當(dāng)∠APO=90°時,在OA的兩側(cè)各有一點P,分別為：P1〔,,P2〔﹣,,當(dāng)∠PAO=90°時,P3〔,,當(dāng)∠POA=90°時,P4〔﹣,．點評：此題考查了反比例函數(shù)的綜合,用到的知識點是三角函數(shù)、平行四邊形、反比例函數(shù)、三角形的面積等,要注意運用數(shù)形結(jié)合的思想,要注意〔3有三種情況,不要漏解．23．〔2014?XX如圖,直線y=﹣x+3與x,y軸分別交于點A,B,與反比例函數(shù)的圖象交于點P〔2,1．〔1求該反比例函數(shù)的關(guān)系式；〔2設(shè)PC⊥y軸于點C,點A關(guān)于y軸的對稱點為A′；①求△A′BC的周長和sin∠BA′C的值；②對大于1的常數(shù)m,求x軸上的點M的坐標(biāo),使得sin∠BMC=．考點：反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；直線與圓的位置關(guān)系；銳角三角函數(shù)的定義．專題：壓軸題；探究型．分析：〔1設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=,然后把點P的坐標(biāo)〔2,1代入即可．〔2①先求出直線y=﹣x+3與x、y軸交點坐標(biāo),然后運用勾股定理即可求出△A′BC的周長；過點C作CD⊥AB,垂足為D,運用面積法可以求出CD長,從而求出sin∠BA′C的值．②由于BC=2,sin∠BMC=,因此點M在以BC為弦,半徑為m的⊙E上,因而點M應(yīng)是⊙E與x軸的交點．然后對⊙E與x軸的位置關(guān)系進(jìn)行討論,只需運用矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識就可求出滿足要求的點M的坐標(biāo)．解答：解：〔1設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=．∵點P〔2,1在反比例函數(shù)y=的圖象上,∴k=2×1=2．即反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)=．〔2①過點C作CD⊥AB,垂足為D,如圖1所示．當(dāng)x=0時,y=0+3=3,則點B的坐標(biāo)為〔0,3．OB=3．當(dāng)y=0時,0=﹣x+3,解得x=3,則點A的坐標(biāo)為〔3,0,OA=3．∵點A關(guān)于y軸的對稱點為A′,∴OA′=OA=3．∵PC⊥y軸,點P〔2,1,∴OC=1,PC=2．∴BC=2．∵∠AOB=90°,OA′=OB=3,OC=1,∴A′B=3,A′C=．∴△A′BC的周長為3++2．∵S△ABC=BC?A′O=A′B?CD,∴BC?A′O=A′B?CD．∴2×3=3×CD．∴CD=．∵CD⊥A′B,∴sin∠BA′C===．∴△A′BC的周長為3++2,sin∠BA′C的值為．②當(dāng)1＜m＜2時,作經(jīng)過點B、C且半徑為m的⊙E,連接CE并延長,交⊙E于點P,連接BP,過點E作EG⊥OB,垂足為G,過點E作EH⊥x軸,垂足為H,如圖2①所示．∵CP是⊙E的直徑,∴∠PBC=90°．∴sin∠BPC===．∵sin∠BMC=,∴∠BMC=∠BPC．∴點M在⊙E上．∵點M在x軸上∴點M是⊙E與x軸的交點．∵EG⊥BC,∴BG=GC=1．∴OG=2．∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°,∴四邊形OGEH是矩形．∴EH=OG=2,EG=OH．∵1＜m＜2,∴EH＞EC．∴⊙E與x軸相離．∴x軸上不存在點M,使得sin∠BMC=．②當(dāng)m=2時,EH=EC．∴⊙E與x軸相切．Ⅰ．切點在x軸的正半軸上時,如圖2②所示．∴點M與點H重合．∵EG⊥OG,GC=1,EC=m,∴EG==．∴OM=OH=EG=．∴點M的坐標(biāo)為〔,0．Ⅱ．切點在x軸的負(fù)半軸上時,同理可得：點M的坐標(biāo)為〔﹣,0．③當(dāng)m＞2時,EH＜EC．∴⊙E與x軸相交．Ⅰ．交點在x軸的正半軸上時,設(shè)交點為M、M′,連接EM,如圖2③所示．∵∠EHM=90°,EM=m,EH=2,∴MH===．∵EH⊥MM′,∴MH=M′H．∴M′H═．∵∠EGC=90°,GC=1,EC=m,∴EG===．∴OH=EG=．∴OM=OH﹣MH=﹣,∴OM′=OH+HM′=+,∴M〔﹣,0、M′〔+,0．Ⅱ．交點在x軸的負(fù)半軸上時,同理可得：M〔﹣+,0、M′〔﹣﹣,0．綜上所述：當(dāng)1＜m＜2時,滿足要求的點M不存在；當(dāng)m=2時,滿足要求的點M的坐標(biāo)為〔,0和〔﹣,0；當(dāng)m＞2時,滿足要求的點M的坐標(biāo)為〔﹣,0、〔+,0、〔﹣+,0、〔﹣﹣,0．點評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的關(guān)系式、勾股定理、三角函數(shù)的定義、矩形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、垂徑定理等知識,考查了用面積法求三角形的高,考查了通過構(gòu)造輔助圓解決問題,綜合性比較強(qiáng),難度系數(shù)比較大．由BC=2,sin∠BMC=聯(lián)想到點M在以BC為弦,半徑為m的⊙E上是解決本題的關(guān)鍵．24．〔2013?XX如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=kx+b〔k≠0的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于一、三象限內(nèi)的A、B兩點,直線AB與x軸交于點C,點B的坐標(biāo)為〔﹣6,n,線段OA=5,E為x軸正半軸上一點,且tan∠AOE=．〔1求反比例函數(shù)的解析式；〔2求△AOB的面積．考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．專題：計算題；壓軸題．分析：〔1過點A作AD⊥x軸,在Rt△AOD中,根據(jù)已知的三角函數(shù)值和線段OA的長求出AD與OD的長,得到點A的坐標(biāo),代入反比例函數(shù)解析式中求出反比例函數(shù)的解析式；〔2把點B的橫坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中得到B的坐標(biāo),然后分別把點A和點B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中,求出k與b的值即可得到一次函數(shù)解析式,從而求出點C的坐標(biāo),得到OC的長,最后利用三角形的面積公式求出△AOC與△BOC的面積,相加即可得到△AOB的面積．解答：解：〔1過點A作AD⊥x軸,在Rt△AOD中,∵tan∠AOE==,設(shè)AD=4x,OD=3x,∵OA=5,在Rt△AOD中,根據(jù)勾股定理解得AD=4,OD=3,∴A〔3,4,把A〔3,4代入反比例函數(shù)y=中,解得：m=12,則反比例函數(shù)的解析式為y=；〔2把點B的坐標(biāo)為〔﹣6,n代入y=中,解得n=﹣2,則B的坐標(biāo)為〔﹣6,﹣2,把A〔3,4和B〔﹣6,﹣2分別代入一次函數(shù)y=kx+b〔k≠0得,解得,則一次函數(shù)的解析式為y=x+2,∵點C在x軸上,令y=0,得x=﹣3即OC=3,∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9．點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題,勾股定理,三角形函數(shù)值,以及三角形的面積公式的運用,用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式,是常用的一種解題方法．同學(xué)們要熟練掌握這種方法．25．〔2013?XX如圖,將邊長為4的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標(biāo)系xoy中,F是AB邊上的動點〔不與端點A、B重合,過點F的反比例函數(shù)y=〔k＞0,x＞0與OA邊交于點E,過點F作FC⊥x軸于點C,連結(jié)EF、OF．〔1若S△OCF=,求反比例函數(shù)的解析式；〔2在〔1的條件下,試判斷以點E為圓心,EA長為半徑的圓與y軸的位置關(guān)系,并說明理由；〔3AB邊上是否存在點F,使得EF⊥AE？若存在,請求出BF：FA的值；若不存在,請說明理由．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：計算題；壓軸題．分析：〔1設(shè)F〔x,y,得到OC=x與CF=y,表示出三角形OCF的面積,求出xy的值,即為k的值,進(jìn)而確定出反比例解析式；〔2過E作EH垂直于x軸,EG垂直于y軸,設(shè)OH為m,利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義表示出EH與OE,進(jìn)而表示出E的坐標(biāo),代入反比例解析式中求出m的值,確定出EG,OE,EH的長,根據(jù)EA與EG的大小關(guān)系即可對于圓E與y軸的位置關(guān)系作出判斷；〔3過E作EH垂直于x軸,設(shè)FB=x,利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義表示出FC與BC,進(jìn)而表示出AF與OC,表示出AE與OE的長,得出OE與EH的長,表示出E與F坐標(biāo),根據(jù)E與F都在反比例圖象上,得到橫縱坐標(biāo)乘積相等列出方程,求出方程的解得到x的值,即可求出BF與FA的比值．解答：解：〔1設(shè)F〔x,y,〔x＞0,y＞0,則OC=x,CF=y,∴S△OCF=xy=,∴xy=2,∴k=2,∴反比例函數(shù)解析式為y=〔x＞0；〔2該圓與y軸相離,理由為：過點E作EH⊥x軸,垂足為H,過點E作EG⊥y軸,垂足為G,在△AOB中,OA=AB=4,∠AOB=∠ABO=∠A=60°,設(shè)OH=m,則tan∠AOB==,∴EH=m,OE=2m,∴E坐標(biāo)為〔m,m,∵E在反比例y=圖象上,∴m=,∴m1=,m2=﹣〔舍去,∴OE=2,EA=4﹣2,EG=,∵4﹣2＜,∴EA＜EG,∴以E為圓心,EA長為半徑的圓與y軸相離；〔3存在．假設(shè)存在點F,使AE⊥FE,過E點作EH⊥OB于點H,設(shè)BF=x．∵△AOB是等邊三角形,∴AB=OA=OB=4,∠AOB=∠ABO=∠A=60°,∴BC=FB?cos∠FBC=x,FC=FB?sin∠FBC=x,∴AF=4﹣x,OC=OB﹣BC=4﹣x,∵AE⊥FE,∴AE=AF?cosA=2﹣x,∴OE=OA﹣AE=x+2,∴OH=OE?cos∠AOB=x+1,EH=OE?sin∠AOB=x+,∴E〔x+1,x+,F〔4﹣x,x,∵E、F都在雙曲線y=的圖象上,∴〔x+1〔x+=〔4﹣x?x,解得：x1=4,x2=,當(dāng)BF=4時,AF=0,不存在,舍去；當(dāng)BF=時,AF=,BF：AF=1：4．點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題,涉及的知識有：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義,熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．26．〔2013?XX如圖,已知雙曲線y=經(jīng)過點D〔6,1,點C是雙曲線第三象限上的動點,過C作CA⊥x軸,過D作DB⊥y軸,垂足分別為A,B,連接AB,BC．〔1求k的值；〔2若△BCD的面積為12,求直線CD的解析式；〔3判斷AB與CD的位置關(guān)系,并說明理由．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：綜合題；壓軸題．分析：〔1把點D的坐標(biāo)代入雙曲線解析式,進(jìn)行計算即可得解；〔2先根據(jù)點D的坐標(biāo)求出BD的長度,再根據(jù)三角形的面積公式求出點C到BD的距離,然后求出點C的縱坐標(biāo),再代入反比例函數(shù)解析式求出點C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；〔3根據(jù)題意求出點A、B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,可知與直線CD的解析式k值相等,所以AB、CD平行．解答：解：〔1∵雙曲線y=經(jīng)過點D〔6,1,∴=1,解得k=6；〔2設(shè)點C到BD的距離為h,∵點D的坐標(biāo)為〔6,1,DB⊥y軸,∴BD=6,∴S△BCD=×6?h=12,解得h=4,∵點C是雙曲線第三象限上的動點,點D的縱坐標(biāo)為1,∴點C的縱坐標(biāo)為1﹣4=﹣3,∴=﹣3,解得x=﹣2,∴點C的坐標(biāo)為〔﹣2,﹣3,設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,則,解得,所以,直線CD的解析式為y=x﹣2；〔3AB∥CD．理由如下：∵CA⊥x軸,DB⊥y軸,設(shè)點C的坐標(biāo)為〔c,,點D的坐標(biāo)為〔6,1,∴點A、B的坐標(biāo)分別為A〔c,0,B〔0,1,設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,則,解得,所以,直線AB的解析式為y=﹣x+1,設(shè)直線CD的解析式為y=ex+f,則,解得,∴直線CD的解析式為y=﹣x+,∵AB、CD的解析式k都等于﹣,∴AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD．點評：本題是對反比例函數(shù)的綜合考查,主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,三角形的面積的求解,待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法,一定要熟練掌握并靈活運用．27．〔2012?XX如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A〔﹣2,0、B〔0,1、C〔d,2．〔1求d的值；〔2將△ABC沿x軸的正方向平移,在第一象限內(nèi)B、C兩點的對應(yīng)點B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上．請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線B′C′的解析式；〔3在〔2的條件下,直線BC交y軸于點G．問是否存在x軸上的點M和反比例函數(shù)圖象上的點P,使得四邊形PGMC′是平行四邊形？如果存在,請求出點M和點P的坐標(biāo)；如果不存在,請說明理由．考點：反比例函數(shù)綜合題．專題：計算題；壓軸題．分析：〔1過C作CN垂直于x軸,交x軸于點N,由A、B及C的坐標(biāo)得出OA,OB,CN的長,由∠CAB=90°,根據(jù)平角定義得到一對角互余,在直角三角形ACN中,根據(jù)兩銳角互余,得到一對角互余,利用同角的余角相等得到一對角相等,再由一對直角相等,且AC=BC,利用AAS得到三角形ACN與三角形AOB全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出CN=0A,AN=0B,由AN+OA求出ON的長,再由C在第二象限,可得出d的值；〔2由第一問求出的C與B的橫坐標(biāo)之差為3,根據(jù)平移的性質(zhì)得到縱坐標(biāo)不變,故設(shè)出C′〔m,2,則B′〔m+3,1,再設(shè)出反比例函數(shù)解析式,將C′與B′的坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與m的兩方程,消去k得到關(guān)于m的方程,求出方程的解得到m的值,即可確定出k的值,得到反比例函數(shù)解析式,設(shè)直線B′C′的解析式為y=ax+b,將C′與B′的坐標(biāo)代入,得到關(guān)于a與b的二元一次方程組,求出方程組的解得到a與b的值,即可確定出直線B′C′的解析式；〔3存在x軸上的點M和反比例函數(shù)圖象上的點P,使得四邊形PGMC′是平行四邊形,理由為：設(shè)Q為GC′的中點,令第二問求出的直線B′C′的解析式中x=0求出y的值,確定出G的坐標(biāo),再由C′的坐標(biāo),利用線段中點坐標(biāo)公式求出Q的坐標(biāo),過點Q作直線l與x軸交于M′點,與y=的圖象交于P′點,若四邊形P′GM′C′是平行四邊形,則有P′Q=QM′,易知點M′的橫坐標(biāo)大于,點P′的橫坐標(biāo)小于,作P′H⊥x軸于點H,QK⊥y軸于點K,P′H與QK交于點E,作QF⊥x軸于點F,由兩直線平行得到一對同位角相等,再由一對直角相等及P′Q=QM′,利用AAS可得出△P′EQ與△QFM′全等,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等,設(shè)EQ=FM′=t,由Q的橫坐標(biāo)﹣t表示出P′的橫坐標(biāo),代入反比例函數(shù)解析式確定出P′的縱坐標(biāo),進(jìn)而確定出M′的坐標(biāo),根據(jù)P′H﹣EH=P′H﹣QF表示出P′E的長,又P′Q=QM′,分別放在直角三角形中,利用勾股定理列出關(guān)于t的方程,求出方程的解得到t的值,進(jìn)而確定出P′與M′的坐標(biāo),此時點P′為所求的點P,點M′為所求的點M．解答：解：〔1作CN⊥x軸于點N,∵A〔﹣2,0、B〔0,1、C〔d,2,∴OA=2,OB=1,CN=2,∵∠CAB=90°,即∠CAN+∠BAO=90°,又∵∠CAN+∠ACN=90°,∴∠BAO=∠ACN,在Rt△CNA和Rt△AOB中,∵,∴Rt△CNA≌Rt△AOB〔AAS,∴NC=OA=2,AN=BO=1,∴NO=NA+AO=3,又點C在第二象限,∴d=﹣3；〔2設(shè)反比例函數(shù)為y=〔k≠0,點C′和B′在該比例函數(shù)圖象上,設(shè)C′〔m,2,則B′〔m+3,1,把點C′和B′的坐標(biāo)分別代入y=,得k=2m；k=m+3,∴2m=m+3,解得：m=3,則k=6,反比例函數(shù)解析式為y=,點C′〔3,2,B′〔6,1,設(shè)直線C′B′的解析式為y=ax+b〔a≠0,把C′、B′兩點坐標(biāo)代入得：,∴解得：；∴直線C′B′的解析式為y=﹣x+3；〔3存在x軸上的點M和反比例函數(shù)圖象上的點P,使得四邊形PGMC′是平行四邊形,理由為：設(shè)Q是GC′的中點,令y=﹣x+3中x=0,得到y(tǒng)=3,∴G〔0,3,又C′〔3,2,∴Q〔,,過點Q作直線l與x軸交于M′點,與y=的圖象交于P′點,若四邊形P′GM′C′是平行四邊形,則有P′Q=QM′,易知點M′的橫坐標(biāo)大于,點P′的橫坐標(biāo)小于,作P′H⊥x軸于點H,QK⊥y軸于點K,P′H與QK交于點E,作QF⊥x軸于點F,∵QF∥P′E,∴∠M′QF=∠QP′E,在△P′EQ和△QFM′中,∵,∴△P′EQ≌△QFM′〔AAS,∴EQ=FM′,P′Q=QM′,設(shè)EQ=FM′=t,∴點P′的橫坐標(biāo)x=﹣t,點P′的縱坐標(biāo)y=2?yQ=5,點M′的坐標(biāo)是〔+t,0,∴P′在反比例函數(shù)圖象上,即5〔﹣t=6,解得：t=,∴P′〔,5,M′〔,0,則點P′為所求的點P,點M′為所求的點M．點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題,涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,平移的性質(zhì),是一道綜合性較強(qiáng)的試題,要求學(xué)生掌握知識要全面．28．〔2012?XX如圖,已知一次函數(shù)y1=kx+b圖象與x軸相交于點A,與反比例函數(shù)的圖象相交于B〔﹣1,5、C〔,0兩點．點P〔m,n是一次函數(shù)y1=kx+b的圖象上的動點．〔1求k、b的值；〔2設(shè)﹣1＜m＜,過點P作x軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點D．試問△PAD的面積是否存在最大值？若存在,請求出面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；若不存