學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2.3互斥事件［航向標(biāo)·學(xué)習(xí)目標(biāo)］1．掌握兩個(gè)互斥事件的概率加法公式以及對(duì)立事件的概率計(jì)算公式．2．正確理解互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系．［讀教材·自主學(xué)習(xí)］1．互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能eq\o（□,\s\up4(01)）同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱為互斥事件．2．如果隨機(jī)事件A、B為互斥事件，那么事件A＋B的概率的計(jì)算公式:eq\o(□，\s\up4（02)）P（A＋B)＝P（A）＋P(B）,其中事件A＋B發(fā)生是事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生．3．如果隨機(jī)事件A1,A2，…,An兩兩互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An的概率的計(jì)算公式：eq\o(□，\s\up4(03)）P（A1＋A2＋…＋An）＝P(A1）＋P(A2)＋…＋P（An)．4．對(duì)立事件:在每一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件A和B必有eq\o(□，\s\up4(04))一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)eq\o(□,\s\up4（05））一定不發(fā)生，我們把這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件,把事件A的對(duì)立事件記為eq\o(A，\s\up6(－））。5．隨機(jī)事件A和其對(duì)立事件A的概率之間的關(guān)系：eq\o(□，\s\up4（06))P（eq\o(A，\s\up6（－））)＝1－P（A)．[看名師·疑難剖析]互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系(1）從定義上看不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫作互斥事件．例如：拋一枚硬幣，落地時(shí)會(huì)出現(xiàn)“正面向上”和“反面向上”兩種結(jié)果．若記“落地時(shí)正面向上”為事件A，“落地時(shí)反面向上"為事件B，則A，B為互斥事件．再如:拋兩枚硬幣落地時(shí)會(huì)出現(xiàn)四種結(jié)果“正、反”，“反、正"，“正、正”，“反、反”．若記“第一枚正面向上,第二枚反面向上”為事件A，“第一枚反面向上，第二枚也反面向上”為事件B，則A，B也為互斥事件．必須有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫作對(duì)立事件,也就是說，兩個(gè)互斥事件在一次試驗(yàn)中必然有一個(gè)發(fā)生，這樣的兩個(gè)互斥事件就是對(duì)立事件．如上面的第一個(gè)例子中的事件A，B就是對(duì)立事件，而第二個(gè)例子中的事件A，B就不是對(duì)立事件．因?yàn)閷?duì)第二個(gè)例子中的事件A，B來說，不是必有一個(gè)發(fā)生，也可能發(fā)生“正、正”或“反、正”，故“互斥”未必“對(duì)立”，而“對(duì)立"必然“互斥”．(2)從集合角度看從集合角度看,事件A，B互斥,表示其相應(yīng)集合的交集是空集,即A∩B＝?，而由對(duì)立事件eq\o（A，\s\up6（－）)所含的結(jié)果組成的集合，是全集I中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集，即A∪eq\o(A,\s\up6（－））＝I，A∩eq\o（A，\s\up6(－））＝?,如圖所示．(3）從公式上看互斥事件的概率加法公式是：P（A＋B)＝P（A)＋P（B）．其中事件A與B只有一個(gè)發(fā)生．此公式應(yīng)用條件：A，B互斥．對(duì)立事件的概率公式是：P（A)＋P（eq\o(A,\s\up6（－)))＝P（A＋eq\o（A,\s\up6(－）)）＝1?；蜃冃螢?P（eq\o(A,\s\up6（－）)）＝1－P（A），這個(gè)公式很有用,當(dāng)直接求某一事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率．考點(diǎn)一事件關(guān)系的判斷例1判斷下列給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件,并說明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1~10各10張）中，任取一張．（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌"與“抽出黑色牌”;（3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9"．［分析］要判斷所給事件是對(duì)立還是互斥，首先要將兩個(gè)概念的聯(lián)系和區(qū)別弄清楚，互斥事件是指不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件是建立在互斥事件的基礎(chǔ)上的，兩個(gè)事件一個(gè)不發(fā)生，另一個(gè)必發(fā)生．［解］（1）是互斥事件,不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃"和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的,所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事件．(2）既是互斥事件，又是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張．“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌"兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．（3）不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽出的牌點(diǎn)數(shù)為10，因此,二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．類題通法“互斥事件”和“對(duì)立事件"都是就兩個(gè)事件而言的.互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,而對(duì)立事件是其中必有一個(gè)要發(fā)生的互斥事件。因此，對(duì)立事件必須是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.eq\a\vs4\al（［變式訓(xùn)練1］）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽．判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件,如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件．（1）恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少1名男生與全是男生；(3）至少1名男生與全是女生；（4)至少1名男生與至少1名女生．解(1)因?yàn)榍∮?名男生與恰有2名男生不可能同時(shí)發(fā)生,所以它們是互斥事件;當(dāng)恰有2名女生時(shí)，它們都沒有發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事件．（2）當(dāng)恰有2名男生時(shí)，至少1名男生與全是男生同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．（3）因?yàn)橹辽?名男生與全是女生不可能同時(shí)發(fā)生,所以它們是互斥事件；由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事件．(4)當(dāng)選出的是1名男生1名女生時(shí),至少1名男生與至少1名女生同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件?？键c(diǎn)二互斥事件與對(duì)立事件的概率例2在擲骰子試驗(yàn)中，定義以下事件：e1＝｛出現(xiàn)1點(diǎn)｝,e2＝｛出現(xiàn)2點(diǎn)｝,e3＝｛出現(xiàn)3點(diǎn)｝，e4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，e5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)｝，e6＝｛出現(xiàn)6點(diǎn)｝,D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3｝，D2＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7｝，E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6｝，G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}．求事件D1，D2，E,G，H發(fā)生的概率．[分析］對(duì)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子來說，出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn),4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)的概率均為eq\f（1,6），即P(e1)＝P(e2）＝P(e3)＝P(e4)＝P（e5）＝P(e6）＝eq\f（1，6）。e1，e2，e3,e4,e5，e6就是隨機(jī)試驗(yàn)擲一枚骰子的所有基本事件，它們兩兩互斥，事件D1,D2，E,G，H均可轉(zhuǎn)化為這些基本事件的和的形式,再根據(jù)概率的加法公式便可求得．[解]由已知即P(e1)＝P（e2)＝P（e3)＝P（e4)＝P(e5）＝P(e6)＝eq\f(1，6）,又e1，e2，e3，e4，e5，e6就是隨機(jī)試驗(yàn)擲一枚骰子的全部基本事件,它們兩兩互斥,并且事件D1＝e4＋e5＋e6;D2＝e1＋e2＋e3＋e4＋e5＋e6；G＝e2＋e4＋e6;H＝e1＋e3＋e5。根據(jù)概率的加法公式得：（1）P（D1）＝P(e4)＋P(e5）＋P(e6）＝eq\f(1,6）＋eq\f（1,6)＋eq\f(1，6)＝eq\f（1，2）;（2）P（D2)＝P(e1）＋P(e2)＋P(e3）＋P(e4）＋P(e5)＋P(e6)＝eq\f(1，6)＋eq\f（1,6）＋eq\f（1，6）＋eq\f(1,6）＋eq\f（1,6）＋eq\f（1,6)＝1;(3)擲一枚骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)只可能是1～6點(diǎn)，不可能出現(xiàn)大于6點(diǎn)，故E為不可能事件，P(E)＝0;(4）P（G)＝P（e2）＋P(e4)＋P（e6)＝eq\f(1,6)＋eq\f（1，6)＋eq\f(1，6)＝eq\f(1,2）;（5)P（H)＝P(e1)＋P(e3）＋P（e5）＝eq\f（1，6)＋eq\f（1,6)＋eq\f（1，6)＝eq\f(1，2)。類題通法在求某事件的概率時(shí)，我們可以先分析清楚隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件，以及該事件包含的隨機(jī)事件，然后利用概率公式進(jìn)行求解.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2]）某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0。24，0.28,0.19，0。16，0。13，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中:(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2)至少射中7環(huán)的概率；（3)射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率．解設(shè)事件“射中10環(huán)”，“射中9環(huán)”，“射中8環(huán)",“射中7環(huán)”,“射中7環(huán)以下"分別記為A、B、C、D、E，則（1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B）＝0.24＋0.28＝0。52.所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52。(2）P（A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P（C)＋P(D）＝0.24＋0.28＋0。19＋0.16＝0。87，所以至少射中7環(huán)的概率為0。87.（3)P(D＋E）＝P（D）＋P(E）＝0。16＋0.13＝0。29，所以射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率為0。29.例3一個(gè)盒中裝有各色球12只,其中5只紅球、4只黑球、2只白球，1只綠球．從中隨機(jī)取出1球,求：(1）取出的1球是紅球或黑球的概率;（2）取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．［分析］利用互斥事件和概率公式與對(duì)立事件概率公式求解．[解]解法一：(1)從12只球中任取1球得到紅球有5種取法，得到黑球有4種取法，得到紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．所以任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f（9，12）＝eq\f（3,4）.（2）從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為P2＝eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11，12）。解法二：（利用互斥事件和概率公式求解）記事件A1＝{任取1球?yàn)榧t球｝,A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷，A3＝｛任取1球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取1球?yàn)榫G球｝,則P(A1)＝eq\f（5,12)，P（A2）＝eq\f(4,12），P（A3）＝eq\f(2,12)，P（A4)＝eq\f（1,12）.根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件和概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2）＝P(A1)＋P（A2)＝eq\f(5,12）＋eq\f(4,12）＝eq\f(3，4）。(2）取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P（A1＋A2＋A3）＝P（A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f（11，12）.解法三：(利用對(duì)立事件概率公式求解）(1）由方法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1＋A2的對(duì)立事件為A3＋A4.所以求取出1紅球或黑球的概率為P(A1＋A2）＝1－P(A3＋A4）＝1－P（A3）－P(A4）＝1－eq\f（2，12）－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4）.(2)A1＋A2＋A3的對(duì)立事件為A4，所以P（A1＋A2＋A3）＝1－P（A4）＝1－eq\f(1，12）＝eq\f(11,12).類題通法1解決此類問題,首先應(yīng)結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出是不是互斥事件和對(duì)立事件，再?zèng)Q定使用哪個(gè)公式，不要由于亂套公式而導(dǎo)致出錯(cuò).2要注意分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.eq\a\vs4\al（[變式訓(xùn)練3］)在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績(jī)?cè)?0分以上的概率是0.18，在80～89分之間的概率是0.51，在70~79分之間的概率為0。15，在60~69分之間的概率是0.09。計(jì)算小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績(jī)的概率和小明考試不及格(低于60分)的概率．解分別設(shè)小明的考試成績(jī)?cè)?0分以上、在80～89分之間、在70～79分之間、在60～69分之間依次為事件B，C，D,E，這四個(gè)事件是彼此互斥的．根據(jù)加法公式，小明的考試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為：P（B＋C）＝P(B）＋P（C）＝0.18＋0.51＝0。69.小明考試及格的概率即成績(jī)?cè)?0分以上的概率為P(B＋C＋D＋E)＝P（B)＋P(C）＋P（D）＋P（E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0。09＝0。93。而小明考試不及格與小明考試及格（成績(jī)60分以上)為對(duì)立事件,所以小明考試不及格的概率為1－P(B＋C＋D＋E)＝1－0。93＝0.07。[例］從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事件A＝｛抽到一等品｝，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝｛抽到三等品｝，且已知P（A)＝0.65,P(B)＝0。2，P（C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為(）A．0。35 B．0。3C．0.7 D．0.65(一)精妙思路點(diǎn)撥（二）分層規(guī)范細(xì)解選A.事件eq\a\vs4\al（“抽到的不是一等品")①的對(duì)立事件“抽到的是一等品"，所以P＝eq\a\vs4\al(1－PA)②＝1－0。65＝0.35。(三）來自一線的報(bào)告通過閱卷后分析，對(duì)解答本題的常見錯(cuò)誤及解題啟示總結(jié)如下：（注：此處的①②見分層規(guī)范細(xì)解過程）常見錯(cuò)誤選B選B的原因是沒有讀懂題意，想當(dāng)然的認(rèn)為①處等價(jià)于抽到的是二等品或三等品,所以所求的概率是二者的概率和．事實(shí)上,根據(jù)所給的概率之和并不等于1，可以知道這箱產(chǎn)品中除了一、二、三等品外,還有其他等級(jí)的產(chǎn)品，故事件A的對(duì)立事件并不是B＋C。選D選D的原因是沒有認(rèn)真審題，把②處求事件“抽到的不是一等品”的概率誤認(rèn)為求事件A的概率.解題啟示解答有關(guān)互斥事件的概率的題目，要認(rèn)真讀題,仔細(xì)審題，理清各事件間的相互關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用互斥事件的概率加法公式和對(duì)立事件的概率公式.（四)類題練筆掌握有5件產(chǎn)品，其中有3件一級(jí)品和2件二級(jí)品．從中任取兩件，則以0。7為概率的是()A．至多有1件一級(jí)品 B．恰有1件一級(jí)品C．至少有1件一級(jí)品 D．都不是一級(jí)品答案A解析設(shè)事件A為“取到2件一級(jí)品”，事件B為“取到2件二級(jí)品”,事件C為“取到1件一級(jí)品和1件二級(jí)品"，則P（A）＝eq\f（3，10）＝0.3，P（B）＝eq\f(1,10）＝0。1，P(C）＝1－P（A)－P(B）＝0。6。而1－P(A)＝1－0.3＝0。7＝P（B)＋P(C)，所以以0。7為概率的是事件“至多有1件一級(jí)品”．1．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是(）A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球"B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”答案