小學(xué)數(shù)學(xué)錯(cuò)題分析及應(yīng)用研究內(nèi)容摘要：文章對(duì)小學(xué)一至六年級(jí)中的68個(gè)策略性知識(shí)典型錯(cuò)題的錯(cuò)因進(jìn)行分析，其因有受身心發(fā)展制約，未發(fā)現(xiàn)新舊情境中的細(xì)微差別導(dǎo)致毛??；由于認(rèn)知構(gòu)造的缺陷，導(dǎo)致解題策略的毛病推廣；學(xué)生對(duì)解讀問題中的一些特殊要求存在困難，導(dǎo)致解題策略毛??；概念圖式不夠豐富，導(dǎo)致解決應(yīng)用策略的毛病。通過理論提出三個(gè)干涉策略：提早干涉策略；經(jīng)過性干涉策略；毛病發(fā)生后的干涉策略。本文關(guān)鍵詞語：小學(xué)數(shù)學(xué)；策略性知識(shí)；典型錯(cuò)題；錯(cuò)因分析；干涉策略怎樣合理、系統(tǒng)地利用“毛病資源〞，到達(dá)輕負(fù)高質(zhì)的效果？這需要進(jìn)一步深切進(jìn)入研究。筆者采集了小學(xué)數(shù)學(xué)一至六年共298個(gè)典型錯(cuò)題。按錯(cuò)題的知識(shí)屬性分為陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)和策略性知識(shí)三類。其中屬于策略性知識(shí)典型錯(cuò)題有68個(gè)。本文對(duì)68個(gè)錯(cuò)題的錯(cuò)因進(jìn)行專項(xiàng)分析，在理論的基礎(chǔ)上提出了三個(gè)有效的干涉策略。一、策略性知識(shí)典型錯(cuò)題的原因分析“典型錯(cuò)題〞，指學(xué)生解數(shù)學(xué)題時(shí)，在口答、書面等練習(xí)中呈現(xiàn)出的毛病率較高〔全班的毛病率≥15%〕的數(shù)學(xué)題，假如錯(cuò)題的知識(shí)屬性是屬于策略性知識(shí)，筆者把這樣的錯(cuò)題定義為策略性典型錯(cuò)題?！惨弧呈苌硇陌l(fā)展制約，未發(fā)現(xiàn)新舊情境中的構(gòu)造性中細(xì)微差別導(dǎo)致毛病[案例一]我的前面有9人，后面有5人，一共有多少人？學(xué)生的毛病解答為9+15=14，毛病率為57.7%。師：你以為這樣做對(duì)嗎？生：對(duì)的呀。師：前面9人包含他嗎？后面呢？生：不包含。師：那說明9+5=14人是錯(cuò)的。錯(cuò)在哪里呢？生：沒有加進(jìn)自己。從訪談中看，對(duì)于9+5=14這種解題策略，學(xué)生還是堅(jiān)持自己是正確的。說明學(xué)生把握了求已經(jīng)知道部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)這個(gè)陳述性知識(shí)，毛病原因在于題中有3個(gè)部分?jǐn)?shù)，而“我〞這個(gè)部分?jǐn)?shù)比其他兩個(gè)部分?jǐn)?shù)更具有“隱性〞因素，學(xué)生沒有能發(fā)現(xiàn)“新〞的變化?！捕秤捎谡J(rèn)知構(gòu)造的缺陷，導(dǎo)致解題策略的毛病推廣[案例二]A盒中有25個(gè)玻璃球，B盒中的玻璃球個(gè)數(shù)比A多15個(gè)，B盒中的玻璃球個(gè)數(shù)比C盒多18個(gè)，B盒中有多少個(gè)？C合中有多少個(gè)？學(xué)生的錯(cuò)解出如今求C盒：40+18=58〔個(gè)〕，毛病率為34.3%。生：B盒中的玻璃球個(gè)數(shù)比A多?！仓钢场岸啜晭煟耗闶强吹搅恕岸啜暎拖氲搅思臃?，教師是這樣教你們的嗎？生：〔笑笑〕不是，教師說什么大數(shù)，小數(shù)的。師：那你為什么不消教師那個(gè)方法呢？生：太麻煩了，這個(gè)容易。別人說過，后來我也想到了。分析一個(gè)量比另一個(gè)量多〔少〕，需要分析出大數(shù)、小數(shù)、相差數(shù)，然后找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，即大數(shù)=小數(shù)+相差數(shù)，小數(shù)=大數(shù)一相差數(shù)，相差數(shù)=大數(shù)一小數(shù)?！踩硨W(xué)生對(duì)認(rèn)識(shí)題中的一些特殊要求存在困難，導(dǎo)致解題策略的毛病[案例三]從一張長36厘米，寬20厘米的長方形紙上剪下一個(gè)最大的正方形，求剩下部分圖形的周長是多少？學(xué)生錯(cuò)解為〔36+20〕×2=112cm，20×4=80cm.112-80=32cm，毛病率為34%。生：我先算長方形周長，再算正方形周長，最后把兩個(gè)相減。師：你是怎么想到可減的？生：剩下的是周長啊?！扒笫Ｏ碌牧浚脺p法。〞這是學(xué)生已屢次應(yīng)用且正確的觀念。由于周長計(jì)算的具有其特殊性，即“有限圖形周長的不可加〔減〕性。〞對(duì)于這個(gè)知識(shí)的認(rèn)識(shí)完全顛覆了學(xué)生對(duì)求“剩下量〞的認(rèn)識(shí)?！菜摹秤捎诟拍顖D式不夠豐富，缺乏聯(lián)絡(luò)，導(dǎo)致解決應(yīng)用策略的毛病[案例四]如此圖1，根據(jù)圖形，畫出間隔是8厘米的高。毛病率達(dá)84%。生：題目里只說畫8厘米的高，沒有說要畫在哪條底上，我就按自己的習(xí)慣畫了這條。師：畫好后，你想過這條高可能是8厘米嗎？生：〔低頭想，好一會(huì)兒〕，不對(duì)，應(yīng)該是斜邊長一點(diǎn)。師：你當(dāng)時(shí)怎么沒想到呢？生：這個(gè)〔指了指左邊的三角形〕，我畫出來后就再也沒想。從學(xué)生的訪談中看，解決此題的3個(gè)知識(shí)點(diǎn)，即直角三角形的斜邊大于任何一條直角邊、畫高的技能、平行四邊形有兩類高等，學(xué)生對(duì)此都明白的，技能也是把握的。二、策略性知識(shí)典型錯(cuò)題在教學(xué)中的應(yīng)用策略〔一〕鋪墊性策略鋪墊性策略，即有些毛病是學(xué)生在新知識(shí)學(xué)習(xí)前，由于原有的知識(shí)構(gòu)造“缺陷〞、技能缺失等因素引起考慮的毛病，就要采取提早鋪墊，為學(xué)生奠定“正確想〞的知識(shí)技能基礎(chǔ)。1.加強(qiáng)陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)的教學(xué)，夯實(shí)“正確想〞的知識(shí)基礎(chǔ)在策略性知識(shí)的了解階段，陳述性知識(shí)顯得尤為主要。在轉(zhuǎn)化階段，程序性知識(shí)又起到了主要的作用。要重視在操作程序中“夯實(shí)〞陳述性知識(shí)概念。如案例二，是由于學(xué)生原有認(rèn)知里，知識(shí)構(gòu)造出現(xiàn)了毛病，即看到“多〞就用“加〞，看到“少〞就用“減〞。所以我們應(yīng)該在新知教學(xué)前做好鋪墊。首先建立正確的概念。題中的“多、少〞與“加、減〞運(yùn)算沒有直接的邏輯推理關(guān)系。其次建立正確其程序。第一步，知道〔〕與〔〕比；第二步，比的結(jié)果〔〕多、〔〕少；第三步，求〔〕；第四步，確定解決方法。2.加強(qiáng)“數(shù)學(xué)表示〞直觀能力培養(yǎng)，奠定“怎么想〞的技術(shù)基礎(chǔ)小學(xué)生正處于由形象詳細(xì)思維向抽象邏輯思維的過渡階段，在問題解決中思維需要直觀的“數(shù)學(xué)表示〞來支撐考慮。這種能力要從低年級(jí)開始培養(yǎng)。詳細(xì)有三個(gè)方面：首先培養(yǎng)圖示與文字的轉(zhuǎn)化能力；其次，培養(yǎng)“符號(hào)〞表示的能力；最后看重圖示與條件間匹配的能力?！捕场敖?jīng)過性〞干涉策略經(jīng)過性干涉策略，即在新知識(shí)學(xué)習(xí)的發(fā)生、發(fā)展的經(jīng)過中，正對(duì)新知識(shí)的特點(diǎn)，找到學(xué)生的思維可能出現(xiàn)障礙、阻隔的地方，引入相應(yīng)的干涉策略，突破難點(diǎn)，使學(xué)生頭腦中構(gòu)建起“怎么想〞的正確思路和方法。1.用題組比照顯示新舊知識(shí)概念差別，減少出錯(cuò)率新舊知識(shí)在概念表述、題型構(gòu)造、考慮方法等具有某種類似性，這種類似性掩蓋了其差別，而概念差別可能是學(xué)生思維出現(xiàn)阻隔、障礙的“節(jié)點(diǎn)〞。在教學(xué)中破解新舊知識(shí)的差別是干涉的重點(diǎn)，其最常用策略是題組比照。如案例三，學(xué)生遭到原有知識(shí)經(jīng)歷體驗(yàn)的負(fù)遷移，能夠提供如下題組。①甲比乙多5元，②甲比乙多4/5元，③甲比乙多4/5通過比照，凸顯題①和題②都表示詳細(xì)量。通過題②和題③的比照，重點(diǎn)突出③中4/5是“率〞。2.在解決多個(gè)概念融合的綜合題時(shí)需清楚明晰概念，建立解決程序一些策略性典型性錯(cuò)題干涉后仍有較高的毛病率，如案例五。它在沒有干涉教學(xué)之前的毛病率為53.4%，在實(shí)行干涉策略后，大樣本數(shù)據(jù)測查的毛病還有33.3%，這就需要幫助學(xué)生清楚明晰概念，建立關(guān)鍵程序。一個(gè)數(shù)省略萬后面的尾數(shù)是8萬，這個(gè)數(shù)最大是〔〕，最小是〔〕。要解決這個(gè)題目要捉住3個(gè)關(guān)鍵。〔1〕近似數(shù)是一個(gè)區(qū)間。用數(shù)軸的直觀形式理解“區(qū)間〞?！?〕要清楚明晰“最大〞和“最小〞兩個(gè)含義?！?〕要明確清楚明晰可詳細(xì)操作的程序。要配直觀圖示〔如此圖2〕。首先，要判清楚“舍〞與“進(jìn)〞的數(shù)位；其次，根據(jù)四舍五人中最大與最小的要排列出數(shù)字；最后，根據(jù)題目要求找到最大和最小的數(shù)。〔三〕毛病產(chǎn)生后的糾錯(cuò)策略1.發(fā)現(xiàn)錯(cuò)因策略策略性典型性錯(cuò)題的錯(cuò)因與陳述性、程序性知識(shí)屬性錯(cuò)題的錯(cuò)因相比，相對(duì)而言更為復(fù)雜，更為隱性。毛病要關(guān)注兩點(diǎn)：第一，“他〔我〕原來是怎么想的？〞第二，“他〔我〕錯(cuò)在哪兒？〞〔1〕通過“說〞“寫〞等方式，認(rèn)識(shí)“他〔我〕原來是怎么想的〞當(dāng)毛病出現(xiàn)后應(yīng)尋找它的源頭，即考慮的經(jīng)過。考慮經(jīng)過具有隱性化。把它顯性化的策略說和寫。讓學(xué)生通過“聲音〞表達(dá)自己的想，高年級(jí)的學(xué)生可以通過“寫〞〔考慮思路、考慮根據(jù)〕的方式表達(dá)自己是怎么想的。〔2〕通過正確與毛病的方法比照，認(rèn)識(shí)“他〔我〕錯(cuò)在哪兒〞毛病思維方式往往帶有一定的隱蔽性和頑固性。僅靠老師的正面示范，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到錯(cuò)，改變?cè)瓉淼乃季S方法，效率會(huì)比較低。2.矯正毛病策略矯正毛病更主要的是矯正毛病的考慮方式和考慮方法。它僅僅靠訂正一個(gè)毛病的題目難以實(shí)現(xiàn)，需要在多種變式練習(xí)中完成。提供非概念變式練習(xí)題，凸顯出變中不變，及時(shí)穩(wěn)固正確的想法；還能夠提供概念變式練習(xí)題，在這些變式題中的練習(xí)中，凸顯出變與不變的應(yīng)對(duì)方式，以到達(dá)融會(huì)貫穿?！?〕提供非概念變式題，及時(shí)穩(wěn)固提供一樣類型的習(xí)題，讓學(xué)生在解決這些習(xí)題中不斷強(qiáng)化正確的考慮方式，以此弱化原有的