學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)28數(shù)乘向量知識(shí)點(diǎn)一數(shù)乘向量的概念1。已知λ∈R，則下列結(jié)論正確的是(）A．｜λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|·aC．|λa|＝｜λ｜·|a| D．|λa｜>0答案C解析當(dāng)λ<0時(shí)，|λa｜＝λ｜a｜不成立，A錯(cuò)誤；｜λa｜是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，而｜λ｜a是一個(gè)向量，B錯(cuò)誤；當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，｜λa｜＝0，D錯(cuò)誤．故選C。2．試判斷下列說(shuō)法的正誤，并說(shuō)明理由．(1)若λa＝0，則λ＝0；（2)若非零向量a,b滿足|a－b｜＝|a｜＋｜b｜，λμ>0，則λa與μb同向．解(1)錯(cuò)誤．λa＝0,則λ＝0或a＝0.（2)錯(cuò)誤．由｜a－b｜＝｜a｜＋|b｜知a與b反向．由λμ〉0知λ與μ同號(hào)，所以λa與μb反向．知識(shí)點(diǎn)二數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律3?；?jiǎn)下列各式：（1）eq\f(1,3）×6a；(2）(－3)×eq\f(1,4）×8a；(3)7×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,3）））a。解（1)eq\f（1,3）×6a＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，3）×6))a＝2a.（2)（－3)×eq\f(1，4）×8a＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)））×8a＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（3，4)×8)）a＝－6a。（3)7×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，3）))a＝eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（7×\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1，3））)））a＝－eq\f（7，3)a。4．把下列向量a表示為數(shù)乘向量b的形式：（1）a＝3e,b＝－6e；（2)a＝8e,b＝16e；(3）a＝eq\f(2,3)e，b＝－eq\f(1，3）e；（4）a＝eq\f(3,4）e，b＝－eq\f（2,3）e。解（1)a＝3e＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)））×(－6)e，故a＝－eq\f(1，2）b。（2）a＝8e＝eq\f（1,2）×16e，故a＝eq\f(1，2)b.（3）a＝eq\f（2,3)e＝（－2)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，3）))e,故a＝－2b.（4)a＝eq\f(3，4）e＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(9，8）))×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（2,3)））e，故a＝－eq\f(9，8）b。知識(shí)點(diǎn)三數(shù)乘向量的應(yīng)用5。如果c是非零向量,且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的關(guān)系是()A．相等 B．共線C．不共線 D．不能確定答案B解析∵a＝－2c，3b＝c且c為非零向量,∴a＝－6b，∴a與b共線且方向相反．6．已知eq\o（AB，\s\up6（→)）＝－2e，eq\o(AC,\s\up6(→)）＝3e，判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，如果共線,求出AB∶AC.解由eq\o(AB,\s\up6(→)）＝－2e,得e＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6（→）），由eq\o（AC,\s\up6（→)）＝3e，得e＝eq\f(1，3)eq\o（AC，\s\up6（→）)，故－eq\f(1，2)eq\o(AB，\s\up6（→))＝eq\f（1，3)eq\o(AC，\s\up6（→)),∴eq\o（AC,\s\up6(→））＝－eq\f(3,2）eq\o(AB,\s\up6（→））.即eq\o(AB，\s\up6（→)）與eq\o(AC，\s\up6（→）)平行,又AB與AC有公共點(diǎn)A，∴A，B,C三點(diǎn)共線，又｜eq\o（AC，\s\up6(→)）｜＝eq\f(3,2)｜eq\o(AB,\s\up6（→））｜，∴AB∶AC＝2∶3。一、選擇題1．下列說(shuō)法中，正確的是()A．0a＝0B．λμ＜0，a≠0時(shí),λa與μa的方向一定相反C．若b＝λa（a≠0),則eq\f（b，a)＝λD．若｜b｜＝｜λa｜（a≠0），則eq\f（|b|,|a|）＝λ答案B解析A錯(cuò)誤，0a應(yīng)該等于0；B正確，當(dāng)λμ<0時(shí)，λ,μ異號(hào)，又a≠0，則λa與μa方向一定相反；C錯(cuò)誤，向量沒(méi)有除法；D錯(cuò)誤，eq\f(|b|，|a|)應(yīng)等于|λ｜。故選B.2．3×8×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1,4）))a＝(）A．－2aB．8aC．－6aD．4a答案C解析3×8×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1，4）))a＝24×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，4)）)a＝－6a，故選C.3．已知a＝－eq\f（3，4)e,b＝eq\f（2,3)e，設(shè)b＝λa（λ∈R)，則λ等于（)A．－eq\f(1,2）B．－eq\f(9，8）C．－eq\f(8,9）D．－2答案C解析由a＝－eq\f(3,4）e，得e＝－eq\f(4,3）a，故b＝eq\f(2，3)e＝eq\f（2，3）×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（4，3）））a＝－eq\f（8，9)a，所以λ＝－eq\f(8，9）。故選C.4．已知向量a與b反向，且｜a|＝r，|b｜＝R，b＝λa，則λ的值等于()A.eq\f（r，R)B．－eq\f(r,R）C．－eq\f(R，r）D。eq\f（R，r)答案C解析∵b＝λa，∴|b｜＝|λ|｜a|。又a與b反向，∴λ＝－eq\f（R，r）.5．若eq\o（AB，\s\up6(→))＝3e1,eq\o（CD，\s\up6(→)）＝－5e1，且｜eq\o(AD，\s\up6（→））｜＝|eq\o（BC，\s\up6（→))|，則四邊形ABCD是（)A．平行四邊形 B．菱形C．等腰梯形 D．不等腰的梯形答案C解析∵eq\o（AB，\s\up6（→）)＝3e1,eq\o(CD，\s\up6（→）)＝－5e1,∴eq\o(CD，\s\up6（→）)＝－eq\f（5，3）eq\o（AB，\s\up6(→）)，∴eq\o（AB,\s\up6（→))與eq\o（CD，\s\up6(→）)平行，且|eq\o（CD,\s\up6（→）)|＝eq\f(5，3)|eq\o（AB，\s\up6（→))｜，又｜eq\o（AD,\s\up6(→)）|＝｜eq\o（BC,\s\up6（→))|,故四邊形ABCD是等腰梯形．故選C.二、填空題6．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．①任意兩個(gè)單位向量都相等；②與a同向的單位向量是eq\f（a,｜a|）；③2020cm長(zhǎng)的有向線段不可能表示單位向量；④所有單位向量的始點(diǎn)移到同一點(diǎn),則它們的終點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)半徑為1的圓．答案1解析①錯(cuò)誤,任意兩個(gè)單位向量的長(zhǎng)度相等,但方向不一定相同；②錯(cuò)誤，若a＝0，則沒(méi)有相應(yīng)的單位向量；③錯(cuò)誤，一個(gè)單位長(zhǎng)度取2020cm時(shí)，2020cm長(zhǎng)的有向線段恰好表示單位向量；④顯然正確．7．若eq\o（AP,\s\up6（→))＝eq\f(1,3）eq\o（AB，\s\up6（→)），eq\o（AB，\s\up6(→））＝λeq\o（BP，\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______．答案－eq\f（3,2）解析eq\o(AP,\s\up6(→)）＝eq\f(1,3)eq\o（AB,\s\up6(→)），如圖．結(jié)合圖形可知eq\o(AB,\s\up6(→）)＝－eq\f（3,2）eq\o（BP,\s\up6(→））.故λ＝－eq\f(3，2）.8．已知點(diǎn)C在線段AB上,且eq\f(AC,CB）＝eq\f（1,2），則eq\o(AC,\s\up6(→）)＝____eq\o(AB，\s\up6(→)）。答案eq\f（1，3）解析如圖，因?yàn)閑q\f（AC，CB）＝eq\f（1,2)，且點(diǎn)C在線段AB上,則eq\o(AC,\s\up6(→)）與eq\o（CB，\s\up6（→）)同向，且|eq\o(AC,\s\up6（→））｜＝eq\f（1，2)|eq\o（CB，\s\up6(→）)|，故eq\o（AC，\s\up6（→))＝eq\f（1，3)eq\o（AB，\s\up6(→））。9．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且eq\o(CP,\s\up6(→））＝2eq\o(PA，\s\up6(→）)，則△PAB與△PBC的面積之比是________．答案1∶2解析畫(huà)出圖形如圖所示．∵eq\o(CP,\s\up6(→)）＝2eq\o（PA,\s\up6（→)）,∴P為邊AC上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)．又△PAB與△PBC的底邊長(zhǎng)之比為｜eq\o(PA,\s\up6（→））|∶|eq\o(CP,\s\up6(→)）|＝1∶2，且高相等，∴△PAB與△PBC的面積之比為1∶2.三、解答題10．如圖，已知非零向量a,求作向量2a,eq\f(1，2)a，－3a,－eq\f（1,3)a。解將向量a依次同向伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，同向縮短為原來(lái)的eq\f(1,2)，反向伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍,反向縮短為原來(lái)的eq\f（1，3），就分別得到向量2a,eq\f（1，2)a，－3a,－eq\f(1，3）a，如圖所示．11．如圖所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD,且AB＝3CD,若eq\o（AB，\s\up6(→）)＝a，eq\o(AD，\s\up6(→）)＝b，試用a，b表示