《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》復(fù)習(xí)大綱第一章隨機(jī)事件與概率隨機(jī)試驗E 指試驗可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行，試驗的結(jié)果具有多種可能性（每次試驗有且僅有一個結(jié)果出現(xiàn)，且基 事先知道試驗可能出現(xiàn)的一切結(jié)果，但不能預(yù)知每次試驗的確切結(jié)果本 樣本點 隨機(jī)試驗E的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果概 樣本空間 隨機(jī)試驗E的樣本點的全體念 隨機(jī)事件 由樣本空間中的若干個樣本點組成的集合，即隨機(jī)事件是樣本空間的一個子集。必然事件---每次試驗中必定發(fā)生的事件。 不可能事件--每次試驗中一定不發(fā)生的事件。事 包含AB件 相等A=B之 對立事件，也稱A的逆事件間 互斥事件也稱不相容事的 A，B相互獨立P(AB)=P(A)P(B)關(guān)系事 事件的交AB或A∩B件事件的并A∪B之事件的差A(yù)-B 注意：A-B=間AB=A-AB=(A∪B)-B的運(yùn)

例1事件A，B互為對立事件等價于（D ）、A，B互不相容B、A，B相互獨立C、A∪B＝ΩD、A，B構(gòu)成對樣本空間的一個剖分2P(A)=0，B為任一事件，則（C）、A= B、AB C、A與B相互獨立D、A與B互不相容例1設(shè)事件A、B滿足Aˉ =，由此推導(dǎo)不出(D)、AB B、ˉ ˉ C、A∪B=B D、A∩B=B例2若事件B與A滿足B–則一定有 (B)、A= 、AB C、Aˉ D、B=ˉ1 2 n 1 2 n A,A,…,A1 2 算

構(gòu)成的一個完備事件組(或分斥)A,A,…,A=A交換律A∪B=B∪A A∩B=B∩A運(yùn)結(jié)合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)算分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)法對偶律A∪B=A∩B A∩B=A∪B則文氏圖記號概率論記號概率論集合論樣本空間，必然事件全集不可能事件空集基本事件元素A事件全集中的一個子集AA的對立事件A的補(bǔ)集AB事件A發(fā)生導(dǎo)致事件B發(fā)生A是B的子集A=B事件A與事件B相等A與B相等A∪B事件A與事件B至少有一個發(fā)生A與B的并集AB事件A與事件B同時發(fā)生A與B的交集A-B事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生A與B的差集AB=事件A與事件B互不相容（互斥）AB沒有相同的元素古典概型的前提是={,, 例1設(shè)3個球任意投到四個杯中去，問杯中球的個數(shù)最多為1個的事件A，最多1 2 1,…,,},n為有限正整數(shù)，

為2個的事件A的概率。23 n且每個樣本點出現(xiàn)的可能性i相等。

[解]：每個球有4種放入法，3個球共有43種放入法，所以||=43=64。(1)當(dāng)杯中球的個數(shù)最多為1個時，相當(dāng)于四個杯中取3個杯子，每個杯子恰有一個古 球，所以|A|=C33！=24；則

)=24/64=3/8. (2)2個1 4 1

12 11典 時相當(dāng)于四個杯中有1個杯子恰有2個球(43)另有一個杯子恰有1個球(3C1)，A包含樣本總個數(shù)|A|

1211所以|A|=C4C3C3C1=36

)=36/64=9/16 概 P(A)=

樣本點總數(shù)

=|| 2 221,2,…,9，這九個數(shù)中任取三個數(shù)，求：(1)10型

；(2)三121

。211 24 1 C3C5+C3 3[解= = , p= = 1 3 21 2 3 14C9 C9前提是如果在某一區(qū)域意兩個度量相等的子區(qū)域的可能性是一樣的。幾若A，

例1把長度為a的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成一個三角形的概率。[]x,y和a-x-yA：”三段構(gòu)成三角形G應(yīng)滿足兩邊之和大于第三邊的原則，得到聯(lián)立方程組，a-x-y<x+y何 x<a-x-y+y解得0<x<

a,0<y<

a, <x+y<a。即概 則

A的度量的度量

y<a-x-y+x

2 2 2a a a型 G={(x,y)|0<x< ,0<y< , <x+y<a2 2 2由圖中計算面積之比，可得到相應(yīng)的幾何概率 。古典概型基本性質(zhì)

(1)AP(A)0;(2)規(guī)范性:P()=1P()=0;(3)A,A

有P(A∪A∪…∪A)=P(A)+P(A)+…+P(A)1 2 n 1 2 n 1 2 n概率的公理化定義

要求函數(shù)P(A)滿足以下公理：(1)非負(fù)性，有P(A)0;(2)規(guī)范性:P()=1;(3)A,A

有P(A∪A∪…∪A)=P(A)+P(A)+…+P(A)1 2 n 1 2概 求逆公式P(A)=1-P(A)加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)率

n 1 2 nP(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)公求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 當(dāng)AB時，有P(A-B)=P(A)-P(B)式注意：A-B = AB= A-AB = (A∪B)-BP(AB)條件概率公式：P(A|B)=P(B)

;(P(B)>0)P(A|B)表示事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) (其中P(A)>0,P(B)>0)概一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)率公 n全概率公式：P(B)=P(B|A)P(A) 其中A,A,…,A構(gòu)成的一個分斥。式 i ii=1

1 2 nP(B|A)P(A) P(B|A)P(A)貝葉斯公式：P(A|B)=k

k k = k kP(B) nP(B|A)P(A)i ii=11A,BC，P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知P(A∪B∪C)=9/16，則P(A)= 。[解]:P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC),令P(A)=x, 則3x–3x2=9/16 16x2-16x+3=0 x=1/4或3/4(舍去) 則P(A)=1/4 22048710.9、0.7、0.50.2，求任選一名選手能進(jìn)入正式比賽的概率。[解]:設(shè)A=選中第k級選手,k=1,2,3,4，B=進(jìn)入正式比賽。由已知P(Ak

)=1/5,P(A1

)=2/5,2

)=7/20,P(A3

)=1/20;4應(yīng) P(B|A)=0.9, P(B|A)=0.7, P(B|A)=0.5, P(B|A)=0.2. P(B)=P(A)P(B|A)+ P(A)P(B|A)+ P(A)P(B|A)+1 2 3 4 1 1 2 2 3 3用 P(A)P(B|A)=1/50.9+2/50.7+7/200.5+1/200.2=0.645 4 4題3某物品成箱出售，每箱20件，假設(shè)各箱中含010.80.2（）顧客買下該箱的概率；（2）顧客買下該箱物品，問該箱確無次品的概率。[解]:設(shè)事件A—箱中0件次品,A—箱中1件次品，事件B—買下該箱。由已知P(A)=0.8,P(A)=0.2,0 1 0 1P(B|A)=1,P(B|A)=19/2018/1917/18=17/20,0 1(1)=P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.81+0.27/20=0.97;0 0 1 1(2)=P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)P(B|A)/P(B)=0.8/0.97=0.8247 0 0 0 0事 如果事件A與事件B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立件 結(jié)論：1.如果P(A)>0，則事件A與B獨立P(B|A)=P(B)的 2.事件A與事件B獨立事件A與事件B獨立獨 事件A與事件B獨立事件A與事件B獨立立 事件A,A,…,A1 2

相互獨立---指任意k個事件A,A,…,Ai1 i2 ik

∩A∩…∩A)i1 i2 ik性 =P(A)P(A)…P(A)，其中k=2,3,…,n。i1 i2 ik可 元件的可靠性P(A)=r靠 系統(tǒng)的可靠性：串聯(lián)方式P(A∩A∩…∩A)=rn1 2 n性 并聯(lián)方式P(A∪A∪…∪A)=1-(1-r)n,1 2 n貝 指在相同條件下進(jìn)行n次試驗；每次試驗的結(jié)果有且僅有兩種A與A；各次試驗是相互獨立；每次試驗的結(jié)果發(fā)努 的概率相同P(A)=p,P(A)=1-p。里 二項概率---在n重獨立試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為b(k;n,p)，概k型 b(k;n,p)=Cnpk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,…,n)。第二章隨機(jī)變量與概率分布分布函數(shù)定義：F(x)=P{≤x},-<x<+分布函數(shù)(x)實質(zhì)上表示隨機(jī)事件P{發(fā)生的概率。

0 x<0例1.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F(x)=sinx 0x</21 x/2=( ) (CP{≤/4}=F(/4)=sin/4)、0 B、1/2 C、2/2 D、

, P{(1)0≤F(x)≤1;

2.F(x)F，為使F(x)=aF

(x)-1 2 1 2 1隨-機(jī) (2)x-變lim

bF是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取( )2、a=3/5,b=-2/5 B、a=3/5,b=2/5C、a=3/5,b=-3/5 D、a=2/5,b=2/5量

F(x)=1

(AF(+∞)=1=

(+∞)-bF(+∞)=a-b)1 2的 (3)單調(diào)非減當(dāng)x<x時)≤F(x)

例3.連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx, -∞<x<∞1 2 1分

2求：(1)常數(shù)A,B；(2)落入（-1，1）的概率。布 (4)右連續(xù)xlim+F(x)=F(x)x 0

[解]：因為F(+∞)=1,F(-∞)=0，所以A+B/2=1，A-B/2=0，函 一些概率可用分布函數(shù)來表示 1 1數(shù) P{a<≤b}=F(b)-F(a),

解得A=1/2,B=1/F(x)

2+

arctanx.P{=a}=F(a)-F(a-0), P{<a}=F(a-0), 落入（-1，1）P{-1<<1}=F(1)-F(-1)P{>a}=1-F(a),P{≥a}=1-F(a-0),

1 1 1 1 1 1 1=2+arctan1–(2+arctan(-1))=4+4=2 [義：隨機(jī)變量只能取有限個或可數(shù)個孤的值離散型隨機(jī)變量的概率分布簡稱為分布列：X x x1 2

x ….. x3 n

其中每一個p≥0

=1概率 p1

p p ….. p….2 3 n

i ii=1離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是非降的階梯函數(shù)。離散型隨機(jī)變量常見分布：1)兩點分布X~(0,1)；X的取值只有0或1，其概率為P{X=0}=p, P{X=1}=1-p離散 2)二項分布X~B(n,p)；分布律為

kk (k=0,1,2,3,…,n) 其中0<p<1b(k;n,p)=P{X=k}=Cnp(1-p)型隨 k3)X~P()機(jī)

k!e-

(k=0,1,2,3,…)。4)幾何分布：X~Ge(p)；分布列為P{X=k}=(k=0,1,2,3,…)。變在伯努利試驗序列中，記每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，如果X為事件A首次出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，則X的量可能取值為1,2,…,稱X服從幾何分布。k n-kCMCN-MC5)超幾何分布：X~h(n,N,M)；分布列為P{X=k}= nCN

(k=0,1,2,3,…,r,其中r=min{M,n})。設(shè)有N個產(chǎn)品，其中有M個不合格品，若從中不放回地隨機(jī)抽取n個，則其中含有的不合格品個數(shù)X服從超幾何分布。例1P{=k}=Ck=1,2,2k常數(shù)C= ( )離、1/4 B、1/2 C、1 D、2散型 ∞

[解]：的分布列為 1 2 3 4 5概率p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001例3設(shè)離散型隨機(jī)變量的 0 1 2概率分布為 p 0.3 0.5 0.2(因為P{=k}=1,即

c/2

=1,所以c=1)

其分布函數(shù)為則F(3)= ( )例k=1題

1-1/2

、0 B、0.3 C、0.8 D、1250.9命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用僅。求耗用子的分布列。

(選D，因為F(3)=p(0)+p(1)+p(2)=1)-隨機(jī)變量可能取的值連續(xù)地充滿一個范圍如果對于隨機(jī)F(x)，存在非負(fù)可積函數(shù)p(x)x

連續(xù)型型隨機(jī)變量的性質(zhì)：分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；2F(x)=p(x);實數(shù)有 F(x)=

p(u)du∞

3 P{=a}=0, 所以P{a<b}= P{ab}=p(x)為的概率密度函數(shù).密度函數(shù)必須滿足條件：

P{a<b}=P{a<

bap(x)dx(1)p(x)0, -∞<x<+∞+∞

4 P{x<x+x}p(x)x-連 (2)-∞續(xù)

p(x)dx=F(+∞)=1常見連續(xù)型型隨機(jī)變量的分布：性 1

0 x<a隨 1)均勻分布密度函數(shù)p(x)=b-a

axb

x-a

axb機(jī) 0 其他變 {

b-a{1 x>b量 2)指數(shù)分布密度函數(shù)p(x)=

0 x<0 F(x)=

1-e-x 0 x<01(t-)21-3)正態(tài)分布~N(,2)；密度函數(shù)p(x)=

e(-∞<x<+∞)21x (t-)21-分布函數(shù)F(x)= edt 2-N(0,1)，它的分布函數(shù)F(x)=

x-)。正態(tài)分布的密度函數(shù)的曲線是鐘形對稱曲線，對稱軸為直線x=，y=0是它的水平漸近線。11X1P{X=EX2}=.[解]X1的泊松分布，所以EX2=DX+(EX)2=1+12=2，于是P{X=EX2}=P{X=2}=e–11連續(xù)型例題2例2設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時間X服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時間EX為5小時。設(shè)備定時開機(jī)，出現(xiàn)故障時自動關(guān)機(jī)而在無故障的情況下工作2小時便關(guān)機(jī)試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障的時間Y的分布函數(shù)F(y)[解]:因為EX=1/=5每次開機(jī)無故障的時間Y=min{X,2},易見當(dāng)y<0時，F(xiàn)(y)=0；當(dāng)y2時，F(xiàn)(y)=1；當(dāng)0y<2時，F(xiàn)(y)=P{Yy}=P{min{X,2}y}=P{Xy}=1-e-y/5。所以Y的分布函數(shù)F(y)=1-e-y/50若y<0若0y<2若y211．離散型的求法隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布[XX P1px2px…xk…p……],則X 的函數(shù)Y=g(X)的分布律為：[YPg(x)p11g(x)…g(x)…p … p…2k]12k,g(x有相同情況時，概率為相應(yīng)之和。2kj2．連續(xù)型的公式法：X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f，設(shè)[,]，且g(x)0，記x=h(y)Xy=g(xY=g(Xf(y)=fX(h(y))|h(y)|<y<Y 0其它3．連續(xù)型的直接變換法(分布函數(shù)法)：F(y)=P{Yy}=P{g(x)y}=P{XS}，其中S={x|g(x)y}，然后再把F(y)對y求導(dǎo)，即得f(y)YYYf(y)=Y dFY(y)/dy當(dāng)F(y)在y處可導(dǎo)時Y0當(dāng)F(y)在y處不可導(dǎo)時Y1X的分布律為：[XP-10.201 2]0.3 0.1Y=(X-1)2的分布律。[解]XY的值，得到Y(jié)[XY0.4-1 04 1102]1YXY的分布律4P 10.70]0.1。隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布的例題2X的分布函數(shù)為FY=3X+2F(y).XY[解]：F(y)=P{Yy}=P{3X+2y}=P{Xy-2}=FY3X(y-2)33Xf(x)=3X2-1<x<1,Y=3X+2f(y).0其它Yy-2 y-2[解]：用公式法：設(shè)y=g(x)=3x+2,的反函數(shù)為x=h(y)= ,-1< <1-1<y<5,33|h(y)|=13的密度函數(shù)為f(y)=Xf(h(y))|h(y)|<y<Y 0其它=2(3)3y-2211(y-2)23-1<y<5=180其它0-1<y<5 其它4X在區(qū)間[0,2]Y=X3的概率密度。[解]X~U[0,2]，所以f(x)=1/2X00x2y<0時,其它3F(y)=P{Yy}=P{X00<y<8時,YFP{XP{X y}=3y1Y02dx，f(y)=F(y)=YY1123(y)32-=13,y8時,FP{XP{X y}= dx(y)=F(y)=0.f(y)=321130<y<8Y02YYY6y26y20其它二維隨機(jī)變二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)向量F(x,y)=P{0F(x,y)1;F(-∞,+∞)=F(x,-∞)=F(-∞,y)=0;F(+∞,+∞)=1;P{xx,y<y}=F(x,y)-F(x,y)-F(x,y)+F(x,y)1 2 122 22 11 21 1二維隨機(jī)向量(,)的邊緣分布函數(shù)P{x}=F(x,+∞), F(y)=P{y}=F(+∞,y)二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布1設(shè)二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布律為二維離散隨機(jī)變量P{=x,=y}=p,其中 p=1且p0ij iji=1j=1可用一個分布列表或分布列矩陣(p)來表示ij=A、1/6（B、\12）121/61/41/3C、1/3D、1/2的邊緣分布列為P{=x}=p=pii*j=1[答案]： p=1ij所以=1/4,選B. i=1j=1的邊緣分布列為P{=y}=p =pjij i=1二維連續(xù)隨機(jī)變量x y二維連續(xù)型隨機(jī)向量的分布函數(shù)F(x,y)= -∞-∞p(u,v)dudv+∞+∞p(x,y)稱為隨機(jī)向量p(x,y)0, -∞-∞p(x,y)dxdy=1,xy=p(x,y)D二維連續(xù)型隨機(jī)向量(,)的邊緣分布,p(x)，p(y)稱為邊緣密度函數(shù)利用密度函數(shù)求概率P{(,)D}=p(x,y)dxdy+∞p(x)=-∞p(x,y)dy+∞p(y)=∞p(x,y)dx-Y=y下隨機(jī)變量X的條件概率分布為jP{X=x|Y=y}=P{X=x，Y=y}ijijP{Y=y}=pjp , i=1,2,…Y=yXFX|Y(x|y)fX|Y(x|y)分別為：FX|Y(x|y)=x-∞f(y)f(u,y)dufX|Yf(x,y)(x|y)=Yf(y)Y1：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,1)X=xY在區(qū)間上服從均勻分布，求：隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度；條件分布[解]：X的概率密度為f(x)={10<x<1X0其他，在X=x(0<x<1)的條件下，Y的條件概率密度為f (y|x)=Y|X{1/x 0<y<x0其他0<y<x<1XY的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=f(x)fX Y|X(y|x)=1/x在其它點(x,y)處，有f(x,y)XYf(x,y)={1/x 0<y<x<10 其他例2：設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立，X概率分布為P{X=i}=1/3 (i=-1,01)，f(y)=1Y00y1P{Z1/2|X=0}。其它1/2[解]：(1)|X=0}=P{X+Y|X=0}=P{Y}=01dy= .11112222二 二元正態(tài)分布N(,,2,2,)的密度函數(shù)1 2 1 2元 1 1 )2 )(y-) (y-)2p(x,y)=

exp{- [ 1 -

1 2

2]}正 2

1-2

2(1-2) 2 212

12 2態(tài) 二元正態(tài)分布N(,,2,2,)的邊緣密度分布仍是正態(tài)分布,2), ~N(,2)1 2 1 2分 1

(x-)2

1 1 2 21 (y-)2邊緣概率密度為f(x)=

e-21

, f(y)= e-2212布 X 2 2121

Y 2 22(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布設(shè)D是xOy面上的有界區(qū)域，其面積為A。如果二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度1 (x,y)Df(x,y)=A二 0 其他

，則稱(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布。元 例1:設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D｛(x,y)：≤≤b,≤y≤d｝上的均勻分布，求均 （1）(X,Y)的聯(lián)合概率密度p(x,y)；（2）X,Y的邊際概率密度勻 1

(x),pX

(y);分 [解]：(1)f(x,y)=(b-a)(d-c)

axbcyd;布 0 其他+∞ 1

+∞ 1 cyd(2)p(x)= p(x,y)dy=b-a ,

(y)= p(x,y)dx=d-cX

0 其他 Y

0 其他x y例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)=A(B+arctan)(C+arctan)。試求：(1)常數(shù)A,B,C；(2)(X,Y)的概率密度。[解]：2 3 x 由分布函數(shù)性質(zhì)，得到F(+∞,+∞)=A(B+)(C+),F(x,-∞)=A(B+arctan)(C-)=0,2 2 2 2 y 1 1 x yF(-∞,y)=A(B-)(C+arctan)=0,解得A=2 3 6

, B=C= .F(x,y)=2

(+arctan)(+arctan)。222 32(2)f(x,y)=

xy

=2(x2+9)(y2+4). 2:XY相互獨立，且均服從區(qū)間[0,3]P{max{X,Y}1}。[解]：P{max{X,Y}1}=P{X1Y1}XY相互獨立，所以11 1

11 1P{X1且Y1}=P{X1}P{Y1}== （這里P{X1}= dx= ） 33 93:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)f(x,y)

03 31， 0<x<，0<y<2x0， 其它求：(1)(X,Y)f(x),

；(2)Z=2X-Y的概率密度

。X YXYZ+∞ 0<x<1 2xZ

{2x 0<x<1[解]：(1)fX(x)=-∞f(x,y)dy==== 11dy=2x, 所以邊緣概率密度

0 其它+∞ 0<y<2 1 1

{1-y/2 0<y<2y/2 2fY(y)=-∞f(x,y)dx==== 1dx=1-y, 所以邊緣概率密度fY(y)= 0 y/2 20<z/2<1

1 2x-z 1 z2(2)FZ(z)=P{2x-yz}= f(x,y)dxdy==== 1-1dxdy=1- 1dy=1- (2x-z)dx=z-2x-yz D10 z<0

z/2 0 z/2 4f1-z/2 0z<2f

(z)=z-z2/4 Z1 z2

，所以Z的概率密度Z

(z)=F

(z)= Z 0 其它44設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為綜上所述f(x,y)=x2+cxy00x1.0y2其他0x<0或y<0xyxy322F(x,y)=3 12+0x1及0y<2求(1)C;(2)P{X+Y1};(3)F(x,y).[解]：(1)由的概率密度性質(zhì)得到+∞+∞120x1及y21=3 3+yy22+-∞-∞1f(x,y)dxdy=(x+cxy)dxdy=+cc=00233;3121x1及0y<2x1及y2(2)P{X+Y1}= f(x,y)dxdy=f(x,y)dxdyx+y1D1 2=xy154 10 1-x)dy=(x)dx=3063 26572(3)x<0y<0時，x yF(x,y)= p(u,v)dudv=0;-∞-∞0x1,時，x yxyF(x,y)= p(u,v)dudv=(u2+ )dudv= + ;uvx2y2-∞-∞0x1,y2時，x y0033 12x2F(x,y)= p(u,v)dudv=(u2+ )dudv= + ;uv-∞-∞0y<2時，x y0033 31yF(x,y)= p(u,v)dudv=(u2+ )dudv=+ ;uvyy2-∞-∞y2時，x y003312F(x,y)= p(u,v)dudv=1-∞-∞F(x,y)=F(x)F(y)與相互獨立。幾個充要條件：連續(xù)型隨機(jī)變量與相互獨立p(x,y)=p(x)p(y)離散型隨機(jī)變量與相互獨立2只黑球,現(xiàn)進(jìn)行無放回地摸球，定義：[解]:(,)的聯(lián)合分布與邊際分布為=1第一次摸出白球01p=0第二次摸出黑球獨立性p6/104/10p=ppij二元正態(tài)分布N(,2,,2,)隨機(jī)1 1 2 2變量與相互獨立=0。XYf(X)獨立。求的聯(lián)合分布；的邊際分布；是否相互獨立？因為p(0,0)=3/10p(0)p(0)=9/25不獨立。例：A,B是二隨機(jī)事件；隨機(jī)變量X1-1若A出現(xiàn)若A不出現(xiàn)1Y=-1若B出現(xiàn)若B不出現(xiàn)XYAB相互獨立。0第一次摸出黑球03/103/106/101第二次摸出白球13/101/104/103設(shè)(X,Y)相互獨立。

8xy 01及0 其他

,XYXY是否+∞ x0[]XfX(x)=-f(x,y)dy,01fX(x)=8xydy=43,x<0x>1fX(x)=0;所以fX(x)=001 。同理當(dāng)0y1f(y)=8xydx=4y(1-y2),其它情況f(y)=0,所以關(guān)于Y的邊緣概率密度

(y)=0 其他 Y y Y Y4y(1-y2) 0 其他幾條結(jié)論：

.因為當(dāng)0x1,0y1時，f(x,y)fX

(x)fY

(y)，所以X與Y不獨立。1.X~P(),Y~P(),若X與Y相互獨立，則X+Y~P(+);1 2 1 22.X~N(,2),Y~N(,2),X與Y相互獨立，則X+Y~N(+,2+2);1 1 2 2 1 2 1 23.(卷積公式)設(shè)(X,Y)f(x,y)X,YfX

(x),fY

，設(shè)+∞ +∞ +∞ +∞XYZ=X+Y的概率密度為fZ兩 f(z-y,y)dy.

= f-∞X

(x)fY

(z-x)dx=-f(x,z-x)dx

= f-∞X

Y -∞個 X|Y 0 1 2 例1:已知的聯(lián)合概率分布為0 1/4 1/10 3/10,求(1)X+Y的概率分布；(2)XY的概率分布。隨 1 3/20 3/20 1/20機(jī) X+Y 0 1 2 XY 0 1 2[解]：令Z=X+Y，則Z的加法表 0 0 1 令Z則Z的乘法表0 0 0 變 1 1

2 2[]1 1 2 3[]

1 0 1 2量

[Z的分布律為 1

0 1 2

Z 0 1 2 3],即 1的 1 P 1/4 3/20+1/10 3/20+3/10 1/20 P 1/4 5/20 9/20 1/20函 [Z 0 1 2 ] [Z 0 1 2 ]

的分布律為 1

,即 1 數(shù) 2 P 1/4+3/20+1/10+3/10 3/20 1/20 P 4/5 3/20 1/20的 例2:設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨立，且都服從[0,1]上的均勻分布，求X+Y的概率密度。分 [解]：X~U[0,1],Y~U[0,1],所以Z=X+Y在有效區(qū)間[0,2]上取值。利用卷積公式得布 +∞f(z)= fZ -∞

(x)fY

(z-x)dx。積分變量的有效區(qū)域為0x1,0z-x10xz,z-1x1.z 10z1時，f(z)=11dx=z;1<z2

=

(z)=0。Z 0z 0z1

Z z-1 ZZfZ

(z)=2-z 1<z2 0 其他n維隨機(jī)變量(X,X,…,X)的分布函數(shù)F(x,x,…,x)=P{Xx,Xx,…,Xx}1 2 n多

12 n

1 1 2 2 n nn n維 .如果X,X

X~N(2),X=aX+aX+…+a

~N(a

a22)1 2 n隨

i ii

1 1 2 2

n n ii=1

i ii=1機(jī) 如果X,X,…,X相互獨立，X的分布函數(shù)為F(x)，1 2 n j Xj j變 則M=max{X,X,…,X}的分布函數(shù)為F

(z)=F

(x)F

(x)…F

(x)，1 2 n

max

X1

X2

Xn 1n量 則m=min{X,X,…,X}的分布函數(shù)為F

(z)=1-[(1-F

(x))(1-F

(x))…(1-F

(x))]1 2 n

min

X1 1

X2

Xn 1n第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義—

例1：設(shè)的密度函數(shù)離散型E()=xpii

E(g())=g(x)pi i

p(x)=c/2

求：Ei=1 i=1

0 其它+∞連續(xù)型-∞xp(x)dx 二維隨機(jī)變量(X,Y)的數(shù)學(xué)期望：

+∞-g(x)p(x)dx [解+∞

+∞-∞p(x)dx∴c=3/2;3 3 3 3離散型E(X)=xp=xpii* iij

xp(x)dx= x-∞ 1

dx=lnx=ln3.2 2i=1 i j

例2x

E(Y)=yp=yp

1 2x+xj*j數(shù)

iij

- 1

2)2]D。j i 學(xué) +∞

+∞+∞

2x+x

x+x連續(xù)型E(X)= xf(x)dx= xf(x,y)dxdy

-

)+(

2)2]期 -∞X -∞-∞

2 1 2 2望 +∞

+∞+∞

x+xyf(y)dy= yf(x,y)dxdy

=)+(

2)2-(E)2+(E)2-∞Y -∞-∞X的數(shù)學(xué)期望：

1 2 2x+x=D+(E)2-(E)(x+x)+(1

2)2E[g(X,Y)]=g(x,y)pi j i j

1 2 2x+x+∞+∞

-

1 . 2f(x)=f(x)=e

-∞

-∞g(x,y)f(x,y)dxdy

例3機(jī)變的概密為 1數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(c)=c, E(a)=a, E()=EE若與相互獨立，則E()=EE

,求D(X).+∞

X 21 +∞隨機(jī)變量方差的定義-

xf(x)dx=-∞X 2

-∞xdx=0D(X)=E[X-E(X)]2=EX2–(EX)2 (奇函數(shù)，對稱區(qū)間上的積分)+∞

1+∞方 D(X)=-∞[x-E(X)]2f(x)dx

E(X2)=

(x)dx=-∞ X 2

-∞dx=差 2.方差性質(zhì)：

1 +∞=-xdxD(c)=0 ,

,

D(a+b)=a2D , 2 0D()=D+D2cov(,)若與相互獨立，則D()=D+D1.cov(,)=E[(-E)(-E)

(偶函數(shù)，對稱區(qū)間上的積分)所以D(X)=EX2–(EX)2=2. 4

-3]協(xié)方差的性質(zhì)：

例4

-3

X與YD

相關(guān)數(shù) 。XY協(xié) cov(,)=cov(,cov(,c)=0方 cov(a,b)=abcov(,),差 3.協(xié)方差矩陣：

[解]：由協(xié)方差矩陣得到：D(X)=cov(X,X)=4,Cov(X,Y)=cov(X,Y) -3 = = =- 設(shè)n維隨機(jī)變量X,X,…,X,記c=cov(X,X)，則稱階矩陣

XY DX

21 2 n ij i jC=(cij)nn為X1,X2,…,Xn的協(xié)方差矩陣的定義=5XYD D的相關(guān)系數(shù)，注意|1。a2-b2=a2+b2。相關(guān)系數(shù)=0不相關(guān)；當(dāng)完全相關(guān)幾個結(jié)論：=0E()=EED(+)=D+DD(-)=D+D不相關(guān)；相互獨立。]cov,)=cov(aX+b,aX-b)=2cov(X,X–2cov(,)=DX–DY–。=D(aX+b)=DX+D=(2+)2=D(aX-b)=DX+D=(2+)2所以：=cov(,)D D=(a2-b2)2(a+b2 2 2k階原點矩k=1,2,…。k+s階混合原點矩：E(XkYs)=a2+b2k,s=1,2,…a2-b2其他k階中心矩：E[(X-EX)k]k=1,2,…。k+s階混合階中心矩：E[(X-EX)k(E-EY)s] k,s=1,2,…協(xié)方差矩陣：C=(c) 其中c=E[(X-EX)(X-EX))]ijnxiji i j j分布分布列和概率密度P{=0}=p, 數(shù)學(xué)期望方差分布(0,1)pp(1-p)B(n,p)b(k；n,p)=P{=k}=Cnp(1-p)kn-k(k=0,1,2,3,…,n)npnp(1-p)P()P{=k}=kk!e-k=0,1,2…, 1U[a,b]p(x)=b-a0axb其他a+b212X~Ge(p)分布列為P{X=k}=(1-p)k-1p (k=0,1,2,3,…)1p1-pp2超幾何分布X~h(n,N,M)CkCn-kP{X=k}=MN-MCnk=0,1,2,3,…,min{M,n}nMNnM(N-M)(N-n)N2(N-1)N{ p(x)= 0x0x<0112p(x)=12e(x-)2-(-∞<x<+∞)二維正態(tài)分布p(x,y)=12exp{-1)2 )(y-)2(1-2)[1-12121-22112121N(,2,,2,)1 1 2 2+(y-)2E=2D=222]}22第五章 大數(shù)定律及中心極限定理D D切比雪夫不等式：P{|-E|} , 1- 切 例1：設(shè)隨機(jī)變量,,，獨立同分布，且服從參數(shù)為的指數(shù)分布，i=1,2,3，試根據(jù)切比雪夫不等式證明：1 2 3 i比 P{0<++<6/}≥2/3 .1 2 3雪 [證]：~exp(),E=1/;令X=++ ,則EX=E(++)=3/，DX=D(++)=3/2.P{0<++i I 1 2

1 2

1 2 3

1 2 3夫 P{0<X<6/P{-3/<X-3/<3/}=P{|X-3/|<3/}不1-

DX=1-

3 2=1- = 等

9 3式 例2：已知隨機(jī)變量X的期望E(X)=100，方差D(X)=10，估計X落在(80,120)內(nèi)的概率。DX 10[解]：P{80<X<120}=P{-20<X-100<20}=P{|X-E(X)|<20}1-

202

=1-

400

=0.975. 切比雪夫大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X,X,…,X相互獨立，分別具有數(shù)學(xué)期望與方差，且方差一致有上界，則對任意給1 2 nlim

1n 1nini，恒有nP{|nini

–

|<}=1。大n數(shù)

i=1 i=1nAA在每次試驗中發(fā)生的概率，則對lim定 任意給定正數(shù)恒有l(wèi)im

nP{|

p|<1 (或

lim P{|n-p|0)n n律

n n辛欽大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X,X,…,X,…相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望EX=，則對任意給定正數(shù)，nn恒有l(wèi)im P{|1nnn i

1 2 n k–|<}=1i=1棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理：設(shè)隨機(jī)變量Yn

(n=1,2,3,…)服從參數(shù)為n,p的二項分布，即Y~B(n,p)，nlim

Y-np

x 1-1

b t21-1則對任意實數(shù)恒有nP{n x}=(x)= e2dt e2dtnpq

-∞

a

Y-npB(n,p)Y中

作標(biāo)準(zhǔn)化后的隨機(jī)變量

nnpq

的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。心 中心極限定理林德貝格勒維設(shè)隨機(jī)變量X,X,…,X,…相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望EX=，和方1 2 n極n

lim

klim限 差D(X)=20隨機(jī)變量Y=(x-n)/ n的分布函數(shù)為F(x)則對任意實數(shù)恒