---/19(本小題滿分14分)某工廠擬制造一個如圖所示的容積為36n立方米的有蓋圓錐形容器.若該容器的底面半徑為6米，求該容器的表面積；當(dāng)容器的高為多少米時，制造該容器的側(cè)面用料最省？(本小題滿分16分)x2y2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：—+匚=1(a>b>0)的左、右a2b2頂點(diǎn)分別為A(-2,0),A(2,0),右準(zhǔn)線方程為x=4.過點(diǎn)A的直線交橢圓C于121x軸上方的點(diǎn)P,交橢圓C的右準(zhǔn)線于點(diǎn)D.直線AD與橢圓C的另一交點(diǎn)為G,直2線OG與直線AD交于點(diǎn)H.1求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；若HG丄AD,試求直線AD的方程；11如果A"H=入A"P,試求入的取值范圍.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=X2+(2—a)x—alnx,其中aWR.如果曲線y=f(x)在x=1處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)a的值；a若函數(shù)f(x)的極小值不超過二，求實(shí)數(shù)a的最小值；對任意xW[1,2],總存在xW[4,8],使得f(x)=f(x)成立，求實(shí)數(shù)1212a的取值范圍．(本小題滿分16分)已知數(shù)列｛a｝是各項(xiàng)都不為0的無窮數(shù)列，對任意的n$3,nWN,aa+aan1223+aa=入(n—1)aa恒成立.n—1n1n111(1)如果一，—,—成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)入的值；aaa123(2)已知入=1.1求證：數(shù)列｛—｝是等差數(shù)列；an1已知數(shù)列｛a｝中，a工a.數(shù)列｛b｝是公比為q的等比數(shù)列，滿足b=-,bn12n1a21111=-,b=—(iWN)■求證：q是整數(shù)，且數(shù)列｛b｝中的任意一項(xiàng)都是數(shù)列｛—｝中a3ana2in的項(xiàng)．2019屆蘇錫常鎮(zhèn)四市高2016級高三三?？荚嚁?shù)學(xué)附加題（滿分40分，考試時間30分鐘）【選做題】在A，B，C三小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分．若多做，則按作答的前兩題計分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．A.（選修42：矩陣與變換）2已知矩陣A2已知矩陣A=°，其逆矩陣A-1=，求A2B.（選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）「x=2+2cos9,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為［（9為參ly=—#3+2sin9數(shù)）■以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l上兩點(diǎn)M,N的極坐標(biāo)分別為（2，0），（2羽，~n），求直線l被曲線C截得的弦長.C.（選修45：不等式選講）已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=2.求證：a2b2C2

b+cc+aa+b$1.必做題】第22，23題，每小題10分，共20分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．求線段AF的中點(diǎn)M的軌跡方程；已知△AOB的面積是ABOF面積的3倍，求直線l的方程.已知數(shù)列｛a｝中，a=2,且a=a2—a+1對任意nWN恒成立■求證:n1n＋1nn⑴a=aaa…aa+1(nWN)；n+1nn－1n－221(2)a>nn+1(nWN).n+12019屆蘇錫常鎮(zhèn)四市高2016級高三三模考試數(shù)學(xué)參考答案1.（0，1）2.14.85.551726.37.31.（0，1）2.14.85.551726.37.38.39.1110.（－2,—1）U（1,2）11.12.113.14.（－2e－1,0]證明：在三棱錐PABC中：（1）因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別是PD,PC的中點(diǎn)，所以EF為厶PCD的中位線，（2分）則有EF〃CD.（3分）又EF—平面ABC,CD—平面ABC,所以EF〃平面ABC.（7分）（2）因?yàn)槠矫鍼AB丄平面PCD,平面PABQ平面PCD=PD,AB丄PD,AB—平面PAB,所以AB丄平面PCD.（11分）又CE「一平面PCD,所以AB丄CE.（14分）解：（1）由正弦定理fa=』B=*C,且縣^=—co；八,（1分）sinAsinBsinCcsinC3sinA

彳得=3sinA

彳得=sinC2－cosAsinC,（2分）則有、..y3sinA=2—cosA,即\：3sinA+cosA=2,2sin（A+g）=2,故sin（A+~6）=1.（4分）因?yàn)锳W（0,n）,則A+石$（石，-^）,所以A+石="2，即A="3?（6分）

⑵在厶abc中，因?yàn)锳=nn,則bw（o,2n）,B+扌w（n,平），所以n、怙）>0.因?yàn)閏os（B+~6）=4，所以sin（B+石）=N；；1—cos2（B+石）=^^?（8分）在厶ABC中，A+B+C=n,（9分）所以cosC=cos（n—A—B）=—cos（A+B）=—cos（B+~3）（10分）「,nnzn、=—cos[（B+）--]=—cos（B--）cos666nznn+sin（B+〒）sin666nznn+sin（B+〒）sin666解：設(shè)圓錐形容器的底面半徑為r米，高為h米，母線為l米，側(cè)面積為S平方米，容積為V立方米，則V=36n.⑴由r=6，得V=1nr2h=36n,得h=3,（1分）所以S=nrl=nr\：'r2+h2=6n.,'62+32=1^.;5n.（2分）又底面積為nr2=36n（平方米），（3分）故該容器的表面積為（18“J5n+36n）=18（2+1⑸n（平方米）.（4分）答：該容器的表面積為18（2+J5）n平方米.（5分）1e3X36n108_亠（2）因?yàn)閂=§nr2h=36n,得r2=nh=，其中h>0,1082108而+〒h2=n晉+108h=n勺708J孚+h.（8分）h21082108而+〒h2=n晉+108h=n勺708J孚+h.（8分）h2記f（h）=^+h,令f'（h）=—學(xué)+1=^—^=0,得h=6.（10分）h3h3當(dāng)he(0,6)時，f(h)<0,f(h)在(0,6)上單調(diào)遞減；當(dāng)he(6,+-)時，f‘(h)>0,f(h)在(6,+?)上單調(diào)遞增.(12分)所以，當(dāng)h=6時，f(h)最小，此時S最小.(13分)答：當(dāng)容器的高為6米時,制造容器的側(cè)面用料最省．(14分)解：(1)由橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A(-2,0),A(2,0),右準(zhǔn)線方12程為x=4,得a=2,?=4,故c=1,b2=a2—C2=3.(2分)c所以橢圓C的方程為扌+3=1①.(3分)⑵設(shè)直線AD：y=k(x+2)(k>0)②，則與右準(zhǔn)線x=4的交點(diǎn)D(4,6k).1又A(2,0),所以設(shè)直線AD：y=3k(x—2)，聯(lián)立①，得22x2y24+3=1，24k2—2—12k解得G(1+12k2，1+12k2)，(5分)y=3k(x—2),—6k則直線OG的斜率為k=—?③.OG12k2—1因?yàn)?G丄AD,故〔—2—〔?k=—1.又k>0,解得k=￥，(7分)則直線AD的方程為y=￥(x+2).(8分)由(2)中③可設(shè)直線OG：y=莎二jx，聯(lián)立②，得—6k<y—6k<y=^k—rx，ly=k(x+2),解得H(—24k2+212k)12k2+5，12k2+5)'(10分)蘭+出=蘭+出=1聯(lián)立①②，得］広§=，解得p(3—

ly=k(x+2),12k3+4k2).(12分)因?yàn)殛?入耶，所以(x+因?yàn)殛?入耶，所以(x+2,Hy)=2(x+2,y),則y=入『，12ky入=r=f(k)=yP12ky入=r=f(k)=yP12k汁512k3+4k23+4k2=112k2+5=12k2+9—43+4k21~4.(14分)3+4k2因?yàn)閒(k)在(0,+?)上為減函數(shù)，(15分)13所以入w(3，5)-(16分)解：因?yàn)閒(x)=X2+(2—a)x—alnx,所以f'(x)=(x+1)(2x—a).(1分)x2因?yàn)榍€y=f(x)在x=1處的切線斜率為1,3所以f'(1)=2(2—a)=1,解得a=2.(2分)①當(dāng)aWO時，f‘(x)>0在(0,+?)上恒成立，即f(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)不存在極值.(3分)a②當(dāng)a>0時，令f'(x)=0,得x=2x(0,|)a2(2,+?)f'(x)—0+f(x)極小值(5分)aa2aa1aa則f(x)+=f(2)=a—二—aln怎因?yàn)閍>0,貝與一廠巾尹1aa1a11令g(a)=2_才一In2=2+ln2—4—lna,則g(a)=—4—^<0,則g(a)在(0,+?)上單調(diào)遞減.(7分)又g(2)=0,所以g(a)Wg2)=0,則a$2,則實(shí)數(shù)a的最小值為2.(8分)

（3）記f（x）在［1,2］上的值域?yàn)锳,在［4,8］上的值域?yàn)锽,“任意xe［1,2］,總存在xe［4,8］,使得f（x）=f（x）成立”等價于“AB”.212aa當(dāng)2?或2^8，即aW2或a$16時，由⑵知f（x）在［1,8］上為單調(diào)函數(shù),不合題意；（9分）aaa當(dāng)1<2壬2，即2<aW4時，由⑵知f（x）在（0,去上單調(diào)遞減，在（2，+?）aa上單調(diào)遞增，故f（2）WA，但f（2）B,不合題意；（10分）a③當(dāng)2<產(chǎn)4,即4<aW8時，A=[f⑵,f(1)],B=[f(4),f(8)]，由AB,得f(2)$f(4)

得If(1)Wf(8)得f(2)$f(4)

得If(1)Wf(8)，則5a+，(11分)77*7+3丨a+，(11分)77*7+3丨n2.In24=41In24=41n2,即7>8丨n2,也即21>24ln2則扁市8=2^普竽>0,即7+372>8?7+3In27+3In21616因?yàn)?<ln2<1，則2<2+In2<3,即4^^<?+ln?<8.7因?yàn)閑>2.7,計算得e3>24，則e2>e3>24,所以2+^0導(dǎo).（13分）a④當(dāng)a④當(dāng)4<2<8，即8<a<16,由AB,得f(8)$f(1),得7777(15分)a^7+372<777=11<16,則8<aW7+3|(15分)7+3In277+3In2立，所以n=3時，aa+aa=2入aa（*）.122313因?yàn)閿?shù)列｛a｝各項(xiàng)都不為0,n2入ii所以（*）式兩邊同除以立，所以n=3時，aa+aa=2入aa（*）.122313因?yàn)閿?shù)列｛a｝各項(xiàng)都不為0,n2入ii所以（*）式兩邊同除以aaa，得一=一+一（1分）123aaa一3一一一2一一因?yàn)橐?，―,—成等差數(shù)列，則一=—+—.（2分）aaaaaa一232一32入2比較得——=—,所以入=1.（3分）aa22⑵證明：①當(dāng)入=1,n=3時，aa+aa=2aa12231311(i),整理，得-+—aa131111則——=——(ii)?(4分)aaaa2132當(dāng)n=4時，aa+aa+aa=3aa12233414(iii)．(iii)－(i)，得aa=3aa—2aa,341413i_2aa34112

又-+—=-,

aaa1321111所以——=—aaa433(iv)．(5分)a=(n_1)n_1n當(dāng)n$3時,aa+aa+a1223aa+aa+aa+aa=naa,1223n_1nnn+11n+1兩式相減,得aa，1naa=naa_(n_1)aa.nn+11n+11n1因?yàn)閍工0,所以一=

na1nn_1—,(6分)aann+11n+1所以一=——aa1n+1na'n+2所以ann－1n+1an+1naa'n+1n+21677綜上'2+ln2?*7+3丨n2.(16分)20.⑴解：因?yàn)閚$3且nWN20.⑴解：因?yàn)閚$3且nWN*時,1223n－1n1n1121111整理，得一+——=——，即=(n$3)(v).(7分)aaaaaaann＋2n＋1n＋2n＋1n＋1n1111由(ii)(iv)(v),得=對任意的正整數(shù)n$1恒成立，(8分)aaaan＋2n＋1n＋1n1所以數(shù)列｛—｝成等差數(shù)列.(9分)an111②設(shè)數(shù)列｛—｝的公差為d,令c=—,c=—=c(c工0)，貝I]b=c=c,b=cana1a1122nn1=c＋d，d=c－c=b－b=cq－c.2121當(dāng)i=2時，b=c=b，從而q=1，b=b，得a=a，與已知不符.(10分)222112當(dāng)i=3時，由b=c，cq2=c＋2d=c＋2c(q－1)，得q2=1＋2(q－1)，33得q=1,與已知不符.(11分)當(dāng)i=1時，由b=c,cq2=c,得q2=1,則q=—1(上面已證q工1)為整數(shù).31數(shù)列｛b｝為c,—c,c,…；在數(shù)列｛c｝中，c=c,c=—c，公差d=—2c.nn12數(shù)列｛b｝每一項(xiàng)都是｛c｝中的項(xiàng)(c=c,—c=c).(12分)nn12當(dāng)i$4時，由b=c,cq2=c+(i—1)d=c+(i—1)c(q—1),得q2—(i—1)q3i+(i—2)=0,得q=1(舍去)，q=i—2(i$4)為整數(shù).(14分)因?yàn)閏q=c+d,b=c,3i對任意的正整數(shù)k$4,欲證明b是數(shù)列｛c｝中的項(xiàng)，只需knb=cqk—1=c+xd=b+x(cq—c)=cq2+x(cq—c)有正整數(shù)解x.ki3等價于qk—1=q2+x(q—1),x=中1為正整數(shù).q—1因?yàn)閤J二「=中(善—〔°表示首項(xiàng)為q2,公比為q=i—2(i$4),共k—3(k$4)項(xiàng)的等比數(shù)列的和，所以x為正整數(shù).1因此，｛b｝中的每一項(xiàng)都是數(shù)列｛c｝也即㈠中的項(xiàng).(16分)nnan

2019屆蘇錫常鎮(zhèn)四市高2016級高三三?？荚嚁?shù)學(xué)附加題參考答案21.A.解：因?yàn)锳A-1=21_bc-10_0a__01__01_，則有，（2分21.A.解：因?yàn)锳A-1=21_bc-10_0a__01__01_，則有，（2分）即a=1,b=2,則A=2101(5分)B.解：_21__21--43__01__01__01_2則A2=.(10分)e,由x=pcosy=psine,得M(2,0，)n(3,J3),則直線l:y=../3(x—2),(2分)曲線C曲線C：（x—2）2+（y+\'3）2=4,圓心為（2,一3），半徑r=2,則圓心到直線l的距離d=|0—'，3|=皆,（6分）則直線l被曲線C截得的弦長為202—d2=.j73.（10分）C.證明：因?yàn)閍>0，b>0，c>0，a+b+c=2，由柯西不等式，得[(b+c)+[(b+c)+(c+a)+(a+b)](a2b2C2

b+cc+aa+bab=[Gjb+c)2ab=[Gjb+c)2+(討,c+a)2+G.,;a+b)2][(:匕十)2+(,+)2+2]abc=(嚴(yán)嚴(yán)+干再+礙阿)2(5分)=(a＋b＋c)2=22,(8分)a2b2C2224則b+cc+aa+b"(b+c)+(c+a)+(a+b)4a2a2b2c2所以b+c+c+a+a+b"1.(10分)22.解：因?yàn)閽佄锞€方程為y2=4x，所以F(1,0).(1分)⑴設(shè)M(x,y),A(x,y).00因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，則x=X0^1,y氣，(2分)則x=2x—1,y=2y，代入拋物線方程，得y2=2x—1,00即點(diǎn)M的軌跡方程為y2=2x—1.(4分)(2)設(shè)A(x,y),B(x,y),不妨設(shè)y>0,y<0,112212設(shè)厶A0B和厶B0F的面積分別為S,S.12因?yàn)椤鰽0B的面積是AB0F面積的3倍，即S+S=3S，所以S=2S.12212111因?yàn)镾=-OF?y,S=-OF?|y|=—OF?y，則y=—2y①.(6分)1212222212設(shè)直線AB：x=ty+1(t>0)②，與y2=4x聯(lián)立，消去x,得y2—4ty—4=0,y=2t±2*.」t2+1,y+y=4t③，yy=—4④.(8分)1,212121由①③④可得七二兩，代入②，得直線l：y=2羽(x—1)；同理當(dāng)y<0,y>0時，得直線l:y=—^2(x—1).綜上，直線l