學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE9學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時達標訓練(七）等差數(shù)列的概念及通項公式［即時達標對點練]題組1等差數(shù)列的判斷1．給出下列數(shù)列：（1）0，0，0，0，0，…；(2)1，11,111，1111，…;（3)2,22，23,24，…；(4)－5，－3，－1，1,3,…;(5）1，2,3，5，8，….其中等差數(shù)列有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析:選B根據(jù)等差數(shù)列的定義可知(1）、（4）是等差數(shù)列,故選B。2．數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列{dan｝是（)A．公差為d的等差數(shù)列B．公差為2d的等差數(shù)列C．公差為d2的等差數(shù)列D．公差為4d的等差數(shù)列解析：選C由于dan－dan－1＝d（an－an－1）＝d2,故選C.3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f（1，an）））是否為等差數(shù)列？說明理由．解：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(1,an)）)是等差數(shù)列,理由如下：因為a1＝2，an＋1＝eq\f（2an,an＋2）,所以eq\f（1,an＋1)＝eq\f(an＋2，2an）＝eq\f(1，2)＋eq\f(1，an），所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（1,an）)）是以eq\f（1，a1）＝eq\f（1，2）為首項,eq\f（1，2）為公差的等差數(shù)列．題組2等差中項的應用4．等差數(shù)列的前3項依次是x－1，x＋1，2x＋3，則其通項公式為（）A．an＝2n－5B．an＝2n－3C．an＝2n－1D．an＝2n＋1解析：選B∵x－1，x＋1,2x＋3是等差數(shù)列的前3項，∴2(x＋1）＝x－1＋2x＋3，解得x＝0?！郺1＝x－1＝－1，a2＝1,a3＝3,∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.5．已知1,x，y,10構成等差數(shù)列，則x,y的值分別為________．解析:由已知，x是1和y的等差中項，即2x＝1＋y，①y是x和10的等差中項,即2y＝x＋10，②由①②可解得x＝4,y＝7.答案：4,76．若eq\f(1,b＋c)，eq\f(1，c＋a)，eq\f(1,a＋b）是等差數(shù)列，求證:a2,b2,c2成等差數(shù)列．證明：∵eq\f（1,b＋c）,eq\f(1,c＋a)，eq\f(1,a＋b)是等差數(shù)列，∴eq\f（1,b＋c）＋eq\f(1，a＋b)＝eq\f(2，c＋a）。整理得（a＋b)(c＋a)＋（b＋c)（c＋a）＝2（a＋b）(b＋c），即（c＋a）(a＋c＋2b)＝2(a＋b）（b＋c），即2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2＝2ab＋2ac＋2bc＋2b有a2＋c2＝2b2.∴a2,b2，c2成等差數(shù)列．題組3等差數(shù)列的通項公式7．在等差數(shù)列｛an｝中,a2＝2，a3＝4，則a10＝(）A．12B．14C．16D．解析:選D由題意知,d＝a3－a2＝4－2＝2,a1＝a2－d＝2－2＝0.所以a10＝a1＋9d＝18.8．在等差數(shù)列｛an}中,a2＝－5,a6＝a4＋6，則a1等于()A．－9B．－8C．－7D解析：選B由an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＊），得d＝eq\f(an－am，n－m).∴d＝eq\f（a6－a4，6－4）＝eq\f(6，6－4）＝3.∴a1＝a2－d＝－8。9．等差數(shù)列1，－1，－3，…，－89的項數(shù)是（)A．45B．46C．47D．92解析:選B由題意知，等差數(shù)列的首項a1＝1，公差d＝－2，且an＝－89。由an＝a1＋(n－1）d,解得n＝46.故選B.10．已知等差數(shù)列｛an}滿足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66。求數(shù)列{a解：在等差數(shù)列{an｝中，∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6。故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（a2＋a4＝12，,a2·a4＝11，））解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a2＝11，,a4＝1）)或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a2＝1,,a4＝11.）)當eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a2＝11，,a4＝1））時，a1＝16,d＝－5。an＝a1＋（n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21。當eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a2＝1，，a4＝11））時，a1＝－4，d＝5。an＝a1＋（n－1)d＝－4＋（n－1）·5＝5n－9.［能力提升綜合練］1．在等差數(shù)列｛an}中,首項a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，則k＝（）A．45B．46C．47D．解析：選B因為ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a10，所以a1＋(k－1）d＝10a1＋45d.因為a1＝0，公差d≠0所以(k－1）d＝45d.解得k＝46.2．一個首項為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列，若前6項均為正數(shù)，第7項起為負數(shù),則它的公差是（)A．－2B．－3C．－4D解析:選C設公差為d，則an＝23＋（n－1)d.由題意知eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(a6>0，，a7〈0，）)即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（23＋5d〉0，,23＋6d〈0，）)解得－eq\f（23，5)<d〈－eq\f（23，6).又因為d為整數(shù)，故d＝－4。3．已知數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f（1,an）)）是等差數(shù)列，且a1＝1，a4＝4,則a10＝（)A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(5,4)C.eq\f(4，13)D.eq\f（13,4）解析：選A設等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(1，an)））的公差為d，則eq\f（1,a4)－eq\f（1,a1)＝3d＝－eq\f（3,4）,d＝－eq\f（1,4），∴eq\f(1，a10）＝eq\f(1，a1）＋9d＝1－eq\f（9，4）＝－eq\f(5,4)，a10＝－eq\f(4,5）.故選A。4．已知x≠y，且兩個數(shù)列x，a1，a2，…，am，y與x，b1，b2，…,bn，y各自都成等差數(shù)列，則eq\f（a2－a1,b2－b1)等于（)A.eq\f（m，n）B.eq\f（m＋1,n＋1)C.eq\f(n,m)D.eq\f(n＋1，m＋1）解析：選D設這兩個等差數(shù)列的公差分別是d1，d2，則a2－a1＝d1，b2－b1＝d2，第一個數(shù)列共（m＋2)項，∴d1＝eq\f（y－x,m＋1）；第二個數(shù)列共（n＋2)項，∴d2＝eq\f（y－x,n＋1)。這樣可求出eq\f(a2－a1，b2－b1)＝eq\f（d1,d2）＝eq\f（n＋1，m＋1）。5．在數(shù)列｛an｝中，a1＝3,且對于任意大于1的正整數(shù)n，點(eq\r（an),eq\r（an－1）)都在直線x－y－eq\r（3)＝0上，則an＝________．解析：由題意得eq\r（an）－eq\r（an－1)＝eq\r(3)，所以數(shù)列{eq\r（an）}是首項為eq\r(3),公差為eq\r(3)的等差數(shù)列，所以eq\r(an）＝eq\r(3）n，an＝3n2.答案：3n26．已知△ABC的一個內角為120°，并且三邊長構成公差為4的等差數(shù)列,則△ABC的面積為________．解析：由于三邊長構成公差為4的等差數(shù)列,故可設三邊長分別為x－4,x，x＋4。由一個內角為120°，知其必是最長邊x＋4所對的角．由余弦定理得，(x＋4）2＝x2＋(x－4）2－2x（x－4）·cos120°，∴2x2－20x＝0，∴x＝0（舍去）或x＝10，∴S△ABC＝eq\f(1，2)×(10－4)×10×sin120°＝15eq\r(3）.答案：15eq\r（3)7．已知等差數(shù)列{an}：3，7,11，15，…。(1）135，4m＋19（m∈N*)是數(shù)列{an｝（2）若ap，aq(p,q∈N＊）是數(shù)列{an｝中的項，則2ap＋3aq是數(shù)列｛an}中的項嗎?并說明你的理由．解：∵a1＝3,d＝4，∴an＝a1＋(n－1）d＝4n－1.(1）令an＝4n－1＝135,∴n＝34,∴135是數(shù)列｛an｝中的第34項．令an＝4n－1＝4m＋19則n＝m＋5∈N*。∴4m＋19是{an}中的第m(2）∵ap，aq是{an｝中的項，∴ap＝4p－1,aq＝4q－1?！?ap＋3aq＝2(4p－1)＋3（4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，∵2p＋3q－1∈N＊，∴2ap＋3aq是｛an｝中的第2p＋3q－1項．8．數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常數(shù)．(1）當a2＝－1時，求λ及a3的值;（2）是否存在實數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求出λ及數(shù)列{an｝的通項公式;若不存在，請說明理由．解:(1)由于an＋1＝（n2＋n－λ）an(n＝1，2，…）,且a1＝1。所以當a2＝－1時,得－1＝2－λ，故λ＝3。從而a3＝（22＋2－3）×（－1）