彎曲變形第六章目錄第六章彎曲變形

§6-1工程中的彎曲變形問題

§6-2撓曲線的微分方程

§6-3用積分法求彎曲變形§6-4用疊加法求彎曲變形

§6-5

簡單超靜定梁

§6-6

提高彎曲剛度的一些措施目錄目錄§6-1工程中的彎曲變形問題7-1目錄目錄§6-1工程中的彎曲變形問題目錄§6-1工程中的彎曲變形問題§6-2撓曲線的微分方程dydx撓度轉角關系為：tan撓曲線

x1.基本概念

y x轉角 撓度

y

撓曲線方程：

yy(x)撓度y：截面形心在y方向的位移

y向上為正

轉角θ：截面繞中性軸轉過的角度。逆時針為正由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計7-2目錄

MEIz

1ρ忽略剪力對變形的影響M(x)

EIz

1(x)

§6-2撓曲線的微分方程2.撓曲線的近似微分方程 推導彎曲正應力時，得到：目錄dy[1(dy

23dydydydxdy)]

2dx

2

dx1略去高階小量，得

2dx

21M(x)

EIz22所以M(x)>0M(x)>0

2dx

2>0xyOM(x)<0O

2dx

2<0yxM(x)<0

§6-2撓曲線的微分方程由數學知識可知：目錄dx

§6-2撓曲線的微分方程

由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：

由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉角和撓度。

目錄M(x)

EIzd2y

2dxdx

§6-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：M(x)

EIzd2y

2積分一次得轉角方程為：dydxEIzEIzM(x)dxCd2y

2EIzM(x)再積分一次得撓度方程為：

EIzyM(x)dxdx

CxD7-3目錄~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~AAAA

A

AAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAyA0

yA0A0位移邊界條件光滑連續(xù)條件

yAL

yARALARyAL

yAR

yA

－彈簧變形

§6-3用積分法求彎曲變形

積分常數C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。目錄dxEIF(xl)2CEIEIy

F(xl)3Cx

D例1求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知。解)

1）由梁的整體平衡分析可得：FAx

0,FAy

F(),MAFl(2）寫出x截面的彎矩方程

M(x)F(lx)F(xl)3）列撓曲線近似微分方程并積分d2y

2M(x)F(xl)

dy

1

dx

2

1 6

EI

積分一次再積分一次BAxy

xlFByB§6-3用積分法求彎曲變形目錄CFl2,DEIy

F(xl)Fl2F(xl)FlxFl3x0,A016Fl3

x0,yA0代入求解

1 2

5）確定轉角方程和撓度方程6）確定最大轉角和最大撓度121223121 26EI

1 6,

Fl33EI

Fl22EIymax

yB

xl,maxBBAxy

xlFByB

§6-3用積分法求彎曲變形4）由位移邊界條件確定積分常數目錄FAx

0,FAy

,FBy

Mx1FAy

x1x1,0x1a例2求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：

Fb

Fa ll2）彎矩方程

AC段：

Fb lFb lax2lx2F(x2a),Mx2FAy

x2F(x2a)CB段：§6-3用積分法求彎曲變形目錄abx2D

F Cymax

BxFBy

yA

AFAy

x1B0x1aM(x1)d2y1FbEIx1dx1lEI(x1)x1C1dy1Fb

2EIy1x1C1x1D1ax2lM(x2)x2F(x2a)d2y2FbEIdx2ldy2EI(x2)x2(x2a)2C2x2(x2a)3C2x2D2

2dx12l

Fb

3

6l

2Fb

2F

2l2Fb

3F

6l6EI dx2EIy2

AC段：

EICB段：

§6-3用積分法求彎曲變形3）列撓曲線近似微分方程并積分目錄abx2D

F Cymax

BxFBy

yA

AFAy

x1BC1C2Fbl

y1(0)0

y2(l)0代入求解，得位移邊界條件

x10,

x2l,1(a)2(a)

y1(a)y2(a)光滑連續(xù)條件

x1x2a,

x1x2a,16Fb3

6l

§6-3用積分法求彎曲變形4）由邊界條件確定積分常數D1D20

目錄ymaxabx2DFCFAy

x1FByABx

yABx1(lb2)(lb2)(x2a)x2EIy1x1(lb2)x1ax2lx2(x2a)(lb2)x2Fb

2

6lFb

2

2lEI1Fb

3Fb

2

6l6lAC段：0x1a2Fb

2

6lF

2Fb

2

2lEI23Fb

2

6lF

6Fb

3

6lEIy2CB段：

§6-3用積分法求彎曲變形5）確定轉角方程和撓度方程目錄ymaxabx2ACDFFAy

x1FByABxyBxl,maxB0dy令得，0d

dx

Fab6EIl(la)()令得，dx(),Fb(l2b2)3

93EIlymaxl2b2

3x

§6-3用積分法求彎曲變形6）確定最大轉角和最大撓度目錄ymaxabx2DFCFAy

x1FByABx

yAB討論§6-3用積分法求彎曲變形積分法求變形有什么優(yōu)缺點？

目錄dxEIy''iEI(yi)''M(x)d2y

2EIEIy''M(x)

§6-4用疊加法求彎曲變形

設梁上有n個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉角為，撓度為y，則有：

若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為Mi(x)，轉角為i，撓度為yi

，則有：

EIy''i

Mi(x)

n

i1所以，

nni1i17-4目錄y''(yi

)''yyii,故

ni1由于梁的邊界條件不變，因此

ni1

ni1§6-4用疊加法求彎曲變形重要結論：

梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。

目錄yC1yC

2例3已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC

；B截面的轉角ByC1yC2yC31）將梁上的載荷分解

yC

yC

1yC

2yC

3

BB1B2B32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉角。

ql324EI

ql316EIB1B1

ql

33EIB3

5ql4384EI

ql4

48EI

ql

416EIyC

3解§6-4用疊加法求彎曲變形目錄yC

yCi

BBi()

11ql4384EI

ql

416EI

ql

448EI

5ql4384EI

3i1()11ql3

48EI

ql

33EI

ql

316EI

ql

324EI

3i1§6-4用疊加法求彎曲變形

3）應用疊加法，將簡單載荷作用時的結 果求和目錄yC1yC2yC3yC解§6-4用疊加法求彎曲變形例4已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉角C

1）首先，將梁上的載荷變成有表可查 的情形 為了利用梁全長承受均布載荷 的已知結果，先將均布載荷延長至梁 的全長，為了不改變原來載荷作用的 效果，在AB段還需再加上集度相同、 方向相反的均布載荷。

目錄,C1yC1yC2yB2B2C2,yC

yCi

CCi

yCyC2yC1yB2

l2

ql4ql3

8EI6EI ql4ql3l128EI48EI2

ql

348EI

41ql4384EI 7ql348EI3）將結果疊加

2 i1 2 i12）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉角?！?-4用疊加法求彎曲變形目錄討論§6-4用疊加法求彎曲變形疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？

目錄

§6-5簡單超靜定梁1.基本概念：

超靜定梁：支反力數目大于有效平衡方程數目的梁

多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束

超靜定次數：多余約束或多余支反力的數目。

相當系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)2.求解方法： 解除多余約束，建立相當系統(tǒng)——比較變形，列變 形協調條件——由物理關系建立補充方程——利用

靜力平衡條件求其他約束反力。7-6目錄§6-5簡單超靜定梁C解例6求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數

2）解除多余約束，建立相當系統(tǒng)目錄(a)2a2a(b)(c)(b)(a)aFaBBBFMAA

FAyMA

FAyAACCFFCCBBAAFByMAMA(c)(d)(d)(d)FByFByAAAAABBB BBFF

C CCFC

C3）進行變形比較，列出變形協調條件

yB

(yB

)F(yB

)FBy

014Fa38FBya3MAAy(),FAy

F()MAFFBy

(b)(yB

)F(9a2a)(yB

)FBy

4）由物理關系，列出補充方程14Fa3

3EI8FBya3

3EIF(2a)2

6EI 3EI3EI所以0

7 45）由整體平衡條件求其他約束反力

Fa

3 24目錄2a(a)BCMAAF2a(c)(d)(d)(d)(a)(b)(c)BBBBaFCACCC

a

FFBy

FFByFByFFFCCC CCBBB BBAAAAAMAMA

FAyMA

A

A

AFAy

F§6-5簡單超靜定梁yB1342F22FB43從B處拆開，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。變形協調方程為：yB1yB

2MAFA

yB1FB

MCFC

FBFBFB

yB2物理關系yB

2

q44FB43

8EI3EI6EI3EI解目錄

§6-5簡單超靜定梁例7梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。26420448.75kN84FBMA

FAMCFC

yB1FByB2334010

2FBFB43

3EI342F22

6EIFB43

3EIq44

8EI確定A端約束力

Fy

0,FAFB4q0

FA4qFB4208.7571.25kN0,AMA4q24FB0MMA4q24FB

420248.75125kN

m

目錄§6-5簡單超靜定梁

代入得補充方程：F′BMAFAMCFC

yB1FByB248.75kNMC0,MC2F4FB0MC4FB2F

48.75240115kN.m目錄§6-5簡單超靜定梁

確定C端約束力

Fy

0,FBFCF0

FCFFB408.75

MCFC

MA

FA71.25

FA71.25kN()MA125kN

m()

FC48.75kN())

MC115kN

m(最后作梁的剪力圖和彎矩圖

8.751.94

() 48.75

()17.5 115

FS()

kN

M(kN

m)()

125目錄§6-5簡單超靜定梁

A、C端約束力已求出1）選擇合理的截面形狀目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施2）改善結構形式，減少彎矩數值改變支座形式目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施

62.5%目錄wC

2wC1

§6-6提高彎曲剛度的一些措施2）改善結構形式，減少彎矩數值

改 變 載 荷 類 型3）采用超靜定結構目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施小結1、明確撓曲線、撓度和轉角的概念2、掌握計算梁變形的積分法和疊加法3、學會用變形比較法解簡單超靜定問題目錄第七章應力和應變分析強度理論7-1應力狀態(tài)的概念7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法7-4二向應力狀態(tài)分析-n圖解法7-5三向應力狀態(tài)7-8廣義胡克定律7-11四種常用強度理論第七章

應力和應變分析強度理論低碳鋼鑄鐵

7—1應力狀態(tài)的概念問題的提出塑性材料拉伸時為什么會出現滑移線？

目錄低碳鋼鑄鐵7—1應力狀態(tài)的概念脆性材料扭轉時為什么沿45o螺旋面斷開？

目錄

橫截面上正應力分析和切應力分析的結果表明：同一面上不同點的應力各不相同，此即應力的點的概念。FQMzFN

7—1應力狀態(tài)的概念橫力彎曲{cos

sinsin2

直桿拉伸應力分析結果表明：即使同一點不同方向面上的應力也是各不相同的，此即應力的面的概念。7—1應力狀態(tài)的概念FpF F

pcoscos2psin

2直桿拉伸

k

k k kMzaSMFlT

FFa目錄T

2137—1應力狀態(tài)的概念

y

S平面x1σz

T WtWz

4

Mz3MzWzσ

TWt1,2,3123yxxy

z

zzx

zy

xz

yz

xyyx單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正應力稱為主應力，分別用表示，并且該單元體稱為主應力單元體。1237—1應力狀態(tài)的概念目錄7—1應力狀態(tài)的概念目錄（1）單向應力狀態(tài)：三個主應力中只有一個不為零（2）平面應力狀態(tài)：三個主應力中有兩個不為零（3）空間應力狀態(tài)：三個主應力都不等于零平面應力狀態(tài)和空間應力狀態(tài)統(tǒng)稱為復雜應力狀態(tài)Fl/2l/2S平面7—1應力狀態(tài)的概念

S平面Fl

4MzF

2543 2 11232231ayt

n

a

dA

tF0

xα

xy

yxFn0

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法1.斜截面上的應力目錄xxy

yx

yxy0Fxyyxyt

n

adA

t

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法

列平衡方程a

x

α

ndA

xy

(dA

cos)sinx(dA

cos)cos

yx

(dA

sin)cosy(dA

sin)sin0

F0

dA

xy

(dA

cos)cosx(dA

cos)sin

yx

(dA

sin)siny(dA

sin)cos0

目錄cos2(1cos2)sin(1cos2)利用三角函數公式

1 2

21 22sincossin2{并注意到y(tǒng)x

xy

化簡得

11 22 1 2

目錄7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法正應力：拉為正；壓為負切應力：使微元順時針方向轉動為正；反之為負。α角：由x軸正向逆時針轉到斜截面外法線時為正；反之為負。yx

xy

a

αyx

na

xt目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法2.正負號規(guī)則xxyyx

yxy2sin2cos)()(xyyxyx

d2cos22sin)(xyyx

202τcos2ατsin2α0α0xy01122確定正應力極值d設α＝α0時，上式值為零，即

(xy)sin202xy

cos2003.正應力極值和方向2xy(σσ)即α＝α0時，切應力為零目錄7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法y4xyy4xy

2xyxytan20

由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應力和最小正應力（主應力）所在平面。 所以，最大和最小正應力分別為：22 221212xx

xy

2xy

2maxmin主應力按代數值排序：σ1σ2σ3

目錄7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法yxxyx60MPa，xy

30MPa,

y40MPa,30。試求（1）斜面上的應力；

（2）主應力、主平面； （3）繪出主應力單元體。已知目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法例題1：一點處的平面應力狀態(tài)如圖所示。cos2xysin2xyxycos(60)30sin(60)

2260406040 22sin2xycos29.02MPa

xy

2sin(60)30cos(60)6040 2yxxy58.3MPa

目錄7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法

解：（1）斜面上的應力xyxy2)xyxy2)xy22max(

2

68.3MPaxy

222(minyxxy

48.3MPa168.3MPa,20,348.3MPa

目錄7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法

（2）主應力、主平面2xytg

20x0.6主平面的方位：

xy

60 6040015.5,015.590105.5yxy代入表達式可知

目錄7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法yxxy

115.53目錄

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法（3）主應力單元體：2xyxytg

20045maxxyxyminxy

2222max1xymin3xyxy3

7-3二向應力狀態(tài)分析-解析法純剪切應力狀態(tài)

135

或

45

1此現象稱為純剪切xy2)(xy2222)2xy(7-4二向應力狀態(tài)分析-圖解法

11 22

1 2這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應力圓

目錄xy2xy2)()2xyxy2R22(

22R()2xy1.應力圓：

Cxy

2

目錄7-4二向應力狀態(tài)分析-圖解法(y,yx)xy2

D/

)2xy

2

D(x,xy)

xy

R(

Rcxyy

yx

D Axy

x

2目錄

7-4二向應力狀態(tài)分析-圖解法2.應力圓的畫法H(a,a)xy

xyy

yxH微元某一截面上的正應力和切應力

n

2D(x,xy)

c

xD/

(y,yx)

xy

2

目錄

7-4二向應力狀態(tài)分析-圖解法

3、幾種對應關系點面對應—應力圓上某一點的坐標值對應著定義27-5三向應力狀態(tài)

1

3三個主應力都不為零的應力狀態(tài)

目錄13max1由三向應力圓可以看出：

2

結論：

代表單元體任意斜13

22

307-5三向應力狀態(tài)截面上應力的點，必定在三個應力圓圓周上或圓內。

目錄xy1）軸向拉壓胡克定律

xEx

橫向變形

x

yx

E

2）純剪切胡克定律x

7-8廣義胡克定律1.基本變形時的胡克定律G

目錄12311

1E12312

E)3

E

7-8廣義胡克定律2、三向應力狀態(tài)的廣義胡克定律－疊加法123

目錄=()+(

E)+(33122312311E7-8廣義胡克定律121231

E

1

E

目錄xyzxyxy

yz

zxyz

zx

1

E 1

E 1

EG

[x(yz)][y(zx)][z(xy)]

GGxy

zzx

zy

xz

yz

xyyx

7-8廣義胡克定律3、廣義胡克定律的一般形式目錄[][][]

FN,max

AMmax

W（拉壓）max（彎曲）max*z[]（彎曲）max（扭轉）max

FsS bIz

TWp（正應力強度條件）

max[]（切應力強度條件）

max[]

7-11四種常用強度理論桿件基本變形下的強度條件目錄

maxmax

max[]滿足max[]是否強度就沒有問題了？

目錄7-11四種常用強度理論強度理論：

人們根據大量的破壞現象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。為了建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關于材料破壞原因的假設及計算方法。目錄7-11四種常用強度理論(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，(2)塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。 關于斷裂的強度理論： 最大拉應力理論和最大伸長線應變理論變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。 關于屈服的強度理論： 最大切應力理論和形狀改變比能理論

目錄

7-11四種常用強度理論構件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式b011－構件危險點的最大拉應力00－極限拉應力，由單拉實驗測得

目錄

7-11四種常用強度理論1.最大拉應力理論（第一強度理論） 無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,

都是由于微元內的最大拉應力達到簡單拉伸時的破 壞拉應力數值。1斷裂條件強度條件

鑄鐵拉伸1b

b

n

鑄鐵扭轉

目錄

7-11四種常用強度理論最大拉應力理論（第一強度理論）1Eb

/2.最大伸長拉應變理論（第二強度理論）

無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內的最大拉應變（線變形）達到簡單拉伸時的破壞伸長應變數值。00－極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得1－構件危險點的最大伸長線應變

1

[1(23)]/E0目錄7-11四種常用強度理論強度條件[]1(23)b

n斷裂條件b

E

1E[1(23)]1(23)b即實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。

目錄

7-11四種常用強度理論最大伸長拉應變理論（第二強度理論）maxs/2max

0－構件危險點的最大切應力

max(13)/20－極限切應力，由單向拉伸實驗測得

0

目錄

7-11四種常用強度理論

3.最大切應力理論（第三強度理論） 無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元內的最大切應力達到了某一極限值。強度條件低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉

目錄13s

ns

7-11四種常用強度理論最大切應力理論（第三強度理論）

屈服條件1、未考慮2的影響，試驗證實最大影響達15%。2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現象。

目錄

7-11四種常用強度理論

最大切應力理論（第三強度理論）實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。(max0)

局限性：

0sf－形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得

目錄

7-11四種常用強度理論

4.形狀改變比能理論（第四強度理論） 無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的最大形狀改變比能達到一個極限值。

0

sf屈服條件強度條件形狀改變比能理論（第四強度理論）實驗表明：對塑性材料，此理論比第三強度理論更符合試驗結果，在工程中得到了廣泛應用。目錄7-11四種常用強度理論r,11[]強度理論的統(tǒng)一表達式：r[]相當應力r,21(23)[]r,313[]目錄7-11四種常用強度理論1{3r3132427-11四種常用強度理論例題

已知：和。試寫出最大切應力準則和形狀改變比能準則的表達式。

解：首先確定主應力242242

1 2220

1 2212r4[(12)2(23)2(31)2]232第八章組合變形目錄第八章組合變形§8-1§8-2§8-3§8-4目錄組合變形和疊加原理拉伸或壓縮與彎曲的組合斜彎曲扭轉與彎曲的組合

目錄

§8-1組合變形和疊加原理組合變形工程實例

壓彎組合變形10-1目錄拉彎組合變形組合變形工程實例目錄§8-1組合變形和疊加原理彎扭組合變形組合變形工程實例目錄§8-1組合變形和疊加原理疊加原理

構件在小變形和服從胡克定理的條件下，力的獨立性原理是成立的。即所有載荷作用下的內力、應力、應變等是各個單獨載荷作用下的值的疊加解決組合變形的基本方法是將其分解為幾種基本變形；分別考慮各個基本變形時構件的內力、應力、應變等；最后進行疊加。目錄§8-1組合變形和疊加原理斜彎曲外力分析內力分析應力分析

目錄

§8-1組合變形和疊加原理研究內容F拉（壓）彎組合變形彎扭組合變形

laS+=§8-2拉伸或壓縮與彎曲的組合10-3目錄+=+=F Act,maxc,maxFlWt,maxF A

FlWc,max

t,maxc,max

FlWt,max

FlWc,max

F[t] A[c]目錄§8-2拉伸或壓縮與彎曲的組合A15000mm2

z075mm

z1125mmIy5.31107mm4

FNFMF35075103FF350FM1501505050（2）立柱橫截面的內力

FNz1y1

350

yz0425F103Nm

目錄

§8-2拉伸或壓縮與彎曲的組合

例題8-1

鑄鐵壓力機框架，立柱橫截面尺寸如圖所示，材料的許用拉應力[t]＝30MPa，許用壓應力[c]＝120MPa。試按立柱的強度計算許可載荷F。

解：（1）計算橫截面的形心、 面積、慣性矩t.maxMz0F425103F0.075N425103F0.125

A15000mm2z075mmIy5.31107mm4z1125mm（3）立柱橫截面的最大應力t.maxc.max

F15103

N

IyA5

5.3110667FPa

FNFM425103FN.mF AMz1

Iy

F15103

5.31105934FPac.maxF350FNM目錄§8-2拉伸或壓縮與彎曲的組合t.maxc.maxF350FNM

c.max

934F（4）求壓力F

t.max667Ft45000NFt30106667667c.max934Fc128500NFc120106934934許可壓力為F45000N45kN

目錄§8-2拉伸或壓縮與彎曲的組合

t.max667F

§8-3平面彎曲斜彎曲

斜彎曲

目錄§8-3斜彎曲

Fy

Fcos

Fz

Fsin

(1)內力分析

坐標為x的任意截面上

Mz

Fy

(lx)F(lx)cos

MyFz

(lx)F(lx)sin

固定端截面

MzmaxFlcos

MymaxFlsin

目錄xMyzycoszsin§8-3斜彎曲

(2)應力分析

x截面上任意一點（y，z）)正應力

Mzy IzIy

F(lx)(

IzIyy0cosz0siny0cosz0sintantan§8-3斜彎曲

中性軸上F(lx)(

0IzIy

y0Iz

z0Iy目錄

中性軸方程

)0IzIyMyMy

maxWyMzmax

WztmaxD1點：D2點：強度條件：§8-3t,max[t]c,max

[c]目錄

斜彎曲固定端截面

maxWyMzmax

WzcmaxtmaxcmaxFz

lfy2fz2ftanIzIyfzfytan正方形IyIz§8-3斜彎曲

撓度：ffzfy目錄

Fyl33EIzfy

33EIyfz矩形IyIz

斜彎曲

平面彎曲MzFaS1

TWp

τσ

Wz3

TWpτMzWzσMFlTFa目錄§8-4扭轉與彎曲的組合

S平面zMz43T

21xMzMzτWpxy4xy2xy1224201xy4xy2xy12242011

TWpτ3WzσMWσ

Wz

T

Wp

T

22

22 22

22max

min 目錄§8-4扭轉與彎曲的組合1131MW

T WP242242

2220

22§8-4扭轉與彎曲的組合

第三強度理論：圓截面

目錄1131MW

TWp242242

2220

22第四強度理論：

目錄§8-4扭轉與彎曲的組合dD1第三強度理論：M2T2[]

1Wr3第四強度理論：M20.75T2[]

1Wr4

式中W為抗彎截面系數，M、T為軸危險截面的彎矩和扭矩

332W4

332W目錄

§8-4扭轉與彎曲的組合塑性材料的圓截面軸彎扭組合變形解：（1）受力分析，作計算簡圖200150

目錄

§8-4扭轉與彎曲的組合

例題8-2

傳動軸左端的輪子由電機帶動，傳入的扭轉力偶矩Me=300Nm。兩軸承中間的齒輪半徑R=200mm，徑向嚙合力F1=1400N，軸的材料許用應力〔σ〕=100MPa。試按第三強度理論設計軸的直徑d。

（2）作內力圖300N.m

128.6N.m120N.m200300N.m

1500N1501400N§8-4扭轉與彎曲的組合F2RMe300 0.21500NF2Me

R

危險截面：E左處

T300N.mMMy2Mz2176N.m

目錄MW

TWp目錄M2T2

Wr3r4M20.75T2

W

§8-4扭轉與彎曲的組合（3）應力分析，由強度條件設計dMT32MT32176300100102

2Wr3d3

32W32

2d36223

目錄§8-4扭轉與彎曲的組合小結1、了解組合變形桿件強度計算的基本方法2、掌握斜彎曲和拉（壓）彎組合變形桿件的應力和強度計算3、了解平面應力狀態(tài)應力分析的主要結論4、掌握圓軸在彎扭組合變形情況下的強度條件和強度計算目錄第九章壓桿穩(wěn)定第九章壓桿穩(wěn)定目錄§9.1§9.2§9.3§9.4§9.5§9.6壓桿穩(wěn)定的概念兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力歐拉公式的適用范圍經驗公式壓桿的穩(wěn)定校核提高壓桿穩(wěn)定性的措施§9.1壓桿穩(wěn)定的概念在材料力學中，衡量構件是否具有足夠的承載能力，要從三個方面來考慮：強度、剛度、穩(wěn)定性。穩(wěn)定性—構件在外力作用下，保持其原有平衡狀態(tài)的能力。目錄§9.1壓桿穩(wěn)定的概念工程實際中有許多穩(wěn)定性問題，但本章主要討論壓桿穩(wěn)定問題，這類問題表現出與強度問題截然不同的性質。F目錄

不穩(wěn)定平衡

微小擾動就使小球遠離原來的平衡位置

穩(wěn)定平衡 微小擾動使小球離開原來的平衡位置，但擾動撤銷后小球回復到平衡位置目錄§9.1壓桿穩(wěn)定的概念§9.1壓桿穩(wěn)定的概念壓力等于臨界力壓力大于臨界力壓力小于臨界力目錄

壓桿喪失直線狀態(tài)的平衡，過渡到曲線狀態(tài)的平衡。稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)，也稱為屈曲壓力等于臨界力壓桿的穩(wěn)定性試驗§9.1壓桿穩(wěn)定的概念目錄§9.2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力

臨界壓力—能夠保持壓桿在微小彎曲狀態(tài)下平衡的 最小軸向壓力。彎矩MFw令撓曲線近似微分方程 則 通解

目錄§9.2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力

邊界條件：

若則（與假設矛盾）所以

目錄w得當時，臨界壓力

歐拉公式撓曲線方程§9.2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力

w目錄Fcr

2lx,wA§9.2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力

----歐拉公式2、

1

l

桿長，Fcr小，易失穩(wěn)Fcr

EI

剛度小，Fcr小，易失穩(wěn)x lk

1、適用條件：

?理想壓桿（軸線為直線，壓力與軸線 重合，材料均勻）

?線彈性，小變形

?兩端為鉸支座3、在Fcr作用下，,wAsin

l

2撓曲線為一條半波正弦曲線 即A為跨度中點的撓度目錄例題解：截面慣性矩§9.2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力臨界壓力269103N269kN

目錄一端固定一端自由2EI

(2l)2Fcr

§9.3其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力

對于其他支座條件下細長壓桿，求臨界壓力有兩種方法：1、從撓曲線微分方程入手2、比較變形曲線

B

A

Cll目錄EI一端固定FEI(0.7l)2§9.3其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力lC0.7lFcrB4lBCDl2Fcr

l 4

2(0.5l)2

A兩端固定Fcr

2

A一端鉸支cr目錄Fcr

(l)§9.3其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力長度系數（無量綱）歐拉公式的普遍形式：π2EI

2Fcr

兩端鉸支

2EI (l)2xyOFxF

ll相當長度（相當于兩端鉸支桿）

目錄§9.3其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力目錄E§9.4歐拉公式的適用范圍經驗公式

1、臨界應力2 2cr

目錄{icrEE§9.4歐拉公式的適用范圍經驗公式

l

桿長 約束條件截面形狀尺寸

集中反映了桿長、約束條件、截面形狀尺寸對的影響。2、歐拉公式適用范圍

1歐拉公式只適用于大柔度壓桿pcr

2 2當

2p即2E

p1令目錄cr

abas

b2(小柔度桿)cr

s§9.4歐拉公式的適用范圍經驗公式

3、中小柔度桿臨界應力計算a、b—材料常數scr

p當21(中柔度桿)即

經驗公式（直線公式）cr

sas

b2令目錄l i?壓桿柔度IAμ四種取值情況，i

2(小柔度桿)

?臨界柔度

P—比例極限

b

?臨界應力

2E

212(中柔度桿)cr

ab直線公式強度問題cr

s§9.4歐拉公式的適用范圍經驗公式目錄§9.4歐拉公式的適用范圍經驗公