西安科技大2010年入學(xué)考試試題答科目 科目名稱：數(shù)學(xué)分析一、計(jì)算下列各題（840分1xbxa1、設(shè)ba0，計(jì)算積分I lnxdx1xb

b 解：I ln

dx0dxaxdyx在[0,1][abI1dxbxydybdy1xydxbdylnb1

ay

a2、確定的值,

B(x44xy3dx AAB分別為(00)、(12)yPx44xy3Py

21

(x44xy3)dx1dx52y3dx22x5B(x44xy3dx Ay3、計(jì)算exydxdyDx0y0xy1D解：作變換Txuv

0x

0u1，J(u,v)y

y1u e1

v原式eududvdueudv 24x0fxxxf(t)dtAxk2kA

3 3

3fx0

f(t)dtAx等價(jià)無窮小，所以lim

3

f

t A

x3x

x06Akxk x06Akxk所以由 1．可得k A1x06Akxk 5z

fx2

y2，

2f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求xyz2xf/yf 2 xyf

4xyf11

y 二、證明下列各題（1050分1證明：不妨設(shè)數(shù)列an單調(diào)遞增由上界，由確界原理知數(shù)列an別有上確界，asupan。由上確界的定義知0，存在數(shù)列an的某一aNanaN，由數(shù)列an的遞增性有當(dāng)nN時(shí)an

an。另一方面有anaa，故當(dāng)nN時(shí)an

aaa，即limaa 2f(x)x2在(,0證明：取1，無論多么小的正數(shù)x0

1,x

1

2，雖有x/x

2x2x

x/x

x/x

(23)1 f(x)x2在(, ln3

3、證明：當(dāng)xln2時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nenx一致收斂，并計(jì)算

dx證明： ，

n n nn2M

ln2nenx一致收斂 n1

ln3

nenxdx

ln3nenxdx

(

1)232232

ln

4、求證：當(dāng)x0時(shí)，exx2ax1a0證明：令f(xexx2ax1fxex2xafxexxln2時(shí)，fx)0fx在[0ln2

fx在[ln2,xln2時(shí)，fx)0xln2fx)fln2)22ln2a0f(x在[0,以exx2ax1a05、求證：

y2xy2x2)2dx在(,

y2x(y2y2x(y2x2)2

y2x1x2dxM判別法知1y2x2)2dx在(,（12分(x3az2dydzy3ax2dzdxz3ay2dxdy，其中SSa2a2x2y解：解：取S z 的上側(cè)，其投影為D：x2y21x2y2aI(x3az2)dydz(y3ax2)dzdx(z3ay2)S(x3az2)dydz(y3ax2)dzdx(z3ay2)3(x2y2z2)dVayV

d2d

r4sindr

ada

r3dr

。

2 （12分求冪級(jí)數(shù)n1x2nn02n解：因?yàn)榇藘缂?jí)數(shù)為缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)，記u(x)n1由于

unun1un

2n(n(n2n2n1(n1)!(n所以，冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?n1

x2 1x2由于2nn

2nn! 2nn! (n

) nn

1)!

n0n! x2

1 而 )n

)n1

e2

)nen1(n1)!

n1(n1)!

n0n!所以，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x)

e

e

x 1)ex

(x2 2（12分zx2y2xyz1x2y2解：設(shè)(x,y,z)為橢圓上任一點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為d x2y2L(xyzx2y2z2(x2y2z(xyLx2x2xL 2y2yLL2zx3 3xy12

3,z2dmin

9

3,dmax

9

3Admindmax

6（12分f(x在[ab連續(xù)，在(a,bfx)0,abf/()ebea f ba f(x在[ab連續(xù)，在(a,babf/()

f(bf(a)bf(xex在[ab連續(xù)，在(a,babf/()

f(bf(a)ebf/()ebea

f/ ba七（12分 設(shè)f(x)[0,1]上連續(xù),0f(x)dxxf(x)dx1，則必存在f()4f(x在[0,1上連續(xù)，則必存在[0,1]f()maxf(xM由于1(x1f(x)dx=1 11(x1)f