概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識寧波南車時(shí)代傳感技術(shù)有限公司質(zhì)量安全部概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識寧波南車時(shí)代傳感技術(shù)有限公司目錄Page

2第二部分隨機(jī)變量及其分布第一部分概率基礎(chǔ)知識目錄Page2第二部分隨機(jī)變量及其分布第一部分概率基礎(chǔ)概率基礎(chǔ)知識一、事件與概率（一）隨機(jī)現(xiàn)象1、定義：在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。2、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：⑴隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)；⑵至于哪一個(gè)出現(xiàn)，事先人們并不知道。3、樣本點(diǎn)（抽樣單元）：隨機(jī)現(xiàn)象中的每一個(gè)可能結(jié)果，稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，又稱為抽樣單元。4、樣本空間：隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為Ω。認(rèn)識一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象首要的就是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。Page

3概率基礎(chǔ)知識一、事件與概率Page3[例]⑴一天內(nèi)進(jìn)某超市的顧客數(shù):Ω={0,1,2,······}⑵一顧客在超市購買的商品數(shù):Ω={0,1,2,······}⑶一顧客在超市排隊(duì)等候付款的時(shí)間:Ω={t:t≥0}⑷一顆麥穗上長著的麥粒個(gè)數(shù):Ω={0,1,2,······}⑸新產(chǎn)品在未來市場的占有率:Ω={[0,1]}⑹一臺電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間:Ω={t:t≥0}⑺加工機(jī)構(gòu)軸的直徑尺寸:Ω={}⑻一罐午餐肉的重量：Ω={G±g}概率基礎(chǔ)知識Page

4[例]概率基礎(chǔ)知識Page4（二）隨機(jī)事件定義：隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，常用大寫字母A、B、C等表示。1、隨機(jī)事件的特征⑴任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集；⑵事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生；⑶事件A的表示可用集合，也可用語言，但所用的語言應(yīng)是明確無誤的；⑷任一樣本空間都有一個(gè)最大子集，這個(gè)最大子集就是Ω，它對應(yīng)的事件就是必然事件，仍用Ω表示；⑸任一樣本空間都有一個(gè)最小子集，這個(gè)最小子集就是空集，它對應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為φ。概率基礎(chǔ)知識Page

5（二）隨機(jī)事件概率基礎(chǔ)知識Page52、隨機(jī)事件之間的關(guān)系⑴包含：【若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件B包含事件A，記為B

A或A

B?！?/p>

⑵互不相容：【若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱事件A與B互不相容?！浚ɑコ猓?/p>

兩個(gè)事件間的互不相容性可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容。概率基礎(chǔ)知識ABBASA與B互斥ABPage

62、隨機(jī)事件之間的關(guān)系概率基礎(chǔ)知識ABBASA與B互斥A⑶相等：【若事件A與B有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等?！咳羰录嗀包含事件B，事件B也包含事件A，則稱事件A和B相等。[例]擲骰子：Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，設(shè)事件A=“等于小于4的數(shù)”={1，2，3，4}，事件B=“偶數(shù)”={2，4，6}，顯然A與B有相同的樣本點(diǎn){2，4}，但事件A與B并不相等?？啥x為“若事件A與B有完全相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等”。5Ω概率基礎(chǔ)知識Page

7⑶相等：【若事件A與B有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等?！浚ㄈ┦录倪\(yùn)算⑴對立事件（又稱為互逆事件或逆事件）【在Ω中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對立事件（互逆事件）。記為（讀非A）?！喀父怕驶A(chǔ)知識互逆事件A補(bǔ)充：互斥事件與互逆事件的區(qū)別：互斥事件：若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=φ，則稱事件A與B互不相容?；ツ媸录喝羰录嗀+B=Ω，AB=φ，則稱A與B為互逆事件（對立事件）。①兩事件互逆，必定互斥；但兩事件互斥，不一定互逆。②互斥事件適用于多個(gè)事件,但互逆事件只適用于兩個(gè)事件。③兩事件互斥，只表明兩事件不能同時(shí)出現(xiàn)，即至多只能出現(xiàn)其中一個(gè)，但可以都不出現(xiàn)。兩個(gè)事件互逆，則表示兩個(gè)事件之中有且僅有一個(gè)出現(xiàn)，即肯定了至少有一個(gè)出現(xiàn)。Page

8（三）事件的運(yùn)算Ω概率基礎(chǔ)知識互逆事件A補(bǔ)充：互斥事件與互逆⑵事件A與B的并（又稱為和事件）【由事件A與事件B中所有樣本點(diǎn)組成的新事件為A與B的并，記為A∪B或A+B。并事件意味著事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。】Ω概率基礎(chǔ)知識A∪BABS⑶事件A與B的交（又稱為積事件）【由事件A與事件B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為為事件A與B的交，記為A∩B，簡記為AB。交事件意味著事件A與事件B同時(shí)發(fā)生?！緼BABPage

9⑵事件A與B的并（又稱為和事件）【由事件A與事件B中所有樣本⑷事件A對B的差【由在事件A中而不在事件B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A對B的差，記為A－B?！?/p>

ΩΩ概率基礎(chǔ)知識A-BBA[例]：打靶，最高環(huán)數(shù)為10環(huán)。若設(shè)事件A=擊中三環(huán)以上的事件={3，4，5，6，7，8，9，10}，事件B=最多擊中4環(huán)的事件={0，1，2，3，4}。則A－B={5，6，7，8，9，10}=擊中5環(huán)以上的事件；另B－A={0，1，2}=最多擊中2環(huán)的事件Page

10⑷事件A對B的差【由在事件A中而不在事件B中的樣本點(diǎn)組成的新Page

11概率基礎(chǔ)知識事件運(yùn)算具有如下性質(zhì)：1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結(jié)合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶律：以上性質(zhì)都可推廣到多個(gè)事件運(yùn)算中去。[例]甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：Page11概率基礎(chǔ)知識事件運(yùn)算具有如下性質(zhì)：（四）概率—事件發(fā)生可能性大小的度量一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生可能性的大小用這個(gè)事件的概率P（A）來表示。概率是一個(gè)介于0到1之間的數(shù)。概率越大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小。特別地，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。即：

P(φ)=0

P(Ω)=1概率基礎(chǔ)知識Page

12（四）概率—事件發(fā)生可能性大小的度量概率基礎(chǔ)知識Page二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義（一）古典定義用概率的古典定義確定概率方法的要點(diǎn)如下：（1）所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有n個(gè)樣本點(diǎn)；（2）每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的（等可能性）；（3）若被考察的事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為：概率基礎(chǔ)知識乘法原理：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法加法原理：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。可以推廣到多個(gè)步驟和途徑事件。Page

13二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義概率基礎(chǔ)知識乘法原理：設(shè)完成一件（二）統(tǒng)計(jì)定義用概率的統(tǒng)計(jì)定義確定概率方法的要點(diǎn)如下：（1）此隨機(jī)現(xiàn)象是能大量重復(fù)試驗(yàn)的；（2）若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生kn次，則事件A發(fā)生的頻率為（3）頻率會隨重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。Page

14概率基礎(chǔ)知識（二）統(tǒng)計(jì)定義Page14概率基礎(chǔ)知識[例]投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右。概率基礎(chǔ)知識試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125Page

15[例]概率基礎(chǔ)知識試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.00三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則（一）概率的基本性質(zhì)及加法法則性質(zhì)1：概率是非負(fù)的，且數(shù)值介于0與1之間，

0≤P(A)≤1，特別，P(φ)=0,P(Ω)=1性質(zhì)2：

或性質(zhì)3：若AB，則性質(zhì)4：性質(zhì)5：概率基礎(chǔ)知識Page

16三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則概率基礎(chǔ)知識Page16Page

17（二）條件概率、概率的乘法法則及事件的獨(dú)立性（1）條件概率與概率的乘法法則條件概率要涉及兩個(gè)事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。條件概率的計(jì)算公式為：性質(zhì)6：（乘法法則）對任意兩個(gè)隨機(jī)事件A與B，有

P（AB）=P(B)P（A|B）P(B)>0=P(A)P（B|A）P(A)>0

概率基礎(chǔ)知識Page17（二）條件概率、概率的乘法法則及事件的獨(dú)立（2）獨(dú)立性與獨(dú)立事件的概率

設(shè)有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不依賴另一個(gè)事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨(dú)立。性質(zhì)7：假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為

性質(zhì)8：假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)等于事件A的(無條件)概率P(A)。概率基礎(chǔ)知識Page

18（2）獨(dú)立性與獨(dú)立事件的概率概率基礎(chǔ)知識Page18Page

19[例]一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購買了同一種計(jì)算機(jī)配件，質(zhì)量狀況如下表所示

從這200個(gè)配件中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，求

(1)

取出的一個(gè)為正品的概率

(2)

取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件的概率

(3)取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的正品的概率

(4)已知取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率甲乙兩個(gè)供應(yīng)商提供的配件正品數(shù)次品數(shù)合計(jì)供應(yīng)商甲84690供應(yīng)商乙1028110合計(jì)18614200概率基礎(chǔ)知識Page19[例]甲乙兩個(gè)供應(yīng)商提供的配件正品數(shù)次品Page

20概率基礎(chǔ)知識解：設(shè)A=取出的一個(gè)為正品

B=取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件（1）

（2）

（3）

（4）Page20概率基礎(chǔ)知識解：設(shè)A=取出的一個(gè)為正Page

21[例]某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%，余下的30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有80%的產(chǎn)品可以出廠，20%的產(chǎn)品要報(bào)廢。求該廠產(chǎn)品的報(bào)廢率。解：設(shè)A={生產(chǎn)的產(chǎn)品要報(bào)廢}B={生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試}已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，概率基礎(chǔ)知識Page21[例]概率基礎(chǔ)知識隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量1、定義：用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫字母X、Y、Z等表示隨機(jī)變量，而隨機(jī)變量的值用小寫字母x、y、z表示。例如，在燈泡壽命試驗(yàn)中，令X為“燈泡壽命”(小時(shí))，則X為一隨機(jī)變量。{X>500}，{X≤1000}，{800<X≤1200}等表示了不同的隨機(jī)事件。2、分類：Page

22隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量Page22離散型隨機(jī)變量：假如一個(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)，則稱此隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量：假如一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間（a，b），則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)隨機(jī)變量。二、隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，但其內(nèi)在還是有規(guī)律性的，這個(gè)規(guī)律可以用分布來描述。認(rèn)識一個(gè)隨機(jī)變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布。分布包含如下兩方面的內(nèi)容：（1）X可能取哪些值，或在哪個(gè)區(qū)間上取值。（2）X取這些值的概率各是多少，或X在任一小區(qū)間上取值的概率是多少？隨機(jī)變量及其分布Page

23離散型隨機(jī)變量：假如一個(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)Page

24（一）離散型隨機(jī)變量的分布若隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)值或可列無窮多個(gè)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。設(shè)X的所有可能取值為，為了描述隨機(jī)變量X，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率。

定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布簡稱分布列,又稱分布律。其中(k=1,2,…)滿足：（1）k=1,2,…（2）隨機(jī)變量及其分布Page24（一）離散型隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量及其分布Page

25[例]某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布。解：X可取0、1、2為值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1也可表示為：這就是X的概率分布列。隨機(jī)變量及其分布Page25[例]隨機(jī)變量及其分布（二）連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，也可以用f(x)表示。連續(xù)型隨機(jī)變量還可用概率分布函數(shù)F(x)表示。對連續(xù)型隨機(jī)變量X，如果存在非負(fù)可積函數(shù)?(x)，使得對任意實(shí)數(shù)x，有則稱?(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度。由上述性質(zhì)可知，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),則X在任意區(qū)間G(G可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間;可以是有限區(qū)間,也可以是無窮區(qū)間)上取值的概率為：隨機(jī)變量及其分布Page

26（二）連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量及其分布Page26Page

27隨機(jī)變量及其分布Page27隨機(jī)變量及其分布三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量X的分布（概率函數(shù)或密度函數(shù)）有幾個(gè)很重要的特征數(shù)，用來表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。兩個(gè)最重要的特征數(shù)：1)均值：表示分布的中心位置，E(x)2)方差：表示分布的散布大小，Var(x)1、均值的計(jì)算公式隨機(jī)變量及其分布Page

28三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量及其分布Page2、方差的計(jì)算公式3、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式隨機(jī)變量及其分布Page

292、方差的計(jì)算公式隨機(jī)變量及其分布Page2930隨機(jī)變量及其分布30隨機(jī)變量及其分布均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)：（1）設(shè)X為隨機(jī)變量，a與b為任意常數(shù)，則有：E(aX+b)=aE(X)+b

Var(aX+b)=a2Var(X)（2）對任意兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2，有：

E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

（3）設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立，則有：

Var(X1

±X2)=Var(X1)+Var(X2)隨機(jī)變量及其分布Page

31均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)：隨機(jī)變量及其分布Page31四、常用分布（一）常用離散型分布

常用離散型隨機(jī)變量的分布有：單點(diǎn)分布（退化分布）、兩點(diǎn)分布（0-1分布）、幾何分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布等，按教材重點(diǎn)介紹后三種。隨機(jī)變量及其分布Page

32四、常用分布隨機(jī)變量及其分布Page321、二項(xiàng)分布1）重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)；2）n次試驗(yàn)間相互獨(dú)立；3）每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果；4）成功的概率為p，失敗的概率為1-p；在上述四個(gè)條件下，設(shè)x表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，則有這個(gè)分布稱為二項(xiàng)分布，記為b（n，p）。均值：E(x)=np方差：Var(x)=np(1-p)隨機(jī)變量及其分布Page

331、二項(xiàng)分布隨機(jī)變量及其分布Page33Page

34[例]有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?解：設(shè)1000輛車通過，出事故的次數(shù)為X，則故所求概率為二項(xiàng)分布泊松分布隨機(jī)變量及其分布Page34[例]二項(xiàng)分布2、泊松分布在一定時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)在空間給定區(qū)域的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k的概率服從泊松分布：泊松分布可用來描述不少隨機(jī)變量的概率分布。例如：1）一塊鋼板上的氣泡數(shù)；

2）一本書上面的印刷錯(cuò)誤；

3）排隊(duì)等候的人數(shù)；

4）某地區(qū)某月發(fā)生的交通事故；這個(gè)分布就稱為泊松分布，記為P(λ)。其均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差為：

E(x)=λVar(x)=λσ(x)=隨機(jī)變量及其分布Page

352、泊松分布隨機(jī)變量及其分布Page35[例]一大批產(chǎn)品，其廢品率為0.015，求任取100件產(chǎn)品，其中有1件不合格品的概率。解：此時(shí)

n=100p=0.015，np=1.5若按二項(xiàng)分布計(jì)算：若按泊松分布計(jì)算：比較兩種計(jì)算結(jié)果可以看出，兩者計(jì)算結(jié)果的誤差不超過1%。隨機(jī)變量及其分布Page

36[例]隨機(jī)變量及其分布Page363、超幾何分布其中，r=min（n，M），這個(gè)分布稱為超幾何分布，記為h（n，N，M）。其均值、方差為：超幾何分布用于從有限的整體中進(jìn)行不放回抽樣。隨機(jī)變量及其分布Page

373、超幾何分布隨機(jī)變量及其分布Page37Page

38[例]在某年級的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出5個(gè)球.至少摸到3個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率。解：設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為X,則X服從超幾何分布,其中,于是由超幾何分布模型得中獎(jiǎng)的概率≈0.191隨機(jī)變量及其分布Page38[例]隨機(jī)變量及其分布常用離散型隨機(jī)變量分布匯總名稱符號均值方差二項(xiàng)分布b(n,p)npnp(1-p)超幾何分布h(n,N,M)泊松分布P(λ)λλ隨機(jī)變量及其分布Page

39常用離散型隨機(jī)變量分布匯總名稱符號均值方差二（二）正態(tài)分布1、正態(tài)分布的概率密度函數(shù)它的圖形是對稱的鐘形曲線，常稱為正態(tài)曲線。正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)μ和σ，常記為N（μ，σ2）。隨機(jī)變量及其分布Page

40（二）正態(tài)分布隨機(jī)變量及其分布Page402、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

μ=0且σ=1的分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。也記為U。1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表①P(U≤a)=P(U<a)=Φ(a)②P(U>a)=1-Φ(a)③Φ(-a)=1-Φ(a)④P(a≤U≤b)=Φ(b)-Φ(a)⑤P(|U|≤a)=P(-a≤U≤a)=Φ(a)-Φ(-a)=2Φ(a)-1隨機(jī)變量及其分布Page

412、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量及其分布Page413、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)分位數(shù)是一個(gè)基本概念，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）來敘述分位數(shù)概念。一般說來，對任意介于0與1之間的實(shí)數(shù)α，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的α分位數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)，它的左側(cè)面積恰好為α，它的右側(cè)面積恰好為1-α，用概率的語言來說，α分位數(shù)是滿足下列等式的實(shí)數(shù)：

P(U≤uα)=α關(guān)于分位數(shù)的正負(fù)符號問題：0.5分位數(shù),即50%分位數(shù),也稱為中位數(shù)。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布場合：u0.5=0

當(dāng)α<0.5時(shí),uα<0(負(fù)數(shù))α>0.5時(shí),uα>0(正數(shù))①α或1-α永遠(yuǎn)為正（概率必為正）②uα

與-uα對應(yīng)（下標(biāo)相同，加負(fù)號）③uα

與u1-α對應(yīng)（下標(biāo)不同，不加負(fù)號）隨機(jī)變量及其分布Page

423、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)隨機(jī)變量及其分布Page424、有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算正態(tài)分布計(jì)算是基于下面的重要性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：設(shè)X~N（μ，σ2），則對任意實(shí)數(shù)a、b有：①②③隨機(jī)變量及其分布Page

434、有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算隨機(jī)變量及其分布Page43[例]某產(chǎn)品的質(zhì)量特性X~N(16,σ2),若要求P(12<X<20)≥0.8，則σ最大值應(yīng)為（）

A、u0.9/4B、4/u0.9C、u0.9/2D、2/u0.9解：隨機(jī)變量及其分布Page

44[例]隨機(jī)變量及其分布Page44產(chǎn)品質(zhì)量特性的不合格品率的計(jì)算1、質(zhì)量特性X的分布，在受控的情況下，常為正態(tài)分布；2、產(chǎn)品的規(guī)范限，常包括上規(guī)范限TU和下規(guī)范限TL。產(chǎn)品質(zhì)量特性的不合格品率為：

p

=pL+pU隨機(jī)變量及其分布Page

45產(chǎn)品質(zhì)量特性的不合格品率的計(jì)算隨機(jī)變量及其分布Page[例]某廠生產(chǎn)產(chǎn)品的長度服從N(10.05,0.052)(單位cm)，規(guī)定長度在10.00cm±0.10cm內(nèi)為合格品,則此產(chǎn)品不合格的概率是()A、Φ(3)+Φ(1)B、Φ(3)-Φ(1)C、1-Φ(1)+Φ(-3)D、Φ(1)-Φ(-3)解:

TL=10.00–0.10=9.90TU=10.00+0.10=10.10

pL=P(X<TL)=Φ(-3)

pU

=P(X>TU)=1-Φ(1)

p

=pL+pU=1-Φ(1)+Φ(-3)隨機(jī)變量及其分布Page

46[例]隨機(jī)變量及其分布Page46（三）其他連續(xù)分布1、均勻分布其均值、方差為：隨機(jī)變量及其分布Page

47（三）其他連續(xù)分布隨機(jī)變量及其分布Page47Page

48[例]某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即7:00，7:15，7:30，7:45等時(shí)刻，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率。解：依題意可知，X～U(0,30)，即為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7:10，到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站，則隨機(jī)變量及其分布Page48[例]隨機(jī)變量及其分布2、對數(shù)正態(tài)分布1）在正半軸（0，∞）上取值；2）這些隨機(jī)變量的大量取值在左邊，少量取值在右邊，并且很分散，因此也稱為“右偏分布”。3）最重要的特征：若隨機(jī)變量X服從對數(shù)正態(tài)分布，而經(jīng)過對數(shù)變換Y=lnX后服從正態(tài)分布。其均值、方差為：隨機(jī)變量及其分布Page

492、對數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)變量及其分布Page493、指數(shù)分布其均值、方差為：

E（X）=1/λVar（X）=1/λ2Page

50隨機(jī)變量及其分布3、指數(shù)分布Page50隨機(jī)變量及其分布Page

51[例]電子元件的壽命X(年）服從λ＝3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用2年的概率為多少？解：由已知得X的概率密度為隨機(jī)變量及其分布Page51[例]隨機(jī)變量及其分布Page

52隨機(jī)變量及其分布Page52隨機(jī)變量及其分布常用連續(xù)型隨機(jī)變量匯總名稱符號均值方差正態(tài)分布N(μ,σ2)μσ2均勻分布U(a，b)（b+a）/2(b-a)2/12對數(shù)正態(tài)分布LN(μ,σ2)指數(shù)分布Exp(λ)1/λ1/λ2Page

53隨機(jī)變量及其分布常用連續(xù)型隨機(jī)變量匯總名稱符號均值方差正態(tài)分布N(μ,σ2)54五、中心極限定理中心極限定理：設(shè)X1，X2，······Xn為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，均值μ、σ2都存在，則在n較大時(shí)，樣本均值的分布總是近似服從正態(tài)分布。Page

5454五、中心極限定理Page54Page

55謝謝!Page55謝謝!概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識寧波南車時(shí)代傳感技術(shù)有限公司質(zhì)量安全部概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識寧波南車時(shí)代傳感技術(shù)有限公司目錄Page

57第二部分隨機(jī)變量及其分布第一部分概率基礎(chǔ)知識目錄Page2第二部分隨機(jī)變量及其分布第一部分概率基礎(chǔ)概率基礎(chǔ)知識一、事件與概率（一）隨機(jī)現(xiàn)象1、定義：在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。2、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：⑴隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)；⑵至于哪一個(gè)出現(xiàn)，事先人們并不知道。3、樣本點(diǎn)（抽樣單元）：隨機(jī)現(xiàn)象中的每一個(gè)可能結(jié)果，稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，又稱為抽樣單元。4、樣本空間：隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為Ω。認(rèn)識一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象首要的就是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。Page

58概率基礎(chǔ)知識一、事件與概率Page3[例]⑴一天內(nèi)進(jìn)某超市的顧客數(shù):Ω={0,1,2,······}⑵一顧客在超市購買的商品數(shù):Ω={0,1,2,······}⑶一顧客在超市排隊(duì)等候付款的時(shí)間:Ω={t:t≥0}⑷一顆麥穗上長著的麥粒個(gè)數(shù):Ω={0,1,2,······}⑸新產(chǎn)品在未來市場的占有率:Ω={[0,1]}⑹一臺電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間:Ω={t:t≥0}⑺加工機(jī)構(gòu)軸的直徑尺寸:Ω={}⑻一罐午餐肉的重量：Ω={G±g}概率基礎(chǔ)知識Page

59[例]概率基礎(chǔ)知識Page4（二）隨機(jī)事件定義：隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，常用大寫字母A、B、C等表示。1、隨機(jī)事件的特征⑴任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集；⑵事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生；⑶事件A的表示可用集合，也可用語言，但所用的語言應(yīng)是明確無誤的；⑷任一樣本空間都有一個(gè)最大子集，這個(gè)最大子集就是Ω，它對應(yīng)的事件就是必然事件，仍用Ω表示；⑸任一樣本空間都有一個(gè)最小子集，這個(gè)最小子集就是空集，它對應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為φ。概率基礎(chǔ)知識Page

60（二）隨機(jī)事件概率基礎(chǔ)知識Page52、隨機(jī)事件之間的關(guān)系⑴包含：【若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件B包含事件A，記為B

A或A

B。】

⑵互不相容：【若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱事件A與B互不相容?！浚ɑコ猓?/p>

兩個(gè)事件間的互不相容性可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容。概率基礎(chǔ)知識ABBASA與B互斥ABPage

612、隨機(jī)事件之間的關(guān)系概率基礎(chǔ)知識ABBASA與B互斥A⑶相等：【若事件A與B有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等?！咳羰录嗀包含事件B，事件B也包含事件A，則稱事件A和B相等。[例]擲骰子：Ω=｛1，2，3，4，5，6｝，設(shè)事件A=“等于小于4的數(shù)”={1，2，3，4}，事件B=“偶數(shù)”={2，4，6}，顯然A與B有相同的樣本點(diǎn){2，4}，但事件A與B并不相等?？啥x為“若事件A與B有完全相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等”。5Ω概率基礎(chǔ)知識Page

62⑶相等：【若事件A與B有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等?！浚ㄈ┦录倪\(yùn)算⑴對立事件（又稱為互逆事件或逆事件）【在Ω中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對立事件（互逆事件）。記為（讀非A）?！喀父怕驶A(chǔ)知識互逆事件A補(bǔ)充：互斥事件與互逆事件的區(qū)別：互斥事件：若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=φ，則稱事件A與B互不相容。互逆事件：若事件A+B=Ω，AB=φ，則稱A與B為互逆事件（對立事件）。①兩事件互逆，必定互斥；但兩事件互斥，不一定互逆。②互斥事件適用于多個(gè)事件,但互逆事件只適用于兩個(gè)事件。③兩事件互斥，只表明兩事件不能同時(shí)出現(xiàn)，即至多只能出現(xiàn)其中一個(gè)，但可以都不出現(xiàn)。兩個(gè)事件互逆，則表示兩個(gè)事件之中有且僅有一個(gè)出現(xiàn)，即肯定了至少有一個(gè)出現(xiàn)。Page

63（三）事件的運(yùn)算Ω概率基礎(chǔ)知識互逆事件A補(bǔ)充：互斥事件與互逆⑵事件A與B的并（又稱為和事件）【由事件A與事件B中所有樣本點(diǎn)組成的新事件為A與B的并，記為A∪B或A+B。并事件意味著事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。】Ω概率基礎(chǔ)知識A∪BABS⑶事件A與B的交（又稱為積事件）【由事件A與事件B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為為事件A與B的交，記為A∩B，簡記為AB。交事件意味著事件A與事件B同時(shí)發(fā)生?！緼BABPage

64⑵事件A與B的并（又稱為和事件）【由事件A與事件B中所有樣本⑷事件A對B的差【由在事件A中而不在事件B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A對B的差，記為A－B?！?/p>

ΩΩ概率基礎(chǔ)知識A-BBA[例]：打靶，最高環(huán)數(shù)為10環(huán)。若設(shè)事件A=擊中三環(huán)以上的事件={3，4，5，6，7，8，9，10}，事件B=最多擊中4環(huán)的事件={0，1，2，3，4}。則A－B={5，6，7，8，9，10}=擊中5環(huán)以上的事件；另B－A={0，1，2}=最多擊中2環(huán)的事件Page

65⑷事件A對B的差【由在事件A中而不在事件B中的樣本點(diǎn)組成的新Page

66概率基礎(chǔ)知識事件運(yùn)算具有如下性質(zhì)：1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結(jié)合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶律：以上性質(zhì)都可推廣到多個(gè)事件運(yùn)算中去。[例]甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：Page11概率基礎(chǔ)知識事件運(yùn)算具有如下性質(zhì)：（四）概率—事件發(fā)生可能性大小的度量一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生可能性的大小用這個(gè)事件的概率P（A）來表示。概率是一個(gè)介于0到1之間的數(shù)。概率越大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小。特別地，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。即：

P(φ)=0

P(Ω)=1概率基礎(chǔ)知識Page

67（四）概率—事件發(fā)生可能性大小的度量概率基礎(chǔ)知識Page二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義（一）古典定義用概率的古典定義確定概率方法的要點(diǎn)如下：（1）所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有n個(gè)樣本點(diǎn)；（2）每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的（等可能性）；（3）若被考察的事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為：概率基礎(chǔ)知識乘法原理：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法加法原理：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。可以推廣到多個(gè)步驟和途徑事件。Page

68二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義概率基礎(chǔ)知識乘法原理：設(shè)完成一件（二）統(tǒng)計(jì)定義用概率的統(tǒng)計(jì)定義確定概率方法的要點(diǎn)如下：（1）此隨機(jī)現(xiàn)象是能大量重復(fù)試驗(yàn)的；（2）若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生kn次，則事件A發(fā)生的頻率為（3）頻率會隨重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。Page

69概率基礎(chǔ)知識（二）統(tǒng)計(jì)定義Page14概率基礎(chǔ)知識[例]投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右。概率基礎(chǔ)知識試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125Page

70[例]概率基礎(chǔ)知識試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.00三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則（一）概率的基本性質(zhì)及加法法則性質(zhì)1：概率是非負(fù)的，且數(shù)值介于0與1之間，

0≤P(A)≤1，特別，P(φ)=0,P(Ω)=1性質(zhì)2：

或性質(zhì)3：若AB，則性質(zhì)4：性質(zhì)5：概率基礎(chǔ)知識Page

71三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則概率基礎(chǔ)知識Page16Page

72（二）條件概率、概率的乘法法則及事件的獨(dú)立性（1）條件概率與概率的乘法法則條件概率要涉及兩個(gè)事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。條件概率的計(jì)算公式為：性質(zhì)6：（乘法法則）對任意兩個(gè)隨機(jī)事件A與B，有

P（AB）=P(B)P（A|B）P(B)>0=P(A)P（B|A）P(A)>0

概率基礎(chǔ)知識Page17（二）條件概率、概率的乘法法則及事件的獨(dú)立（2）獨(dú)立性與獨(dú)立事件的概率

設(shè)有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不依賴另一個(gè)事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨(dú)立。性質(zhì)7：假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為

性質(zhì)8：假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)等于事件A的(無條件)概率P(A)。概率基礎(chǔ)知識Page

73（2）獨(dú)立性與獨(dú)立事件的概率概率基礎(chǔ)知識Page18Page

74[例]一家電腦公司從兩個(gè)供應(yīng)商處購買了同一種計(jì)算機(jī)配件，質(zhì)量狀況如下表所示

從這200個(gè)配件中任取一個(gè)進(jìn)行檢查，求

(1)

取出的一個(gè)為正品的概率

(2)

取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件的概率

(3)取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的正品的概率

(4)已知取出一個(gè)為供應(yīng)商甲的配件，它是正品的概率甲乙兩個(gè)供應(yīng)商提供的配件正品數(shù)次品數(shù)合計(jì)供應(yīng)商甲84690供應(yīng)商乙1028110合計(jì)18614200概率基礎(chǔ)知識Page19[例]甲乙兩個(gè)供應(yīng)商提供的配件正品數(shù)次品Page

75概率基礎(chǔ)知識解：設(shè)A=取出的一個(gè)為正品

B=取出的一個(gè)為供應(yīng)商甲供應(yīng)的配件（1）

（2）

（3）

（4）Page20概率基礎(chǔ)知識解：設(shè)A=取出的一個(gè)為正Page

76[例]某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%，余下的30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有80%的產(chǎn)品可以出廠，20%的產(chǎn)品要報(bào)廢。求該廠產(chǎn)品的報(bào)廢率。解：設(shè)A={生產(chǎn)的產(chǎn)品要報(bào)廢}B={生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試}已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，概率基礎(chǔ)知識Page21[例]概率基礎(chǔ)知識隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量1、定義：用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫字母X、Y、Z等表示隨機(jī)變量，而隨機(jī)變量的值用小寫字母x、y、z表示。例如，在燈泡壽命試驗(yàn)中，令X為“燈泡壽命”(小時(shí))，則X為一隨機(jī)變量。{X>500}，{X≤1000}，{800<X≤1200}等表示了不同的隨機(jī)事件。2、分類：Page

77隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量Page22離散型隨機(jī)變量：假如一個(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)，則稱此隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量：假如一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間（a，b），則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)隨機(jī)變量。二、隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，但其內(nèi)在還是有規(guī)律性的，這個(gè)規(guī)律可以用分布來描述。認(rèn)識一個(gè)隨機(jī)變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布。分布包含如下兩方面的內(nèi)容：（1）X可能取哪些值，或在哪個(gè)區(qū)間上取值。（2）X取這些值的概率各是多少，或X在任一小區(qū)間上取值的概率是多少？隨機(jī)變量及其分布Page

78離散型隨機(jī)變量：假如一個(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)Page

79（一）離散型隨機(jī)變量的分布若隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)值或可列無窮多個(gè)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。設(shè)X的所有可能取值為，為了描述隨機(jī)變量X，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率。

定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布簡稱分布列,又稱分布律。其中(k=1,2,…)滿足：（1）k=1,2,…（2）隨機(jī)變量及其分布Page24（一）離散型隨機(jī)變量的分布隨機(jī)變量及其分布Page

80[例]某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布。解：X可取0、1、2為值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1也可表示為：這就是X的概率分布列。隨機(jī)變量及其分布Page25[例]隨機(jī)變量及其分布（二）連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，也可以用f(x)表示。連續(xù)型隨機(jī)變量還可用概率分布函數(shù)F(x)表示。對連續(xù)型隨機(jī)變量X，如果存在非負(fù)可積函數(shù)?(x)，使得對任意實(shí)數(shù)x，有則稱?(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度。由上述性質(zhì)可知，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),則X在任意區(qū)間G(G可以是開區(qū)間,也可以是閉區(qū)間;可以是有限區(qū)間,也可以是無窮區(qū)間)上取值的概率為：隨機(jī)變量及其分布Page

81（二）連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量及其分布Page26Page

82隨機(jī)變量及其分布Page27隨機(jī)變量及其分布三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量X的分布（概率函數(shù)或密度函數(shù)）有幾個(gè)很重要的特征數(shù)，用來表示分布的集中位置（中心位置）和散布大小。兩個(gè)最重要的特征數(shù)：1)均值：表示分布的中心位置，E(x)2)方差：表示分布的散布大小，Var(x)1、均值的計(jì)算公式隨機(jī)變量及其分布Page

83三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量及其分布Page2、方差的計(jì)算公式3、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式隨機(jī)變量及其分布Page

842、方差的計(jì)算公式隨機(jī)變量及其分布Page2985隨機(jī)變量及其分布30隨機(jī)變量及其分布均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)：（1）設(shè)X為隨機(jī)變量，a與b為任意常數(shù)，則有：E(aX+b)=aE(X)+b

Var(aX+b)=a2Var(X)（2）對任意兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2，有：

E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)

（3）設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立，則有：

Var(X1

±X2)=Var(X1)+Var(X2)隨機(jī)變量及其分布Page

86均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)：隨機(jī)變量及其分布Page31四、常用分布（一）常用離散型分布

常用離散型隨機(jī)變量的分布有：單點(diǎn)分布（退化分布）、兩點(diǎn)分布（0-1分布）、幾何分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布等，按教材重點(diǎn)介紹后三種。隨機(jī)變量及其分布Page

87四、常用分布隨機(jī)變量及其分布Page321、二項(xiàng)分布1）重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)；2）n次試驗(yàn)間相互獨(dú)立；3）每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果；4）成功的概率為p，失敗的概率為1-p；在上述四個(gè)條件下，設(shè)x表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù)，則有這個(gè)分布稱為二項(xiàng)分布，記為b（n，p）。均值：E(x)=np方差：Var(x)=np(1-p)隨機(jī)變量及其分布Page

881、二項(xiàng)分布隨機(jī)變量及其分布Page33Page

89[例]有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi),出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?解：設(shè)1000輛車通過，出事故的次數(shù)為X，則故所求概率為二項(xiàng)分布泊松分布隨機(jī)變量及其分布Page34[例]二項(xiàng)分布2、泊松分布在一定時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)在空間給定區(qū)域的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k的概率服從泊松分布：泊松分布可用來描述不少隨機(jī)變量的概率分布。例如：1）一塊鋼板上的氣泡數(shù)；

2）一本書上面的印刷錯(cuò)誤；

3）排隊(duì)等候的人數(shù)；

4）某地區(qū)某月發(fā)生的交通事故；這個(gè)分布就稱為泊松分布，記為P(λ)。其均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差為：

E(x)=λVar(x)=λσ(x)=隨機(jī)變量及其分布Page

902、泊松分布隨機(jī)變量及其分布Page35[例]一大批產(chǎn)品，其廢品率為0.015，求任取100件產(chǎn)品，其中有1件不合格品的概率。解：此時(shí)

n=100p=0.015，np=1.5若按二項(xiàng)分布計(jì)算：若按泊松分布計(jì)算：比較兩種計(jì)算結(jié)果可以看出，兩者計(jì)算結(jié)果的誤差不超過1%。隨機(jī)變量及其分布Page

91[例]隨機(jī)變量及其分布Page363、超幾何分布其中，r=min（n，M），這個(gè)分布稱為超幾何分布，記為h（n，N，M）。其均值、方差為：超幾何分布用于從有限的整體中進(jìn)行不放回抽樣。隨機(jī)變量及其分布Page

923、超幾何分布隨機(jī)變量及其分布Page37Page

93[例]在某年級的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出5個(gè)球.至少摸到3個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率。解：設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為X,則X服從超幾何分布,其中,于是由超幾何分布模型得中獎(jiǎng)的概率≈0.191隨機(jī)變量及其分布Page38[例]隨機(jī)變量及其分布常用離散型隨機(jī)變量分布匯總名稱符號均值方差二項(xiàng)分布b(n,p)npnp(1-p)超幾何分布h(n,N,M)泊松分布P(λ)λλ隨機(jī)變量及其分布Page

94常用離散型隨機(jī)變量分布匯總名稱符號均值方差二（二）正態(tài)分布1、正態(tài)分布的概率密度函數(shù)它的圖形是對稱的鐘形曲線，常稱為正態(tài)曲線。正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)μ和σ，常記為N（μ，σ2）。隨機(jī)變量及其分布Page

95（二）正態(tài)分布隨機(jī)變量及其分布Page402、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

μ=0且σ=1的分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。也記為U。1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表①P(U≤a)=P(U<a)=Φ(a)②P(U>a)=1-Φ(a)③Φ(-a)=1-Φ(a)④P(a≤U≤b)=Φ(b)-Φ(a)⑤P(|U|≤a)=P(-a≤U≤a)=Φ(a)-Φ(-a)=2Φ(a)-1隨機(jī)變量及其分布Page

962、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量及其分布Page413、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)分位數(shù)是一個(gè)基本概念，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）來敘述分位數(shù)概念。一般說來，對任意介于0與1之間的實(shí)數(shù)α，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的α分位數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)，它的左側(cè)面積恰好為α，它的右側(cè)面積恰好為1-α，用概率的語言來說，α分位數(shù)是滿足下列等式的實(shí)數(shù)：

P(U≤uα)=α關(guān)于分位數(shù)的正負(fù)符號問題：0.5分位數(shù),即50%分位數(shù),也稱為中位數(shù)。在標(biāo)