第三章集中量第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)

第二節(jié)中位數(shù)和百分位數(shù)

第三節(jié)眾數(shù)

第四節(jié)其他度量1第三章集中量第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)1集中趨勢(shì)(位置)離中趨勢(shì)

(分散程度)偏態(tài)和峰度（形狀）2集中趨勢(shì)離中趨勢(shì)偏態(tài)和峰度2小貼士數(shù)據(jù)的特征和測(cè)度分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值平均差方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰度百分位差四分位數(shù)偏態(tài)3小貼士數(shù)據(jù)的特征和測(cè)度分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中小貼士集中趨勢(shì)1.一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度2.測(cè)度集中趨勢(shì)就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值3.不同類(lèi)型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢(shì)測(cè)度值4.低層次數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值適用于高層次的測(cè)量數(shù)據(jù)，反過(guò)來(lái)，高層次數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值并不適用于低層次的測(cè)量數(shù)據(jù)5.選用哪一個(gè)測(cè)度值來(lái)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，要根據(jù)所掌握的數(shù)據(jù)的類(lèi)型來(lái)確定4小貼士集中趨勢(shì)4第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)

一、算術(shù)平均數(shù)的概念算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商，簡(jiǎn)稱(chēng)為平均數(shù)或均數(shù)。

5第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)

一、算術(shù)平均數(shù)的概念5算術(shù)平均數(shù)的特性：第一，觀察值的總和等于算術(shù)平均數(shù)的N倍第二，各觀察值與算術(shù)平均數(shù)之差的總和等于零。第三，若一組觀察值是由兩部分（或幾部分）組成，這組觀察值的算術(shù)平均數(shù)可以由組成部分的算術(shù)平均數(shù)而求得。6算術(shù)平均數(shù)的特性：6小貼士算術(shù)平均數(shù)：1.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2.最常用的測(cè)度值3.一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在4.易受極端值的影響5.用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于稱(chēng)名數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)7小貼士算術(shù)平均數(shù)：7二、均值的計(jì)算方法

1、原始數(shù)據(jù)計(jì)算法設(shè)一組數(shù)據(jù)為：X1，X2，…，XN

簡(jiǎn)單均值的計(jì)算公式為2、設(shè)分組后的數(shù)據(jù)為：X1，X2，…，XK

相應(yīng)的頻數(shù)為：F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)K加權(quán)均值的計(jì)算公式為8二、均值的計(jì)算方法1、原始數(shù)據(jù)計(jì)算法2、設(shè)分組后的數(shù)據(jù)為：簡(jiǎn)單均值(算例)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 13 6 89簡(jiǎn)單均值(算例)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 13 6 8加權(quán)均值（算例）表3-8某車(chē)間50名工人日加工零件均值計(jì)算表按零件數(shù)分組組中值（Xi）頻數(shù)（Fi）XiFi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合計(jì)—506160.0【例3.8】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的均值10加權(quán)均值（算例）表3-8某車(chē)間50名工人日加工零件均均值(數(shù)學(xué)性質(zhì))1. 各變量值與均值的離差之和等于零

2.各變量值與均值的離差平方和最小11均值(數(shù)學(xué)性質(zhì))1. 各變量值與均值的離差之和等于零均值(數(shù)學(xué)性質(zhì))3.每一個(gè)數(shù)加一個(gè)常數(shù)C，所得均值等于原均值加上常數(shù)C

4.每一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)常數(shù)C，所得均值等于原均值乘以常數(shù)C12均值(數(shù)學(xué)性質(zhì))3.每一個(gè)數(shù)加一個(gè)常數(shù)C，所得均三、均值的應(yīng)用及其優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏；計(jì)算簡(jiǎn)單、嚴(yán)密確定；適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算；受抽樣變動(dòng)的影響較小。缺點(diǎn)：易受極端數(shù)據(jù)的影響；出現(xiàn)模糊不清得數(shù)據(jù)時(shí)，無(wú)法計(jì)算。應(yīng)用：數(shù)據(jù)同質(zhì)性原則；一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都比較準(zhǔn)確、可靠；無(wú)極端值的影響；而且還要通過(guò)它計(jì)算其他統(tǒng)計(jì)量。13三、均值的應(yīng)用及其優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏；計(jì)算簡(jiǎn)單、嚴(yán)密確定；第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念：中位數(shù)是位于依一定大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中央位置的數(shù)值，大于及小于這一數(shù)值各有一半數(shù)據(jù)分布著。14第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念：14小貼士1.

集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2.排序后處于中間位置上的值，記為MdMd50%50%不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于稱(chēng)名數(shù)據(jù)各變量值與中位數(shù)的離差絕對(duì)值之和最小，即15小貼士1.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一Md50%50%不受極端

二、中位數(shù)的計(jì)算方法

1、原始數(shù)據(jù)的計(jì)算方法

16二、中位數(shù)的計(jì)算方法

1、原始數(shù)據(jù)的計(jì)算方法16

順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(算例)【例3.4】根據(jù)中數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城市家庭對(duì)住房滿(mǎn)意狀況評(píng)價(jià)的中位數(shù)。解：中位數(shù)的位置為：

300/2＝150從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)的在“一般”這一組別中。因此

Md＝一般表3-4甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類(lèi)別甲城市戶(hù)數(shù)(戶(hù))累計(jì)頻數(shù)

非常不滿(mǎn)意

不滿(mǎn)意

一般

滿(mǎn)意

非常滿(mǎn)意2410893453024132225270300合計(jì)300—17順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(算例)【例3.4】根據(jù)中數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城原始數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(5個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):

2422212620排序: 2021222426位置: 123 45中位數(shù)2218原始數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(5個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù): 2原始數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(6個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):

105 91268排序:56891012位置: 123

4

56位置N+126+123.5中位數(shù)8+928.519原始數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(6個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):1根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組采用下列近似公式計(jì)算：

該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)均勻分布2.頻數(shù)分布表計(jì)算法

20根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該頻數(shù)分布表的中位數(shù)

(算例)表3-5某車(chē)間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計(jì)50—【例3.5】根據(jù)表3-5中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)21頻數(shù)分布表的中位數(shù)

(算例)表3-5某車(chē)間50名工人日加三、百分位數(shù)的概念及其計(jì)算方法1.百分位數(shù)的概念百分位數(shù)是位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值。在教育測(cè)量中，常通過(guò)計(jì)算某個(gè)原始分?jǐn)?shù)所屬的百分位數(shù)來(lái)說(shuō)明、解釋、評(píng)價(jià)它在團(tuán)體中的位置。2.百分位數(shù)的計(jì)算方法22三、百分位數(shù)的概念及其計(jì)算方法1.百分位數(shù)的概念22四、中位數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、容易理解，穩(wěn)健。缺點(diǎn)：不穩(wěn)定、受抽樣影響大；計(jì)算時(shí)不用所有數(shù)據(jù)；計(jì)算時(shí)要對(duì)數(shù)據(jù)先排序；總數(shù)乘以眾數(shù)不等于數(shù)據(jù)的總和；不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。應(yīng)用：一般用在下列情形：當(dāng)數(shù)據(jù)有極端值；兩端數(shù)據(jù)或個(gè)別數(shù)據(jù)不清楚；需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值。23四、中位數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、容易理解，穩(wěn)健。23第三節(jié)眾數(shù)（mode）24第三節(jié)眾數(shù)（mode）24一、眾數(shù)的概念要點(diǎn)集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用M0表示不受極端值的影響可能沒(méi)有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)有理論眾數(shù)與粗略眾數(shù)

25一、眾數(shù)的概念要點(diǎn)集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一25眾數(shù)的不唯一性無(wú)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

9855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

36424226眾數(shù)的不唯一性無(wú)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):105二、眾數(shù)的計(jì)算方法1.用觀察法直接尋找粗略眾數(shù)例如，一組原始數(shù)據(jù)2、4、3、6、4、5、427二、眾數(shù)的計(jì)算方法1.用觀察法直接尋找粗略眾數(shù)27

稱(chēng)名數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)表3-1某城市居民關(guān)注廣告類(lèi)型的頻數(shù)分布

廣告類(lèi)型人數(shù)(人)比例頻率(%)

商品廣告服務(wù)廣告金融廣告房地產(chǎn)廣告招生招聘廣告其他廣告112519161020.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合計(jì)2001100【例3.1】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)解：這里的變量為“廣告類(lèi)型”，這是個(gè)定類(lèi)變量，不同類(lèi)型的廣告就是變量值。我們看到，在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注商品廣告的人數(shù)最多，為112人，占總被調(diào)查人數(shù)的56%，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類(lèi)別，即

Mo＝商品廣告28稱(chēng)名數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)表3-1某城市居民關(guān)注廣告類(lèi)

順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)【例3.2】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類(lèi)別”。甲城市中對(duì)住房表示不滿(mǎn)意的戶(hù)數(shù)最多，為108戶(hù)，因此眾數(shù)為“不滿(mǎn)意”這一類(lèi)別，即

Mo＝不滿(mǎn)意表3-2甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類(lèi)別甲城市戶(hù)數(shù)(戶(hù))百分比(%)

非常不滿(mǎn)意

不滿(mǎn)意

一般

滿(mǎn)意

非常滿(mǎn)意24108934530836311510合計(jì)300100.029順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)【例3.2】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)2.用公式求理論眾數(shù)的近似值：（1）皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)法：頻數(shù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時(shí)才能使用。302.用公式求理論眾數(shù)的近似值：30

（2）金氏插補(bǔ)法

眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān)

該公式假定眾數(shù)組的頻數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)均勻分布

相鄰兩組的頻數(shù)相等時(shí)，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)Mo相鄰兩組的頻數(shù)不相等時(shí)，眾數(shù)采用下列近似公式計(jì)算MoMo31（2）金氏插補(bǔ)法眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān)該公數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)表3-3某車(chē)間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計(jì)50—【例3.3】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)32數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)表3-3某車(chē)間50名工人日三、眾數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、容易理解。缺點(diǎn)：不穩(wěn)定、受分組影響；計(jì)算時(shí)不用所有數(shù)據(jù)；總數(shù)乘以眾數(shù)不等于數(shù)據(jù)的總和；不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。應(yīng)用：一般用在下列情形：需要快速確定一組數(shù)據(jù)的代表值；數(shù)據(jù)不同質(zhì)；當(dāng)數(shù)據(jù)有極端值；33三、眾數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、容易理解。33小貼士正態(tài)分布

均值=中位數(shù)=眾數(shù)左\負(fù)偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)右\正偏分布眾數(shù)

中位數(shù)

均值34小貼士正態(tài)分布均值=中位數(shù)=眾數(shù)左\負(fù)偏分布均值小貼士眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對(duì)稱(chēng)分布或接近對(duì)稱(chēng)分布時(shí)應(yīng)用35小貼士眾數(shù)35§3.4其他度量一、加權(quán)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)是不同數(shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)。計(jì)算公式有兩種形式：36§3.4其他度量一、加權(quán)平均數(shù)36二、幾何平均數(shù)

1.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2.N

個(gè)變量值乘積的N

次方根3.主要用于計(jì)算平均發(fā)展速度4.計(jì)算公式為

37二、幾何平均數(shù)1.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一37幾何平均數(shù)的應(yīng)用

————學(xué)習(xí)進(jìn)步率【例3.9】在一項(xiàng)有關(guān)閱讀能力的實(shí)驗(yàn)中，得到這樣的結(jié)果。閱讀的遍數(shù)與每遍理解的程度依次是：第一遍為40％，第二遍為52％，第三遍為65％，第四遍為75％，第五遍為86％，第六遍為97％。在該實(shí)驗(yàn)研究中被試閱讀能力的平均進(jìn)步率是多少？閱讀能力的平均增加比率又是多少。38幾何平均數(shù)的應(yīng)用

————學(xué)習(xí)進(jìn)步率【例3.9】在一項(xiàng)有關(guān)計(jì)算步驟和過(guò)程閱讀遍數(shù)理解程度(%)增加比率比例(Xi/Xi-1)對(duì)數(shù)lg(Xi/Xi-1)140(X1)252(X2)1.3000.1139365(X3)1.2500.0969475(X4)1.1540.0621586(X5)1.1470.0594697(X6)1.1280.0523合計(jì)N＝65.9790.3846lgMg=0.3846/5=0.07692;Mg=1.19377表3-939計(jì)算步驟和過(guò)程閱讀遍數(shù)理解程度(%)增加比率比例(Xi/Xi【例3.10】有一個(gè)學(xué)生第一周記住20個(gè)英文單詞，第二周記住23個(gè)，第三周記住26個(gè)，第四周記住30個(gè)，第五周記住34個(gè)，問(wèn)該生學(xué)習(xí)記憶英文單詞的平均進(jìn)步率是多少？40【例3.10】有一個(gè)學(xué)生第一周記住20個(gè)英文單詞，第二周記幾何平均數(shù)的應(yīng)用

——人數(shù)、經(jīng)費(fèi)增加率【例3.11】某校連續(xù)四年的畢業(yè)人數(shù)為：980、1100、1200、1300人，問(wèn)畢業(yè)生平均增長(zhǎng)率是多少？若該校畢業(yè)生一直按此增長(zhǎng)率變化，問(wèn)再過(guò)五年后的畢業(yè)人數(shù)是多少？五年后的畢業(yè)人數(shù)為：41幾何平均數(shù)的應(yīng)用

——人數(shù)、經(jīng)費(fèi)增加率【例3.11】某校連【例3.12】

某校1950年的教育經(jīng)費(fèi)是10萬(wàn)元，1982年的教育經(jīng)費(fèi)是121萬(wàn)元，問(wèn)該校教育經(jīng)費(fèi)年增長(zhǎng)率是多少？若一直按此比率增加，1990年該校的教育經(jīng)費(fèi)是多少？1990年該校的教育經(jīng)費(fèi)是：42【例3.12】某校1950年的教育經(jīng)費(fèi)是10萬(wàn)元，1982三、調(diào)和平均數(shù)

1. 集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一均值的另一種表現(xiàn)形式一組數(shù)據(jù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)4. 易受極端值的影響5. 用于比率數(shù)據(jù)，描述學(xué)習(xí)速度6.不能用于稱(chēng)名數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)7.計(jì)算公式為原來(lái)只是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)！43三、調(diào)和平均數(shù)

1. 集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一43調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用主要用來(lái)描述學(xué)習(xí)速度方面的問(wèn)題反應(yīng)指標(biāo)一般有兩種形式：

（1）學(xué)習(xí)任務(wù)量相同而所用時(shí)間不等；（2）學(xué)習(xí)的時(shí)間相同，而工作量不等。先求出單位時(shí)間的工作量，其調(diào)和平均就是平均學(xué)習(xí)速度44調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用主要用來(lái)描述學(xué)習(xí)速度方面的問(wèn)題44【例3.13】（學(xué)習(xí)任務(wù)量相同而所用時(shí)間不等）在一個(gè)學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)中，請(qǐng)六名被試分別完成相同的10道作業(yè)題。這六名被試花費(fèi)的時(shí)間依次為0.8小時(shí)，1.0小時(shí)，1.2小時(shí)，

1.5小時(shí)，2.5小時(shí)，5.0小時(shí)。計(jì)算這六名被試平均完成這10道作業(yè)題的速度。解：先求出單位時(shí)間的工作量：調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用舉例45【例3.13】（學(xué)習(xí)任務(wù)量相同而所用時(shí)間不等）在一個(gè)學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)【例3.14】（學(xué)習(xí)的時(shí)間相同，而工作量不等）在一個(gè)學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了六名被試在2小時(shí)的解題量，依次為24題，20題，16題，12題，8題，4題。問(wèn)這六名被試平均每小時(shí)解多少道題？解：先求出單位時(shí)間的解題數(shù)：調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用舉例46【例3.14】（學(xué)習(xí)的時(shí)間相同，而工作量不等）在一個(gè)學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)小貼士表4-4數(shù)據(jù)類(lèi)型和所適用的集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)類(lèi)型稱(chēng)名數(shù)據(jù)順序數(shù)據(jù)等距數(shù)據(jù)比率數(shù)據(jù)適用的測(cè)度值※眾數(shù)※中位數(shù)※均值※均值—

眾數(shù)

眾數(shù)調(diào)和平均數(shù)———中位數(shù)幾何平均數(shù)——

中位數(shù)———眾數(shù)

————-47小貼士表4-4數(shù)據(jù)類(lèi)型和所適用的集中趨勢(shì)測(cè)度值數(shù)據(jù)類(lèi)第三章集中量第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)

第二節(jié)中位數(shù)和百分位數(shù)

第三節(jié)眾數(shù)

第四節(jié)其他度量48第三章集中量第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)1集中趨勢(shì)(位置)離中趨勢(shì)

(分散程度)偏態(tài)和峰度（形狀）49集中趨勢(shì)離中趨勢(shì)偏態(tài)和峰度2小貼士數(shù)據(jù)的特征和測(cè)度分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值平均差方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰度百分位差四分位數(shù)偏態(tài)50小貼士數(shù)據(jù)的特征和測(cè)度分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中小貼士集中趨勢(shì)1.一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度2.測(cè)度集中趨勢(shì)就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值3.不同類(lèi)型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢(shì)測(cè)度值4.低層次數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值適用于高層次的測(cè)量數(shù)據(jù)，反過(guò)來(lái)，高層次數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值并不適用于低層次的測(cè)量數(shù)據(jù)5.選用哪一個(gè)測(cè)度值來(lái)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，要根據(jù)所掌握的數(shù)據(jù)的類(lèi)型來(lái)確定51小貼士集中趨勢(shì)4第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)

一、算術(shù)平均數(shù)的概念算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商，簡(jiǎn)稱(chēng)為平均數(shù)或均數(shù)。

52第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)

一、算術(shù)平均數(shù)的概念5算術(shù)平均數(shù)的特性：第一，觀察值的總和等于算術(shù)平均數(shù)的N倍第二，各觀察值與算術(shù)平均數(shù)之差的總和等于零。第三，若一組觀察值是由兩部分（或幾部分）組成，這組觀察值的算術(shù)平均數(shù)可以由組成部分的算術(shù)平均數(shù)而求得。53算術(shù)平均數(shù)的特性：6小貼士算術(shù)平均數(shù)：1.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2.最常用的測(cè)度值3.一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在4.易受極端值的影響5.用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于稱(chēng)名數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)54小貼士算術(shù)平均數(shù)：7二、均值的計(jì)算方法

1、原始數(shù)據(jù)計(jì)算法設(shè)一組數(shù)據(jù)為：X1，X2，…，XN

簡(jiǎn)單均值的計(jì)算公式為2、設(shè)分組后的數(shù)據(jù)為：X1，X2，…，XK

相應(yīng)的頻數(shù)為：F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)K加權(quán)均值的計(jì)算公式為55二、均值的計(jì)算方法1、原始數(shù)據(jù)計(jì)算法2、設(shè)分組后的數(shù)據(jù)為：簡(jiǎn)單均值(算例)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 13 6 856簡(jiǎn)單均值(算例)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 13 6 8加權(quán)均值（算例）表3-8某車(chē)間50名工人日加工零件均值計(jì)算表按零件數(shù)分組組中值（Xi）頻數(shù)（Fi）XiFi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合計(jì)—506160.0【例3.8】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的均值57加權(quán)均值（算例）表3-8某車(chē)間50名工人日加工零件均均值(數(shù)學(xué)性質(zhì))1. 各變量值與均值的離差之和等于零

2.各變量值與均值的離差平方和最小58均值(數(shù)學(xué)性質(zhì))1. 各變量值與均值的離差之和等于零均值(數(shù)學(xué)性質(zhì))3.每一個(gè)數(shù)加一個(gè)常數(shù)C，所得均值等于原均值加上常數(shù)C

4.每一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)常數(shù)C，所得均值等于原均值乘以常數(shù)C59均值(數(shù)學(xué)性質(zhì))3.每一個(gè)數(shù)加一個(gè)常數(shù)C，所得均三、均值的應(yīng)用及其優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏；計(jì)算簡(jiǎn)單、嚴(yán)密確定；適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算；受抽樣變動(dòng)的影響較小。缺點(diǎn)：易受極端數(shù)據(jù)的影響；出現(xiàn)模糊不清得數(shù)據(jù)時(shí)，無(wú)法計(jì)算。應(yīng)用：數(shù)據(jù)同質(zhì)性原則；一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都比較準(zhǔn)確、可靠；無(wú)極端值的影響；而且還要通過(guò)它計(jì)算其他統(tǒng)計(jì)量。60三、均值的應(yīng)用及其優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏；計(jì)算簡(jiǎn)單、嚴(yán)密確定；第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念：中位數(shù)是位于依一定大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中央位置的數(shù)值，大于及小于這一數(shù)值各有一半數(shù)據(jù)分布著。61第二節(jié)中位數(shù)一、中位數(shù)的概念：14小貼士1.

集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2.排序后處于中間位置上的值，記為MdMd50%50%不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于稱(chēng)名數(shù)據(jù)各變量值與中位數(shù)的離差絕對(duì)值之和最小，即62小貼士1.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一Md50%50%不受極端

二、中位數(shù)的計(jì)算方法

1、原始數(shù)據(jù)的計(jì)算方法

63二、中位數(shù)的計(jì)算方法

1、原始數(shù)據(jù)的計(jì)算方法16

順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(算例)【例3.4】根據(jù)中數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城市家庭對(duì)住房滿(mǎn)意狀況評(píng)價(jià)的中位數(shù)。解：中位數(shù)的位置為：

300/2＝150從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)的在“一般”這一組別中。因此

Md＝一般表3-4甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類(lèi)別甲城市戶(hù)數(shù)(戶(hù))累計(jì)頻數(shù)

非常不滿(mǎn)意

不滿(mǎn)意

一般

滿(mǎn)意

非常滿(mǎn)意2410893453024132225270300合計(jì)300—64順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(算例)【例3.4】根據(jù)中數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城原始數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(5個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):

2422212620排序: 2021222426位置: 123 45中位數(shù)2265原始數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(5個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù): 2原始數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(6個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):

105 91268排序:56891012位置: 123

4

56位置N+126+123.5中位數(shù)8+928.566原始數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(6個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):1根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組采用下列近似公式計(jì)算：

該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)均勻分布2.頻數(shù)分布表計(jì)算法

67根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該頻數(shù)分布表的中位數(shù)

(算例)表3-5某車(chē)間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計(jì)50—【例3.5】根據(jù)表3-5中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)68頻數(shù)分布表的中位數(shù)

(算例)表3-5某車(chē)間50名工人日加三、百分位數(shù)的概念及其計(jì)算方法1.百分位數(shù)的概念百分位數(shù)是位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值。在教育測(cè)量中，常通過(guò)計(jì)算某個(gè)原始分?jǐn)?shù)所屬的百分位數(shù)來(lái)說(shuō)明、解釋、評(píng)價(jià)它在團(tuán)體中的位置。2.百分位數(shù)的計(jì)算方法69三、百分位數(shù)的概念及其計(jì)算方法1.百分位數(shù)的概念22四、中位數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、容易理解，穩(wěn)健。缺點(diǎn)：不穩(wěn)定、受抽樣影響大；計(jì)算時(shí)不用所有數(shù)據(jù)；計(jì)算時(shí)要對(duì)數(shù)據(jù)先排序；總數(shù)乘以眾數(shù)不等于數(shù)據(jù)的總和；不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。應(yīng)用：一般用在下列情形：當(dāng)數(shù)據(jù)有極端值；兩端數(shù)據(jù)或個(gè)別數(shù)據(jù)不清楚；需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值。70四、中位數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、容易理解，穩(wěn)健。23第三節(jié)眾數(shù)（mode）71第三節(jié)眾數(shù)（mode）24一、眾數(shù)的概念要點(diǎn)集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用M0表示不受極端值的影響可能沒(méi)有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)有理論眾數(shù)與粗略眾數(shù)

72一、眾數(shù)的概念要點(diǎn)集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一25眾數(shù)的不唯一性無(wú)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

9855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

36424273眾數(shù)的不唯一性無(wú)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):105二、眾數(shù)的計(jì)算方法1.用觀察法直接尋找粗略眾數(shù)例如，一組原始數(shù)據(jù)2、4、3、6、4、5、474二、眾數(shù)的計(jì)算方法1.用觀察法直接尋找粗略眾數(shù)27

稱(chēng)名數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)表3-1某城市居民關(guān)注廣告類(lèi)型的頻數(shù)分布

廣告類(lèi)型人數(shù)(人)比例頻率(%)

商品廣告服務(wù)廣告金融廣告房地產(chǎn)廣告招生招聘廣告其他廣告112519161020.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合計(jì)2001100【例3.1】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)解：這里的變量為“廣告類(lèi)型”，這是個(gè)定類(lèi)變量，不同類(lèi)型的廣告就是變量值。我們看到，在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注商品廣告的人數(shù)最多，為112人，占總被調(diào)查人數(shù)的56%，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類(lèi)別，即

Mo＝商品廣告75稱(chēng)名數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)表3-1某城市居民關(guān)注廣告類(lèi)

順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)【例3.2】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類(lèi)別”。甲城市中對(duì)住房表示不滿(mǎn)意的戶(hù)數(shù)最多，為108戶(hù)，因此眾數(shù)為“不滿(mǎn)意”這一類(lèi)別，即

Mo＝不滿(mǎn)意表3-2甲城市家庭對(duì)住房狀況評(píng)價(jià)的頻數(shù)分布回答類(lèi)別甲城市戶(hù)數(shù)(戶(hù))百分比(%)

非常不滿(mǎn)意

不滿(mǎn)意

一般

滿(mǎn)意

非常滿(mǎn)意24108934530836311510合計(jì)300100.076順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)【例3.2】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)2.用公式求理論眾數(shù)的近似值：（1）皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)法：頻數(shù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時(shí)才能使用。772.用公式求理論眾數(shù)的近似值：30

（2）金氏插補(bǔ)法

眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān)

該公式假定眾數(shù)組的頻數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)均勻分布

相鄰兩組的頻數(shù)相等時(shí)，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)Mo相鄰兩組的頻數(shù)不相等時(shí)，眾數(shù)采用下列近似公式計(jì)算MoMo78（2）金氏插補(bǔ)法眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān)該公數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)表3-3某車(chē)間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計(jì)50—【例3.3】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)79數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(算例)表3-3某車(chē)間50名工人日三、眾數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、容易理解。缺點(diǎn)：不穩(wěn)定、受分組影響；計(jì)算時(shí)不用所有數(shù)據(jù)；總數(shù)乘以眾數(shù)不等于數(shù)據(jù)的總和；不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。應(yīng)用：一般用在下列情形：需要快速確定一組數(shù)據(jù)的代表值；數(shù)據(jù)不同質(zhì)；當(dāng)數(shù)據(jù)有極端值；80三、眾數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、容易理解。33小貼士正態(tài)分布

均值=中位數(shù)=眾數(shù)左\負(fù)偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)右\正偏分布眾數(shù)

中位數(shù)

均值81小貼士正態(tài)分布均值=中位數(shù)=眾數(shù)左\負(fù)偏分布均值小貼士眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對(duì)稱(chēng)分布或接近對(duì)稱(chēng)分布時(shí)應(yīng)用82小貼士眾數(shù)35§3.4其他度量一、加權(quán)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)是不同數(shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)。計(jì)算公式有兩種形式：83§3.4其他度量一、加權(quán)平均數(shù)36二、幾何平均數(shù)

1.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2.N

個(gè)變量值乘積的N

次方根3.主要用于計(jì)算平均發(fā)展速度4.計(jì)算公式為

84二、幾何平均數(shù)1.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一37幾何平均數(shù)的應(yīng)用

————學(xué)習(xí)進(jìn)步率【例3.9】在一項(xiàng)有關(guān)閱讀能力的實(shí)驗(yàn)中，得到這樣的結(jié)果。閱讀的遍數(shù)與每遍理解的程度依次是：第一遍為40％，第二遍為52％，第三遍為65％，第四遍為75％，第五遍為86％，第六遍為97％。在該實(shí)驗(yàn)研究中被試閱讀能力的平均進(jìn)步率是多少？閱讀能力的平均增加比率又是多少。85幾何平均數(shù)的應(yīng)用

————學(xué)習(xí)進(jìn)步率【例3.9】在一項(xiàng)有關(guān)計(jì)算步驟和過(guò)程閱讀遍數(shù)理解程度(%)增加比率比例(Xi/Xi-1)對(duì)數(shù)lg(Xi/Xi-1)140(X1)252(X2)1.3000.1139365(X3)1.2500.0969475(X4)1.1540.0621586(X5