2019江蘇高考數(shù)學(xué)微專題2019江蘇高考數(shù)學(xué)微專題?隔項等差數(shù)列---/42019江蘇高考數(shù)學(xué)微專題?隔項等差數(shù)列一、升降維法引例：已知數(shù)列匕｝滿足：Vn>2,2a=a+a①，以及Vn>3,2a=a+annn+2n-2nn+3n-3②?試問：數(shù)列匕｝是否是等差數(shù)列？n(注意：為敘述方便，本專題將2a=a+a稱為隔兩項等差，將2a=a+a稱nn+2n-2nn+3n-3為隔三項等差，a稱為中心.)n解：不難發(fā)現(xiàn)，①式中右側(cè)兩項“距離”中心較近，而②式中右側(cè)兩項“距離”中心較遠,所以應(yīng)使“距離”中心較遠的項不斷接近中心.套路如下：由①式可得a=2a-a和a=2a-a，所以有a=2a-a(n>1)和n+2nn-2n-2nn+2n+3n+1n-1a=2a-a(n>3)，代入②式，有2a=a+a(n>3)，即數(shù)列匕｝從第三項起n-3n-1n+1nn+1n-1n成等差數(shù)列.下證明數(shù)列匕｝從第一項起成等差數(shù)列.n設(shè)a=x，公差d,則令①式中n=3,變形得a=2a-a=x-2d，同理有a=x一d，TOC\o"1-5"\h\z31352所以2a=a+a，2a=a+a，所以數(shù)列ta｝是等差數(shù)列.213324n例：設(shè)數(shù)列｛a｝、｛b｝、｛c｝滿足：b=a-a，c=a+2a+3a(n=1,2,3,…)，nnnnnn+2nnn+1n+2證明｛a｝為等差數(shù)列的充分必要條件是｛c｝為等差數(shù)列且b<b(n=1,2,3,…).nnnn+1證明：必要性.設(shè)｛a｝是公差為d的等差數(shù)列，則n1b-b=(a-a)-(a-a)=(a-a)-(a-a)=d-d=0TOC\o"1-5"\h\zn+1nn+1n+3nn+2n+1nn+3n+211所以b<b(n=1,2,3,A)成立.nn+1乂c—c=(a—a)+2(a—a)+3(a—a)n+1nn+1nn+2n+1n+3n+2=d+2d+3d=6d(常數(shù))(n=1,2，3,…)，1111所以數(shù)列｛c｝為等差數(shù)列.n充分性?設(shè)數(shù)列｛c｝是公差d的等差數(shù)列，且b<b(n=1,2,3,…).n2n1TOC\o"1-5"\h\z0c—a+2a+3a,nnn+1n+2:.c—a+2a+3an+2n+2n+3n+4①－②得c—c—(a—a)+2(a—a)+3(ann+2nn+2n+1n+3n+2=b+2b+3b,,nn+1n+2—c)=—2dn+22——c)=—2dn+22n+2nn+1n+1+2b+3b——2d,n+1n+22從而有b+2b+3b=—2d.n+1n+2n+32)+3(b—b)—0.n)+3(b—b)—0.n+3n+2n+1nn+2n+10b一b>0,b一b>0,b一b>0,n+1nn+2n+1n+3n+2???由⑤得b一b—0(n—1,2,3,A).n+1n由此不妨設(shè)b—d(n—1,2,3,A),則a—a—d(常數(shù)).n3nn+23由此c—a+2a+3a—4a+2a一3d,nnn+1n+2nn+13從而c—4a+2a—3d—4a+2a—5d，n+1n+1n+23n+1n3兩式相減得a—c—2(a—a)—2d，n+1nn+1n3因此a—a—(c—c)—d—d+d(常數(shù))(n—1,2,3,A),n+1n2n+1n3223所以數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列.n二、分組拼湊法（利用a的雙重身份）n再看引例：已知數(shù)列匕｝滿足：▽n>2,2a—a+a①，以及Vn>3,2a—a+annn+2n—2nn+3n—3②?試問：數(shù)列匕｝是否是等差數(shù)列？n解：因為2a=a+a(n>2)，設(shè)隔項公差為d和d.TOC\o"1-5"\h\znn+2n-212d:a,a,a,a,aA2246810同樣地，表二:因為2a=a+a(n>3)，設(shè)隔項公差為D，D和D.nn+3n—3123所以D:a,a,a,aA114710D:a,a,a,aA225811D:a,a,a,aA3369122由表一，a二a+3d，由表二，a二a+2D，所以d=D.(利用a，a的雙重身711711131172份)同理，利用a，a的雙重身份，有d=D，所以d=d，設(shè)d=d=d.4102311212d下只需證a—a=.21231由表二，D=a—a=a+d—a，所以a—a=D—d=d—d=d，1412121122所以數(shù)列匕｝是以纟為公差的等差數(shù)列，證畢.n2練習(xí)：(2017江蘇T19)對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列｛an｝滿足：an—k+an—k+1+L+an—1+"n+1+L+"n+k—1+"n+k=""n對任意正整數(shù)"(">')總成立，則稱數(shù)列｛an｝是“P(k)數(shù)列”.證明：等差數(shù)列｛叮是“P⑶數(shù)列”；若數(shù)列｛an｝既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：｛an｝是等差數(shù)列.解：(1)略(2)數(shù)列｛a｝既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，n當(dāng)n>3時，a+a+a+a=4a，①n—2n—1n+1n+2n當(dāng)n>4時，a+a+a+a+a+a=6a.②TOC\o"1-5"\h\zn-3n-2n-1n+1n+2n+3n由①知，a+a二4a—(a+a)，③n-3n-2n-1nn+1a+a=4a一(a+a)，④n+2n+3n+1n-1n將③④代入②，得a+a二2a，其中n>4，n-1n+1n所