第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布...12/12/20221第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布...12/11/20221“隨機(jī)變量”的引入——通過對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行量化,使對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量的研究。隨機(jī)變量的定義：表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量。隨機(jī)變量的表示：大寫字母X，Y，Z。隨機(jī)變量取值的表示：小寫字母x，y，z。...12/12/20222“隨機(jī)變量”的引入...12/11/20222一、隨機(jī)變量的分類

1．離散隨機(jī)變量：一個(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)。x4x3x5x2x1X某離散隨機(jī)變量的可能取值...12/12/20223一、隨機(jī)變量的分類x4x3x5x2x1某離散隨機(jī)變量的可能2．連續(xù)隨機(jī)變量：一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能值充滿數(shù)軸上的一個(gè)（a,b）區(qū)間。abX連續(xù)隨機(jī)變量的可能取值...12/12/202242．連續(xù)隨機(jī)變量：一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能值充滿數(shù)【例2-1】產(chǎn)品的質(zhì)量特性一般都具有隨機(jī)性，所以其質(zhì)量特性就是隨機(jī)變量。如：（1）一只鑄件上的瑕疵數(shù)；（2）檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品，質(zhì)量合格或不合格數(shù)；（3）一臺(tái)電視機(jī)的壽命。...12/12/20225【例2-1】產(chǎn)品的質(zhì)量特性一般都具有隨機(jī)性，所以其質(zhì)量

引入隨機(jī)變量后，可用隨機(jī)變量X的取值來表示隨機(jī)事件，如：(1)鑄件上的瑕疵數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，用X表示，則X=0表示隨機(jī)事件“鑄件無瑕疵”。(2)軸的長度是一個(gè)隨機(jī)變量，用Y表示，則10.1≤Y≤10.2表示隨機(jī)事件“軸的長度在10.1到10.2之間”。...12/12/20226引入隨機(jī)變量后，可用隨機(jī)變量X的取值來表示隨機(jī)事件二、隨機(jī)變量的分布※隨機(jī)變量的規(guī)律性用分布來描述?！粋€(gè)隨機(jī)變量X的分布包含如下內(nèi)容：（1）X可能取那些值，或在哪個(gè)區(qū)間上取值；（2）X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少。...12/12/20227二、隨機(jī)變量的分布...12/11/20227（一）離散隨機(jī)變量的分布※表示方式1——分布列：

X

x1

x2……xn

P

P(x1)

P(x2)

……P(xn)※表示方式2——一個(gè)簡明的數(shù)學(xué)式：

P（X=xi）=pi，i=1，2，…，n

要成為一個(gè)分布，要求pi≥0，p1+p2+…pn=1成立。...12/12/20228（一）離散隨機(jī)變量的分布...12/11/20228【例2-2】擲兩顆骰子，樣本空間有36個(gè)基本事件，則：（1）“6點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)”的分布為X012P25/3610/361/36（2）”擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和”的分布為Y23456789101112

P

1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36...12/12/20229【例2-2】擲兩顆骰子，樣本空間有36個(gè)基本事件，則：...【例2-3】設(shè)X的分布列為：

X12345

P

p1p2

p3p4

p5概率P（2≤X＜5）=（）。A.p2+

p3+p4

+p5

B.p2+

p3+p4

C.P（X＜5）-P（X＜2）D.1-P（X＜2）-P（X＞4）...12/12/202210【例2-3】設(shè)X的分布列為：...12/11/20221（二）連續(xù)隨機(jī)變量的分布連續(xù)隨機(jī)變量X的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示。

▲概率密度函數(shù)p(x)的由來。...12/12/202211（二）連續(xù)隨機(jī)變量的分布...12/11/202211p(x)要成為一個(gè)概率密度函數(shù)應(yīng)具備以下條件：※位于x軸上方，p（x）≥0，-∞<x<+∞；※與x軸所夾面積恰好為1，；※X在區(qū)間（a,b）上取值的概率P（a<X<b）為區(qū)間（a,b）上的面積。baP（a<X<b）=陰影區(qū)域面積...12/12/202212p(x)要成為一個(gè)概率密度函數(shù)應(yīng)具備以下條件：baP（a三、隨機(jī)變量分布的特征參數(shù)：均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差※均值：用來表示分布的中心位置，用E（X）表示。

E（X）=

※方差：用來表示分布的散布大小，用Var(X)表示。

Var（X）=

※標(biāo)準(zhǔn)差：=（X）=...12/12/202213三、隨機(jī)變量分布的特征參數(shù)：均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差...12/1【例2-4】甲乙兩種牌子的手表，它們的日走時(shí)誤差分別為X與Y（單位：秒），已知X與Y分別有以下分布列（概率函數(shù)）：X-101Y-2-1012P0.10.8

0.1P0.10.20.40.20.1則有（）。A.E(X)=E(Y)

B.E(X)≠E(Y)

C.Var(X)＞Var(Y)D.Var(X)＜Var(Y)...12/12/202214【例2-4】...12/11/202214航班每次飛行墜機(jī)概率為十萬分之一,每位乘客保險(xiǎn)費(fèi)為20元,死亡賠付金額為40萬元,問保險(xiǎn)公司從每位乘客手中平均獲取多大利潤?用隨機(jī)變量X表示墜機(jī)事故可能發(fā)生這一隨機(jī)事件,則平安時(shí),X=0,墜機(jī)時(shí)X=1,Y為保險(xiǎn)公司收益,于是：

X01

P0.999990.00001

Y2O-400000則保險(xiǎn)公司的平均收益為:E(Y)=0.99999×20+0.00001×(-400000)=15.9998(元)...12/12/202215航班每次飛行墜機(jī)概率為十萬分之一,每位乘客保險(xiǎn)費(fèi)為20元,死【例2-5】看圖識(shí)方差（與標(biāo)準(zhǔn)差）。下畫出四個(gè)分布列的線條圖，其中垂線高度就是相應(yīng)的概率?，F(xiàn)要問這四個(gè)分布列中哪個(gè)方差大，哪個(gè)方差小。(A)E(X)123456789(B)(C)(D)...12/12/202216【例2-5】看圖識(shí)方差（與標(biāo)準(zhǔn)差）。下畫出四個(gè)分布隨機(jī)變量（或其分布）均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)：（1）設(shè)X為隨機(jī)變量，a與b為任意常數(shù)，則：

E（aX+b）=aE（X）+bVar（aX+b）=a2Var（X）（2）對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2，有：

E（X1±X2）=E（X1）±E（X2）（3）設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立，有：

Var（X1±X2）=Var（X1）+Var（X2）...12/12/202217隨機(jī)變量（或其分布）均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)：...12/11

【例2-6】兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，各自的標(biāo)準(zhǔn)差分別為2與1，則其差的標(biāo)準(zhǔn)差為：A.1B.3C.D....12/12/202218【例2-6】兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，各自的標(biāo)準(zhǔn)差分【例2-7】設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，均值分別為5與9，方差分別為2與2.5。（1）求U=3x+5的均值與方差（2）求V=2x+4y的均值與方差（3）求W=x-y的標(biāo)準(zhǔn)差...12/12/202219【例2-7】設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，均值分別為5與9四、常用分布（一）常用離散分布1.二項(xiàng)分布研究滿足如下條件的隨機(jī)現(xiàn)象的分布：（1）重復(fù)進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)；（2）n次試驗(yàn)間相互獨(dú)立；（3）每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果；（4）每次試驗(yàn)中成功的概率均為p，失敗的概率均為1-p。...12/12/202220四、常用分布...12/11/202220設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)，顯然X可取0、1、…、n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量，且它的離散分布為；P（X=x）=這個(gè)分布稱為二項(xiàng)分布，記為b（n,p），二項(xiàng)分布b（n,p）的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差：E(X)=np；Var(X)=np(1-p)；...12/12/202221設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)，顯然X可取【例2-8】下列隨機(jī)變量中服從二項(xiàng)分布的有（）。A.從一批（批量較大）產(chǎn)品中任取10個(gè)，其中不合格品數(shù)XB.鑄件上的缺陷個(gè)數(shù)YC.擲10顆骰子，1點(diǎn)出現(xiàn)個(gè)數(shù)ZD.擲1顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)W...12/12/202222【例2-8】...12/11/202222【例2-9】一批產(chǎn)品有10%的不合格品，從中隨機(jī)取出5件，其中恰有2件不合格品的概率是()A.0.0729B.0.9271C.0.0081D.0.9919...12/12/202223【例2-9】一批產(chǎn)品有10%的不合格品，從中隨機(jī)取【例2-10】在一個(gè)制造過程中，不合格品率為0.05，如今從成品中隨機(jī)取出10個(gè)，記X為10個(gè)成品中的不合格品數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布b（10,0.05）：（1）恰有一個(gè)不合格品的概率是多少？（2）少于2個(gè)不合格品的概率是多少？（3）該分布的均值和方差分別為多少？...12/12/202224【例2-10】...12/11/2022242．泊松分布泊松分布可用來描述不少隨機(jī)變量的概率分布，如：一定時(shí)間內(nèi)，電話交換機(jī)接錯(cuò)電話的次數(shù)；一定時(shí)間內(nèi)，某操作系統(tǒng)發(fā)生的故障數(shù)；一個(gè)鑄件上的缺陷數(shù)；一平方米玻璃上氣泡的個(gè)數(shù)；一件產(chǎn)品被擦傷留下的痕跡個(gè)數(shù)；一頁書上的錯(cuò)字個(gè)數(shù)。...12/12/2022252．泊松分布...12/11/202225若λ（λ＞0）表示某特定單位的平均點(diǎn)數(shù)，則某特定單位內(nèi)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X取x值的概率為：這個(gè)分布就稱為泊松分布，記為P（λ）泊松分布的均值與方差均為λ...12/12/202226若λ（λ＞0）表示某特定單位的平均...12/【例2-11】某大公司一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故數(shù)X是服從泊松分布的隨機(jī)變量，根據(jù)過去事故的記錄，該公司在一個(gè)月內(nèi)平均發(fā)生1.2起重大事故，這表明：X服從λ=1.2的泊松分布(見下表)。求：（1）4月份發(fā)生一起重大事故的概率（2）4月份發(fā)生重大事故不超過3起的概率（3）在4月份發(fā)生重大事故超過2起的概率...12/12/202227【例2-11】某大公司一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故數(shù)X是服X01234567…P0.3010.3620.2160.0870.0260.0060.0020.000…X服從泊松分布P(1.2)的分布列:...12/12/202228X01234567…P0.3010.3620.2160.083．超幾何分布設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品組成的總體，其中含有M個(gè)不合格品。若從中隨機(jī)不放回地抽取n個(gè)產(chǎn)品，則其中不合格品的個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，假如n≤M，則X可能取0，1，…，n；若n>M,則X可能取0，1，…，M，則X=x的概率是：

P（X=x）=

其中,r=min（n,M），這個(gè)分布稱為超幾何分布，記為h（n,N，M）。其均值、方差分別為：E（X）=，Var（x）=...12/12/2022293．超幾何分布...12/11/202229【例2-12】一貨船的甲板上放著20個(gè)裝有化學(xué)原料的圓桶，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有5桶被海水污染了，若從中隨機(jī)抽出8桶，并記X為其中被污染的桶數(shù)，現(xiàn)要求這個(gè)分布。...12/12/202230【例2-12】...12/11/202230【例2-13】10個(gè)螺絲釘中有3個(gè)不合格品，隨機(jī)取4個(gè)使用，4個(gè)全是合格品的概率是（）。A.1/6B.1/5C.1/4D.1/3...12/12/202231【例2-13】10個(gè)螺絲釘中有3個(gè)不合格品，隨機(jī)取4個(gè)（二）正態(tài)分布1．正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

p（x）=正態(tài)曲線，μ為正態(tài)分布中心，μ±σ為拐點(diǎn)。...12/12/202232（二）正態(tài)分布正態(tài)曲線，μ為正態(tài)分布中心，μ±σ為拐點(diǎn)。N(μ1,σ2)a.σ相同，μ不同（μ1<μ2）N(μ2,σ2)b.μ相同，σ不同（σ1<σ2）N(μ,σ12)N(μ,σ22)正態(tài)曲線的比較...12/12/202233N(μ1,σ2)a.σ相同，μ不同（μ1<μ2）N(μ2．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

μ=0且σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量記為U，其概率密度函數(shù)記為φ(u)。.4.3.2.1.0

-4-3-2-1012341...12/12/2022342．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.4

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布存在的意義：一些質(zhì)量特性的不合格率均要通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布才能算得。（1）可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，計(jì)算形如U≤u的隨機(jī)事件發(fā)生的概率。P（U≤a）=P（U<a）=（a）（2）P（U>a）=1-（a）（3）（-a）=1-（a）（4）P（a≤U≤b）=（b）-（a）（5）P（|U|≤a）=2（a）-1...12/12/202235標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布存在的意義：一些質(zhì)量特性的...12/1

3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分位數(shù)對(duì)任意界于0與1之間的實(shí)數(shù)α，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0,1）的α分位數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)：它的左側(cè)面積恰好為α，右側(cè)面積恰好為1-α。即α分位數(shù)uα是滿足下列等式的實(shí)數(shù)：P（U≤uα）=α標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)1-ααφ(u)uα...12/12/2022363.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α【例2-14】設(shè)up

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù)，則有（）。A.u0.49＞0B.u0.3＜u0.4C.u0.5=0D.u0.23=-u0.77...12/12/202237【例2-14】設(shè)up為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù)，則有（4．有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算

性質(zhì)1：任一個(gè)正態(tài)變量X經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化變換后都?xì)w一到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量U:即設(shè)X～N（μ,σ2），則U=（X-μ）/σ～N（0,1）。

...12/12/2022384．有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算...12/11/202238性質(zhì)2設(shè)X～N（μ,σ2），則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b有（1）（2）（3）...12/12/202239性質(zhì)2...12/11/202239【例2-15】設(shè)X～N(10,22)和Y～N(2,0.32)，概率P(8<X<14)和P(1.7<Y<2.6)各為多少？【例2-16】設(shè)X～N（0,1），則P（X>3）表示為:（）A.B.1-C.-1D.–...12/12/202240【例2-15】設(shè)X～N(10,22)和Y～N(2,0.32)【例2-17】計(jì)算產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率的兩個(gè)條件：（1）產(chǎn)品的質(zhì)量特性X的分布，在過程受控情況下，X的分布為正態(tài)（μ,σ2），這是過程現(xiàn)狀的概括；（2）產(chǎn)品的規(guī)范限，在雙規(guī)范限場(chǎng)合：※X超出上規(guī)范限的概率，記為pu=P(X>USL)※X低于下規(guī)范限的概率，記為pL=P(X<LSL)

X的不合格品率p=pL+pu

在一般的正態(tài)分布場(chǎng)合，分別做標(biāo)準(zhǔn)變換后再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表能獲得pu與PL。...12/12/202241【例2-17】...12/11/202241舉例說明不合格品率的計(jì)算：（1）某廠生產(chǎn)的電阻器的規(guī)范限為80±4kΩ?，F(xiàn)從現(xiàn)場(chǎng)得知該廠電阻器的阻值X服從正態(tài)分布，其均值μ=80.8

kΩ,σ=1.3kΩ。求其低于下規(guī)范限76kΩ的概率和超過上規(guī)范限84kΩ的概率。（2）某部件的清潔度X服從正態(tài)分布N(48,122)。只規(guī)定其上規(guī)范限為85毫克，求其不合格率。（3）某金屬材料的抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布N(38,1.82)。只規(guī)定其下規(guī)范限為33kg/cm2，求其不合格率。...12/12/202242舉例說明不合格品率的計(jì)算：...12/11/202242（三）其它連續(xù)分布1.均勻分布隨機(jī)變量落在區(qū)間（a，b）內(nèi)概率密度函數(shù)是一個(gè)常數(shù)，稱“在區(qū)間（a，b）上的均勻分布”，記為U（a，b）。p(x)=

U（a，b）的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差：

E(X)=,Var(X)=,...12/12/202243（三）其它連續(xù)分布...12/11/2022432．對(duì)數(shù)正態(tài)分布（1）隨機(jī)變量都在正半軸（0，∞）上取值；（2）隨機(jī)變量的大量取值在左邊，少量取值在右邊，并且很分散，這樣的分布稱為“右偏分布”；（3）若隨機(jī)變量X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則經(jīng)過對(duì)數(shù)變換Y=LnX(Ln是自然對(duì)數(shù))后服從正態(tài)分布;...12/12/2022442．對(duì)數(shù)正態(tài)分布...12/11/202244（4）若記正態(tài)分布的均值為,方差為則相應(yīng)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值與方差分別為

（5）為求對(duì)數(shù)正態(tài)變量X的有關(guān)事件的概率,經(jīng)過對(duì)數(shù)變換后可轉(zhuǎn)化為求正態(tài)變量Y=LnX的相應(yīng)事件的概率,如P(X<a)=P(LnX<Lna)=P(Y<Lna)=Ф[(Lna-)/]...12/12/202245（4）若記正態(tài)分布的均值為,方差為則相應(yīng)【例2-18】絕緣材料在正常電壓下被擊穿的時(shí)間X為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，若令Y=lnX，則Y為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。若已知Y的均值與方差分別為：μY=7.5，σY2=4，從而標(biāo)準(zhǔn)差σY=2求X的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差。...12/12/202246【例2-18】絕緣材料在正常電壓下被擊穿的時(shí)間X為3.指數(shù)分布用以下指數(shù)函數(shù)表示的概率密度函數(shù)稱為指數(shù)分布，記為Exp（λ）,其中λ>0。它的分布函數(shù)F（x）有一個(gè)簡潔表達(dá)式，...12/12/2022473.指數(shù)分布...12/11/202247【例2-19】一次電話的通話時(shí)間X是一個(gè)隨機(jī)變量（單位：分），設(shè)X服從參數(shù)λ=0.25的指數(shù)分布，則一次通話所用的平均時(shí)間E（X）與標(biāo)準(zhǔn)差σ（X）各為（）。A.E（X）=2B.E（X）=4C.σ（X）=4D.σ（X）=16...12/12/202248【例2-19】...12/11/202248【例2-20】某種熱水器首次發(fā)生故障的時(shí)間T（單位：小時(shí)）服從參數(shù)λ=0.002的指數(shù)分布，它的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為：

求這種熱水器在300到500小時(shí)內(nèi)需要維修的概率？該種熱水器首次發(fā)生故障的時(shí)間的均值與方差？...12/12/202249【例2-20】...12/11/202249五、中心極限定理（一）隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量相互獨(dú)立是指其取值互不影響。n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的均值稱為樣本均值：

...12/12/202250五、中心極限定理...12/11/202250（二）正態(tài)樣本均值的分布定理一設(shè)X1，X2，…，Xn是n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，假如其共同分布為正態(tài)分布N（，),則樣本均值仍為正態(tài)分布,其均值不變?nèi)詾?，而其方差縮小n倍,若把的方差記為這個(gè)定理表明：在獨(dú)立同分布的條件下，正態(tài)樣本均值服從正態(tài)分布N（，）。...12/12/202251（二）正態(tài)樣本均值的分布...12/11/20225【例2-21】

X1，X2，…，X9是相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，并且共同分布為正態(tài)分布N(10,25)，則其樣本均值的分布為（）A.N（10/9，5/9）B.N（10，5/9）C.N（10/9，25/9）D.N（10，25/9）...12/12/202252【例2-21】...12/11/202252（三）非正態(tài)樣本均值的分布定理二（中心極限定理）設(shè)X1，X2，…，Xn為n個(gè)相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其共同分布未知，但其均值和方差都存在,則在n較大時(shí)，其樣本均值近似服從正態(tài)分布N（，）。這個(gè)定理表明：無論共同的分布是什么，只要獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)n較大時(shí)，樣本均值的分布總是正態(tài)分布。...12/12/202253（三）非正態(tài)樣本均值的分布...12/11/20225【例2-22】設(shè)x1，x2，…，x25是服從均勻分布U（0，5）抽取的一個(gè)樣本，則近似服從的分布是：（）A.N（5，1/12）B.N（5，1/10）C.N（2.5，1/12）D.N（2.5，1/10）（本節(jié)內(nèi)容結(jié)束）...12/12/202254【例2-22】（本節(jié)內(nèi)容結(jié)束）...12/11/20225第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布小結(jié)隨機(jī)變量及其分布的概念與分類離散型隨機(jī)變量表示方法——分布列/簡明的數(shù)學(xué)式特征參數(shù)——均值/方差/標(biāo)準(zhǔn)差

二項(xiàng)分布三大離散型分布泊松分布超幾何分布...12/12/202255第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布小結(jié)隨機(jī)變量及其分布的概念與分類連續(xù)型隨機(jī)變量表示方法——概率密度函數(shù)特征參數(shù)——均值/方差/標(biāo)準(zhǔn)差/分位數(shù)

正態(tài)分布四大連續(xù)型分布均勻分布指數(shù)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布中心極限定理第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布小結(jié)...12/12/202256連續(xù)型隨機(jī)變量第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布小結(jié)...12/1第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布...12/12/202257第二節(jié)隨機(jī)變量及其分布...12/11/20221“隨機(jī)變量”的引入——通過對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行量化,使對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)變量的研究。隨機(jī)變量的定義：表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量。隨機(jī)變量的表示：大寫字母X，Y，Z。隨機(jī)變量取值的表示：小寫字母x，y，z。...12/12/202258“隨機(jī)變量”的引入...12/11/20222一、隨機(jī)變量的分類

1．離散隨機(jī)變量：一個(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)。x4x3x5x2x1X某離散隨機(jī)變量的可能取值...12/12/202259一、隨機(jī)變量的分類x4x3x5x2x1某離散隨機(jī)變量的可能2．連續(xù)隨機(jī)變量：一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能值充滿數(shù)軸上的一個(gè)（a,b）區(qū)間。abX連續(xù)隨機(jī)變量的可能取值...12/12/2022602．連續(xù)隨機(jī)變量：一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能值充滿數(shù)【例2-1】產(chǎn)品的質(zhì)量特性一般都具有隨機(jī)性，所以其質(zhì)量特性就是隨機(jī)變量。如：（1）一只鑄件上的瑕疵數(shù)；（2）檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品，質(zhì)量合格或不合格數(shù)；（3）一臺(tái)電視機(jī)的壽命。...12/12/202261【例2-1】產(chǎn)品的質(zhì)量特性一般都具有隨機(jī)性，所以其質(zhì)量

引入隨機(jī)變量后，可用隨機(jī)變量X的取值來表示隨機(jī)事件，如：(1)鑄件上的瑕疵數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，用X表示，則X=0表示隨機(jī)事件“鑄件無瑕疵”。(2)軸的長度是一個(gè)隨機(jī)變量，用Y表示，則10.1≤Y≤10.2表示隨機(jī)事件“軸的長度在10.1到10.2之間”。...12/12/202262引入隨機(jī)變量后，可用隨機(jī)變量X的取值來表示隨機(jī)事件二、隨機(jī)變量的分布※隨機(jī)變量的規(guī)律性用分布來描述。※一個(gè)隨機(jī)變量X的分布包含如下內(nèi)容：（1）X可能取那些值，或在哪個(gè)區(qū)間上取值；（2）X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少。...12/12/202263二、隨機(jī)變量的分布...12/11/20227（一）離散隨機(jī)變量的分布※表示方式1——分布列：

X

x1

x2……xn

P

P(x1)

P(x2)

……P(xn)※表示方式2——一個(gè)簡明的數(shù)學(xué)式：

P（X=xi）=pi，i=1，2，…，n

要成為一個(gè)分布，要求pi≥0，p1+p2+…pn=1成立。...12/12/202264（一）離散隨機(jī)變量的分布...12/11/20228【例2-2】擲兩顆骰子，樣本空間有36個(gè)基本事件，則：（1）“6點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)”的分布為X012P25/3610/361/36（2）”擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和”的分布為Y23456789101112

P

1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36...12/12/202265【例2-2】擲兩顆骰子，樣本空間有36個(gè)基本事件，則：...【例2-3】設(shè)X的分布列為：

X12345

P

p1p2

p3p4

p5概率P（2≤X＜5）=（）。A.p2+

p3+p4

+p5

B.p2+

p3+p4

C.P（X＜5）-P（X＜2）D.1-P（X＜2）-P（X＞4）...12/12/202266【例2-3】設(shè)X的分布列為：...12/11/20221（二）連續(xù)隨機(jī)變量的分布連續(xù)隨機(jī)變量X的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示。

▲概率密度函數(shù)p(x)的由來。...12/12/202267（二）連續(xù)隨機(jī)變量的分布...12/11/202211p(x)要成為一個(gè)概率密度函數(shù)應(yīng)具備以下條件：※位于x軸上方，p（x）≥0，-∞<x<+∞；※與x軸所夾面積恰好為1，；※X在區(qū)間（a,b）上取值的概率P（a<X<b）為區(qū)間（a,b）上的面積。baP（a<X<b）=陰影區(qū)域面積...12/12/202268p(x)要成為一個(gè)概率密度函數(shù)應(yīng)具備以下條件：baP（a三、隨機(jī)變量分布的特征參數(shù)：均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差※均值：用來表示分布的中心位置，用E（X）表示。

E（X）=

※方差：用來表示分布的散布大小，用Var(X)表示。

Var（X）=

※標(biāo)準(zhǔn)差：=（X）=...12/12/202269三、隨機(jī)變量分布的特征參數(shù)：均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差...12/1【例2-4】甲乙兩種牌子的手表，它們的日走時(shí)誤差分別為X與Y（單位：秒），已知X與Y分別有以下分布列（概率函數(shù)）：X-101Y-2-1012P0.10.8

0.1P0.10.20.40.20.1則有（）。A.E(X)=E(Y)

B.E(X)≠E(Y)

C.Var(X)＞Var(Y)D.Var(X)＜Var(Y)...12/12/202270【例2-4】...12/11/202214航班每次飛行墜機(jī)概率為十萬分之一,每位乘客保險(xiǎn)費(fèi)為20元,死亡賠付金額為40萬元,問保險(xiǎn)公司從每位乘客手中平均獲取多大利潤?用隨機(jī)變量X表示墜機(jī)事故可能發(fā)生這一隨機(jī)事件,則平安時(shí),X=0,墜機(jī)時(shí)X=1,Y為保險(xiǎn)公司收益,于是：

X01

P0.999990.00001

Y2O-400000則保險(xiǎn)公司的平均收益為:E(Y)=0.99999×20+0.00001×(-400000)=15.9998(元)...12/12/202271航班每次飛行墜機(jī)概率為十萬分之一,每位乘客保險(xiǎn)費(fèi)為20元,死【例2-5】看圖識(shí)方差（與標(biāo)準(zhǔn)差）。下畫出四個(gè)分布列的線條圖，其中垂線高度就是相應(yīng)的概率。現(xiàn)要問這四個(gè)分布列中哪個(gè)方差大，哪個(gè)方差小。(A)E(X)123456789(B)(C)(D)...12/12/202272【例2-5】看圖識(shí)方差（與標(biāo)準(zhǔn)差）。下畫出四個(gè)分布隨機(jī)變量（或其分布）均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)：（1）設(shè)X為隨機(jī)變量，a與b為任意常數(shù)，則：

E（aX+b）=aE（X）+bVar（aX+b）=a2Var（X）（2）對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2，有：

E（X1±X2）=E（X1）±E（X2）（3）設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立，有：

Var（X1±X2）=Var（X1）+Var（X2）...12/12/202273隨機(jī)變量（或其分布）均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)：...12/11

【例2-6】兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，各自的標(biāo)準(zhǔn)差分別為2與1，則其差的標(biāo)準(zhǔn)差為：A.1B.3C.D....12/12/202274【例2-6】兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，各自的標(biāo)準(zhǔn)差分【例2-7】設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，均值分別為5與9，方差分別為2與2.5。（1）求U=3x+5的均值與方差（2）求V=2x+4y的均值與方差（3）求W=x-y的標(biāo)準(zhǔn)差...12/12/202275【例2-7】設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，均值分別為5與9四、常用分布（一）常用離散分布1.二項(xiàng)分布研究滿足如下條件的隨機(jī)現(xiàn)象的分布：（1）重復(fù)進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)；（2）n次試驗(yàn)間相互獨(dú)立；（3）每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果；（4）每次試驗(yàn)中成功的概率均為p，失敗的概率均為1-p。...12/12/202276四、常用分布...12/11/202220設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)，顯然X可取0、1、…、n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量，且它的離散分布為；P（X=x）=這個(gè)分布稱為二項(xiàng)分布，記為b（n,p），二項(xiàng)分布b（n,p）的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差：E(X)=np；Var(X)=np(1-p)；...12/12/202277設(shè)X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)，顯然X可取【例2-8】下列隨機(jī)變量中服從二項(xiàng)分布的有（）。A.從一批（批量較大）產(chǎn)品中任取10個(gè)，其中不合格品數(shù)XB.鑄件上的缺陷個(gè)數(shù)YC.擲10顆骰子，1點(diǎn)出現(xiàn)個(gè)數(shù)ZD.擲1顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)W...12/12/202278【例2-8】...12/11/202222【例2-9】一批產(chǎn)品有10%的不合格品，從中隨機(jī)取出5件，其中恰有2件不合格品的概率是()A.0.0729B.0.9271C.0.0081D.0.9919...12/12/202279【例2-9】一批產(chǎn)品有10%的不合格品，從中隨機(jī)取【例2-10】在一個(gè)制造過程中，不合格品率為0.05，如今從成品中隨機(jī)取出10個(gè)，記X為10個(gè)成品中的不合格品數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布b（10,0.05）：（1）恰有一個(gè)不合格品的概率是多少？（2）少于2個(gè)不合格品的概率是多少？（3）該分布的均值和方差分別為多少？...12/12/202280【例2-10】...12/11/2022242．泊松分布泊松分布可用來描述不少隨機(jī)變量的概率分布，如：一定時(shí)間內(nèi)，電話交換機(jī)接錯(cuò)電話的次數(shù)；一定時(shí)間內(nèi)，某操作系統(tǒng)發(fā)生的故障數(shù)；一個(gè)鑄件上的缺陷數(shù)；一平方米玻璃上氣泡的個(gè)數(shù)；一件產(chǎn)品被擦傷留下的痕跡個(gè)數(shù)；一頁書上的錯(cuò)字個(gè)數(shù)。...12/12/2022812．泊松分布...12/11/202225若λ（λ＞0）表示某特定單位的平均點(diǎn)數(shù)，則某特定單位內(nèi)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X取x值的概率為：這個(gè)分布就稱為泊松分布，記為P（λ）泊松分布的均值與方差均為λ...12/12/202282若λ（λ＞0）表示某特定單位的平均...12/【例2-11】某大公司一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故數(shù)X是服從泊松分布的隨機(jī)變量，根據(jù)過去事故的記錄，該公司在一個(gè)月內(nèi)平均發(fā)生1.2起重大事故，這表明：X服從λ=1.2的泊松分布(見下表)。求：（1）4月份發(fā)生一起重大事故的概率（2）4月份發(fā)生重大事故不超過3起的概率（3）在4月份發(fā)生重大事故超過2起的概率...12/12/202283【例2-11】某大公司一個(gè)月內(nèi)發(fā)生重大事故數(shù)X是服X01234567…P0.3010.3620.2160.0870.0260.0060.0020.000…X服從泊松分布P(1.2)的分布列:...12/12/202284X01234567…P0.3010.3620.2160.083．超幾何分布設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品組成的總體，其中含有M個(gè)不合格品。若從中隨機(jī)不放回地抽取n個(gè)產(chǎn)品，則其中不合格品的個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，假如n≤M，則X可能取0，1，…，n；若n>M,則X可能取0，1，…，M，則X=x的概率是：

P（X=x）=

其中,r=min（n,M），這個(gè)分布稱為超幾何分布，記為h（n,N，M）。其均值、方差分別為：E（X）=，Var（x）=...12/12/2022853．超幾何分布...12/11/202229【例2-12】一貨船的甲板上放著20個(gè)裝有化學(xué)原料的圓桶，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有5桶被海水污染了，若從中隨機(jī)抽出8桶，并記X為其中被污染的桶數(shù)，現(xiàn)要求這個(gè)分布。...12/12/202286【例2-12】...12/11/202230【例2-13】10個(gè)螺絲釘中有3個(gè)不合格品，隨機(jī)取4個(gè)使用，4個(gè)全是合格品的概率是（）。A.1/6B.1/5C.1/4D.1/3...12/12/202287【例2-13】10個(gè)螺絲釘中有3個(gè)不合格品，隨機(jī)取4個(gè)（二）正態(tài)分布1．正態(tài)分布的概率密度函數(shù)

p（x）=正態(tài)曲線，μ為正態(tài)分布中心，μ±σ為拐點(diǎn)。...12/12/202288（二）正態(tài)分布正態(tài)曲線，μ為正態(tài)分布中心，μ±σ為拐點(diǎn)。N(μ1,σ2)a.σ相同，μ不同（μ1<μ2）N(μ2,σ2)b.μ相同，σ不同（σ1<σ2）N(μ,σ12)N(μ,σ22)正態(tài)曲線的比較...12/12/202289N(μ1,σ2)a.σ相同，μ不同（μ1<μ2）N(μ2．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

μ=0且σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量記為U，其概率密度函數(shù)記為φ(u)。.4.3.2.1.0

-4-3-2-1012341...12/12/2022902．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.4

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布存在的意義：一些質(zhì)量特性的不合格率均要通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布才能算得。（1）可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，計(jì)算形如U≤u的隨機(jī)事件發(fā)生的概率。P（U≤a）=P（U<a）=（a）（2）P（U>a）=1-（a）（3）（-a）=1-（a）（4）P（a≤U≤b）=（b）-（a）（5）P（|U|≤a）=2（a）-1...12/12/202291標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布存在的意義：一些質(zhì)量特性的...12/1

3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分位數(shù)對(duì)任意界于0與1之間的實(shí)數(shù)α，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0,1）的α分位數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)：它的左側(cè)面積恰好為α，右側(cè)面積恰好為1-α。即α分位數(shù)uα是滿足下列等式的實(shí)數(shù)：P（U≤uα）=α標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)1-ααφ(u)uα...12/12/2022923.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α【例2-14】設(shè)up

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù)，則有（）。A.u0.49＞0B.u0.3＜u0.4C.u0.5=0D.u0.23=-u0.77...12/12/202293【例2-14】設(shè)up為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的p分位數(shù)，則有（4．有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算

性質(zhì)1：任一個(gè)正態(tài)變量X經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化變換后都?xì)w一到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量U:即設(shè)X～N（μ,σ2），則U=（X-μ）/σ～N（0,1）。

...12/12/2022944．有關(guān)正態(tài)分布的計(jì)算...12/11/202238性質(zhì)2設(shè)X～N（μ,σ2），則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b有（1）（2）（3）...12/12/202295性質(zhì)2...12/11/202239【例2-15】設(shè)X～N(10,22)和Y～N(2,0.32)，概率P(8<X<14)和P(1.7<Y<2.6)各為多少？【例2-16】設(shè)X～N（0,1），則P（X>3）表示為:（）A.B.1-C.-1D.–...12/12/202296【例2-15】設(shè)X～N(10,22)和Y～N(2,0.32)【例2-17】計(jì)算產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率的兩個(gè)條件：（1）產(chǎn)品的質(zhì)量特性X的分布，在過程受控情況下，X的分布為正態(tài)（μ,σ2），這是過程現(xiàn)狀的概括；（2）產(chǎn)品的規(guī)范限，在雙規(guī)范限場(chǎng)合：※X超出上規(guī)范限的概率，記為pu=P(X>USL)※X低于下規(guī)范限的概率，記為pL=P(X<LSL)

X的不合格品率p=pL+pu

在一般的正態(tài)分布場(chǎng)合，分別做標(biāo)準(zhǔn)變換后再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表能獲得pu與PL。...12/12/202297【例2-17】...12/11/202241舉例說明不合格品率的計(jì)算：（1）某廠生產(chǎn)的電阻器的規(guī)范限為80±4kΩ?，F(xiàn)從現(xiàn)場(chǎng)得知該廠電阻器的阻值X服從正態(tài)分布，其均值μ=80.8

kΩ,σ=1.3kΩ。求其低于下規(guī)范限76kΩ的概率和超過上規(guī)范限84kΩ的概率。（2）某部件的清潔度X服從正態(tài)分布N(48,122)。只規(guī)定其上規(guī)范限為85毫克，求其不合格率。（3）某金屬材料的抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布N(38,1.82)。只規(guī)定其下規(guī)范限為33kg/cm2，求其不合格率。...12/12/202298舉例說明不合格品率的計(jì)算：...12/11/202242（三）其它連續(xù)分布1.均勻分布隨機(jī)變量落在區(qū)間（a，b）內(nèi)概率密度函數(shù)是一個(gè)常數(shù)，稱“在區(qū)間（a，b）上的均勻分布”，記為U（a，b）。p(x)=

U（a，b）的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差：

E(X)=,Var(X)=,...12/12/202299（三）其它連續(xù)分布...12/11/2022432．對(duì)數(shù)正態(tài)分布（1）隨機(jī)變量都在正半軸（0，∞）上取值；（2）隨機(jī)變量的大量取值在左邊，少量取值在右邊，并且很分散，這樣的分布稱為“右偏分布”；（3）若隨機(jī)變量X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則經(jīng)過對(duì)數(shù)變換Y=LnX(Ln是自然對(duì)數(shù))后服從正態(tài)分布;...12/12/20221002．對(duì)數(shù)正態(tài)分布...12/11/202244（4）若記正態(tài)分布的均值為,方差為則相應(yīng)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值與方差分別為

（5）為求對(duì)數(shù)正態(tài)變量X的有關(guān)事件的概率,經(jīng)過對(duì)數(shù)變換后可轉(zhuǎn)化為求正態(tài)變量Y=LnX的相應(yīng)事件的概率,如P(X<a)=P(LnX<Lna)=P