總復(fù)習(xí)

總復(fù)習(xí)

第二章極限與連續(xù)

正確理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義，能用定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的極限.第二章極限與連續(xù)

正確理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義，例1、用定義證明下列極限

(1)分析：對(duì)于任意給定的

要使只要

故可取當(dāng)nN時(shí)

有所以證明因?yàn)閷?duì)于任意給定的

存在例1、用定義證明下列極限

(1)分析：對(duì)于任意給定的(2)

證明因?yàn)閷?duì)于任意給定的0

存在

當(dāng)0|x(2)|時(shí)

有所以(2)證明因?yàn)閷?duì)于任意給定的0存2.熟練掌握極限存在的充要條件，會(huì)用充要條件判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限的存在性.2.熟練掌握極限存在的充要條件，會(huì)用充要條證明因?yàn)樗圆淮嬖诶?、證明

不存在證明因?yàn)樗圆淮嬖诶?、證明不存在設(shè)則有(2)(3)(4)(1)3熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則設(shè)則有(2)(3)(4)(1)3熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則熟練掌握極限存在的準(zhǔn)則.

準(zhǔn)則I設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)滿足條件（1）g(x)≤f(x)≤h(x)（2）則有準(zhǔn)則II單調(diào)有界數(shù)列必有極限.熟練掌握極限存在的準(zhǔn)則.

準(zhǔn)則I設(shè)函數(shù)f(x)，g(x5、熟練掌握重要極限5、熟練掌握重要極限(1)用四則運(yùn)算法則求極限.(2)用“適當(dāng)變型法”求極限.(3)用重要極限求極限.(4)用無窮小量的性質(zhì)求極限.(5)用極限存在的充要條件來確定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限.6、熟練掌握求極限的方法

(1)用四則運(yùn)算法則求極限.6、熟練掌握求極限的7.理解無窮小量與無窮大量的定義。

(1)以零為極限的變量叫做無窮小量.(2)絕對(duì)值可以無限增大的變量叫做無限大量.8.熟記無窮小的性質(zhì)，熟練掌握用性質(zhì)求極限的方法.

性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的和是無窮小量.

性質(zhì)2有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量.

性質(zhì)3有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量.7.理解無窮小量與無窮大量的定義。設(shè)f(x)和g(x)為同一變化過程中的無窮小量，(1)如果0<K<＋∞，則稱f(x)和g(x)為此變化過程中的同階無窮小量；

(2)如果K＝0，則在此變化過程中，稱f(x)是比g(x)高階的無窮小量，簡(jiǎn)稱f(x)是g(x)的高階無窮小量，記作f(x)＝o(g(x))；

(3)如果K＝∞，則在此變化過程中，稱f(x)是比g(x)低階的無窮小量，簡(jiǎn)稱f(x)是g(x)的低階無窮小量.9.理解無窮小的階的概念，會(huì)比較無窮小的階.

設(shè)f(x)和g(x)為同一變化過程中的無窮小量，例2、求下列各極限

(1)解

例2、求下列各極限

(1)解(2)解(2)解(3)

解(3)解(4)解

(4)解(5)解(5)解(6)解(6)解(7)解(7)解(8)解(8)解若

求k的值所以當(dāng)x3時(shí)

x3與x22xk是同階的無窮小量

因此k3例3、

解因?yàn)槿羟髃的值所以當(dāng)x3時(shí)x3與x2例4、

當(dāng)x0時(shí)

無窮小量xsinx2是x的幾階無窮小量？所以當(dāng)x0時(shí)

xsinx2與x是等價(jià)無窮小量

解因?yàn)槔?、

當(dāng)x0時(shí)無窮小量xsinx2是x的幾階無窮1、下列極限存在的有()

(B)(C)

(D)例5、選擇題

(B)

(C)

(D)(A)(A)

提示

答A

1、下列極限存在的有()(B)2

下列極限正確的有().(A)不存在

這是因?yàn)?/p>

(B)當(dāng)x0時(shí)

(C)當(dāng)x0時(shí)

(D)當(dāng)x時(shí)

(B)

(C)

(D)(A)答

B

C

D

2下列極限正確的有().(A)不存在這3

f(x)在點(diǎn)xx0處有定義

是當(dāng)xx0時(shí)

f(x)有極限的()

(A)必要條件

(B)充分條件

(C)充分必要條件

(D)無關(guān)的條件

答

D

函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的極限與函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的定義情況無關(guān)

3f(x)在點(diǎn)xx0處有定義是當(dāng)xx0時(shí)f((A)1

(B)0

(C)2

(D)答

C

(A)1(B)0十、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義；

定義1設(shè)函數(shù))(xf在)(0xUd內(nèi)有定義,如果0lim0=D?Dyx

,則稱函數(shù))(xf在點(diǎn)0x連續(xù)。

定義2設(shè)函數(shù))(xf在)(0xUd內(nèi)有定義,如果

,則稱函數(shù))(xf在點(diǎn)0x連續(xù)。

十、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義；

定義1設(shè)函數(shù))(xf在)(02.間斷點(diǎn)—函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)2.間斷點(diǎn)—函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)十一．初等函數(shù)的連續(xù)性

(1)、連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算后得到的函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)．

(2)、連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次復(fù)合運(yùn)算后得到的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)．

(3)、嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍為嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)．

(4)、基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)．

(5)、一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。十一．初等函數(shù)的連續(xù)性

(1)、連十二．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上連續(xù)，則(1)有界性定理：若函數(shù)它在上有界．(2)最大值和最小值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上必能取得最大值和最小值．(3)介值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它必取得介于端點(diǎn)函數(shù)值f（a）與f（b）之間的一切值C.(4)根的存在定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程在（a,b）內(nèi)至少。有一個(gè)實(shí)根十二．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上連續(xù)，則(1)有界性定例6、證明下列函數(shù)y3x21在(

)內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。從而y3x21在(

)內(nèi)是連續(xù)函數(shù)

解因?yàn)樗詙3x21在(

)內(nèi)任意點(diǎn)處都連續(xù)

例6、證明下列函數(shù)y3x21在()內(nèi)是連續(xù)函例7、函數(shù)在其定義域內(nèi)是否連續(xù)？

解、函數(shù)的定義域?yàn)閇3,3]因?yàn)閒(1)|1|1

而所以函數(shù)在x1處不連續(xù)因此函數(shù)在定義域內(nèi)不連續(xù)例7、函數(shù)例8、解因?yàn)樗粤頵(0)1能使f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)給f(0)補(bǔ)充定義一個(gè)什么數(shù)值

能使在點(diǎn)x0處連續(xù)？例8、解因?yàn)樗粤頵(0)1能使f(x)在例9、設(shè)問當(dāng)k為何值時(shí)

函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)？解因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(,0)和(0,)內(nèi)是連續(xù)，所以當(dāng)k1時(shí)

函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)

又在x0處

f(0)k

f(00)f(00)1，例9、設(shè)問當(dāng)k為何值時(shí)函數(shù)f(x)在其定例10、設(shè)解因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(,0)和(0,)內(nèi)是連續(xù)，所以函數(shù)f(x)在x0處是連續(xù)的

問當(dāng)k為值時(shí)

函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)？所以當(dāng)k2時(shí)

函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)

又當(dāng)k2時(shí)

f(0)2

并有例10、設(shè)解因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(,0)和(0,例11、證明方程yx43x27x10在(12)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根證明設(shè)f(x)x43x27x10

則f(x)是閉區(qū)間[12]上的連續(xù)函數(shù)，且f(1)50

f(2)180。根的存在定理知

至少有一點(diǎn)x(12)使f(x)0即方程yx43x27x10在(12)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根例11、證明方程yx43x27x10在(12)例12、解因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)且在x0有定義求所以例12、解因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)且在x0有定義求所以例13、選擇題(A)是連續(xù)函數(shù)

(B)有界函數(shù)

(C)有最大值與最小值

(D)有最大值無最小值

函數(shù)在x0處取得最大值

無最小值

所以(D)是正確的

1、

當(dāng)|x|1時(shí)

()答

A

B

D

是初等函數(shù)

在其定義域[1,1]內(nèi)是連續(xù)有界當(dāng)然在(1,1)內(nèi)也是連續(xù)的有界的

所以(A)、(B)正確例13、選擇題(A)是連續(xù)函數(shù)

(A)必要條件

(B)充分條件

(C)充分必要條件

(D)無關(guān)的條件

這說明函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)必須有定義

2、f(x)在點(diǎn)x0處有定義

是f(x)在x0處連續(xù)的()若函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)

則答

A

(A)必要條件總復(fù)習(xí)

總復(fù)習(xí)

第二章極限與連續(xù)

正確理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義，能用定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的極限.第二章極限與連續(xù)

正確理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義，例1、用定義證明下列極限

(1)分析：對(duì)于任意給定的

要使只要

故可取當(dāng)nN時(shí)

有所以證明因?yàn)閷?duì)于任意給定的

存在例1、用定義證明下列極限

(1)分析：對(duì)于任意給定的(2)

證明因?yàn)閷?duì)于任意給定的0

存在

當(dāng)0|x(2)|時(shí)

有所以(2)證明因?yàn)閷?duì)于任意給定的0存2.熟練掌握極限存在的充要條件，會(huì)用充要條件判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限的存在性.2.熟練掌握極限存在的充要條件，會(huì)用充要條證明因?yàn)樗圆淮嬖诶?、證明

不存在證明因?yàn)樗圆淮嬖诶?、證明不存在設(shè)則有(2)(3)(4)(1)3熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則設(shè)則有(2)(3)(4)(1)3熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則熟練掌握極限存在的準(zhǔn)則.

準(zhǔn)則I設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)滿足條件（1）g(x)≤f(x)≤h(x)（2）則有準(zhǔn)則II單調(diào)有界數(shù)列必有極限.熟練掌握極限存在的準(zhǔn)則.

準(zhǔn)則I設(shè)函數(shù)f(x)，g(x5、熟練掌握重要極限5、熟練掌握重要極限(1)用四則運(yùn)算法則求極限.(2)用“適當(dāng)變型法”求極限.(3)用重要極限求極限.(4)用無窮小量的性質(zhì)求極限.(5)用極限存在的充要條件來確定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限.6、熟練掌握求極限的方法

(1)用四則運(yùn)算法則求極限.6、熟練掌握求極限的7.理解無窮小量與無窮大量的定義。

(1)以零為極限的變量叫做無窮小量.(2)絕對(duì)值可以無限增大的變量叫做無限大量.8.熟記無窮小的性質(zhì)，熟練掌握用性質(zhì)求極限的方法.

性質(zhì)1有限個(gè)無窮小量的和是無窮小量.

性質(zhì)2有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量.

性質(zhì)3有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量.7.理解無窮小量與無窮大量的定義。設(shè)f(x)和g(x)為同一變化過程中的無窮小量，(1)如果0<K<＋∞，則稱f(x)和g(x)為此變化過程中的同階無窮小量；

(2)如果K＝0，則在此變化過程中，稱f(x)是比g(x)高階的無窮小量，簡(jiǎn)稱f(x)是g(x)的高階無窮小量，記作f(x)＝o(g(x))；

(3)如果K＝∞，則在此變化過程中，稱f(x)是比g(x)低階的無窮小量，簡(jiǎn)稱f(x)是g(x)的低階無窮小量.9.理解無窮小的階的概念，會(huì)比較無窮小的階.

設(shè)f(x)和g(x)為同一變化過程中的無窮小量，例2、求下列各極限

(1)解

例2、求下列各極限

(1)解(2)解(2)解(3)

解(3)解(4)解

(4)解(5)解(5)解(6)解(6)解(7)解(7)解(8)解(8)解若

求k的值所以當(dāng)x3時(shí)

x3與x22xk是同階的無窮小量

因此k3例3、

解因?yàn)槿羟髃的值所以當(dāng)x3時(shí)x3與x2例4、

當(dāng)x0時(shí)

無窮小量xsinx2是x的幾階無窮小量？所以當(dāng)x0時(shí)

xsinx2與x是等價(jià)無窮小量

解因?yàn)槔?、

當(dāng)x0時(shí)無窮小量xsinx2是x的幾階無窮1、下列極限存在的有()

(B)(C)

(D)例5、選擇題

(B)

(C)

(D)(A)(A)

提示

答A

1、下列極限存在的有()(B)2

下列極限正確的有().(A)不存在

這是因?yàn)?/p>

(B)當(dāng)x0時(shí)

(C)當(dāng)x0時(shí)

(D)當(dāng)x時(shí)

(B)

(C)

(D)(A)答

B

C

D

2下列極限正確的有().(A)不存在這3

f(x)在點(diǎn)xx0處有定義

是當(dāng)xx0時(shí)

f(x)有極限的()

(A)必要條件

(B)充分條件

(C)充分必要條件

(D)無關(guān)的條件

答

D

函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的極限與函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的定義情況無關(guān)

3f(x)在點(diǎn)xx0處有定義是當(dāng)xx0時(shí)f((A)1

(B)0

(C)2

(D)答

C

(A)1(B)0十、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義；

定義1設(shè)函數(shù))(xf在)(0xUd內(nèi)有定義,如果0lim0=D?Dyx

,則稱函數(shù))(xf在點(diǎn)0x連續(xù)。

定義2設(shè)函數(shù))(xf在)(0xUd內(nèi)有定義,如果

,則稱函數(shù))(xf在點(diǎn)0x連續(xù)。

十、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義；

定義1設(shè)函數(shù))(xf在)(02.間斷點(diǎn)—函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)2.間斷點(diǎn)—函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)十一．初等函數(shù)的連續(xù)性

(1)、連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算后得到的函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)．

(2)、連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次復(fù)合運(yùn)算后得到的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)．

(3)、嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍為嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)．

(4)、基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)．

(5)、一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。十一．初等函數(shù)的連續(xù)性

(1)、連十二．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上連續(xù)，則(1)有界性定理：若函數(shù)它在上有界．(2)最大值和最小值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上必能取得最大值和最小值．(3)介值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它必取得介于端點(diǎn)函數(shù)值f（a）與f（b）之間的一切值C.(4)根的存在定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則方程在（a,b）內(nèi)至少。有一個(gè)實(shí)根十二．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上連續(xù)，則(1)有界性定例6、證明下列函數(shù)y3x21在(

)內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。從而y3x21在(

)內(nèi)是連續(xù)函數(shù)

解因?yàn)樗詙3x21在(

)內(nèi)任意點(diǎn)處都連續(xù)

例6、證明下列函數(shù)y3x21在()內(nèi)是連續(xù)函例7、函數(shù)在其定義域內(nèi)是否連續(xù)？

解、函數(shù)的定義域?yàn)閇3,3]因?yàn)閒(1)|1|1

而所以函數(shù)在x1處不連續(xù)因此函數(shù)在定義域內(nèi)不連續(xù)例7、函數(shù)例8、解因?yàn)樗粤頵(0)1能使f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)給f(0)補(bǔ)充定義一個(gè)什么數(shù)值

能使在點(diǎn)x0處連續(xù)？例8、解因?yàn)樗粤頵(0)1能使f(x)在例9、設(shè)問當(dāng)k為何值時(shí)

函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)？解因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(,0)和(0,)內(nèi)是連續(xù)，所以當(dāng)k1時(shí)

函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)

又在x0處

f(0)k

f(00)f(00)1，例9、設(shè)問當(dāng)k為何值時(shí)函數(shù)f(x)在其定例10、設(shè)解因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(,0)和(0,)內(nèi)是連續(xù)，所以函數(shù)f(x)在x0處是連續(xù)的

問當(dāng)k