PAGEPAGE20概率論與數(shù)理統(tǒng)計(本科)A考試時間為120分鐘題號題號一二三四五六七總分得分閱卷人合分人(10分)A)P(A B),AB是否相互獨立，說明原因.二、(15分)設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中有甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的5箱，3箱，20.1,0.2,0.3.10取得產(chǎn)品是正品的概率;（2）已知取得產(chǎn)品是次品，則產(chǎn)品來自甲廠的概率.三、(15分)X的密度函數(shù)為Ax, 0xf(x)0, .求:(1) A的值;(2)函數(shù)Y=X2的密度函數(shù);(3)E(2X+1).四、(10分)X~U(0,6)，Y~N(0,4),Z~P(3)X,Y,Z相互獨立，設(shè)隨機(jī)變量W=X-2Y+3Z，求W的期望EW和方差DW。五、(15分)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布律為XY01200.2XY01200.210.150.150.20.10的邊際分布律；(3)ZX2Y2的分布律.六、(15分) 設(shè)總體X的概率密度為:2)x1, 0x1f(x,θ 其他

(2)X,Y其中θ（X1，2，…，n）（1）θ的矩估計量?；（2）θ的極大似然估計量.七、填空題:(4分5=20分)1.若事件B相互獨立,P(A)=0.5,P(B)=0.6，則P(AB) .設(shè)隨機(jī)變量X~E(3),則其概率密度函數(shù)為 .設(shè)X~N(10,0.6),Y~N(1,且相互獨立則服從的分布為 .4.設(shè)隨機(jī)變量X~B(100,0.5),則EX ,DX .5. 設(shè)總體X~N(,2),X1

, ,2

為取自總體X的樣本,S2為樣本方差，則統(tǒng)計量n(n22

服從 分布，自由度為 .概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷B考試時間為120分鐘一、(10分)9只球,63白,現(xiàn)從袋中任取兩次,每次取一只,回抽樣法:每次抽取的產(chǎn)品觀察顏色后不放回袋中,試計算兩次取得的都是白球的概率;第一次取得紅球,第二次取得白球的概率.(10分)三名機(jī)槍射擊手同時向一架飛機(jī)射擊,機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率分別為0.3,0.4,求飛機(jī)被擊落的概率.三、(10分)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為Ax, 0xf(x)0, .求:(1) A的值;(2) P(0X1).四、(10分)X,Y相互獨立,各自的分布律分別為XXP-112112YP-114014112求:二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律(表格形式).（15分）(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為2ey1, x,y1f(x) x3 , 其他求：(1)fX(x),fY(y)；(2)XY的獨立性，給出理由.六、(10分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為x, 1x0,f(x-x, 0x1,,EX.0, .七、(6分)在次品率為1的大批產(chǎn)品中,任意抽取300件產(chǎn)品,利用中心極限定理計算抽取的64060之間的概率(1.550.9394)八、(10分)設(shè)總體X的概率密度為：f(x;)ex, xx其中（12…n）是來自該總體的樣本，求參數(shù)的極大似然估計量.九、填空題.(4分6=24分)設(shè)Α,Β,C表示3個事件,則B,C至少有一個發(fā)生應(yīng)表示為: .設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),則其概率分布列為 .3.設(shè)隨機(jī)變量X~NY2X則Y~ .若隨機(jī)變量X服從上的均勻分布,則DX .點估計優(yōu)良性的評選原則為 , , .設(shè)總體X~N(,2),未知,2已知,X1,X2, ,Xn為取自X的樣本,X為樣本均值,則的置信水平為1的雙側(cè)置信區(qū)間為 .概率論與數(shù)理統(tǒng)計(本科)A答案考試時間為120分鐘一、(10分)已知P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.8.分別計算以下概率P(AB),P(A-B)，P(BA)，PAB),AB是否相互獨立，說明原因.解：P(AB)P(A)P(B；P(AB)P(A)P(AB)0.1；P(BA)P(BP(B)P(AB)0.2；P(A B)P(A)P(B)P(AB)0.7.PA)P(B)0.3PAB0.4AB不相互獨立(15分)10箱，3箱，20.1,0.2,0.3.10箱產(chǎn)品中任取一箱，再從取得產(chǎn)品是正品的概率;（2）已知取得產(chǎn)品是次品，則產(chǎn)品來自甲廠的概率.AAAB為取出的是1 2 3正品.由題意可知

5 3 2P(A)

,P(A) ,P(A) ；1 10

2

3 10P(BA)P(BA)P(B

)0.7.1 2 3P(A1(BA)1 1（1）由全概率公式：P(P(A1(BA)1 1（2）PA1

B)

i1P(B)

i0.50.15.10.83 17三、(15分)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為Ax, 0xf(x)0, .求:(1) A的值;(2)函數(shù)Y=X2的密度函數(shù);(3)E(2X+1).1）f(x)dx2Axdx2A1A12. 0yx2在(0,2上是單調(diào)的，故可利用公式 ff(y)Y

(g(y)g(y), y,其他，xg1y

y2 y ，g(y2 y

，所以2 y(y)2 y(y)2fY

1, 0y4 , .E(2X12EX1，其中EXxf(x)dx2x2dx4，E(2X1)2EX111.3

0 2 3四、(10分)X~U(0,6)，Y~N(0,4),Z~P(3)X,Y,Z相互獨立，設(shè)隨機(jī)變量W=X-2Y+3Z，求W的期望EW和方差DW。EWEX2EY3EZEXEY0EZ3，所EW12.DWDX4DY9EZDXDY4DZ3，所以DW46.五、(15分)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合概率分布律為XY01200.2XY01200.210.150.150.20.10的邊際分布律；(3)函數(shù)Z=X2Y2的分布律.1）利用分布列的規(guī)范性得1(0.20.150.20.150.)0.2；

(2)X,Y（2）XPX00.20.150.20.55,P(X0.150.20.10.45;同理可得Y的邊際分布列為：P(Y0)0.35,P(Y1)0.35,P(Y2)0.3.（3）函數(shù)Z=X2Y2的分布律為：P(Z0)P(X0,Y0)0.2；P(ZP(X0,YP(X0)0.3；P(Z2)P(X1,Y1)0.2，P(Z4)P(X0,Y2)0.2，P(Z5)P(X1,Y2)0.1.六、(15分) 設(shè)總體X的概率密度為:2)x1, 0x1f(x,θ 其他θ（1…n）（1θ的矩估計量?2）θ的極大似然估計量.1）XEX，其中EXxf(x)dx12)x2dx2， 0X2θ的矩估計量23X.3 X1

3（2）極大似然估計法：設(shè)(xx1 2

, ,xn

)為樣本的一組觀測值，則似然函數(shù)為L)

nf f ( 2), )

x, 0xi

i,n，ii1

.)0

lnL)nln2))ni1

lnx，i求導(dǎo)得似然方程：

n n2i1

lnxi

0，解得的極大似估計值為2

ni1

nlnxi

,極大似然估計量為2 n .ni1

lnXi七、填空題:(4分5=20分)1.若事件B相互獨立,P(A)=0.5,P(B)=0.6，則P(AB) 0.3 .設(shè)隨機(jī)變量X~E(3),則其概率密度函數(shù)為 f(x)3e3x, x. x0.3.設(shè)X~N(10,0.6)Y~N(1,2且Y相互獨立則3XY服從的分布為N(2,7.4) .4.設(shè)隨機(jī)變量X~B(100,0.5),則EX 50 ,DX 25 .5. 設(shè)總體X~N(,2),XX,1 2(n2

X 為取自總體XS2為樣本方差，則統(tǒng)計量n服從 2 分布，自由度為 n1 .2概率論與數(shù)理統(tǒng)計試卷B考試時間為120分鐘(10分9只球,63白,現(xiàn)從袋中任取兩次,每次取一只,回抽樣法:每次抽取的產(chǎn)品觀察顏色后不放回袋中,試計算兩次取得的都是白球的概率;第一次取得紅球,第二次取得白球的概率.AA分別表示第一次、第二次取到的是白球.1 2（方法一）利用乘法公式：PAAP(A)P(

A)321；1 2

2 1 9 8 12AP(A)P(

)631.A11 2 1 A1

9 8 4（方法二）利用古典概率：樣本空間的樣本點個數(shù)為P2.9 P2 32 1（1）PAA 3 ；1 2 P29

98 12 P1P1 63 1（2）PAA 6 3 .1 2 P29

98 4二、(10分)三名機(jī)槍射擊手同時向一架飛機(jī)射擊,機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率分別為0.2,0.3,0.4,求飛機(jī)被擊落的概率.解：設(shè)A,A,A分別表示三人擊中飛機(jī)，B表示飛機(jī)被擊落，則1 2 3

P(A)P(A)P(A)1；1 2 3 3P(BA)P(BA)P(BA

)，1 2 3由全概率公式：P(B)3P(A)P(BA)0.3.i ii1三、(10分)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為Ax, 0xf(x)0, .求:(1) A的值;(2) P(0X1).1）f(x)dx2Axdx2A1A12； 0（2）P(0x11xdx1.02 4四、(10分)X,Y相互獨立,各自的分布律分別為XXP-112112Y-101P141412求:二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律(表格形式).解：由于X,Y相互獨立，所以(X,Y)的聯(lián)合分布律滿足：P(Xi,Yj)P(Xi)P(Yj)，所以(X,Y)的聯(lián)合分布律為101111884111884YX11五、（15分）設(shè)二維隨機(jī)變量(XYX112ey1, x,y1f(x) x3 , 其他求：(1)fX(x),fY(y)；(2)XY的獨立性，給出理由.X1）fX

f(x,y)dy,f

)f(x,y)dx，得(x)2ey1dy(x)f 1 x3

2, xx3X

.(y dxe(y dxey, yf 1 x3Y

.X （2）顯然f(x,y)f (x)f(y)，所以X與Y相互獨立六、(5分)設(shè)隨機(jī)變量XX x, 1x0,f(x)-x, 0x1,,EX.0, .EXxf(x)dx0x2dx1x2dx2. 0 3(6分)1的大批產(chǎn)品中,300件產(chǎn)品,利用中心極限定理計算抽6取的產(chǎn)品中次品件數(shù)在40與60之間的概率.((1.55)0.9394)解：設(shè)抽出的次品數(shù)為隨機(jī)變量X，則X~B(300, )，根據(jù)中心極限定理X近似的服6N

1253

)，則6050125340501253P(40X60)( )( )6050125340501253八、(10分）設(shè)總體X的概率密度為：f(x;)ex, xx其中（12…n）是來自