八個(gè)有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）圖2圖3圖4a2b2C2，求出R則這個(gè)球的表面積是（方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公（2R）2a2b2C2，即2R式1a2b2C2，求出R則這個(gè)球的表面積是（A.16B.20C.24D.322）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均3，則其外接球的表面積為是c解：（1）Va2h16,a2,4R2a2a2h2441624,S24，選c；4R3339,S4R93）在正三棱錐SABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點(diǎn)，且AMMN,若側(cè)棱SA23,則正三棱錐SABC外接球的表面積是。36解：引理：正三棱錐的對棱互垂直。證明如下：如圖（3）-1，取AB,BC的中點(diǎn)D,E，連接AE,CD,AE,CD交于H，連接SH，則H是底面正三角形ABC的中心SH平面ABC,SHAB,ACBC,ADBD,CDAB,AB平面SCD,ABSC，同理：BCSA,ACSB,即正三棱錐的對棱互垂直，如圖(3)-2,AMMN,SB//MN,AMSB,ACSB,SB平面SAC,SBSA,SBSC,SBSA,BCSA,SA平面SBC,SASC,故三棱錐SABC的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2R)2(23)2(23)2(23)236,即4R236,正三棱錐SABC外接球的表面積是36

4）在四面體SABC中，SA平面ABC,BAC120,SAAC2,AB1,則該四面體的外接球的表面積為（D）A.11B.75）如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1040C.D.336、4、3，那么它的外接球的表面積旦是1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,幾則該解析：(4)在ABC1040C.D.336、4、3，那么它的外接球的表面積旦是1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形,幾則該解析：(4)在ABC中，BC2AC2AB22ABBCcos1207,BCBC7，ABC的夕卜接球直徑為727sinBAC3397?2V7(2R)=(2r)+S再=(^^)x*340s40335）三條側(cè)棱兩兩生直,為設(shè)三條側(cè)棱長分別a,b,c(a,b,cR)，則ab12bc8,abc24,a3,b22(2R)2a222c229,S4R229,，作小圓的直第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2PA2(2r)2徑圖52RPA2(2r)2；OiB第一步：將ABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)AD，連接PD，則PD必過球心0；第二步：。1為ABC的外心，所以0。1平面ABC，算出小圓。1的半徑0〔Dr（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得sinAsinB部。001『A；

②R2r2OO12Rr2OO12三棱錐PABC的三條側(cè)棱相等，作小圓的直第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2R)2PA2(2r)2徑圖52RPA2(2r)2；OiB三棱錐PABC的三條側(cè)棱相等P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟：第一步：確定球O解題步驟：第一步：確定球O的位置,心線；，再算出棱錐的高PO1h(也是圓錐的高)取ABC的外心O1，貝UP,O,O1三點(diǎn)共第二步：先算出小圓七［的半徑AO1r第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()C16A.3B.2C.D.以上都不對3解：選C,(3R)21R2,323RR21R2,423R0,216類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）1.題設(shè)：如圖9-1,平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑）第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC2r；第二步：在PAC中，可根據(jù)正弦定理ab2R，求出RsinAsinBsinC2.如圖9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑）OC2O1C2O1O2R2r2O1O2AC2R2OQ23?如圖9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑），且P的射影是ABC的外心三棱錐PABC的三條側(cè)棱相等三棱PABC的底面ABC在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取ABC的外心Oi,則P,O,Oi三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓Oi的半徑AO〔r，再算出棱錐的高POih（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2（hR）2r2，解出R4.如圖9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC為小圓的直徑），且PAAC，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①（2R）2PA2（2r）22RPA2（2r）2；②R2r2OO12Rr2OO12例3（1）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長為23，則該球的表面積為。（2）正四棱錐SABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為2，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為解：（1）由正弦定理或找球心都可得2R7，S4R249，4（2）方法一：找球心的位置，易知r1,h1,hr，故球心在正方形的中心ABCD處，R1,V3方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是SAC的外接圓，此處特殊，RtSAC的斜邊是球半徑，42R2,R1,V-

3）在三棱錐PABC中，PAPBPC3,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60，則該三棱錐外接球的體積為（TOC\o"1-5"\h\zA.B.C.4D.的圓上，解：選D,圓錐A,B,C在以r2R14）已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球徑，且SC2，則此棱錐的體積為（0的求面上4）已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球徑，且SC2，則此棱錐的體積為（直AA.2B.3D.2662解：001R2r21(33)2類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）圖10-1圖10-1圖10-2圖10-3底面積為S63(1)33,V柱Sh33h9,h3,2321)211底面積為S63(1)33,V柱Sh33h9,h3,2321)211解：設(shè)正六邊形邊長為2第二步：算出小圓01的半徑A01r,001AA1h（AA1h也是圓柱的高）；22第三步：勾股定理：0A201A20102R2(h)2r2Rr2(h)2，解出R22例4（1）一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為第三步：勾股定理：0A201A20102R1,球的體積為V4(4)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4,AC6,A160的表面積為。21解析：BC21636246(4)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4,AC6,A160的表面積為。21解析：BC2163624628，2BC27,AA14則直三棱柱ABCA1B1C1的外接球327472r333323解：BC23,2r4,r2,R5,S20sin120（3）已知EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3,AD2,AEB60，則多面體EABCD的外接球的表面積為。16解析：折疊型，法一：EAB的外接圓半徑為r13，OO11，R132；法二：O1M提D，*223134,R2，S16224R132；法二：O1M（如圖11）圖11第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出BCD和ABD的外心H1和H2（aa）228401602333類型五、折疊模型題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心O,連接OE,OC；RtOCH1中，勾股定理：OH12CH12OC2222第三步：解OEH1，算出OHi,在（如圖11）圖11第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD畫在小圓上，找出BCD和ABD的外心H1和H2PABC外接球的半徑為^解析：2r12r224，.___12sin603r1r221,O2HR2O2H222ri21333R15法二：o2h1,33O1H1,AH1R2AO2AH2O1H2O1O2153-類型六、對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球ABCD,ADBC,ACBD）半徑第一步：畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面有線的對棱;第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a,b,c，KDBCx，ABCDy，ACBDz，列方程組,a2b2X2b2c2c2c22222222X2y2z2a222222y(2R)abcz2補(bǔ)充：vABCDabcagg4abc第三步：根據(jù)墻角模2222Ra2b2c2222x—y_z—2型，，8222R2XyZ例如法。例6正四面體的外接球半徑可用此8，求出R，（1）棱長為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是1的球面上，其中底面的三個(gè)頂p（2）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為大圓上，則該正三棱錐的體積是在該球的一個(gè)A.33B.343解：（1）截面為PCO〔，面積是2；2）高h(yuǎn)R1,底面外接圓的半徑為R1，直徑為設(shè)底面邊長為a，則2Ra2

sin60a3，S3a233三棱錐的體積為VSh343122R2，44（1）題解答圖3）在三棱錐ABCD中，ABCD2,ADBC3,ACBD4,則三棱錐ABCD外接球的表面積為。2解析：如圖12,設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a,b,c，則a2b29,b22C22b22C224,b2c2c2a2162(a22924R29S292，b2C2f941629，2(a222b2C2)941629,類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐）模型4）如圖所示三棱錐ABCD，其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,則該三棱錐外接球的表面積為.解析：同上，設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個(gè)長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分a,b,c，別為?（a2b2C2）253649110，a2b2C255，4R255，S55【55；對稱幾何體；放到長方體中】（5）正四面體的各條棱長都為2，則該正面體外接球的體積為解析：這是特殊情況，但也是對棱相等的模式，放入長方體中，2R3，v4333題設(shè)：APBACB90，求三棱錐PABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O,連接OP,OC，則OAOBOCOP1AB,O為三棱錐PABC外接球球心，然后在OCP中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。例7（1）在矩形ABCD中，AB4,BC3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD,則四面體ABCD的外接球的體積為（）125A.——125.C125.D125.12963解：(1)2RAC5,544125125RV3選C，23R3386，2）在矩形ABCD中，AB2BC3沿BD將矩形ABCD折疊,連接AC，所得三棱錐ABCD的外接球的表面積為解析：（2）BD的中點(diǎn)是球心O,2RBD13,S4R213；

類型八、錐體的內(nèi)切球問題1.題設(shè)：如圖14,三棱錐PABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E,H分別是兩個(gè)三角形的外心；1第二步：求DHBD，POPHr，PD是側(cè)面ABP的高；3第三步：由POE相似于PDH，建立等式：oepo,解出rDHPD2.題設(shè)：如圖15,四棱錐PABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，P,O,H三點(diǎn)共線；第二步：求FHBC，POPHr,PF是側(cè)面PCD的高；2第三步：由POG相似于PFH，建立等式：OGPO，解出HFPF3.題設(shè)：三棱錐PABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等P圖14圖15設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,建立等式：VP111113P圖14圖15設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,建立等式：VP111113SABCr3SPABr3SPACr33SP解出r3VPABCVPABCBCr(SABCsPAB第三步:sOABC第二步:SOPABSOPACABCVOABCVOPABVOPACVOPBCsPACSPBC)rsOPBC且SA且SA2,SBSC4，則該三棱錐的外接球半徑為()D.91?若三棱錐SABC的三條側(cè)棱兩兩垂直A.3b.6c.36解:LA1(2R)2416166,R3【三棱錐有一側(cè)棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共兩種】2.三棱錐SABC中，側(cè)棱SA平面ABC，底面ABC是邊長為3的正三角形，SA23，則該三棱錐的外接球體積等于328—332322解析：2r2,(2R)241216,R24,R2,夕卜接球體積sin60【外心法(加中垂線)找球心；正弦定理求球小圓半徑】3.正三棱錐SABC中，底面ABC是邊長為3棱錐的外接球體積等于328—32，則該三棱錐的外接球體積解242析：ABC外接圓的半徑為，三棱錐SABC的直徑為2R，外接球半徑R,sin6033

或R2(R3)21r2v4R34或R2(R3)21r2v4R348323,