學(xué)習(xí)目標(biāo)能夠運(yùn)用中位線進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算。進(jìn)一步提高幾何推理能力。三角形的中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半用符號語言表示DABCE∵DE是△ABC的中位線∴DE∥BC，DE=BC.21現(xiàn)在若已知中點(diǎn)，你會想到什么呢？一情境引入二新知探究如圖四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊的中點(diǎn)。試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由。DABCEFGH分析：見中點(diǎn)，構(gòu)造中位線。證明：連接BD∴EH、FG分別是⊿ABD和⊿CBD的中位線?！郋H∥BD，

FG∥BD，∴EH∥FG，∴四邊形EFGH為平行四邊形解：四邊形EFGH是平行四邊形∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)歸納任意四邊形四邊中點(diǎn)連線所得的四邊形一定是平行四邊形。例1.已知：如圖，E為□ABCD中DC邊的延長線上一點(diǎn)，且CE=DC，連結(jié)AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OF。求證：AB=2OF。BADCEFOG證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB//CD,OA＝OC∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF∵CE＝DC在□ABCD中，CD＝AB∴AB＝CE在△ABF和△ECF中∠BAF＝∠CEFAB＝CE∠ABF＝∠ECF∴△ABF≌△ECF（ASA）∴BF＝CF∵OA＝OC∴OF是△ABC的中位線∴AB＝2OF三典型例題例1：方法2BADCEFOG證明：連接BE∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB//CD,AB=CD,OA＝OC∵CE＝DC∴AB＝CE∴BF＝CF∵OA＝OC∴OF是△ABC的中位線∴AB＝2OF∴四邊形ABEC是平行四邊形三角形的中位線定理不僅給出了中位線與第三邊的位置關(guān)系，而且給出了他們的數(shù)量關(guān)系，在三角形中給出一邊的中點(diǎn)時，通常要轉(zhuǎn)化為中位線來解決問題.例2.如圖，EF是△ABC的中位線，AD是BC邊上的中線。求證：AD、EF互相平分。CABEFD證明：連接DE、DF∵EF是中位線，AD為中線，∴E、D、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)∴DE∥AF，DF∥AE∴四邊形AEDF為平行四邊形∴AD與EF互相平分∴ED、FD是△ABC的中位線例題3.在⊿ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線BE交AC于F。求證：AF=FCDACBEFG證明：取BF的中點(diǎn)G，連接DG∵D是BC的中點(diǎn)∴DG是△BCF的中位線∴DG＝1/2CFDG∥AC∵E是AD的中點(diǎn)∴AE＝DE∴∠GDE＝∠FAE在△AEF和△DEG中AE＝DE∠AEF＝∠DEG∴△AEF≌△DEG（ASA）∠GDE＝∠FAE∴AF=DG∴AF＝1/2CF小結(jié)：已知條件中有中點(diǎn)，常取某一邊中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線，運(yùn)用三角形中位線性質(zhì)定理證明某些線段相等或角相等。連接兩邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線1.△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連DC，過AC的中點(diǎn)E作EF//CD，交BC的延長線于點(diǎn)F，若EF＝CD。求證：BC＝2CF證明：連接DE∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)∴DE為△ABC的中位線∴BC＝2DE∴四邊形DCFE為平行四邊形∴DE＝CF∴BC＝2CF四活學(xué)活用2：如圖，任意四邊形ABCD，E、F分別是對邊AD、BC的中點(diǎn)，求證：EF≤（AC+BD）3：已知，在四邊形ABCD中，E,F是AB、CD的中點(diǎn)，延長AD和BC分別與EF的延長線交于點(diǎn)M、N，且∠AME=∠BNE。求證：AD=BC1：如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，BD=AC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，MN分別交AC，BD于點(diǎn)F，G，求證：EF=EGABDCEFGHMN五拓展延伸2.如圖,點(diǎn)P是四邊形ABCD的對角線BD的中點(diǎn),E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),AD=BC,∠CBD=45°，∠ADB=105°,PF=4，求EF的值。G解：連接PE∵P、E分別為BD、AB的中點(diǎn)∴PE∥AD，且PE＝1/2AD∴∠ADP＋∠EPD＝180°∴∠EPD＝75°∵F、P為CD、BD中點(diǎn)∴PF∥BC，且PF＝1/2BC，∴∠DPF＝∠DBC＝45°∵AD＝BC∴PF＝PE，且∠EPF＝75°＋45°＝120°過P作PG⊥EF于點(diǎn)G，則EF＝2FG∴∠PEF＝∠PFE=(180°-∠EPF）＝30°∴PG＝1/2PF=2小結(jié)1