1．勾股定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的

.即：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c

，那么一定有

.平方要點梳理a2＋b2＝c22．勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系：a2＋b2＝

，那么這個三角形是直角三角形．利用此定理判定直角三角形的一般步驟：c2(1)確定最大邊；(2)算出最大邊的平方與另兩邊的

；(3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明這個三角形是

三角形．平方和直角3．勾股定理的應(yīng)用應(yīng)用勾股定理及其逆定理可解決如下問題：(1)已知三角形的任意兩邊，求第三邊長或圖形周長、面積的問題；(2)說明線段的平方關(guān)系問題；(3)在上作表示等數(shù)的點的問題；(4)解決實際問題．一些實際問題，如解決圓柱側(cè)面兩點間距離問題、航海問題、折疊問題、梯子下滑問題等，常直接或間接運用勾股定理及其逆定理．

直角

數(shù)軸

例1

在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的長．【解析】這是在三角形中已知兩邊長求高的問題，可用勾股定理先求出第三邊再求解．考點講練解：∵∠B＝90°，∴b是斜邊，則在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝b?BD＝ac，考點一勾股定理在直角三角形中，已知兩邊的長求斜邊上的高時，先用勾股定理求出第三邊，然后用面積求斜邊上的高較為簡便．在用勾股定理時，一定要清楚直角所對的邊才是斜邊，如在本例中不要受勾股數(shù)3，4，5的干擾．方法總結(jié)1．已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）

A.25 B.14 C.7 D.7或25針對訓(xùn)練D例2已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判斷△ABC是否為直角三角形．【解析】要證∠C＝90°，只要證△ABC是直角三角形，并且c邊最大．根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明a2＋b2＝c2即可．考點二勾股定理的逆定理與勾股數(shù)解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2

＝n4＋2n2＋1，從而a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是直角三角形．

運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷哪條邊最大；②分別用代數(shù)方法計算出a2＋b2和c2的值(c邊最大)；③判斷a2＋b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．方法總結(jié)針對訓(xùn)練2.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形的格點上，可以判定三角形是直角三角形的有________．3.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，9例3

已如圖，一架云梯25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，如果梯子的頂端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑動了（）【解析】由題意知AB=DE=25米，BC=7米，AD=4米，∵在直角△ABC中，AC為直角邊，∴AC==24米，已知AD=4米，則CD=24-4=20（米），∵在直角△CDE中，CE為直角邊，∴CE==15（米），BE=15-7=8（米）．故選C．A．4米B．6米C．8米 D．10米C考點三勾股定理的應(yīng)用例4

如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使B與A重合，折痕是DE，求CD的長．

【解析】

欲求的線段CD在Rt△ACD中，但此三角形只知一邊，可設(shè)法找出另兩邊的關(guān)系，然后用勾股定理求解．考點四本章數(shù)學(xué)思想和解題方法方程思想解：由折疊知：DA＝DB，△ACD為直角三角形．在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①，設(shè)CD＝xcm，則AD＝BD＝(8－x)cm，代入①式，得62＋x2＝(8－x)2，化簡，得36＝64－16x，

所以x＝＝1.75，即CD的長為1.75cm.方法總結(jié)

勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解．針對訓(xùn)練4.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點A落在對角線BD上的點A′處，則