關(guān)于初等矩陣和初等變換第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日§2.5初等變換與初等矩陣求矩陣的秩求可逆矩陣的逆矩陣解線性方程組

2.5.1矩陣的初等變換 2.5.2初等矩陣

*

分塊矩陣的初等變換第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.5.1矩陣的初等變換定義

矩陣A的下列變換稱為它的初等行（或列）變換：(1)互換矩陣A的第i行與第j行（或第i列與第j列）的位置，記為rirj(或cicj);（互換）(2)用常數(shù)k≠0去乘矩陣A的第i行(或第j列)，記為kri(或kcj);（倍乘）第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日(3)將矩陣A的第j行（或第j列）各元素的k倍加到第i行(或第i列)的對應(yīng)元素上去，記為ri+krj(或ci+kcj);（倍加）矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日定義

如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換化為矩陣

B,則稱

A與

B等價，記為A≌B

，或AB.第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日等價是矩陣間的一種關(guān)系，具有以下基本性質(zhì): (1)自反性：A≌A

；

(2)對稱性：若A≌B,則

A≌B;

(3)傳遞性：若A≌B,B≌C,則A≌C.在數(shù)學(xué)中把具有上述三個基本性質(zhì)的關(guān)系稱為等價關(guān)系.第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日利用矩陣的初等變換，可以把矩陣化為簡單的階梯形矩陣階梯形矩陣對求逆、求秩、求解線性方程組都非常有用

第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日定義

如果矩陣A滿足下列條件：(1)若有零行，則零行全在矩陣A的下方；(2)A的各非零行的第一個非零元的列序數(shù)小于下一行中第一個非零元的列序數(shù)；則稱A為行階梯形矩陣，或階梯形矩陣.例如

第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日階梯形矩陣的一般形式為上述矩陣中,bk(1kr)為非零常數(shù)，*號表示某一常數(shù).第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日如果矩陣

A除滿足上述條件(1)、(2)外，還滿足條件： (3)各非零行的第一個非零元素均為1，且所在列的其它元素都為零，則稱A為簡化階梯形矩陣.例如為簡化階梯形矩陣；第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日定理

任何非零矩陣都可以通過初等行變換化為階梯形矩陣.

第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日證設(shè)矩陣

第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日記依次減去第一行的倍，則A可化為

.從矩陣的第二行起，

再對矩陣

A1應(yīng)用上述方法，繼續(xù)進(jìn)行下去，即可把

A化為階梯形矩陣.證畢.第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日設(shè)矩陣A已通過初等行變換化為階梯形矩陣，我們再對它的第k行分別乘以

初等行變換，則矩陣A就可以化為簡化階梯形

，然后再對矩陣作第三種第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日（）

再對矩陣（）作初等列變換和初等行變換，則可以把它化成如下更加簡單的形式第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日（）

矩陣（）的左上角是一個單位矩陣，我們稱（）為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形.

第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日由以上討論，我們可以得到如下結(jié)論定理

任意非零矩陣A=(aij)m×n都與它的標(biāo)準(zhǔn)形等價,即存在矩陣

，使其中Er為r階單位矩陣,1rmin

{m,n}.后面還要說明：一個矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，它反映了矩陣在初等變換下的一種不變性.第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日例

用初等行變換把矩陣化為階梯形和簡化階梯形.第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日解r4+r1第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日這就是矩陣A的階梯形.再對其進(jìn)行初等行變換第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日r2+(-2)r3第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日此即到矩陣A的簡化階梯形矩陣.

如果再對A的簡化階梯形作列的初等變換,可得矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日c4c5第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.5.2初等矩陣定義

由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.由于矩陣的初等變換有三種，所以對應(yīng)的初等矩陣有三類：第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日i

行j行(1)互換E的第i行（列）與第

j

行（列），第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日(2)用數(shù)k≠0乘

E的第i行(列)，記為

i行第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日(3)用數(shù)k乘

E的第j行(i列)加到第i行(j列)上，記為

i行j行第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日我們把

分別稱為互換、倍乘、倍加初等矩陣.

(1)初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為同類型的初等矩陣；初等矩陣的性質(zhì)：(3)初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，且(2)初等矩陣都是可逆矩陣；第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日對于初等矩陣，我們有如下定理定理

設(shè)A是一個

m×n矩陣,對A作一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對A作一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.這個定理建立了初等變換和初等矩陣的聯(lián)系.第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日證僅就對行作第三種初等變換的情形給出證明.

設(shè)矩陣A=(aij)m×n，用m階初等矩陣E(i,j(k))左乘以A

，則

第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日上式右端相當(dāng)于對矩陣A作第三種初等行變換(即把矩陣A的第

j行乘以常數(shù)

k加到第

i行上).

證畢.第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日

利用定理和矩陣等價的定義,立即可以得到如下定理

定理2.5.4

mn矩陣A與B等價有m階初等矩陣P1,P2,…,Ps與n階初等矩陣

Q1,Q2,…,Qt

,使得

若記P=Ps

…P2P1，Q=Q1Q2…Qt

，則P為m階可逆矩陣，Q為n階可逆矩陣，于是得到以下推論。第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日推論1

mn矩陣A與B等價存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q,使得

推論2

對于任意非零mn矩陣A，必存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q,使得（2.5.4）這里

是矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形.

第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日推論3

若A為n階可逆矩陣，則A≌E

若不然，它的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣主對角線上至少含有一個零元素，對（）兩端取行列式，|PAQ|=0即|P||A||Q|=0此與矩陣A,P,Q可逆，|A||P||Q|≠0矛盾.第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日

若n階矩陣A可逆，由推論3，存在n階初等矩陣P1,P2,…,Pt,Pt+1,…,Ps

，使

即可逆矩陣

A可以表示成有限個初等矩陣的乘積；反之，若A能表示成有限個初等矩陣的乘積，根據(jù)可逆矩陣的乘積仍為可逆矩陣的結(jié)論，

A一定是可逆的.

第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日因此，得到如下結(jié)論推論4n階矩陣A可逆的充分必要條件是它可表示成有限個初等矩陣的乘積.應(yīng)用這個結(jié)論，可以得到一個應(yīng)用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法.

設(shè)矩陣A可逆，則

A-1可表示成有限個初等矩陣的乘積，即

A-1=P1P2…Pt.由A-1A=E，有

（2.5.5）(2.5.6)即第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日

（）式表明，可逆矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換可化為單位矩陣

E

；(2.5.6)式則表明，這些初等行變換同時可以把單位矩陣E化為A-1.

根據(jù)分塊矩陣的乘法，（），(2.5.6)兩式可合并為或第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日

例

設(shè)用初等行變換法求A-1

第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日解第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日r3+r2

第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日r2+(-3)r3第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日所以第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日作業(yè)Page67

習(xí)題2.4：2.；3.（1）、（2）.

第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日*

分塊矩陣的初等變換

前面介紹了矩陣的初等變換，它在求可逆矩陣的逆矩陣等方面有著重要的應(yīng)用，下面我們把它推廣到分塊矩陣的情形.這里僅以2×2分塊矩陣為例進(jìn)行討論.

將n階單位矩陣進(jìn)行如下分塊

，其中k+s=n

第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日對其分別進(jìn)行兩行(列)的互換，某一行(列)左乘（右乘）一個矩陣P(Q)，把某一行(列)的M倍(N倍)(M,N為矩陣）加到另一行(列)上的初等變換，可得如下三種分塊初等矩陣：

(1)分塊互換初等矩陣第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日 (2)分塊倍乘初等矩陣

這里P為k階可逆矩陣,

Q為s階可逆矩陣；

(3)分塊倍加初等矩陣

這里M為k×s矩陣，N為

s×k矩陣.第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日

同初等矩陣與初等變換的關(guān)系一樣，對分塊矩陣進(jìn)行初等行變換或初等列變換，只需選擇適當(dāng)?shù)姆謮K初等矩陣去左乘或右乘該矩陣即可.

例如，對于分塊矩陣（2.5.7）

為了求逆矩陣或矩陣的行列式，往往需要把它的子塊B或C化為零矩陣.為此，只要對該矩陣作第三種初等變換即可.

第四十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日

對矩陣（）左乘一個倍加分塊初等矩陣，則

為了消去（）中的子塊C，可選擇適當(dāng)?shù)腘，使NA+C=O

當(dāng)A可逆時，只需取N=-CA-1，則

（）第五十頁，共六十三頁，2022年，8月28日

若要消去矩陣（）中的子塊B，可右乘一個倍加分塊初等矩陣，同樣，在上式中可適當(dāng)選擇M，使AM+B=O.當(dāng)A可逆時，只需取M=-A-1B，則

(2.5.9)第五十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日

下面我們舉例說明分塊初等矩陣的應(yīng)用.

例

設(shè)其中A為k階可逆矩陣，B為s階可逆矩陣，求D-1

第五十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日解由于第五十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日所以第五十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日例

設(shè)A,B,C,D均為n階方陣，矩陣A可逆，且AC=CA，證明第五十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日即上式兩端取行列式證由（）第五十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日第五十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日例2.5.5

設(shè)A,B均為3階方陣，且|B|≠0，試求

第五十八頁，共六