2018年北京大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試題答題時(shí)注意：1、試卷滿分150分;考試時(shí)間：120分鐘.2、試卷共三大題，計(jì)16道題?？荚嚱Y(jié)束后，將本卷及演算的草稿紙一并上交。一、選擇題（共5小題，每題6分，共30分.以下每小題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)內(nèi).不填、多填或錯(cuò)填均不得分）2 21、如果關(guān)于x的方程xaxa30至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A、 2A、 2a2B、＜3a2 C、 v；3a2D、 v13a22、如圖，已知：點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊AB、2、如圖，已知：點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，BD、DF分別交CE于點(diǎn)G、H,若正方形ABCD的面積是240,則四邊形BFHG的面積等于 （ ）A、26 B、28C、24 D、303、設(shè)x、v、z是兩兩不等的實(shí)數(shù)，且滿足下列等式：Vx3（yx）3Vx3（zx）3VyxVx―Z,則代數(shù)式x3y3z33xyz的值是 （ ）A、0 B、1 C、3 D、條件不足，無(wú)法計(jì)算4、如圖，四邊形BDCE內(nèi)接于以BC為直徑的。A,已知:3 ……一，一BC10,cosBCD-,BCE30，則線段DE的長(zhǎng)

5是 （ ）A、789B、773 C、4+3J3 D、3+4V35、某學(xué)校共有3125名學(xué)生，一次活動(dòng)中全體學(xué)生被排成一個(gè)n排的等腰梯形陣，且這n排學(xué)生數(shù)按每排都比前一排多一人的規(guī)律排列，則當(dāng)n取到最大值時(shí)，排在這等腰梯形陣最外面的一周的學(xué)生總?cè)藬?shù)是 （ ）A、296B、A、296B、221C、225D、641二、填空題：（共5小題，每題6分，共30分）6、已知：實(shí)常數(shù)a、b、c、d同時(shí)滿足下列兩個(gè)等式：⑴asinbcosc0；⑵acosbsind0（其中為任意銳角），則a、b、c、d之間的關(guān)系式是：7、函數(shù)yx12x23x34x4的最小值是。8、已知一個(gè)三角形的周長(zhǎng)和面積分別是 84、210,一個(gè)單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無(wú)摩擦地滾動(dòng)一周后回到原來(lái)的位置（如圖） ，則這個(gè)三角形的內(nèi)部以及邊界沒(méi)有被單位圓r2的所有可能的解pr2的所有可能的解p、q、r組成的三元. 3 , E入，，9、已知：x——產(chǎn)，則=2可用含x的有理系數(shù)三次多項(xiàng)式來(lái)表示為： .有理系數(shù)三次多項(xiàng)式來(lái)表示為： .210、設(shè)p、q、r為素?cái)?shù)，則方程p3p2q2數(shù)組（p,q,r）是 、解答題（共6題，共90分）11、（本題滿分12分）趙巖，徐婷婷，韓磊不但是同班同學(xué)，而且是非常要好的朋友，三個(gè)人的學(xué)習(xí)成績(jī)不相伯仲，且在整個(gè)年級(jí)中都遙遙領(lǐng)先， 高中畢業(yè)后三個(gè)人都如愿的考入自己心慕以久的大學(xué). 后來(lái)三個(gè)人應(yīng)母校邀請(qǐng)給全校學(xué)生作一次報(bào)告 .報(bào)告后三個(gè)人還出了一道數(shù)學(xué)題：有一種密碼把英文按字母分解，英文中的 a,b,c,LL,z26個(gè)字母（不論大小寫）依次用1,2,3,L,26這26個(gè)自然數(shù)表示，并給出如下一個(gè)變換公式：[x]1（其中x是不超過(guò)26的正奇數(shù)）y21 ；已知對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,記號(hào)[x]表示[xy1]13（其中x是不超過(guò)261勺正偶數(shù)）81不超過(guò)x的最大整數(shù)；將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼，如8 [--]1317,即h變成q,2一 11,.. 、八再如11 [一]16,即k變成f。他們給出下列一組密碼： etwcvcjwejncjw2wcabqcv,把它翻譯出來(lái)就是一句很好的臨別贈(zèng)言。 現(xiàn)在就請(qǐng)你把它翻譯出來(lái)，并簡(jiǎn)單地寫出翻譯過(guò)程。12、（本題滿分 15分）如果有理數(shù)m可以表示成2x26xy5y2（其中x、y是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱m為“世博數(shù)”。⑴個(gè)“世博數(shù)” a、b之積也是“世博數(shù)”嗎？為什么？⑵證明：兩個(gè)“世博數(shù)”a、b（b0）之商也是“世博數(shù)”。13、（本題滿分15分）如圖，在四邊形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面積之比是3：1：4,點(diǎn)一一，…、-一…BGDEE在邊AD上，CE交BD于G,設(shè)————k。GDEA⑴求v7k220的值；⑵若點(diǎn)H分線段BE成里2的兩段，且AH2BH2DH2p2,試用含p的代數(shù)HE式表不'△ABD三邊長(zhǎng)的平方和。14、（本題滿分16分）觀察下列各個(gè)等式：12 1,1222 5,12 22 32 14,12 22 32 42 30, 。⑴你能從中推導(dǎo)出計(jì)算12223242 n2的公式嗎？請(qǐng)寫出你的推導(dǎo)過(guò)程；⑵請(qǐng)你用⑴中推導(dǎo)出的公式來(lái)解決下列問(wèn)題：已知：如圖，拋物線y x22x3與x、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B,將線段OAn等分，分點(diǎn)從左到右依次為 A1、A2、A3、A4、A5、A6、 、An1,分別過(guò)這n1個(gè)點(diǎn)作x軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)B1作x軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)B1、B2、B3、B4、B5、B6、Bn1,設(shè)^OBA1、△AB1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、△An1Bn1A的面積依次為&、S2、S3、S4、、Sn。①當(dāng)n2010①當(dāng)n2010時(shí)，求S,S2S3 S4 S5 LS2010的值;②試探究：當(dāng)n取到無(wú)窮無(wú)盡時(shí)，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么?15、（本題滿分16分）有如圖所示的五種塑料薄板（厚度不計(jì)） ：①兩直角邊分別為3、4的直角三角形ABC；②腰長(zhǎng)為4、頂角為36的等腰三角形JKL;③腰長(zhǎng)為5、頂角為120的等腰三角形OMN;④兩對(duì)角線和一邊長(zhǎng)都是4且另三邊長(zhǎng)相等的凸四邊形PQRS；⑤長(zhǎng)為4且寬（小于長(zhǎng)）與長(zhǎng)的比是黃金分割比的黃金矩形 WXYZ。它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過(guò)一個(gè)內(nèi)、外徑分別為 2.4、2.7的鐵圓環(huán)。我們規(guī)定：如果塑料板能穿過(guò)鐵環(huán)內(nèi)圈，則稱為此板 “可操作”；否則，便稱為“不可操作”。⑴證明：第④種塑料板“可操作”；⑵求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種 “不可操作”的概率。jMXYjMXY16、（本題滿分16分）定義：和三角形一邊和另兩邊的延長(zhǎng)線同時(shí)相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓。如圖所示，已知：OI是^ABC的BC邊上