2006年考研數(shù)學(xué)三真題一、填空題424）(1)??????(??1??→∞ ??

)(1) ??= ?！敬鸢浮??！窘馕觥?/p>

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)(1)

??????????(1) ????????1 而??→∞ ??

????→∞????????????1 =??????ln(1 1)=0(無窮小)，(1) ??為有界變量，??→∞ ?? ??→∞ ??=??0=。綜上所述，本題正確答案是1?！究键c】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—極限的四則運算(2)設(shè)函數(shù)??(??)在??=2的某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且??′(??)=????(??),??(2)=1,則??′′(2)= ?！敬鸢浮???3?！窘馕觥勘绢}主要考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。由??′(??)=????(??)知??′′(??)=????(??)??′(??)=????(??)?????(??)=??2??(??)??′′′(??)=??2??(??)?2??′(??)=2??3??(??)??′′′(2)=2??3??(2)=2??3。綜上所述，本題正確答案是2??3?！究键c】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(3)設(shè)函數(shù)??(??)可微，且??′(0)=全微????|(1,2)= 。【答案】4?????2????。

1,??=??(4??2???2)處的2????【解析】因為????|(1,2)=??′(4??2???2)?8??|(1,2)=4,????????????

|(1,2)=??′(4??2???2)?(?2??)|(1,2)=?2,????|(1,2)=????

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|

=4?????2????。????

(1,2)

???? (1,2)綜上所述，本題正確答案是4?????2?????！究键c】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微積分學(xué)—偏導(dǎo)數(shù)、全微分(4)設(shè)矩??=[2 為二階單位矩陣矩滿????=??+?1 2則|??|= ?！敬鸢浮?。【解析】????=??+2?????(?????)=2???|??(?????)|=|????|?|??||?????|==4|?????|=|

1|=2，所以|??|=2。?1 1綜上所述，本題正確答案是2?！究键c】線性代數(shù)—行列式—行列式的概念和基本性質(zhì)線性代數(shù)—矩陣—矩陣的線性運算(5)設(shè)隨機變量??與??相互獨立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，則??{??????{??,??}≤}= 。【答案】1。9【解析】本題考查均勻分布，兩個隨機變量的獨立性和他們的簡單函數(shù)的分布。事件{??????{??,??}≤1}={??≤1,??≤1}={??≤1}∩{??≤1},又根據(jù)X,Y相互獨立，均服從均勻分布，可以直接寫出{ } 1 1 1P??≤1

= ? = 。3 3 9綜上所述，本題正確答案是1。9【考點】概率論—多維隨機變量的分布—二維隨機變量的分布(6)設(shè)總體??的概率密度為??(??)=

1?? |??|(∞ <??<+∞),??,

,?,2 1 2????為總??的隨機簡單樣本，其樣本方差??2,????2= 。??【答案】2。【解析????2=??(X)=??(??2) [??(??)]2=??(??2)=∫+∞??2??(??)????=2∫+∞??21??∞ ∞ 2綜上所述，本題正確答案是2。

|??|????=2。【考點】概率論—隨機變量的數(shù)字特征—隨機變量的數(shù)學(xué)期望(均值)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)（7~14432）)??=)??′(??)>,??′′(??)>0??為自變量??在點??0處的增量，???與????分別為??(??)在點??0處對應(yīng)的增量與微分，若???>0，則(A)0<????<??? (B)0<???<????(C)???<????<0 (C)????<???<0【答案】A?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧坑珊瘮?shù)??=??(??)單調(diào)上升且凹，根據(jù)???和????的幾何意義，得如下所示的圖由圖可得0<????<???【方法二】0??(??0+???)>0

)+??′(??0

)?????≠??(??0

+???)???(??0

)>??′(??0

)???>0,???>0，即0<????<???綜上所述，本題正確答案是A。【考點】高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義(8)設(shè)函數(shù)??(??)在??=0處連續(xù)，且????????(?2)?→0 ?2

=1,則(A)??(0)=0??′(0)存在 (B)??(0)=1且??′(0)存在? ?(C)??(0)=0且??′(0)存在 (D)??(0)=1且??′(0)存在+ +【答案】C?！窘馕觥坑????????(?2)?→0 ?2

=1,且???????2=0,則????????(?2)=0,由于f(x)?→0 ?→0在??=0處連續(xù)，且????????(?2)=??(0)=0,從而?→0????????(?2)?→0

=????????(?2)???(0)=1?→0 由于上式中?2→0(只有從大于零一邊趨于零)，則由上式可得??′(0)綜上所述，本題正確答案是

=1。【考點】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—函數(shù)連續(xù)的概念高等數(shù)學(xué)—一元函數(shù)微分學(xué)—導(dǎo)數(shù)的概念∑∞??=1

????收斂，則級數(shù)∑∞??=1

|????

|收斂 ∞(B)∑(B)∑

(?1)????收斂??(A)∑∞????=1

????

??1

收斂 ∞(A)∑(A)∑

?????? ??1 收斂2【答案】D?！啤窘馕觥坑伞蕖??=1

????收斂知∑∞

??=1????1 收斂，所以級數(shù)??=1

?????? ??12??=1收斂。??=1綜上所述，本題正確答案是D?！究键c】高等數(shù)學(xué)—無窮級數(shù)—收斂級數(shù)的和的概念非齊次線性微分方程??′ ??(??)??=??(??)有兩個不同的解??(??),??1 2

(??),??為任意常數(shù)，則該方程的通解是(A)??[??1

(??)???2

(??)] (B)??1

(??) ??[??1

(??)???2

(??)](C)??[??1

(??) ??2

(??)] (D)??1

(??) ??[??1

(??) ??2

(??)]【答案】B。2(??)?2

(??)是對應(yīng)其次線性微分方??′ ??(??)??=??(??)的非零解，所以它的通解是??=??[??1

(??)???2

(??)],故原方程的通解為??=??1

(??)+??=??1

(??)+??[??1

(??)???2

(??)]。綜上所述，本題正確答案是B。【考點】高等數(shù)學(xué)—常微分方程與差分方程—非齊次線性微分方程性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)設(shè)??(??,??)??(????)??′(????)≠0(????)是?? 0 0??(??,??)在約束條件??(??,??)=0下的一個極值點，下列選項正確的是(A)若??′(??,??)=0，則??′(??,??

)=0?? 0 0 ?? 0 0(B)??′(??

)=0??′(??,

)≠0?? 0 0 ?? 0 (C)若??′(??,??)≠0，則??′(??,??

)=0?? 0 0 ?? 0 0(D)??′(??,??)≠0??′(??,

)≠0?? 0 0 ?? 0 0【答案】D?！窘馕觥勘绢}主要考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法。0作拉格朗日函數(shù)??(??,??,??)=??(??,??)+????(??,??),并記對應(yīng)??0,??的0??′(??

,

,

)=0????則

0 0 0 即0 ??′(??,??,??)=0?? 0 0 0??0??′(????0

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)=0 0?? 0 0 0 ?? 0 0??′(??,??

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??′(??0,??0) ?? 0

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)≠0,

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)≠0。?? 0 0 ?? 0 0綜上所述，本題正確答案是D【考點】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微積分學(xué)—二元函數(shù)的極限(12)設(shè)??1

,

,?,

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線性相關(guān)線性無關(guān)

1,

2,?,

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1,

2,?,

??線性相關(guān)1??1

2,

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1

2,

??,?,

線性無關(guān)【答案】A?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧恳驗??1,??2,?,????線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)??,??1 2

,?,

使得??1??

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不全為0而是上式成立，說明????1,????2,?,??????線性相關(guān)?！痉椒ǘ坷弥葋砬蠼猓梅謮K矩陣有(????1

,

,?,

)=??(??1

,

,?,????)那么??(????1,????2,?,??????)≤??(??1,??2,?,????)因為??1,??2,?,????線性相關(guān)，有??(??1,??2,?,????)<s1從而??(????1,????2,?,??????)<??,故????,????2,?,??????線性相關(guān)。1綜上所述，本題正確答案是A【考點】線性代數(shù)—向量—向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量組的秩設(shè)????21????1列110的?1倍加到第2列得??，記??=010，則001(A)??=???1???? (B)??=???????1(C)??=??T???? (D)??=??????T【答案】B。【解析】按已知條件，用初等矩陣描述有1 1 0 1 ?1 0??=0 10??,??=??0100 01001所以??=101100??10?1100=?????????。001001綜上所述，本題正確答案是B【考點】線性代數(shù)—矩陣—矩陣的線性運算(14)設(shè)隨機變量??服從正態(tài)分布??(??,??2),??服從正態(tài)分布??(??,??2),1 1 2 22且??{|?????1|<1}>??{|?????|<1},則必有2(A)??1(C)??1

<??2<??2

(A)??1(D)??1

>??2>??2【答案】A?！窘馕觥坑捎??與??的分布不同，不能直接判斷??{|???|<1}和??{|?????|<2較。??{|?????|<1}=??{|?????1|<1},隨機變量?????1~??(0,1),且其概1

??1

??1率密度函數(shù)為偶函數(shù)，故??{|???? 1|<1}=2??{0<???? 1<1}=2[Φ(1) Φ(0)]??1

??1

??1

??1

??1=2Φ(1) 1,同??|<=2Φ(1) 1,??1

2 2因是單調(diào)增函數(shù)當(dāng)<>??{|?? 2

|<1}時，2Φ1) 1>2Φ1) 1即Φ1)>Φ11>1即σ1

?? <??1

??1。

??2

??1

??2綜上所述，本題正確答案是A【考點】概率論與數(shù)理統(tǒng)計—隨機變量及其分布—正態(tài)分布及應(yīng)用三、解答題（15~23小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）(15)（本題滿分7分）設(shè)??

??1????

1???????? ????????????????

,??>0,??>0,求= ????????);??→∞(II)????????→0【解析】本題主要考查洛必達(dá)法則和等價無窮小的替換。??????時x??????

?? =1,??→∞

??→∞ 1???? ????????????????????= ????????)??→∞

?? ??→∞ ??=????則= ????????)

1 1???? 。??→∞

??????????????(II)????????????(1??→0 ??→0 ??

1????

) π??→0

????????????????=????????→0

???????????????? ??????????????????=??→0=

??????????????????2

??(等價無窮小替換)11??2111??21??→0 2????1????1??22??→0 2??

??=???！究键c】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—無窮小量的比較、洛必達(dá)法則(16)（本題滿分7分）計算二重積分?√??2 ????????????,其中??是由直線??=??,??=??1,??=0所圍成的平面區(qū)域?！窘馕觥慨嫵龆胤e分，將二重積分化為累次積分即可。??1??=????01????1??=????01??1 ???√??2 ????????????=∫ ????∫ √??2 ?????????? 0 0=2∫1(??2????)

32|??????3 0 ?? 0=2??2????。3 0 9【考點】高等數(shù)學(xué)—多元函數(shù)微積分學(xué)—二重積分的計算(17)（本題滿分10分）證明：當(dāng)0<??<??<??時，?????????? 2???????? ????>2???????? ????.【解析】本題可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明設(shè)??(??)=??????????+2????????+?????? ∈[0,??]則??′(??)=????????+???????????2????????+??=???????????????????+????′′(??)=????????????????????????????=???????????<0,?? ∈(0,??)則??′(??)[0,??]上單調(diào)減，從而??′(??)>??′(??)=0?? ∈(0,??)因此，??(??)在[0,??]上單調(diào)增，0<a<b<π時，??(??)>??(??)即 ??????????+2????????+????>??????????+2????????+?????！究键c】高等數(shù)學(xué)—函數(shù)、極限、連續(xù)—基本初等函數(shù)的性質(zhì)(18)（本題滿分8分）在??0????過點??(0,1),??(??,??)(??≠0)處的切線斜率與直線????????(常數(shù)??>0)。求??的方程；(II)當(dāng)??與直線??=????所圍成的平面圖形的面積為8時，確定??的值。3【解析】本題需要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程，用定積分計算圖形的面積。(I)設(shè)曲線??的方程為??=??(??),則由題設(shè)可得??′?????

=????,這是一階線性微分方程，其中??(??)=?1,??(??)=????,代入通解公式得??????????=??

??∫1????

(∫???????∫1????????+??)=??(????+??)=????2+????,又??(1)=0,所以??=???,L??=????2????(??≠0)。(II)??與直線??=????(??>0)所圍成平面圖形如下圖所示，所以：????=????01????=????012??0

?????)]????=??∫2(2?????2)????0=4??=8,故??=2。3 3——基本初等函數(shù)的性質(zhì)—∑∞??=1

(?1)???1????(2???1)

的收斂域及和函數(shù)??(??)?！窘馕觥恳驗閮缂墧?shù)缺項，按函數(shù)項技術(shù)收斂域的求法計算；利用逐項求導(dǎo)或積分并結(jié)合已知函數(shù)的冪級數(shù)展開式計算和函數(shù)。記????

(??)=(?1)???1??2??1 ??(2???1)

(?1)????2??3?? (??)??????| ??1 |

(?? 1)(2?? 1)=??????| |=|??|2,????→∞ ????

(??) ??→∞ (?1)???1??2??11)所以|??|2<1,即|??|<1時，所給冪級數(shù)收斂；當(dāng)|??|>1時,所給冪級數(shù)發(fā)散；當(dāng)??=±1時，所給冪級數(shù)為(?1)???1

, (?1)?? 均收斂，故所給冪級數(shù)的收斂域[?1,1].在(?1,1)內(nèi)，

??(2???1) ??(2???1)??(??)=

(?1)???1??

=2??

(?1)???1??

=

(??),??=1 ??(2???1) ??=1(2??)(2???1) 1而??′(??)=∑∞

(?1)???1??2???1,??

=

(?1)???1??2???2= 1 ,1

2???1

??=1

1?? 2所??′(??)???′=∫????′′(??)????=∫??

????=??????????????,1 1 0

01?? 21又??′(0)1

0??(??)1

=??????????????,同理??(??)???1

?? ??(0)=∫??′(??)????=∫??????????????????10 0?? ?? 1=????????????????|???∫ ????=????????????????? ????(1+??2),0 1+??2 201又??1(0)=0,1

(??)=?????????????????1????(1+??2),2故??(??)=2??2?????????????????????(1+??2),??∈(?1,1).由于所給冪級數(shù)在??=±1處都收斂，且??(??)=2x2?????????????????????(1+??2)在??=±1處連續(xù)，所以??(??)在??=±1成立，即??(??)=2??2?????????????????????(1+??2),??∈[?1,1]?！究键c】高等數(shù)學(xué)—無窮級數(shù)—理冪級數(shù)及其收斂域、冪級數(shù)的和函數(shù)(20)（本題滿分13分）設(shè)四維向量組????=(1+??,1,1,1)??,????=(2,2+??,2,2)??,????=(3,3,3+??,3)??,????=(4,4,4,4+??)??,問??為何值時，????,????,????,????線性相關(guān)？當(dāng)????,????,????,????線性相關(guān)時，求其一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出?！窘馕觥勘绢}考查求極大線性無關(guān)組并把其他向量用極大線性無關(guān)組線性表出的方法。??個??維向量線性相關(guān)?|????,????,?,????|=0,記??=(????,????,????,????)1+??23412+??34123+??41234+??1+??23412+??34123+??41234+??于是當(dāng)??=0或??=?10時，????,????,????,????線性相關(guān)，當(dāng)??=0時，????為????,????,????,????的一個極大線性無關(guān)組，且????=2????,????=3????,????=4????.當(dāng)??=?10時，對??施以初等行變換，有?9 2 3 4 ?9 ?2 3 412?741012?74100?100123?61000?10

?8 3

→ 10 ?10 0 0?9 2 3 4 0 0 0 012?1012?1010?10120?1100?1

0 → 1 ?1 0

=(????

,????

,????

,??),???? ?? ?? ?? ?? 由于????,??,??為??,??,??,???? ?? ?? ?? ?? ?? 的一個極大?? =??? ??? ???,故??,??,?? 的一個極大?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??????=??????????????！究键c】線性代數(shù)—向量—向量的線性表示、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量組的極大線性無關(guān)組(21)（本題滿分13分）設(shè)三階實對稱矩陣??的各行元素之和均為3，向量=(?1,2?1)T??2=(0?1,1)T????=??的兩個解。??的特征值與特征向量；(II)求正交矩陣??和對角矩陣??，使得????????=??;(III)求??及(???3??)6,其中??為三階單位矩陣。2【解析】本題中??未知，故用定義法求解。131(I)因為矩陣??的各行元素之和均為3,即有??1=3=31,所131以3是矩陣??的特征值，??=(1,1,1)??是??屬于3的特征向量。1又=??=0??2,故1

,??2是矩陣??屬于??=0的兩個線性無關(guān)的特征向量。因此矩陣??的特征值是3,0,0.??=3的特征向量為??(1,1,1)??,其中??≠0為常數(shù)；??=0的特征向量為??1

(?1,2,?1)??+??2

(0,?1,1)??,其中??1

,??2是不全為0的常數(shù)。??1

,

不正交，故需要?????????????正交化，?? =???? 1

=(?1,2,?1)??,(??

,??

0 ?3 ?1 1 ?1?? =???? 2

? (????

?? ??,??) ??

= ?1 ? 2 = 0,6 1 ?1 16 ?1 ?1 1??單位?? =1??√6

2 ,????=1?1

0 ,????=1 1.1 √3 1?1 ?1 12√6 √2 √32??=

,

,??)= 0 1 ,??√6 √3???1 1 1√6 √2 √30得 ????????=??= 03(III)由前面???1????=??,??=???????1=???????? 即?1 ?1 1 ?1 2 ?1 √6 √2

√3

√6 √6

1 1 1??= 2 0 1√6

0 ?1 3 √2

1 = 1 1 1,√2 1 1 1?1 1 1√6 √2 √3

1 1 1√3 √3 √3又???1????=??????1(???3??)??=???3??2 23 3 3????1(???2??)6??=(???2??)6=(2)6E所以(???3??)6

=??(

3)6E ???1=(3)6E。2 2 2【考點】線性代數(shù)—矩陣的特征值和特征向量—矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)、計算(22)（本題滿分13分）??(??)

1? 1<??<0,210 ≤??<2,令??=??2,4{0 .??(??,??)為二維隨機變量(??,??)的分布函數(shù)，求：(I)??的概率密度????

(??);(II)??????(??,??);1,2【解析】(I)設(shè)Y的分布函數(shù)為????

(??),則????

(??)=????≤??}=????2≤??}??當(dāng)??≤0(??)=0??

(??)=0;當(dāng)0<??<1時，????(??)=≤??≤√??}=≤??<0}+??{0≤??≤??√??}=

1√??+1√??=3√??,????(??)=??′??(??)= 3 ;2 4

8√??當(dāng)0≤??<4時，??(??)=??{?1≤??<0}+??{0≤??<√??}=1+1√??,??