空間向量的基本定理姚旺河一、教學目標:1、知識與技能:理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；理解空間任意一個向量可以用不共面的三個已知向量線性表示，而且這種表示是唯一的；在簡單問題中，會選擇適當?shù)幕讈肀硎救我豢臻g向量。2、過程與方法:經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。3、情感態(tài)度與價值觀:經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程，培養(yǎng)學生的探索精神。二、教學重點和難點重點：共線、共面定理及其應用;空間向量的基本定理及其推論難點：空間向量分解定理唯一性的理解三、教學方法：根據(jù)本節(jié)課的特點，嘗試運用“問題探究式”教學法，遵循“探索—研究—運用”即“觀察—思維—遷移”的三個層次要素，教師“誘”在點上，學生動腦思，動手探。四、教學手段：多媒體輔助教學五、教學設計一、復習回顧：（大約5分鐘）1．共線（平行）向量的定義：2．空間任意兩個向量的條件:3．平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使；（教師提問，學生回答，教師強調(diào)限制條件）二、共線向量定理：（大約3分鐘）對空間任意兩個向量的充要條件是（學生類比平面向量共線的條件類比得出，師生共同分析限制條件）三、共面向量定理（大約17分鐘）1．向量與平面平行：（大約5分鐘）已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：．通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．說明：空間任意的兩向量都是共面的．共面向量不一定是在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi)．（教師強調(diào)共面向量的意義，學生深化理解）思考與討論1：空間中任意三個向量一定是共面向量嗎？請舉例說明．思考與討論2：空間三個向量具備怎樣的條件時才是共面向量呢？（教師提問，從而引出共面向量基本定理）2．共面向量定理：（大約12分鐘）如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使．思考與討論：P85：練習A1、2、3、4（通過對練習題的討論讓學生對共線向量及共面向量定理進一步深化理解。）例1已知斜三棱柱，設，，。在面對角線上和棱BC上分別取點M和N，使,（）。求證與向量和共面。分析：本題主要利用共面向量定理來證明向量與向量的共面問題。只要將用和的線性表示就可證明共面。四、空間向量分解定理（大約18分鐘）例2已知平行六面體,設試用基底{}表示如下向量：（大約5分鐘）分析：本題主要是利用向量的加法運算，由本例題引出空間向量基本定理。學生先自主做，教師引導點出空間內(nèi)的任意向量都可用三個不共面的向量表示，從而引出空間向量基本定理。空間向量分解定理（大約8分鐘）：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數(shù)組，使證明：（存在性）設不共面，過點作過點作直線平行于，交平面于點；在平面內(nèi)，過點作直線，分別與直線相交于點，于是，存在三個實數(shù)，使∴，所以（教師精講存在性的證明，主要讓學生理解如何對空間向量的分解，如何作平行線。）（唯一性）假設還存在使∴∴不妨設即∴∴共面此與已知矛盾∴該表達式唯一綜上兩方面，原命題成立（唯一性讓學生了解，不要求掌握證明）由此定理，若三向量不共面，那么空間的任一向量都可由線性表示，我們把{}叫做空間的一個基底，叫做基向量。注：①空間任何三個不共面的向量都可構成空間的一個基底；②空間任意一個向量都可以用三個不共面的向量表示出來．例3如圖，已知空間四邊形，其對角線，分別是對邊的中點，點在線段上，且，用基底向量表示向量（大約5分鐘）解：∴分析：本題是對空間向量基本定理的應用。五、總結反思：（大約2分鐘）學生從知識、題型與方法、數(shù)學思想三個方面總結，然后同桌交流各自的看法，最后教師找一名學生回答，其他學生進行補充，教師適當引導。1．知識：共線向量定理和共面向量定理；2．題型與方法：3．數(shù)學思想方法：類比,數(shù)形結合,等價轉化4．注意問題：六、達標檢測（大約5分鐘）學生自主完成，訂正答案，教師強調(diào)注意事項。1．已知，，若，求實數(shù)的值。2．已知，證明這三向量共面。七、布置作業(yè)必做題：1．已知三個向量不共面，并且，，向量是否共面？選做題：1．（選做）對空間任一點和不共線的三點，問滿足向量式（其中）的四點是否共面？2．（選做）已知三點