三角函數(shù)的最值三角函數(shù)的最值1一、高考要求

1.能利用三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象等,求三角函數(shù)的最大值和最小值.

2.能利用換元法求某些三角函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值.

3.會把實(shí)際問題化歸成三角函數(shù)的最大值和最小值問題來解決.最值問題是三角中考試頻率最高的重點(diǎn)內(nèi)容之一,需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角變換等,也是函數(shù)內(nèi)容的交匯點(diǎn),常見方法有:1.涉及正、余弦函數(shù)以及

asin+bcos,可考慮利用三角函數(shù)的有界性.二、重點(diǎn)解析一、高考要求1.能利用三角函數(shù)的定義域、值域2三、知識要點(diǎn)2.形如

y=asin2x+bsinx+c

或

y=acos2x+bsinx+c

的函數(shù)可通過適當(dāng)變換、配方求解.3.形如

sinx+cosx,sinxcosx

在關(guān)系式中時,可考慮換元法處理.常見的三角換元

1.若

x2+y2=1,可設(shè)

x=cos,y=sin;

2.若

a≤x2+y2≤b,可設(shè)

x=rcos,y=rsin,a≤r2≤b;

3.對于

1-x2,由于

|x|≤1,可設(shè)

x=cos(0≤≤)

或

x=sin

(-

≤≤);2

2

4.對于

1+x2,可設(shè)

x=tan(-

<<

)

或

x=cot(0<<);

2

2

5.對于

x2-1

,可設(shè)

x=sec(0≤<

或<<)

或

x=csc

(-

≤<0

或

0<≤

);2

2

2

2

三、知識要點(diǎn)2.形如y=asin2x+bs36.對于

x+y+z=xyz,由在

△ABC

中,有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可設(shè)

x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=);

7.令

t=sinx+cosx,則

2sinxcosx=t2-1,t[-

2,2

].

典型例題1.求函數(shù)

y=2sec2x+cot4x

的最值.解:y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x

≥2+3tan2xtan2xcot4x

3=2+3=5.僅當(dāng)

tan2x=cot4x,即

tanx=1

時取等號.∴當(dāng)

x=k(kZ)

時,y

取最小值

5;4

y

無最大值.6.對于x+y+z=xyz,由在△ABC中,4解:

由已知

y>0,只需考察

y2的最值.=.2716∵y2=4cos2cos2sin22x

2x

2x

≤2()32sin2+cos2+cos2

32x

2x

2x

僅當(dāng)

2sin2=cos2,即

tan=(∵0<x<)

時取等號.2x

2x

2x

22y

無最小值.∴當(dāng)

x=2arctan

時,y2

取最大值

.222716439∴當(dāng)

x=2arctan

時,y

取最大值

;222x

2.求函數(shù)

y=(1+cosx)sin

(0<x<)

的最值.解:由已知y>0,只需考察y2的最值.=53.已知函數(shù)

f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x.(1)求

f(x)

的最小正周期;(2)若

x[0,

],求

f(x)

的最大值、最小值.2

解:

(1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

).4

∴f(x)

的最小正周期為

.(2)∵x[0,

],2

∴2x+

[,].4

4

45

∴當(dāng)

2x+

=,即

x=0

時,f(x)

取得最大值

1;4

4

∴當(dāng)

2x+

=,即

x=

時,f(x)

取得最小值

-2

.4

83

3.已知函數(shù)f(x)=cos4x-2cosxsin6解:

y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.

4.設(shè)

0≤x≤,求函數(shù)

y=sin2x-8(sinx+cosx)+19

的最大值和最小值.令

t=sinx+cosx,則

t=

2

sin(x+

),y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.4

∵0≤x≤,∴

≤x+

≤

.4

4

45

∴-1≤t≤2

.∴-

≤sin(x+

)≤1.4

22∴當(dāng)

t=-1,即

x=

時,y

取最大值27.當(dāng)

t=

2

,即

x=時,

y

取最小值20-8

2

.4

解:y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+17

5.已知函數(shù)

f(x)=2asin2x-2

3

asinxcosx+a+b(a0)

的定義域?yàn)閇0,

],值域?yàn)?/p>

[-5,1],求常數(shù)

a,b

的值.2

解:

f(x)=a(1-cos2x)-

3

asin2x+a+b

=-a(cos2x+

3

sin2x)+2a+b=-2asin(2x+

)+2a+b.6

由已知

x[0,],

2

∴2x+[,

],

6

6

67

∴-≤sin(2x+

)≤1.

6

12因此由

f(x)

的值域?yàn)?/p>

[-5,1]

可得:a>0,-2a×(-

)+2a+b=1,12-2a×1+2a+b=-5,a<0,-2a×(-

)+2a+b=-5,12-2a×1+2a+b=1.或解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.5.已知函數(shù)f(x)=2asin2x-2386.求

y=的最值及對應(yīng)的

x

的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx解:

y=2+sinxsin2x+4sinx+32+sinx(2+sinx)2-1==2+sinx-.

2+sinx1令

2+sinx=t,則

y=f(t)=t-(1≤t≤3).t1對于任意的

t1,

t2[1,3],且

t1<t2有f(t1)-f(t2)=(t1-

)-(t2-)t11t21t1t21+t1t2

=(t1-t2)()<0.即

f(t1)-f(t2)<0

f(t1)<f(t2).∴f(t)

在

[1,3]

上是增函數(shù).∴當(dāng)

t=1

時,ymin=f(t)min=0,此時,sinx=-1,x

的集合為:{x

|

x=2k-

,kZ};2

{x

|

x=2k+

,kZ}.2

當(dāng)

t=3

時,ymax=f(t)max=

,此時,sinx=1,x

的集合為:836.求y=9

7.函數(shù)

y=sin2x+acosx+

a-

(0≤x≤)的最大值為

1,求

a的值.2

5832解:

由已知

y=-cos2x+acosx+

a-5812=-(cosx-

)2++

a-.4a2

a25812

令

t=cosx,則

y=-(t-

)2++

a-(0≤t≤1).4a2a25812討論如下:②若

0≤

≤1,則

t=時,由題設(shè)

ymax=+

a-=1.a2a24a25812解得a=-4(舍去)或

a=.32解得a=(舍去).512①若

<0,則

t=0

時,由題設(shè)

ymax=

a-=1.5812a2③若

>1,則

t=1

時,由題設(shè)

ymax=

a-=1.32a2813解得a=(舍去).1320綜上所述

a=.327.函數(shù)y=sin2x+acosx+a-108.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有實(shí)數(shù)解,求

a

的取值范圍.解法1

從方程有解的角度考慮.原方程即為:2cos22x+2cos2x-3+a=0.令

t=cos2x,則

|t|≤1,且

2t2+2t-3+a=0

恒有解.解得:-1≤a≤

.72解法2

從二次函數(shù)圖象及性質(zhì)考慮.問題轉(zhuǎn)化為:“a

為何值時,f(t)=2t2+2t+a-3

的圖象與橫軸至少有一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在

[-1,1]

內(nèi).”∵f(t)

圖象的對稱軸為直線

t=-

,12△=4(7-2a)≥0,-2+4(7-2a)4||≤1,

∴△=4(7-2a)≥0,-2-4(7-2a)4||≤1,

或解得:-1≤a≤

.72△≥0,∴f(-1)≥0,f(-1)<0.f(1)≥0,或8.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有實(shí)數(shù)解,118.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有實(shí)數(shù)解,求

a

的取值范圍.解法3

正難則反,從反面考慮.∵f(t)

圖象的對稱軸為直線

t=-

,12若方程

f(t)=2t2+2t+a-3=0

的兩根均在

[-1,1]

之外,則72當(dāng)

△=4(7-2a)≥0,即

a≤

時,∴

f(1)<0.解得:a<-1.故滿足條件的

a

的取值范圍是

[-1,].72解法4

從分離參數(shù)的角度考慮.原方程即為:a=-2cos22x-2cos2x+372=-2(cos2x+

)2+.12∵|cos2x|≤1,

∴

-1≤a≤

.728.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有實(shí)數(shù)解,12課后練習(xí)1.求函數(shù)

f(x)=的最小正周期、最大值和最小值.sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-2sinxcosx

解:

由已知

f(x)=1-sin2xcos2x

2(1-sinxcosx)==

(1+sinxcosx)1212=

sin2x+.14∴f(x)

的最小正周期為

.∴當(dāng)

2x=2k+即

x=k+(kZ)

時,

f(x)

取最大值

;4

2

34∴當(dāng)

2x=2k-

即

x=k-(kZ)

時,

f(x)

取最小值

.4

2

14課后練習(xí)1.求函數(shù)f(x)=13解:

由已知當(dāng)

a>0

時,

bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)

2.函數(shù)

y=acosx+b(a,b為常數(shù)),若

-7≤y≤1,求

bsinx+acosx

的最大值.解得

a=4,b=-3,此時,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43當(dāng)

a<0

時,

bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)

解得

a=-4,b=-3,此時,a+b=-7,-a+b=1,(tan=

).43當(dāng)

a=0

時,

不合題意.綜上所述,bsinx+acosx

的最大值為

5.

解:由已知當(dāng)a>0時,bsinx+acosx=-314解:

y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令

sinx=t,則

y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1).若

-a<-1,即

a>1,則當(dāng)

t=-1

時,y

有最大值3.求函數(shù)

y=cos2x-2asinx-a(a

為定值)的最大值

M.M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;若

-1≤-a≤1,即

-1≤a≤1,則當(dāng)

t=-a

時,y

有最大值M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若

-a>1,即

a<-1,則當(dāng)

t=1

時,y

有最大值M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.綜上所述,M=a2-a+1,-1≤a≤1,-3a,a<-1,a,a>1.解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a15

4.當(dāng)

a≥0

時,求函數(shù)

f(x)=(sinx+a)(cosx+a)

的最大值、最小值以及相應(yīng)的

x

的取值.解:

f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2

f(x)=g(t)=

(t2-1)+at+a212=

[(t+a)2+a2-1].12∵a

為常數(shù),∴只需求

y=(t+a)2

的最值.∵

t[-2

,2

],且

a≥0,∴當(dāng)

t=

2

,即

x=2k+(kZ)

時,

f(x)

取最大值a2+

2

a+.4

12若

0≤a≤

2

,則

-

2

≤-a≤0,當(dāng)

t=-a

即

x=2karccos(-

a)+

(kZ)

時,f(x)

取最小值

(a2-1);224

12若

a>

2

,則當(dāng)

t=-

2

,

即

x=2k+(kZ)

時,45

12

f(x)

取最小值a2-

2

a+.令

t=sinx+cosx,則

t=

2

cos(x-)

且

t[-2

,2

],4

4.當(dāng)a≥0時,求函數(shù)f(x)=(sinx16

5.設(shè)

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范圍.2

解法1

由已知

0≤sin≤1

且

1-sin2+2msin-2m-2<0

恒成立.令

t=sin,則

0≤t≤1

且

1-t2+2mt-2m-2<0

恒成立.即

f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0

對

t[0,1]

恒成立.故可討論如下:(1)若

m<0,則

f(0)>0.即

2m+1>0.解得

m>-

,12(2)若

0≤m≤1,則

f(m)>0.即

-m2+2m+1>0.亦即

m2-2m-1<0.解得:1-2<m<1+

2

,∴0≤m≤1;∴-

<m<0;12(3)若

m>1,則

f(1)>0.即

0m+2>0.∴mR,∴m>1.綜上所述

m>-

.12

即

m

的取值范圍是

(-

,+∞).125.設(shè)[0,],且cos217解法2

題中不等式即為

2(1-sin)m>-1-sin2.∵[0,],2

∴0≤sin≤1.當(dāng)

sin=1

時,不等式顯然恒成立,此時

mR;當(dāng)

0≤sin<1

時,m>-恒成立.1+sin2

2(1-sin)令

t=1-sin,則

t(0,1],且

2t

1+(1-t)21t2t

m>-

=1-(

+)

恒成立.易證

g(t)=1-(

+)

在

(0,1]

上單調(diào)遞增,有最大值

-

,1t2t

12∴m>-

.12即

m

的取值范圍是

(-

,+∞).12

5.設(shè)

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范圍.2

解法2題中不等式即為2(1-sin)m>-1-sin18

6.設(shè)

0≤≤,P=sin2+sin-cos.(1)若

t=sin-cos,用含

t的式子表示

P;(2)確定

P

的取值范圍,并求出

P

的最大值和最小值.解:

(1)∵t=sin-cos,∴t2=1-2sincos=1-sin2.∴sin2=1-t2.∴P=1-t2+t.(2)t=sin-cos=

2

sin(-).4

∵0≤≤,∴-

≤-≤

,4

4

43

即

P=-t2+t+1.∴-

≤sin(-)≤1.

224

∴-1≤t≤

2

.

∵P=-t2+t+1

的圖象是開口向下的拋物線,其對稱軸為

12直線

t=,12∴當(dāng)

t=時,P

取最大值;54當(dāng)

t=-1

時,P

取最小值

-1.54從而

P

的取值范圍是[-1,

].6.設(shè)0≤≤,P=sin2+sin-c19

7.已知

f(x)=2cos2x+3

sin2x+a(aR),(1)若

xR,求

f(x)

的單調(diào)增區(qū)間;(2)若

x[0,

]

時,f(x)

的最大值為

4,求

a

的值;(3)在

(2)

的條件下,求滿足

f(x)=1

且

x[-,]

的

x

的集合.2

解:

(1)f(x)=1+cos2x+

3

sin2x+a

=2sin(2x+

)+a+1.6

由

2k-≤2x+≤2k+得:6

2

2

k-≤x≤k+.3

6

∴

f(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間為

[k-,k+](kZ);6

3

6

(2)由

2x+=得

x=2

6

[0,],2

故當(dāng)

x=時,f(x)

取最大值

3+a.6

由題設(shè)

3+a=4,∴a=1.(3)在

(2)

的條件下,f(x)=2sin(2x+

)+2.6

2

1∵f(x)=1,∴sin(2x+

)=-.6

又由題設(shè)

2x+

[-

,],6

611613∴2x+

=-或

-

或

或

.6

6

65

67

611∴x=-,-,

,

.2

6

2

65

6

2

65

故所求集合為

{

-,-,

,

}.2

7.已知f(x)=2cos2x+3sin208.設(shè)

f(x)=cos2x+asinx--(0≤x≤

).(1)用

a

表示

f(x)

的最大值

M(a);(2)當(dāng)

M(a)=2時,求

a

的值.4a122

解:

(1)f(x)=-sin2x+asinx-+.4a12令

t=sinx,則

0≤t≤1,故有:

f(x)=g(t)=-t2+at-+

=-(t-)2+

-+

(0≤t≤1).4a122a4a24a12要求

f(x)

的最大值

M(a),可分情況討論如下:g(t)

在

[0,1]

上先增后減.g(t)

在

[0,1]

上為減函數(shù).①當(dāng)

<0,即

a<0

時,2a∴M(a)=g(0)=-

;124a②當(dāng)

0≤

≤1,即

0≤a≤2

時,2a③若

>1,即

a>2

時,2a∴M(a)=g()=

-+

;2a4a24a12g(t)

在

[0,1]

上為增函數(shù).∴M(a)=g(1)=

a-.12348.設(shè)f(x)=cos2x+asinx--21-

,a<0,124a∴M(a)=

-+

,0≤a≤2,

4a24a12a-,a>2.1234若

-+

=2,

即

a2-a-6=0,4a24a12(2)由(1)知,若-

=2,則

a=-6;4a12解得

a=3

或

-2.均不合題意,舍去;1234若

a-

=2,則

a=.310綜上所述,

a

的值為

-6

或

.310-,a<0,124a∴M(a)=22

85.每一年，我都更加相信生命的浪費(fèi)是在于：我們沒有獻(xiàn)出愛，我們沒有使用力量，我們表現(xiàn)出自私的謹(jǐn)慎，不去冒險，避開痛苦，也失去了快樂。――[約翰·B·塔布]86.微笑，昂首闊步，作深呼吸，嘴里哼著歌兒。倘使你不會唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一來，你想讓自己煩惱都不可能。――[戴爾·卡內(nèi)基]87.當(dāng)一切毫無希望時，我看著切石工人在他的石頭上，敲擊了上百次，而不見任何裂痕出現(xiàn)。但在第一百零一次時，石頭被劈成兩半。我體會到，并非那一擊，而是前面的敲打使它裂開。――[賈柯·瑞斯]88.每個意念都是一場祈禱。――[詹姆士·雷德非]89.虛榮心很難說是一種惡行，然而一切惡行都圍繞虛榮心而生，都不過是滿足虛榮心的手段。――[柏格森]90.習(xí)慣正一天天地把我們的生命變成某種定型的化石，我們的心靈正在失去自由，成為平靜而沒有激情的時間之流的奴隸。――[托爾斯泰]91.要及時把握夢想，因?yàn)閴粝胍凰?，生命就如一只羽翼受?chuàng)的小鳥，無法飛翔。――[蘭斯頓·休斯]92.生活的藝術(shù)較像角力的藝術(shù)，而較不像跳舞的藝術(shù)；最重要的是：站穩(wěn)腳步，為無法預(yù)見的攻擊做準(zhǔn)備。――[瑪科斯·奧雷利阿斯]93.在安詳靜謐的大自然里，確實(shí)還有些使人煩惱.懷疑.感到壓迫的事。請你看看蔚藍(lán)的天空和閃爍的星星吧!你的心將會平靜下來。[約翰·納森·愛德瓦茲]94.對一個適度工作的人而言，快樂來自于工作，有如花朵結(jié)果前擁有彩色的花瓣。――[約翰·拉斯金]95.沒有比時間更容易浪費(fèi)的,同時沒有比時間更珍貴的了，因?yàn)闆]有時間我們幾乎無法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的歡欣，就是在于你自認(rèn)正在為一個偉大目標(biāo)運(yùn)用自己；而不是源于獨(dú)自發(fā)光.自私渺小的憂煩軀殼，只知抱怨世界無法帶給你快樂。――[蕭伯納]97.有三個人是我的朋友愛我的人.恨我的人.以及對我冷漠的人。愛我的人教我溫柔；恨我的人教我謹(jǐn)慎；對我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.過去的事已經(jīng)一去不復(fù)返。聰明的人是考慮現(xiàn)在和未來，根本無暇去想過去的事。――[英國哲學(xué)家培根]99.真正的發(fā)現(xiàn)之旅不只是為了尋找全新的景色，也為了擁有全新的眼光。――[馬塞爾·普勞斯特]100.這個世界總是充滿美好的事物，然而能看到這些美好事物的人，事實(shí)上是少之又少。――[羅丹]101.稱贊不但對人的感情，而且對人的理智也發(fā)生巨大的作用，在這種令人愉快的影響之下，我覺得更加聰明了，各種想法，以異常的速度接連涌入我的腦際。――[托爾斯泰]102.人生過程的景觀一直在變化，向前跨進(jìn)，就看到與初始不同的景觀，再上前去，又是另一番新的氣候――。[叔本華]103.為何我們?nèi)绱思臣秤诿绻粋€人和他的同伴保持不一樣的速度，或許他耳中聽到的是不同的旋律，讓他隨他所聽到的旋律走，無論快慢或遠(yuǎn)近。――[梭羅]104.我們最容易不吝惜的是時間，而我們應(yīng)該最擔(dān)心的也是時間；因?yàn)闆]有時間的話，我們在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人類的悲劇，就是想延長自己的壽命。我們往往只憧憬地平線那端的神奇【違禁詞，被屏蔽】，而忘了去欣賞今天窗外正在盛開的玫瑰花。――[戴爾·卡內(nèi)基]106.休息并非無所事事，夏日炎炎時躺在樹底下的草地，聽著潺潺的水聲，看著飄過的白云，亦非浪費(fèi)時間。――[約翰·羅伯克]107.沒有人會只因年齡而衰老，我們是因放棄我們的理想而衰老。年齡會使皮膚老化，而放棄熱情卻會使靈魂老化。――[撒母耳·厄爾曼]108.快樂和智能的區(qū)別在于：自認(rèn)最快樂的人實(shí)際上就是最快樂的，但自認(rèn)為最明智的人一般而言卻是最愚蠢的。――[卡雷貝·C·科爾頓]109.每個人皆有連自己都不清楚的潛在能力。無論是誰，在千鈞一發(fā)之際，往往能輕易解決從前認(rèn)為極不可能解決的事。――[戴爾·卡內(nèi)基]110.每天安靜地坐十五分鐘·傾聽你的氣息，感覺它，感覺你自己，并且試著什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何謂沮喪---就是你用一輩子工夫，在公司或任何領(lǐng)域里往上攀爬，卻在抵達(dá)最高處的同時，發(fā)現(xiàn)自己爬錯了墻頭。－－[坎伯]112.「偉大」這個名詞未必非出現(xiàn)在規(guī)模很大的事情不可；生活中微小之處，照樣可以偉大。――[布魯克斯]113.人生的目的有二：先是獲得你想要的；然后是享受你所獲得的。只有最明智的人類做到第二點(diǎn)。――[羅根·皮沙爾·史密斯]114.要經(jīng)常聽.時常想.時時學(xué)習(xí)，才是真正的生活方式。對任何事既不抱希望，也不肯學(xué)習(xí)的人，沒有生存的資格。――[阿薩·赫爾帕斯爵士]115.旅行的精神在于其自由，完全能夠隨心所欲地去思考.去感覺.去行動的自由。――[威廉·海茲利特]116.昨天是張退票的支票，明天是張信用卡，只有今天才是現(xiàn)金；要善加利用。――[凱·里昂]117.所有的財富都是建立在健康之上。浪費(fèi)金錢是愚蠢的事，浪費(fèi)健康則是二級的謀殺罪。――[B·C·福比斯]118.明知不可而為之的干勁可能會加速走向油盡燈枯的境地，努力挑戰(zhàn)自己的極限固然是令人激奮的經(jīng)驗(yàn)，但適度的休息絕不可少，否則遲早會崩潰。――[邁可·漢默]119.進(jìn)步不是一條筆直的過程，而是螺旋形的路徑，時而前進(jìn)，時而折回，停滯后又前進(jìn)，有失有得，有付出也有收獲。――[奧古斯汀]120.無論那個時代，能量之所以能夠帶來奇跡，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。無論何處，活力皆是所謂“人格力量”的原動力，也是讓一切偉大行動得以持續(xù)的力量。――[史邁爾斯]121.有兩種人是沒有什么價值可言的：一種人無法做被吩咐去做的事，另一種人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]122.對于不會利用機(jī)會的人而言，機(jī)會就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成為不會孵化的蛋。――[喬治桑]123.未來不是固定在那里等你趨近的，而是要靠你創(chuàng)造。未來的路不會靜待被發(fā)現(xiàn)，而是需要開拓，開路的過程，便同時改變了你和未來。――[約翰·夏爾]124.一個人的年紀(jì)就像他的鞋子的大小那樣不重要。如果他對生活的興趣不受到傷害，如果他很慈悲，如果時間使他成熟而沒有了偏見。――[道格拉斯·米爾多]125.大凡宇宙萬物，都存在著正、反兩面，所以要養(yǎng)成由后面.里面，甚至是由相反的一面，來觀看事物的態(tài)度――。[老子]126.在寒冷中顫抖過的人倍覺太陽的溫暖，經(jīng)歷過各種人生煩惱的人，才懂得生命的珍貴。――[懷特曼]127.一般的偉人總是讓身邊的人感到渺?。坏嬲膫ト藚s能讓身邊的人認(rèn)為自己很偉大。――[G.K.Chesteron]128.醫(yī)生知道的事如此的少，他們的收費(fèi)卻是如此的高。――[馬克吐溫]129.問題不在于：一個人能夠輕蔑、藐視或批評什么，而是在于：他能夠喜愛、看重以及欣賞什么。――[約翰·魯斯金]三角函數(shù)的最值優(yōu)秀課件23三角函數(shù)的最值三角函數(shù)的最值24一、高考要求

1.能利用三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象等,求三角函數(shù)的最大值和最小值.

2.能利用換元法求某些三角函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值和最小值.

3.會把實(shí)際問題化歸成三角函數(shù)的最大值和最小值問題來解決.最值問題是三角中考試頻率最高的重點(diǎn)內(nèi)容之一,需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角變換等,也是函數(shù)內(nèi)容的交匯點(diǎn),常見方法有:1.涉及正、余弦函數(shù)以及

asin+bcos,可考慮利用三角函數(shù)的有界性.二、重點(diǎn)解析一、高考要求1.能利用三角函數(shù)的定義域、值域25三、知識要點(diǎn)2.形如

y=asin2x+bsinx+c

或

y=acos2x+bsinx+c

的函數(shù)可通過適當(dāng)變換、配方求解.3.形如

sinx+cosx,sinxcosx

在關(guān)系式中時,可考慮換元法處理.常見的三角換元

1.若

x2+y2=1,可設(shè)

x=cos,y=sin;

2.若

a≤x2+y2≤b,可設(shè)

x=rcos,y=rsin,a≤r2≤b;

3.對于

1-x2,由于

|x|≤1,可設(shè)

x=cos(0≤≤)

或

x=sin

(-

≤≤);2

2

4.對于

1+x2,可設(shè)

x=tan(-

<<

)

或

x=cot(0<<);

2

2

5.對于

x2-1

,可設(shè)

x=sec(0≤<

或<<)

或

x=csc

(-

≤<0

或

0<≤

);2

2

2

2

三、知識要點(diǎn)2.形如y=asin2x+bs266.對于

x+y+z=xyz,由在

△ABC

中,有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可設(shè)

x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=);

7.令

t=sinx+cosx,則

2sinxcosx=t2-1,t[-

2,2

].

典型例題1.求函數(shù)

y=2sec2x+cot4x

的最值.解:y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x

≥2+3tan2xtan2xcot4x

3=2+3=5.僅當(dāng)

tan2x=cot4x,即

tanx=1

時取等號.∴當(dāng)

x=k(kZ)

時,y

取最小值

5;4

y

無最大值.6.對于x+y+z=xyz,由在△ABC中,27解:

由已知

y>0,只需考察

y2的最值.=.2716∵y2=4cos2cos2sin22x

2x

2x

≤2()32sin2+cos2+cos2

32x

2x

2x

僅當(dāng)

2sin2=cos2,即

tan=(∵0<x<)

時取等號.2x

2x

2x

22y

無最小值.∴當(dāng)

x=2arctan

時,y2

取最大值

.222716439∴當(dāng)

x=2arctan

時,y

取最大值

;222x

2.求函數(shù)

y=(1+cosx)sin

(0<x<)

的最值.解:由已知y>0,只需考察y2的最值.=283.已知函數(shù)

f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x.(1)求

f(x)

的最小正周期;(2)若

x[0,

],求

f(x)

的最大值、最小值.2

解:

(1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

).4

∴f(x)

的最小正周期為

.(2)∵x[0,

],2

∴2x+

[,].4

4

45

∴當(dāng)

2x+

=,即

x=0

時,f(x)

取得最大值

1;4

4

∴當(dāng)

2x+

=,即

x=

時,f(x)

取得最小值

-2

.4

83

3.已知函數(shù)f(x)=cos4x-2cosxsin29解:

y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.

4.設(shè)

0≤x≤,求函數(shù)

y=sin2x-8(sinx+cosx)+19

的最大值和最小值.令

t=sinx+cosx,則

t=

2

sin(x+

),y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.4

∵0≤x≤,∴

≤x+

≤

.4

4

45

∴-1≤t≤2

.∴-

≤sin(x+

)≤1.4

22∴當(dāng)

t=-1,即

x=

時,y

取最大值27.當(dāng)

t=

2

,即

x=時,

y

取最小值20-8

2

.4

解:y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+130

5.已知函數(shù)

f(x)=2asin2x-2

3

asinxcosx+a+b(a0)

的定義域?yàn)閇0,

],值域?yàn)?/p>

[-5,1],求常數(shù)

a,b

的值.2

解:

f(x)=a(1-cos2x)-

3

asin2x+a+b

=-a(cos2x+

3

sin2x)+2a+b=-2asin(2x+

)+2a+b.6

由已知

x[0,],

2

∴2x+[,

],

6

6

67

∴-≤sin(2x+

)≤1.

6

12因此由

f(x)

的值域?yàn)?/p>

[-5,1]

可得:a>0,-2a×(-

)+2a+b=1,12-2a×1+2a+b=-5,a<0,-2a×(-

)+2a+b=-5,12-2a×1+2a+b=1.或解得:a=2,b=-5或a=-2,b=1.5.已知函數(shù)f(x)=2asin2x-23316.求

y=的最值及對應(yīng)的

x

的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx解:

y=2+sinxsin2x+4sinx+32+sinx(2+sinx)2-1==2+sinx-.

2+sinx1令

2+sinx=t,則

y=f(t)=t-(1≤t≤3).t1對于任意的

t1,

t2[1,3],且

t1<t2有f(t1)-f(t2)=(t1-

)-(t2-)t11t21t1t21+t1t2

=(t1-t2)()<0.即

f(t1)-f(t2)<0

f(t1)<f(t2).∴f(t)

在

[1,3]

上是增函數(shù).∴當(dāng)

t=1

時,ymin=f(t)min=0,此時,sinx=-1,x

的集合為:{x

|

x=2k-

,kZ};2

{x

|

x=2k+

,kZ}.2

當(dāng)

t=3

時,ymax=f(t)max=

,此時,sinx=1,x

的集合為:836.求y=32

7.函數(shù)

y=sin2x+acosx+

a-

(0≤x≤)的最大值為

1,求

a的值.2

5832解:

由已知

y=-cos2x+acosx+

a-5812=-(cosx-

)2++

a-.4a2

a25812

令

t=cosx,則

y=-(t-

)2++

a-(0≤t≤1).4a2a25812討論如下:②若

0≤

≤1,則

t=時,由題設(shè)

ymax=+

a-=1.a2a24a25812解得a=-4(舍去)或

a=.32解得a=(舍去).512①若

<0,則

t=0

時,由題設(shè)

ymax=

a-=1.5812a2③若

>1,則

t=1

時,由題設(shè)

ymax=

a-=1.32a2813解得a=(舍去).1320綜上所述

a=.327.函數(shù)y=sin2x+acosx+a-338.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有實(shí)數(shù)解,求

a

的取值范圍.解法1

從方程有解的角度考慮.原方程即為:2cos22x+2cos2x-3+a=0.令

t=cos2x,則

|t|≤1,且

2t2+2t-3+a=0

恒有解.解得:-1≤a≤

.72解法2

從二次函數(shù)圖象及性質(zhì)考慮.問題轉(zhuǎn)化為:“a

為何值時,f(t)=2t2+2t+a-3

的圖象與橫軸至少有一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在

[-1,1]

內(nèi).”∵f(t)

圖象的對稱軸為直線

t=-

,12△=4(7-2a)≥0,-2+4(7-2a)4||≤1,

∴△=4(7-2a)≥0,-2-4(7-2a)4||≤1,

或解得:-1≤a≤

.72△≥0,∴f(-1)≥0,f(-1)<0.f(1)≥0,或8.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有實(shí)數(shù)解,348.若方程

4sin2x-cos4x-a=0

恒有實(shí)數(shù)解,求

a

的取值范圍.解法3

正難則反,從反面考慮.∵f(t)

圖象的對稱軸為直線

t=-

,12若方程

f(t)=2t2+2t+a-3=0

的兩根均在

[-1,1]

之外,則72當(dāng)

△=4(7-2a)≥0,即

a≤

時,∴

f(1)<0.解得:a<-1.故滿足條件的

a

的取值范圍是

[-1,].72解法4

從分離參數(shù)的角度考慮.原方程即為:a=-2cos22x-2cos2x+372=-2(cos2x+

)2+.12∵|cos2x|≤1,

∴

-1≤a≤

.728.若方程4sin2x-cos4x-a=0恒有實(shí)數(shù)解,35課后練習(xí)1.求函數(shù)

f(x)=的最小正周期、最大值和最小值.sin4x+cos4x+sin2xcos2x

2-sin2x

(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2x

2-2sinxcosx

解:

由已知

f(x)=1-sin2xcos2x

2(1-sinxcosx)==

(1+sinxcosx)1212=

sin2x+.14∴f(x)

的最小正周期為

.∴當(dāng)

2x=2k+即

x=k+(kZ)

時,

f(x)

取最大值

;4

2

34∴當(dāng)

2x=2k-

即

x=k-(kZ)

時,

f(x)

取最小值

.4

2

14課后練習(xí)1.求函數(shù)f(x)=36解:

由已知當(dāng)

a>0

時,

bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)

2.函數(shù)

y=acosx+b(a,b為常數(shù)),若

-7≤y≤1,求

bsinx+acosx

的最大值.解得

a=4,b=-3,此時,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43當(dāng)

a<0

時,

bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)

解得

a=-4,b=-3,此時,a+b=-7,-a+b=1,(tan=

).43當(dāng)

a=0

時,

不合題意.綜上所述,bsinx+acosx

的最大值為

5.

解:由已知當(dāng)a>0時,bsinx+acosx=-337解:

y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令

sinx=t,則

y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1).若

-a<-1,即

a>1,則當(dāng)

t=-1

時,y

有最大值3.求函數(shù)

y=cos2x-2asinx-a(a

為定值)的最大值

M.M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;若

-1≤-a≤1,即

-1≤a≤1,則當(dāng)

t=-a

時,y

有最大值M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若

-a>1,即

a<-1,則當(dāng)

t=1

時,y

有最大值M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.綜上所述,M=a2-a+1,-1≤a≤1,-3a,a<-1,a,a>1.解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a38

4.當(dāng)

a≥0

時,求函數(shù)

f(x)=(sinx+a)(cosx+a)

的最大值、最小值以及相應(yīng)的

x

的取值.解:

f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2

f(x)=g(t)=

(t2-1)+at+a212=

[(t+a)2+a2-1].12∵a

為常數(shù),∴只需求

y=(t+a)2

的最值.∵

t[-2

,2

],且

a≥0,∴當(dāng)

t=

2

,即

x=2k+(kZ)

時,

f(x)

取最大值a2+

2

a+.4

12若

0≤a≤

2

,則

-

2

≤-a≤0,當(dāng)

t=-a

即

x=2karccos(-

a)+

(kZ)

時,f(x)

取最小值

(a2-1);224

12若

a>

2

,則當(dāng)

t=-

2

,

即

x=2k+(kZ)

時,45

12

f(x)

取最小值a2-

2

a+.令

t=sinx+cosx,則

t=

2

cos(x-)

且

t[-2

,2

],4

4.當(dāng)a≥0時,求函數(shù)f(x)=(sinx39

5.設(shè)

[0,],且

cos2+2msin-2m-2<0

恒成立,求

m

的取值范圍.2

解法1

由已知

0≤sin≤1

且

1-sin2+2msin-2m-2<0

恒成立.令

t=sin,則

0≤t≤1

且

1-t2+2mt-2m-2<0

恒成立.即

f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0

對

t[0,1]

恒成立.故可討論如下:(1)若

m<0,則

f(0)>0.即

2m+1>0.解得

m>-

,12(2)若

0≤m≤1,則

f(m)>0.即

-m2+2m+1>0.亦即

m2-2m-1<0.解得:1-2<m<1+

2

,∴0≤m≤1;∴-

<m<0;12(3)若

m>1,則

f(1)>0.即

0m+2>0.∴mR,∴m>1.綜上所述

m>-

.12

即

m

的