精品文檔精品文檔精品文檔小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽真題集錦及解答一、填空題TOC\o"1-5"\h\z1.三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，中間這個(gè)數(shù)是m,則相鄰兩個(gè)數(shù)分別是m-2__和m+2。2?有一種三位數(shù)，它能同時(shí)被2、3、7整除，這樣的三位數(shù)中，最大的一個(gè)是966___，最小的一個(gè)是_126。解題過(guò)程：2x3x7=42；求三位數(shù)中42的倍數(shù)126、168966小麗發(fā)現(xiàn)：小表妹和讀初三哥哥的歲數(shù)是互質(zhì)數(shù)，積是144，小表妹和讀初三哥哥的歲數(shù)分另U是9歲和16歲。解題過(guò)程：144=2x2x2x2x3x3;（9、16）=1一個(gè)四位數(shù)，它的第一個(gè)數(shù)字等于這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)字表示這個(gè)數(shù)中數(shù)字1的個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)字表示這個(gè)數(shù)中數(shù)字2的個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)字等于這個(gè)數(shù)中數(shù)字3的個(gè)數(shù)，那么這個(gè)四位數(shù)是1210。2310的所有約數(shù)的和是_6912。解題過(guò)程：2310=2x3x5x7x11;約數(shù)和二（1+2）x（1+3）x（1+5）x（1+7）x（1+11）已知2008被一些自然數(shù)去除，得到的余數(shù)都是10，這些自然數(shù)共有11個(gè)。解題過(guò)程：2008-10=1998;1998=2x33x37；約數(shù)個(gè)數(shù)二（1+1）x（1+3）x（1+1）=16（個(gè)）其中小于10的約數(shù)共有1，2，3，6，9;16-5=11（個(gè)）從1、2、3、…、1998、1999這些自然數(shù)中，最多可以取多少個(gè)數(shù)，才能使其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于4?_1000_o解題過(guò)程：1,5,9,13，……1997（500個(gè)）隔1個(gè)取1個(gè)，共取250個(gè)14，……1998（500個(gè)）隔1個(gè)取1個(gè)，共取250個(gè)15，……1999（500個(gè)）隔1個(gè)取1個(gè)，共取250個(gè)16，……1996（499個(gè)）隔1個(gè)取1個(gè)，共取250個(gè)黑板上寫(xiě)有從1開(kāi)始的若干個(gè)連續(xù)的奇數(shù)：1，3，5，7,9,11,13…擦去其中的一個(gè)奇精品文檔數(shù)以后，剩下的所有奇數(shù)之和為1998，那么擦去的奇數(shù)是____27____。解題過(guò)程：1+3+5+......+（2n-1）=n2;45x45=2025;2025-1998=279．一個(gè)1994位的整數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都是3。它除以13，商的第200位（從左往右數(shù)）數(shù)字是5，商的個(gè)位數(shù)字是6，余數(shù)是5。解題過(guò)程：33333333......3-13=256410256410......在小于5000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有18個(gè)。解題過(guò)程：能被11整除的條件是：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和相差為11的倍數(shù)；1位數(shù)不滿足條件；2位數(shù)也不滿足條件（各位數(shù)字應(yīng)相等，數(shù)字和不等于13）；應(yīng)為3或4位數(shù)；13=12+1；偶數(shù)位數(shù)字和=1，奇數(shù)位數(shù)字和=12時(shí)，共有14個(gè)；偶數(shù)位數(shù)字和=12，奇數(shù)位數(shù)字和=1時(shí)，共有4個(gè)；14+4=18（個(gè)）設(shè)n是一個(gè)四位數(shù)，它的9倍恰好是其反序數(shù)（例如：123的反序數(shù)是321），則n=―1089o解題過(guò)程：千位只能是1；個(gè)位只能是9；百位只能是0或1；如百位是1，則十位必須為0，但所得數(shù)1109不滿足題意；如百位是0，則十位必須為8，得數(shù)1089滿足題意555555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是___555。解題過(guò)程：555555=3x5x11x37x91;3x5x37=555設(shè)a與b是兩個(gè)不相等的自然數(shù)，如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么a與b之和可以有17_種不同的值。解題過(guò)程：72=2x2x2x3x3;a=72,b=（1+3）x（1+2）-1=12-1=11;a=36,b=8或24；a=24,b=9或18;a=18,b=8;a=9,b=8;11+6=17小明的兩個(gè)衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫(xiě)著1,2，3，……，13。如果從這兩個(gè)口袋中各拿出一張卡片來(lái)計(jì)算它們所寫(xiě)兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被6整除的乘積共有21個(gè)。解題過(guò)程：6x1,2,3,......13共13個(gè)；精品文檔精品文檔12x7,8,9,......13=6x14,16,18,......26共7個(gè)；9x10=6x15共1個(gè)；13+7+1=21(個(gè))—列數(shù)1,2,4,7,11,16,22,29,…這列數(shù)的組成規(guī)律是第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)多1；第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)多2；第4個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)多3；依此類推。那么這列數(shù)左起第1992個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)是____2。解題過(guò)程：a2-a1=1;a3-a2=2;......an-1-an-2二n-2;an-an-1二n-1；an-a1=1+2+3+..+n-1=n(n-1)/2；an=n(n-1)/2+1；a1992=1992x(1992-1)/2+1=996x1991+1=(995+1)x(1990+1)+1兩個(gè)自然數(shù)的和是50,它們的最大公約數(shù)是5,則這兩個(gè)數(shù)的差是20或40。解題過(guò)程：(a、b)=5;5|a,5|b;a=5,b=45或a=15,b=35將一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù),它與原數(shù)相加,得到的和恰好是某個(gè)自然數(shù)的平方，這個(gè)和是_______。解題過(guò)程：和可能為兩位數(shù),也可能為三位數(shù),但肯定是11的倍數(shù),即11的平方。100以內(nèi)所有被5除余1的自然數(shù)的和是970___。解題過(guò)程：1+6+11+16+......91+96=(1+96)x20-2=9709個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們都大于80，那么其中質(zhì)數(shù)至多4____個(gè)。解題過(guò)程：9個(gè)連續(xù)的自然數(shù),末尾可能是0-9,末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除,末尾是5的一定被5整除,每連續(xù)3個(gè)自然數(shù)中一定有一個(gè)是3的倍數(shù),只有末尾是1、3、7、9的數(shù)可能是質(zhì)數(shù)．于是質(zhì)數(shù)只可能在這5個(gè)連續(xù)的奇數(shù)中,所以質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)不能超過(guò)4如果一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),我們稱這個(gè)自然數(shù)為“希望數(shù)”,那么,1000以內(nèi)最大的“希望數(shù)”是___961____。解題過(guò)程：自然數(shù)的因數(shù)都是成對(duì)出現(xiàn)的,比如1和本身是一對(duì),出現(xiàn)奇數(shù)個(gè)因數(shù)的時(shí)候是因?yàn)槠渲杏幸粚?duì)因數(shù)是相等的,即這個(gè)自然數(shù)是完全平方數(shù)。1000以內(nèi)最大的完全平方數(shù)是312=961,所以這個(gè)希望數(shù)是961兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126。這兩個(gè)數(shù)的和是_105或147—。解題過(guò)程：126=21x2x3;這兩個(gè)數(shù)是42和63，或21和126精品文檔甲數(shù)是36，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288，最大公約數(shù)是4,乙數(shù)應(yīng)該是____32____。解題過(guò)程：4|364X8=3236-4=9288-4-9=823．一個(gè)三位數(shù)能同時(shí)被2、5、7整除，這樣的三位數(shù)按由小到大的順序排成一列，中間的一個(gè)是___560_o解題過(guò)程：2x5x7=70;70x2,3,4,......13,14=140,210,280,......910,98024．有四個(gè)互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，最小數(shù)與最大數(shù)的積是一個(gè)奇數(shù)，而這四個(gè)數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個(gè)數(shù)的乘積是____■30____。解題過(guò)程：最小數(shù)、最大數(shù)均為奇數(shù),中間有一個(gè)偶數(shù),4個(gè)數(shù)和為11,分別為1、2、3、525．兩個(gè)整數(shù)相除得商數(shù)是12和余數(shù)是26，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)及余數(shù)的和等于454，除數(shù)是30。解題過(guò)程：設(shè)除數(shù)是X,則12X+26+X+12+26=454;X=3026.在1X2X3X-X100的積的尾部有21___個(gè)連續(xù)的零。解題過(guò)程：尾數(shù)為5的共10個(gè),尾數(shù)1個(gè)0的9個(gè),2個(gè)0的1個(gè),共21個(gè)027．有0、1、4、7、9五個(gè)數(shù)字，從中選出四個(gè)數(shù)組成一個(gè)四位數(shù)（例如1409），把其中能被3整除的這樣的四位數(shù)，從小到大排列起來(lái)，第5個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是—___■9。解題過(guò)程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、4107、4170..1479、1497、1749、1794..28．一些四位數(shù)，百位數(shù)字都是3，十位數(shù)字都是6，并且他們既能被2整除又能被3整除。甲是這樣四位數(shù)中最大的，乙是最小的，則甲乙兩數(shù)的千位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字（共四個(gè)數(shù)字）的總和是18。解題過(guò)程：求?36?中能被3整除的偶數(shù)；甲為9366,乙為1362；9+6+1+2=18把自然數(shù)按由小到大的順序排列起來(lái)組成一串?dāng)?shù)：1、2、3、…、9、10、11、12、…，把這串?dāng)?shù)中兩位以上的數(shù)全部隔開(kāi)成一位數(shù)字，組成第二串?dāng)?shù)：1、2、…、9、1、0、1、1、1、2、1、3、…。則第一串?dāng)?shù)中100的個(gè)位數(shù)字0在第二串?dāng)?shù)中是第個(gè)數(shù)。解題過(guò)程：1-9（共9個(gè)）,10-99（共180個(gè)）,100（共3個(gè)）精品文檔某個(gè)質(zhì)數(shù)與6、8、12、14之和都仍然是質(zhì)數(shù)，一共有1____個(gè)滿足上述條件的質(zhì)數(shù)。解題過(guò)程：除2和5以外，其它質(zhì)數(shù)的個(gè)位都是1，3，7，9；6，8，12，14都是偶數(shù)，加上唯一的偶數(shù)質(zhì)數(shù)2和仍然是偶數(shù)，所以不是2；14加上任何尾數(shù)是1的質(zhì)數(shù)，最后的尾數(shù)都是5，一定能被5整除；12加上任何尾數(shù)是3的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是5；8加上任何尾數(shù)是7的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是5；6加上任何尾數(shù)是9的質(zhì)數(shù)，尾數(shù)也是5；所以，這個(gè)質(zhì)數(shù)的末位一定不是1，3，7，9；只有5符合已知a與b的最大公約數(shù)是12，a與c的最小公倍數(shù)是300，b與c的最小公倍數(shù)也是300。那么滿足上述條件的自然數(shù)a、b、c共有塑___組。（例如a=12,b=300,c=300,與a=300,b=12,c=300是不同的兩個(gè)自然數(shù)組）解題過(guò)程：T（a,b）=12,.?.a=12m,b=12n（m,n=1或5或25,且（m,n）=1）;???[a,c]=300,[b,c]=300,.?.c=25k（k=1,2,3,4,6,12）;當(dāng)m=1，n=1時(shí)，a=12，b=12，c=25k當(dāng)m=1，n=5時(shí)，a=12，b=60，c=25k當(dāng)m=1，n=25時(shí)，a=12，b=300，c=25k當(dāng)m=5，n=1時(shí)，a=60，b=12，c=25k當(dāng)m=25，n=1時(shí)，a=300，b=12，c=25k故有30組從左向右編號(hào)為1至1991號(hào)的1991名同學(xué)排成一行。從左向右1至11報(bào)數(shù),報(bào)數(shù)為11的同學(xué)原地不動(dòng),其余同學(xué)出列；然后留下的同學(xué)再?gòu)淖笙蛴?至11報(bào)數(shù),報(bào)數(shù)為11的同學(xué)留下,其余同學(xué)出列；留下的同學(xué)第三次從左向右1至11報(bào)數(shù),報(bào)到11的同學(xué)留下,其余同學(xué)出列。那么最后留下的同學(xué)中，從左邊數(shù)第一個(gè)人的最初編號(hào)是___塑___。解題過(guò)程：11X11X11=133133?在1,9,8,9后面寫(xiě)一串這樣的數(shù)字：先計(jì)算原來(lái)這4個(gè)數(shù)的后兩個(gè)之和8+9=17,取個(gè)位數(shù)字7寫(xiě)在1,9,8,9的后面成為1,9,8,9,7；再計(jì)算這5個(gè)數(shù)的后兩個(gè)之和9+7=16；取個(gè)位數(shù)字6寫(xiě)在1,9,8,9,7的后面成為1,9,8,9,7,6；再計(jì)算這6個(gè)精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔數(shù)的后兩個(gè)之和7+6=13，取個(gè)位數(shù)字3寫(xiě)在1,9,8,9,7,6的后面成為1,9,8,9,7,6,3。繼續(xù)這樣求和，這樣填寫(xiě)，成為數(shù)串1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4…那么這個(gè)數(shù)串的前398個(gè)數(shù)字的和是___1990o解題過(guò)程：1,9,|8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,|8,9,7,6,3，……398-2=396;396-12=33;8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60;60x33+10=1990二、判斷題1.兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必有一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)。（V）2.偶數(shù)的個(gè)位一定是0、2、4、6或8。（V）3.奇數(shù)的個(gè)位一定是1、3、5、7或9。（V）4.所有的正偶數(shù)均為合數(shù)。（X）5.奇數(shù)與奇數(shù)的和或差是偶數(shù)。（V）6.偶數(shù)與奇數(shù)的和或差是奇數(shù)。（V）7.奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)。（V）8.奇數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)。（V）任何偶數(shù)的平方都能被4整除。（V）任何奇數(shù)的平方被8除都余1。（V）相鄰偶數(shù)最大公約數(shù)為2,最小公倍數(shù)為它們乘積的一半。（V）12?任何一個(gè)自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。（X）互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)可以都不是質(zhì)數(shù)。（V）如果兩個(gè)數(shù)的積是它們的最小公倍數(shù),這兩個(gè)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。（V）三、計(jì)算題1.能不能將（1）505；（2）1010寫(xiě)成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和？如果能,把它寫(xiě)出來(lái)；如果不能,說(shuō)明理由。解題過(guò)程：S=n+（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+4）+（n+5）+（n+6）+（n+7）+（n+8）+（n+9）=10n+45（—定是奇數(shù)）（1）505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54（2）1010是偶數(shù)，不能寫(xiě)成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和2．（1）從1到3998這3998個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)能被4整除？（2）從1到3998這3998個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被4整除？解題過(guò)程：（1）3998^4=999（個(gè)）......2（2）考慮個(gè)位，選法有10種;十位，選法有10種;百位選法有10種;選定之后個(gè)位、十位、百位數(shù)字之和除以4的余數(shù)有3種情況，余0、余1、余2、余3，對(duì)應(yīng)這四種在千位上剛好有—種與之對(duì)應(yīng)，共有1000個(gè)；1000-1=999（個(gè)）3.請(qǐng)將1,2,3,…，99,100這一百個(gè)自然數(shù)中既是奇數(shù)又是合數(shù)的自然數(shù)排成一行，使每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)都不互質(zhì)（若一行寫(xiě)不下，可移至第二行接著寫(xiě)，若第二行仍寫(xiě)不下，可移至第三行接著寫(xiě)）。解題過(guò)程：9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，9915，25，35，55，65，85，9521，35，49，77，9133，55，77，9925，35，55，65，85，95；15，9，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99；77，91，494．一個(gè)自然數(shù)除以8得到的商加上這個(gè)數(shù)除以9的余數(shù),其和是13。求所有滿足條件的自然數(shù)。解題過(guò)程：設(shè)這個(gè)數(shù)為n,除以9的余數(shù)r<8，所以除以8得到的商q>13-8=5，且q<13n=8q+k=9p+r==>k=9p+r-8p=9p+r-8x（13-r）=9x（p+r）-104=4q=5,n=8x5+4=44q=6，n=8x6+4=52精品文檔精品文檔q=7,n=8x7+4=60q=8,n=8x8+4=68q=9,n=8x9+4=76q=10，n=8x10+4=84q=11，n=8x11+4=92q=12，n=8x12+4=100q=13，n=8x13+4=1085．有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的卡片，每種顏色的卡片各有3張。相同顏色的卡片上寫(xiě)相同的自然數(shù)，不同顏色的卡片上寫(xiě)不同的自然數(shù)。老師把這12張卡片發(fā)給6名同學(xué)，每人得到兩張顏色不同的卡片。然后老師讓學(xué)生分別求出各自兩張卡片上兩個(gè)自然數(shù)的和。六名同學(xué)交上來(lái)的答案分別為：92、125、133、147、158、191。老師看完6名同學(xué)的答案后說(shuō)，只有一名同學(xué)的答案錯(cuò)了。問(wèn)：四種顏色卡片上所寫(xiě)各數(shù)中最小數(shù)是多少？解題過(guò)程:設(shè)四張卡片上的數(shù)從小到大分別為A、B、C、D，則六位同學(xué)所計(jì)算的分別為A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+D這6個(gè)和數(shù)，且最小的兩個(gè)依次為A+B、A+C，最大的兩個(gè)依次為C+D、B+D。（A+B）+（C+D）=（A+C）+（B+D）=（A+D）+（B+C）；而92+191=283=125+158,133+147=280/283;所以，A+B=92,A+C=125,B+D=158,C+D=191;133、147中有一個(gè)不正確。若147是正確的，則B+C=147，A+D=283-147=136。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33==>C=90，B=57，A=92-57=35，D=191-90=101若133是正確的，則A+D=133，B+C=283-133=150。C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33==>B=50，C=83，A=92-50=42，D=191-83=108所以，四種顏色卡片上所寫(xiě)各數(shù)中最小數(shù)是35或42。6．有三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)，這6個(gè)三位數(shù)的和是2886，求所有這樣的6個(gè)三精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔位數(shù)中最小的三位數(shù)。(說(shuō)明理由)解題過(guò)程：設(shè)這三個(gè)數(shù)字從小到大分別為A、B、C,顯然，它們互不相等且都不等于0。則222x(A+B+C)=2886==>A+B+C=2886m222=13百位數(shù)為1是最小的，另兩個(gè)數(shù)分別為3和9；所以最小的三位數(shù)為1397．求小于1001且與1001互質(zhì)的所有自然數(shù)的和。解題過(guò)程：1001=7x11x13+2+^+1000=(1+1000)x1000^2=5005007+14+21+...+994=(7+994)x142-2=71071+22+...+990=(11+990)x90-2=4504513+26+...+988=(13+988)x76-2=3803877+154+231+.+924=(77+924)x12-2=600691+182+273+.+910=(91+910)x10-2=5005143+286+429+.+858=(143+858)x6-2=3003500500－71071－45045－38038+6006+5005+3003=3603608．三張卡片，在它們上面各寫(xiě)一個(gè)數(shù)字（如圖）。從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排列起來(lái)，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)。請(qǐng)你將其中的質(zhì)數(shù)都寫(xiě)出來(lái)。解題過(guò)程：2、3、13、23、319．一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是：1,1,2,3,5,8,