第五章時(shí)間序列模型

關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)回歸技術(shù)及其預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)我們已經(jīng)在前面的章節(jié)討論過了，本章著重于時(shí)間序列模型的估計(jì)和定義，這些分析均是基于單方程回歸方法，第9章我們還會(huì)討論時(shí)間序列的向量自回歸模型。這一部分屬于動(dòng)態(tài)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的范疇。通常是運(yùn)用時(shí)間序列的過去值、當(dāng)期值及滯后擾動(dòng)項(xiàng)的加權(quán)和建立模型，來“解釋”時(shí)間序列的變化規(guī)律。

1第五章時(shí)間序列模型關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)回歸技術(shù)及其預(yù)

在時(shí)間序列模型的發(fā)展過程中，一個(gè)重要的特征是對(duì)統(tǒng)計(jì)均衡關(guān)系做某種形式的假設(shè)，其中一種非常特殊的假設(shè)就是平穩(wěn)性的假設(shè)。通常一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列能夠有效地用其均值、方差和自相關(guān)函數(shù)加以描述。本章首先通過討論回歸方程擾動(dòng)項(xiàng)通常會(huì)存在的序列相關(guān)性問題，介紹如何應(yīng)用時(shí)間序列數(shù)據(jù)的建模方法，修正擾動(dòng)項(xiàng)序列的自相關(guān)性。進(jìn)一步討論時(shí)間序列的自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA模型），并且討論它們的具體形式、估計(jì)及識(shí)別方法。2在時(shí)間序列模型的發(fā)展過程中，一個(gè)重要的特征是對(duì)統(tǒng)計(jì)均

由于傳統(tǒng)的時(shí)間序列模型只能描述平穩(wěn)時(shí)間序列的變化規(guī)律，而大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都是非平穩(wěn)的，因此，由20世紀(jì)80年代初Granger提出的協(xié)整概念，引發(fā)了非平穩(wěn)時(shí)間序列建模從理論到實(shí)踐的飛速發(fā)展。本章還介紹了非平穩(wěn)時(shí)間序列的單位根檢驗(yàn)方法、ARIMA模型的建模方法、協(xié)整理論的基本思想及誤差修正模型。3由于傳統(tǒng)的時(shí)間序列模型只能描述平穩(wěn)時(shí)間序列的變化規(guī)律§5.1

序列相關(guān)及其檢驗(yàn)

第3章在對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)ut的一系列假設(shè)下，討論了古典線性回歸模型的估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)問題。如果線性回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)

ut滿足古典回歸假設(shè)，使用OLS所得到的估計(jì)量是線性無偏最優(yōu)的。但是如果擾動(dòng)項(xiàng)ut不滿足古典回歸假設(shè)，回歸方程的估計(jì)結(jié)果會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？理論與實(shí)踐均證明，擾動(dòng)項(xiàng)ut關(guān)于任何一條古典回歸假設(shè)的違背，都將導(dǎo)致回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再具有上述的良好性質(zhì)。因此，必須建立相關(guān)的理論，解決擾動(dòng)項(xiàng)不滿足古典回歸假設(shè)所帶來的模型估計(jì)問題。4§5.1序列相關(guān)及其檢驗(yàn)第3章在對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)ut的§5.1.1

序列相關(guān)及其產(chǎn)生的后果

對(duì)于線性回歸模型(5.1.1)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不相關(guān)，即無序列相關(guān)的基本假設(shè)為(5.1.2)如果擾動(dòng)項(xiàng)序列ut表現(xiàn)為：(5.1.3)即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不再是完全相互獨(dú)立的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性(serialcorrelation)。5§5.1.1序列相關(guān)及其產(chǎn)生的后果對(duì)于線性回由于通常假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都服從均值為0，同方差的正態(tài)分布，則序列相關(guān)性也可以表示為：(5.1.4)特別的，如果僅存在

(5.1.5)稱為一階序列相關(guān)，這是一種最為常見的序列相關(guān)問題。

6由于通常假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都服從均值為0，同方差

如果回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)量的方差將被高估或者低估。因此，檢驗(yàn)參數(shù)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量將不再可信?？梢詫⑿蛄邢嚓P(guān)可能引起的后果歸納為：②使用OLS公式計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)差不正確，相應(yīng)的顯著性水平的檢驗(yàn)不再可信；

③回歸得到的參數(shù)估計(jì)量的顯著性水平的檢驗(yàn)不再可信。

①在線性估計(jì)中OLS估計(jì)量不再是有效的；7如果回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用最小二乘法

EViews提供了檢測(cè)序列相關(guān)和估計(jì)方法的工具。但首先必須排除虛假序列相關(guān)。虛假序列相關(guān)是指模型的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。例如，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個(gè)重要的解釋變量，資本對(duì)產(chǎn)出的影響就被歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)。由于資本在時(shí)間上的連續(xù)性，以及對(duì)產(chǎn)出影響的連續(xù)性，必然導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)。所以在這種情況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。§5.1.2

序列相關(guān)的檢驗(yàn)方法

8EViews提供了檢測(cè)序列相關(guān)和估計(jì)方法的工具。但

EViews提供了以下3種檢測(cè)序列相關(guān)的方法。

1．D_W統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)

Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量（簡(jiǎn)稱D_W統(tǒng)計(jì)量）用于檢驗(yàn)一階序列相關(guān)，還可估算回歸模型鄰近殘差的線性聯(lián)系。對(duì)于擾動(dòng)項(xiàng)ut建立一階自回歸方程：

(5.1.6)D_W統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的原假設(shè)：=0，備選假設(shè)是

0。

9EViews提供了以下3種檢測(cè)序列相關(guān)的方法。9

如果序列不相關(guān)，D.W.值在2附近。如果存在正序列相關(guān)，D.W.值將小于2。如果存在負(fù)序列相關(guān)，D.W.值將在2～4之間。正序列相關(guān)最為普遍，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于有大于50個(gè)觀測(cè)值和較少解釋變量的方程，D.W.值小于1.5的情況，說明殘差序列存在強(qiáng)的正一階序列相關(guān)。10如果序列不相關(guān)，D.W.值在2附近。10

Dubin-Waston統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列相關(guān)有三個(gè)主要不足：1．D-W統(tǒng)計(jì)量的擾動(dòng)項(xiàng)在原假設(shè)下依賴于數(shù)據(jù)矩陣X。2．回歸方程右邊如果存在滯后因變量，D-W檢驗(yàn)不再有效。3．僅僅檢驗(yàn)是否存在一階序列相關(guān)。其他兩種檢驗(yàn)序列相關(guān)方法：相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量、Breush-GodfreyLM檢驗(yàn)克服了上述不足，應(yīng)用于大多數(shù)場(chǎng)合。

11Dubin-Waston統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列相2.相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量

1.自相關(guān)系數(shù)

我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)來檢驗(yàn)序列相關(guān)。時(shí)間序列ut滯后k階的自相關(guān)系數(shù)由下式估計(jì)（5.2.26）其中是序列的樣本均值，這是相距k期值的相關(guān)系數(shù)。稱rk為時(shí)間序列ut的自相關(guān)系數(shù)，自相關(guān)系數(shù)可以部分的刻畫一個(gè)隨機(jī)過程的性質(zhì)。它告訴我們?cè)谛蛄衭t的鄰近數(shù)據(jù)之間存在多大程度的相關(guān)性。122.相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量

2．偏自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)是指在給定ut-1，ut-2，…，ut-k-1的條件下，ut與ut-k之間的條件相關(guān)性。其相關(guān)程度用偏自相關(guān)系數(shù)k,k度量。在k階滯后下估計(jì)偏自相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式如下（5.2.27）其中：rk是在k階滯后時(shí)的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值。（5.2.28）這是偏自相關(guān)系數(shù)的一致估計(jì)。132．偏自相關(guān)系數(shù)13要得到k,k的更確切的估計(jì)，需要進(jìn)行回歸

t

=

1,2,,T（5.2.29）因此，滯后k階的偏自相關(guān)系數(shù)是當(dāng)ut

對(duì)ut-1，…，ut-k作回歸時(shí)ut-k的系數(shù)。稱之為偏相關(guān)是因?yàn)樗攘苛薻期間距的相關(guān)而不考慮k-1期的相關(guān)。

14要得到k,k的更確切的估計(jì)，需要進(jìn)行回歸

我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)，以及Ljung-BoxQ-統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)序列相關(guān)。Q-統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式為：

(5.1.7)其中：rj是殘差序列的

j階自相關(guān)系數(shù)，T是觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，p是設(shè)定的滯后階數(shù)。15我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自相關(guān)和

p階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的原假設(shè)是：序列不存在p階自相關(guān)；備選假設(shè)為：序列存在p階自相關(guān)。如果Q-統(tǒng)計(jì)量在某一滯后階數(shù)顯著不為零，則說明序列存在某種程度上的序列相關(guān)。在實(shí)際的檢驗(yàn)中，通常會(huì)計(jì)算出不同滯后階數(shù)的Q-統(tǒng)計(jì)量、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。如果，各階Q-統(tǒng)計(jì)量都沒有超過由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，則接受原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時(shí)，各階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于0。16p階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的原假設(shè)是：序列不存在

反之，如果，在某一滯后階數(shù)p，Q-統(tǒng)計(jì)量超過設(shè)定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說明殘差序列存在p階自相關(guān)。由于Q-統(tǒng)計(jì)量的P值要根據(jù)自由度p來估算，因此，一個(gè)較大的樣本容量是保證Q-統(tǒng)計(jì)量有效的重要因素。

在EViews軟件中的操作方法：

在方程工具欄選擇View/ResidualTests/correlogram-Q-statistics。EViews將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)以及對(duì)應(yīng)于高階序列相關(guān)的Ljung-BoxQ統(tǒng)計(jì)量。如果殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計(jì)量不顯著，并且有大的P值。17反之，如果，在某一滯后階數(shù)p，Q-統(tǒng)計(jì)量超過例5.1:利用相關(guān)圖檢驗(yàn)殘差序列的相關(guān)性

考慮美國(guó)的一個(gè)投資方程。美國(guó)的GNP和國(guó)內(nèi)私人總投資INV是單位為10億美元的名義值，價(jià)格指數(shù)P為GNP的平減指數(shù)（1972=100），利息率R為半年期商業(yè)票據(jù)利息。回歸方程所采用的變量都是實(shí)際GNP和實(shí)際投資；它們是通過將名義變量除以價(jià)格指數(shù)得到的，分別用小寫字母gnp，inv表示。實(shí)際利息率的近似值r則是通過貼現(xiàn)率R減去價(jià)格指數(shù)變化率p得到的。樣本區(qū)間：1963年～1984年，建立如下線性回歸方程：t

=

1,2,,T

18例5.1:利用相關(guān)圖檢驗(yàn)殘差序列的相關(guān)性考應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下：

t=（-1.32）（154.25）R2=0.80

D.W.=0.9419應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下：19

虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負(fù)兩倍于估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，則在顯著水平為5%的情形下與零沒有顯著區(qū)別。本例1階的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說明存在1階序列相關(guān)。1階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的P值很小，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在一階序列相關(guān)。

選擇View/Residualtest/Correlogram-Q-statistice會(huì)產(chǎn)生如下結(jié)果：

20虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負(fù)兩倍于估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差所夾成的。3.序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)

與D.W.統(tǒng)計(jì)量?jī)H檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)是否存在一階自相關(guān)不同，Breush-GodfreyLM檢驗(yàn)（Lagrangemultiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）也可應(yīng)用于檢驗(yàn)回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗(yàn)仍然有效。

LM檢驗(yàn)原假設(shè)為：直到p階滯后不存在序列相關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在p階自相關(guān)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由如下輔助回歸計(jì)算。213.序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)與D.W.統(tǒng)計(jì)量?jī)H檢驗(yàn)擾

（1）估計(jì)回歸方程，并求出殘差et(5.1.8)

（2）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以基于如下回歸得到(5.1.9)

這是對(duì)原始回歸因子Xt和直到p階的滯后殘差的回歸。LM檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和T×R2統(tǒng)計(jì)量。F統(tǒng)計(jì)量是對(duì)式（5.1.9）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一種檢驗(yàn)。T×R2統(tǒng)計(jì)量是LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，是觀測(cè)值個(gè)數(shù)T乘以回歸方程（5.1.9）的R2。一般情況下，T×R2統(tǒng)計(jì)量服從漸進(jìn)的2(p)分布。22（1）估計(jì)回歸方程，并求出殘差et22

在給定的顯著性水平下，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設(shè)定的顯著性水平下不存在序列相關(guān)；反之，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量大于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關(guān)性。

在EView軟件中的操作方法：

選擇View/ResidualTests/SerialcorrelationLMTest，一般地對(duì)高階的，含有ARMA誤差項(xiàng)的情況執(zhí)行Breush-GodfreyLM。在滯后定義對(duì)話框，輸入要檢驗(yàn)序列的最高階數(shù)。23在給定的顯著性水平下，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)定顯著性

LM統(tǒng)計(jì)量顯示，在5%的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸方程的殘差序列存在序列相關(guān)性。因此，回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。

例5.1(續(xù))

序列相關(guān)LM檢驗(yàn)24LM統(tǒng)計(jì)量顯示，在5%的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸方例5.2:含滯后因變量的回歸方程擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的檢驗(yàn)考慮美國(guó)消費(fèi)CS

和GDP及前期消費(fèi)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)期間：1947年第1季度～1995年第1季度，數(shù)據(jù)中已消除了季節(jié)要素，建立如下線性回歸方程：

t

=

1,2,,T

應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下：

t=(1.93)(3.23)(41.24)R2=0.999

D.W.=1.605

25例5.2:含滯后因變量的回歸方程擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的檢驗(yàn)如果單純從顯著性水平、擬合優(yōu)度及D.W.值來看，這個(gè)模型是一個(gè)很理想的模型。但是，由于方程的解釋變量存在被解釋變量的一階滯后項(xiàng)，那么D.W.值就不能作為判斷回歸方程的殘差是否存在序列相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)，如果殘差序列存在序列相關(guān)，那么，顯著性水平、擬合優(yōu)度和F統(tǒng)計(jì)量將不再可信。所以，必須采取本節(jié)中介紹的其他檢驗(yàn)序列相關(guān)的方法檢驗(yàn)殘差序列的自相關(guān)性。這里采用LM統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)(p=2)，得到結(jié)果如下：LM統(tǒng)計(jì)量顯示，回歸方程的殘差序列存在明顯的序列相關(guān)性。26如果單純從顯著性水平、擬合優(yōu)度及D.W.值來

下面給出殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，相關(guān)圖如下：

本例1～3階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說明存在3階序列相關(guān)。各階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的P值都小于1%，說明在1%的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。27下面給出殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，相關(guān)圖如下§5.1.3擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)的線性回歸方程的修正與估計(jì)

線性回歸模型擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的存在，會(huì)導(dǎo)致模型估計(jì)結(jié)果的失真。因此，必須對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)序列的結(jié)構(gòu)給予正確的描述，以期消除序列相關(guān)對(duì)模型估計(jì)結(jié)果帶來的不利影響。通?？梢杂肁R(p)模型來描述一個(gè)平穩(wěn)序列的自相關(guān)的結(jié)構(gòu)，定義如下：(5.1.10)(5.1.11)28§5.1.3擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)的其中：ut是無條件擾動(dòng)項(xiàng)，它是回歸方程（5.1.10）的擾動(dòng)項(xiàng)，參數(shù)0，1，

2，，k是回歸模型的系數(shù)。式（5.1.11）是擾動(dòng)項(xiàng)ut的

p階自回歸模型，參數(shù)1，2，，p是p階自回歸模型的系數(shù)，t是無條件擾動(dòng)項(xiàng)ut自回歸模型的誤差項(xiàng)，并且是均值為0，方差為常數(shù)的白噪聲序列，它是因變量真實(shí)值和以解釋變量及以前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)值之差。下面將討論如何利用AR(p)模型修正擾動(dòng)項(xiàng)的序列相關(guān)，以及用什么方法來估計(jì)消除擾動(dòng)項(xiàng)后方程的未知參數(shù)。29其中：ut是無條件擾動(dòng)項(xiàng)，它是回歸方程（5

1．修正一階序列相關(guān)

最簡(jiǎn)單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸AR(1)模型。為了便于理解，先討論一元線性回歸模型，并且具有一階序列相關(guān)的情形，即p=1的情形：(5.1.12)(5.1.13)把式（5.1.13）帶入式（5.1.12）中得到(5.1.14)301．修正一階序列相關(guān)把式（5.1.13）然而，由式（5.1.12）可得(5.1.15)再把式（5.1.15）代入式（5.1.14）中，并整理(5.1.16)令，代入式（5.1.16）中有(5.1.17)如果已知

的具體值，可以直接使用OLS方法進(jìn)行估計(jì)。如果

的值未知，通?？梢圆捎肎auss—Newton迭代法求解，同時(shí)得到

，

0，

1的估計(jì)量。

31然而，由式（5.1.12）可得31

2．修正高階序列相關(guān)

通常如果殘差序列存在p階序列相關(guān)，誤差形式可以由AR(p)過程給出。對(duì)于高階自回歸過程，可以采取與一階序列相關(guān)類似的方法，把滯后誤差逐項(xiàng)代入，最終得到一個(gè)誤差項(xiàng)為白噪聲序列，參數(shù)為非線性的回歸方程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非線性回歸方程的參數(shù)。

例如，仍討論一元線性回歸模型，并且擾動(dòng)項(xiàng)序列具有3階序列相關(guān)的情形，即p=3的情形：322．修正高階序列相關(guān)32(5.1.18)(5.1.19)

按照上面處理AR(1)的方法，把擾動(dòng)項(xiàng)的滯后項(xiàng)代入原方程中去，得到如下表達(dá)式：

(5.1.20)

通過一系列的化簡(jiǎn)后，仍然可以得到參數(shù)為非線性，誤差項(xiàng)t為白噪聲序列的回歸方程。運(yùn)用非線性最小二乘法，可以估計(jì)出回歸方程的未知參數(shù)

0,

1,

1,

2,

3。33(5.1.18)(5.1.19)按照上面處理A我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線性形式為f(xt,)的非線性模型，xt={1,x1t,x2t,…,xkt}，={0

,1

,…,k}，若擾動(dòng)項(xiàng)序列存在p階序列相關(guān)，(5.1.21)(5.1.22)也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項(xiàng)t為白噪聲序列的非線性回歸方程，以p=1為例，(5.1.23)使用Gauss-Newton算法來估計(jì)參數(shù)。34我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線

3.在Eviews中的操作：打開一個(gè)方程估計(jì)窗口，輸入方程變量，最后輸入ar(1)ar(2)ar(3)。針對(duì)例5.2定義方程為：353.在Eviews中的操作：35

需要注意的是，輸入的ar(1)ar(2)ar(3)分別代表3個(gè)滯后項(xiàng)的系數(shù)，因此，如果我們認(rèn)為擾動(dòng)項(xiàng)僅僅在滯后2階和滯后4階存在自相關(guān)，其他滯后項(xiàng)不存在自相關(guān)，即則估計(jì)時(shí)應(yīng)輸入：cscgdpcs(-1)ar(2)ar(4)EViews在消除序列相關(guān)時(shí)給予很大靈活性，可以輸入模型中想包括的各個(gè)自回歸項(xiàng)。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而且想用一個(gè)單項(xiàng)來消除季節(jié)自回歸，可以輸入：cscgdpcs(-1)ar(4)。36需要注意的是，輸入的ar(1)ar(2)例5.3用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān)（1）例5.1中檢驗(yàn)到美國(guó)投資方程的殘差序列存在一階序列相關(guān)。這里將采用AR(1)模型來修正投資方程的自相關(guān)性：

t

=

1,2,,T

回歸估計(jì)的結(jié)果如下：

t=(1.79)（55.36）

t=(4.45)

R2=0.86D.W.=1.47

37例5.3用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自再對(duì)新的殘差序列進(jìn)行LM檢驗(yàn)(p=2)，最終得到的檢驗(yàn)結(jié)果如下：檢驗(yàn)結(jié)果不能拒絕原假設(shè)，即修正后的回歸方程的殘差序列不存在序列相關(guān)性。因此，用AR(1)模型修正后的回歸方程的估計(jì)結(jié)果是有效的。38再對(duì)新的殘差序列進(jìn)行LM檢驗(yàn)(p=2)，最終例5.4用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān)

例5.2中檢驗(yàn)到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序列存在明顯的序列自相關(guān)。而且從相關(guān)圖看到，可以采用AR(3)模型來修正回歸方程的自相關(guān)性。

回歸估計(jì)的結(jié)果如下：

39例5.4用AR(p)模型修正回歸方程殘差序列的自相關(guān)模型建立如下：t=(-3.9)(7.29)（13.54）

t=(4.85)(3.07)（3.03）R2=0.999D.W=1.94

40模型建立如下：40

再對(duì)新的殘差序列進(jìn)行LM檢驗(yàn)，最終得到的檢驗(yàn)結(jié)果如下：

給出糾正后的殘差序列的Q-統(tǒng)計(jì)量和序列相關(guān)圖，在直觀上認(rèn)識(shí)到消除序列相關(guān)后的殘差序列是一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)序列。

41再對(duì)新的殘差序列進(jìn)行LM檢驗(yàn)，最終得含有AR項(xiàng)模型的估計(jì)輸出

當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有AR項(xiàng)的模型時(shí)，在解釋結(jié)果時(shí)一定要小心。在用通常的方法解釋估計(jì)系數(shù)、系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差和t-統(tǒng)計(jì)量時(shí)，涉及殘差的結(jié)果會(huì)不同于OLS的估計(jì)結(jié)果。要理解這些差別，記住一個(gè)含有AR項(xiàng)的模型有兩種殘差：第一種是無條件殘差

通過原始變量以及估計(jì)參數(shù)算出。在用同期信息對(duì)yt值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，這些殘差是可以觀測(cè)出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。

42含有AR項(xiàng)模型的估計(jì)輸出當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有AR項(xiàng)的模型

第二種殘差是估計(jì)的一期向前預(yù)測(cè)誤差。如名所示，這種殘差代表預(yù)測(cè)誤差。對(duì)于含有AR項(xiàng)的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量，如R2(回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差)和D-W值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的。含有AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的AR系數(shù)。43第二種殘差是估計(jì)的一期向前預(yù)測(cè)誤差。如名所示

對(duì)于簡(jiǎn)單AR(1)模型，是無條件殘差?t的序列相關(guān)系數(shù)。對(duì)于平穩(wěn)AR(1)模型，1在-1（極端負(fù)序列相關(guān)）和+1（極端正序列相關(guān)）之間。一般AR(p)平穩(wěn)條件是：滯后算子的特征多項(xiàng)式的根全部落在單位圓之外，即根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。EViews在回歸輸出的底部給出這些根：InvertedARRoots。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于1。

44對(duì)于簡(jiǎn)單AR(1)模型，是無條件殘差?

另外：EViews可以估計(jì)帶有AR誤差項(xiàng)的非線性回歸模型。

例如：將例5.4中的模型變?yōu)槿缦碌姆蔷€性模型，估計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng)AR(3)的非線性方程：

用公式法輸入：

cs=c(1)+gdp^c(2)+c(3)*cs(-1)+[ar(1)=c(4),ar(2)=c(5),ar(3)=c(6)]45另外：EViews可以估計(jì)帶有AR誤差項(xiàng)的非

輸出結(jié)果顯示為：46輸出結(jié)果顯示為：46§5.2平穩(wěn)時(shí)間序列建模

本節(jié)將不再僅僅以一個(gè)回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)序列為研究對(duì)象，而是直接討論一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問題。在現(xiàn)實(shí)中很多問題，如利率波動(dòng)、收益率變化及匯率變化等通常是一個(gè)平穩(wěn)序列，或者通過差分等變換可以化成一個(gè)平穩(wěn)序列。本節(jié)中介紹的ARMA模型(autoregressivemovingaveragemodels)可以用來研究這些經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律，這樣的一種建模方式屬于時(shí)間序列分析的研究范疇。47§5.2平穩(wěn)時(shí)間序列建模本節(jié)將不

經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列不同于橫截面數(shù)據(jù)存在重復(fù)抽樣的情況，它是一個(gè)隨機(jī)事件的惟一記錄，如中國(guó)1980年～2004年的進(jìn)出口總額是惟一的實(shí)際發(fā)生的歷史記錄。從經(jīng)濟(jì)的角度看，這個(gè)過程是不可重復(fù)的。橫截面數(shù)據(jù)中的隨機(jī)變量可以非常方便地通過其均值、方差或生成數(shù)據(jù)的概率分布加以描述，但是在時(shí)間序列中這種描述很不清楚。因此，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列需要對(duì)均值和方差給出明晰的定義。為了敘述方便，本節(jié)中的{ut}代表平穩(wěn)時(shí)間序列，而不是殘差序列。§5.2.1平穩(wěn)時(shí)間序列的概念48經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列不同于橫截面數(shù)據(jù)存在重復(fù)抽樣的情況，它是

如果隨機(jī)過程的均值和方差、自協(xié)方差都不取決于t，則稱{ut}是協(xié)方差平穩(wěn)的或弱平穩(wěn)的：注意，如果一個(gè)隨機(jī)過程是弱平穩(wěn)的，則ut與ut-s之間的協(xié)方差僅取決于s，即僅與觀測(cè)值之間的間隔長(zhǎng)度s有關(guān)，而與時(shí)期t無關(guān)。一般所說的“平穩(wěn)性”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。

對(duì)所有的

t

對(duì)所有的

t

對(duì)所有的

t和

s

(5.2.1)(5.2.2)(5.2.3)49注意，如果一個(gè)隨機(jī)過程是弱平穩(wěn)的，則ut§5.2.2ARMA模型

1.自回歸模型AR(p)

p階自回歸模型記作AR(p)，滿足下面的方程：(5.2.4)其中：參數(shù)c為常數(shù)；1,

2,…,p是自回歸模型系數(shù)；p為自回歸模型階數(shù)；t是均值為0，方差為

2的白噪聲序列。50§5.2.2ARMA模型1.自回

2.移動(dòng)平均模型MA(q)

q階移動(dòng)平均模型記作MA(q)，滿足下面的方程：(5.2.5)其中：參數(shù)為常數(shù)；參數(shù)1,2,…,q是q階移動(dòng)平均模型的系數(shù)；t是均值為0，方差為

2的白噪聲序列。512.移動(dòng)平均模型MA(q)51

3.ARMA(p,q)模型

(5.2.6)顯然此模型是模型(5.2.4)與(5.2.5)的組合形式，稱為混合模型，常記作ARMA(p,q)。當(dāng)p=0時(shí)，ARMA(0,q)=MA(q)當(dāng)q=0時(shí)，ARMA(p,0)=AR(p)523.ARMA(p,q)模型52§5.2.3ARMA模型的平穩(wěn)性

1.AR(p)模型的平穩(wěn)性條件

為了理解AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)模型的理論結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)單的算子理論是必不可少的。對(duì)于AR(p)模型(5.2.7)

設(shè)L為滯后算子，則有Lutut-1,Lputut-p，特別地，

L0utut。則式（5.2.7）可以改寫為：

(5.2.8)53§5.2.3ARMA模型的平穩(wěn)性1.若設(shè)(L)1-

1L-

2L2-

…-

p

Lp

，令(5.2.9)則(z)是一個(gè)關(guān)于z的p次多項(xiàng)式，AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是(z)的根全部落在單位圓之外。式(5.2.7)可以改寫為滯后算子多項(xiàng)式的形式

可以證明如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則式(5.2.10)可以表示為MA()的形式，從而可以推導(dǎo)出來任何一個(gè)AR(p)模型均可以表示為白噪聲序列的線性組合。

(5.2.10)54若設(shè)(L)1-1L-2L2-…-

2．MA(q)模型的可逆性

考察MA(q)模型若的根全部落在單位圓之外，則式(5.2.16)的MA算子稱為可逆的。盡管不可逆時(shí)也可以表征任何給定的數(shù)據(jù)，但是一些參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)算法只有在使用可逆表示時(shí)才有效。(5.2.16)552．MA(q)模型的可逆性(5.2.16

3．ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性條件

ARMA(p,q)模型包括了一個(gè)自回歸模型AR(p)和一個(gè)移動(dòng)平均模型MA(q)或者以滯后算子多項(xiàng)式的形式表示

(5.2.19)(5.2.20)563．ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性條件(若令則ARMA(p,q)模型(5.2.19)平穩(wěn)的充要條件是(z)的根全部落在單位圓之外。(5.2.21)

ARMA模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線性組合，近似逼近一個(gè)平穩(wěn)序列?？梢钥闯鯝RMA模型的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)(1,

2,…,p

)，而與移動(dòng)平均模型參數(shù)(1,2,…,q

)無關(guān)。

57若令(5.2.21)ARMA模型構(gòu)造了一種

ARMA(p,q)模型中AR和MA部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞ar和ma定義。在上面AR定義中，我們已見過這種方法的例子，這對(duì)MA也同樣適用。

例如，估計(jì)因變量為L(zhǎng)S的一個(gè)2階自回歸和1階動(dòng)平均過程ARMA(2,1)，應(yīng)將AR(1),MA(1),AR(2)包含在回歸因子列表中：

LScar(1)ar(2)ma(1)如果采用公式法輸入方程，要將AR項(xiàng)系數(shù)明確列出，形式為：

LS=c(1)+[ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)]。

含有MA項(xiàng)只能用列表法。

§5.5.3ARMA(p,q)模型的估計(jì)

1.ARMA(p,q)模型的輸入形式

58ARMA(p,q)模型中AR和MA部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞例5.5利用AR(1)模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律

本例取我國(guó)上證收盤指數(shù)（時(shí)間期間：1991年1月～2007年8月）的月度時(shí)間序列S作為研究對(duì)象，用AR(1)模型描述其變化規(guī)律。首先對(duì)其做變化率，srt=100×(St-St-1)/St-1（t

=

1,2,,T）這樣便得到了變化率序列。一般來講，股價(jià)指數(shù)序列并不是一個(gè)平穩(wěn)的序列，而通過變換后的變化率數(shù)據(jù)，是一個(gè)平穩(wěn)序列，可以作為我們研究、建模的對(duì)象。記上證股價(jià)指數(shù)變化率序列為sr。59例5.5利用AR(1)模型描述上證指數(shù)的變化規(guī)律建立如下模型：

t

=

1,2,,T

估計(jì)輸出結(jié)果顯示為：

60建立如下模型：60如果建立如下模型：t

=

1,2,,T

估計(jì)輸出結(jié)果顯示為：

注意到兩種方法計(jì)算的常數(shù)項(xiàng)不同，差在上。61如果建立如下模型：注意到兩種方法計(jì)算的常數(shù)項(xiàng)不圖5.2藍(lán)線是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列sr，紅線是AR(1)模型的擬合值

從圖5.2可以看出我國(guó)上證股價(jià)指數(shù)變化率序列在1991年～1994年之間變化很大，而后逐漸變小，基本在3%上下波動(dòng)。近年來波動(dòng)平緩，并且大多在3%下面波動(dòng)。擬合曲線基本代表了這一時(shí)期的均值。62圖5.2藍(lán)線是上證股價(jià)指數(shù)變化率序列sr，紅線是AR(1)對(duì)例5.5中我國(guó)上證收盤指數(shù)（時(shí)間期間：1991年1月～2007年8月）的月度時(shí)間序列S的對(duì)數(shù)差分變換LS=dlog(S)，即股票收益率用ARMA(1,1)模型來估計(jì)，來說明EViews是如何估計(jì)一個(gè)ARMA(p，q)模型的。

建立方程，輸入LScar(1)ma(1)63對(duì)例5.5中我國(guó)上證收盤指數(shù)（時(shí)間期間：199估計(jì)輸出顯示：64估計(jì)輸出顯示：64估計(jì)方程可寫為：t=(1.87)t=(-0.43)（0.35）R2=0.00476D.W.=1.98也可寫為：65估計(jì)方程可寫為：652.ARMA(p,q)模型的輸出形式

一個(gè)含有AR項(xiàng)的模型有兩種殘差：第一種是無條件殘差，第二種殘差是估計(jì)的一期向前預(yù)測(cè)誤差。如名所示，這種殘差代表預(yù)測(cè)誤差。實(shí)際上，通過利用滯后殘差的預(yù)測(cè)能力，改善了無條件預(yù)測(cè)和殘差。對(duì)于含有ARMA項(xiàng)的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量，如R2和D.W.值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)計(jì)算的。含有AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的AR系數(shù)。對(duì)于簡(jiǎn)單AR(1)模型，1是無條件殘差的一階序列相關(guān)系數(shù)。在輸出表中1用AR(1)表示，MA(1)模型的系數(shù)1用MA(1)表示。對(duì)于平穩(wěn)AR(1)模型，1在-1和+1之間。一般AR(p)模型平穩(wěn)條件是：滯后算子多項(xiàng)式的根的倒數(shù)在單位圓內(nèi)。

662.ARMA(p,q)模型的輸出形式含有AR或MA項(xiàng)的模型的估計(jì)輸出和OLS模型一樣，只是在回歸輸出的底部增加了一個(gè)AR，MA多項(xiàng)式的根的倒數(shù)（invertedARroots或invertedMAroots）。我們利用滯后算子多項(xiàng)式寫一般的ARMA模型：如果AR模型滯后多項(xiàng)式有實(shí)根或一對(duì)復(fù)根的倒數(shù)在單位圓外（即絕對(duì)值大于1，或模大于1），這意味著自回歸過程是發(fā)散的。如果MA模型滯后多項(xiàng)式的根的倒數(shù)有在單位圓外的，說明MA過程是不可逆的，應(yīng)使用不同的初值重新估計(jì)模型，直到得到滿足可逆性的動(dòng)平均。

67含有AR或MA項(xiàng)的模型的估計(jì)輸出和OLS模型4.ARMA(p,q)模型的估計(jì)選擇

EViews估計(jì)AR模型采用非線性回歸方法，對(duì)于MA模型采取回推技術(shù)(BoxandJenkins,1976)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于：易被理解，應(yīng)用廣泛，易被擴(kuò)展為非線性定義的模型。注意：非線性最小二乘估計(jì)漸進(jìn)等于極大似然估計(jì)且漸進(jìn)有效。非線性估計(jì)方法對(duì)所有系數(shù)估計(jì)都要求初值。EViews自行確定初值。有時(shí)當(dāng)?shù)_(dá)到最大值時(shí)，方程終止迭代，盡管還未達(dá)到收斂。從前一步初值重新開始，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試試不同的初值來保證估計(jì)是全部而不是局部平方誤差最小，可以通過提供初值加速估計(jì)過程。684.ARMA(p,q)模型的估計(jì)選擇為控制ARMA估計(jì)初值，在方程定義對(duì)話框單擊Options。在EViews提供的選項(xiàng)中，ARMAOptions有幾項(xiàng)設(shè)置初值的選擇。EViews缺省方法是OLS/TSLS，這種方法先進(jìn)行沒有ARMA項(xiàng)的預(yù)備估計(jì)，再?gòu)倪@些值開始非線性估計(jì)。另一選擇是使用OLS或TSLS系數(shù)的一部分作為初值?？梢赃x擇0.3、0.5、0.8或者可以將所有初值設(shè)為零。用戶確定初值選項(xiàng)是UserSupplied。在這個(gè)選項(xiàng)下，EViews使用系數(shù)向量C中的值。為設(shè)置初值，雙擊圖標(biāo)，打開系數(shù)向量C窗口，進(jìn)行編輯。

69為控制ARMA估計(jì)初值，在方程定義對(duì)話框單擊O為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值，需對(duì)EViews如何為ARMA設(shè)置系數(shù)多些了解。系數(shù)向量C按下列規(guī)則為變量安排系數(shù)：（1）變量系數(shù)，以輸入為序；（2）定義的AR項(xiàng)，以輸入為序；（3）SAR，MA，SMA系數(shù)（按階數(shù)）。這樣，下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù)：YcXma(2)ma(1)sma(4)ar(1)Ysma(4)car(1)ma(2)Xma(1)70為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值，需對(duì)EViews如何為AR§5.2.4ARMA模型的識(shí)別

1．利用自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)識(shí)別ARMA(p,q)模型在實(shí)際研究中，通常的做法是根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的樣本特征，來推斷經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的總體（真實(shí)）特征。在實(shí)際研究中，所能獲得的只是經(jīng)濟(jì)指標(biāo)時(shí)間序列ut的數(shù)據(jù)，根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的樣本特征，來推斷其總體（真實(shí)）特征。下面介紹利用ut的自相關(guān)系數(shù)(AC)和偏自相關(guān)系數(shù)(PAC)這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量去識(shí)別ARMA(p,q)模型。71§5.2.4ARMA模型的識(shí)別1．利用通常的，AR(p)模型的自相關(guān)系數(shù)是隨著滯后階數(shù)k的增加而呈現(xiàn)指數(shù)衰減或者震蕩式的衰減，具體的衰減形式取決于AR(p)模型滯后項(xiàng)的系數(shù)。因此，可以通過自相關(guān)系數(shù)來獲得一些有關(guān)AR(p)模型的信息，如低階AR(p)模型系數(shù)符號(hào)的信息。如果r1

0，意味著序列ut是一階自相關(guān)。如果rk隨著滯后階數(shù)k的增加而呈幾何級(jí)數(shù)減小，表明序列

ut服從低階自回歸過程。如果rk在小的滯后階數(shù)下趨于零，表明序列

ut服從低階移動(dòng)平均過程72通常的，AR(p)模型的自相關(guān)系數(shù)是隨著如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于k階的自相關(guān)表示，那么偏相關(guān)在k期滯后下的值趨于零。一個(gè)純的p階自回歸過程AR(p)的偏相關(guān)系數(shù)在p階截尾，而純的動(dòng)平均函數(shù)的偏相關(guān)過程漸進(jìn)趨于零。因此，如果我們能求出關(guān)于k,k的估計(jì)值，并檢驗(yàn)其顯著性水平，就能夠確定時(shí)間序列ut

的自相關(guān)的階數(shù)。73如果這種自相關(guān)的形式可由滯后小于k階的自相關(guān)其中：t是均值為0，方差為

2的白噪聲序列，ut的均值為，則自協(xié)方差k計(jì)算可得(5.2.27)(5.2.28)

2.MA模型的識(shí)別

MA(q)模型(5.2.26)74其中：t是均值為0，方差為2的白噪聲序列，ut的均值為進(jìn)而得到

(5.2.29)

上式表明對(duì)MA(q)模型，當(dāng)k>q時(shí)，rk=0。ut與ut+k不相關(guān)，這種性質(zhì)通常稱為截尾。即MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)在q步以后是截尾的。75進(jìn)而得到(5.2.29)上式表明對(duì)MA(q

MA(q)的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著q的增加變得越來越復(fù)雜，很難給出一個(gè)關(guān)于q的一般表達(dá)式，但是，一個(gè)MA(q)模型對(duì)應(yīng)于一個(gè)AR(∞)模型。因此，MA(q)模型的偏自相關(guān)系數(shù)一定呈現(xiàn)出某種衰減的形式是拖尾的。故可以通過識(shí)別一個(gè)序列的偏自相關(guān)系數(shù)的拖尾形式，大致確定它應(yīng)該服從一個(gè)MA(q)過程。76MA(q)的偏自相關(guān)系數(shù)的具體形式隨著q3.AR模型的識(shí)別

可以不加證明的給出AR(p)過程的自相關(guān)系數(shù)

(5.2.34)其中1,2,…,p

是AR(p)模型的特征多項(xiàng)式(5.2.35)的p個(gè)特征根，g1,g2,…,gp為任意給定的p個(gè)常數(shù)。773.AR模型的識(shí)別(5.2.34)其中1,由此可知，AR(p)模型的自相關(guān)系數(shù)會(huì)由于g1,g2,…,gp及k取值的不同，呈現(xiàn)出不同的衰減形式，可能是指數(shù)式的衰減，也可能是符號(hào)交替的震蕩式的衰減。例如，對(duì)于AR(1)模型，其自相關(guān)系數(shù)為rk1k，當(dāng)1>0時(shí)，rk呈指數(shù)式的衰減；當(dāng)1<0時(shí)，rk呈震蕩式的衰減。

因此，可以通過自相關(guān)系數(shù)來獲得一些有關(guān)AR(p)

模型的信息，如低階AR(p)模型系數(shù)符號(hào)的信息。但是，對(duì)于自回歸過程AR(p)，自相關(guān)系數(shù)并不能幫助我們確定AR(p)模型的階數(shù)p。所以，可以考慮使用偏自相關(guān)系數(shù)k,k，以便更加全面的描述自相關(guān)過程AR(p)的統(tǒng)計(jì)特征。78由此可知，AR(p)模型的自相關(guān)系數(shù)會(huì)由于

這里我們通過簡(jiǎn)單的證明給出AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)。對(duì)于一個(gè)AR(p)模型，(5.2.36)將式（5.2.36）兩邊同時(shí)乘以u(píng)t-k(k=1,2,…,p)，再對(duì)方程兩邊取期望值并除以序列ut的方差得到如下關(guān)于系數(shù)1,2,…,p的線性方程組：(5.2.37)79這里我們通過簡(jiǎn)單的證明給出AR(p)模型的偏其中：r1,r2,…,rp分別為序列ut的1,2,…,p階自相關(guān)系數(shù)。對(duì)于形如(5.2.37)的p(p=1,2,…,k,…)階方程組求解，每個(gè)方程組的最后一個(gè)解就是相應(yīng)的偏自相關(guān)系數(shù)1,1,2,2,…,k,k…

。且對(duì)于一個(gè)AR(p)模型，k,k的最高階數(shù)為p，也即AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)是p階截尾的。因此，可以通過識(shí)別AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)的個(gè)數(shù)，來確定AR(p)模型的階數(shù)p，進(jìn)而設(shè)定正確的模型形式，并通過具體的估計(jì)方法估計(jì)出AR(p)模型的參數(shù)。80其中：r1,r2,…,rp分別為序4.模型的識(shí)別與建立

我們引入了自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量來識(shí)別ARMA(p,q)模型的系數(shù)特點(diǎn)和模型的階數(shù)。但是，在實(shí)際操作中，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)是通過要識(shí)別序列的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)出來的，并且隨著抽樣的不同而不同，其估計(jì)值只能同理論上的大致趨勢(shì)保持一致，并不能精確的相同。因此，在實(shí)際的模型識(shí)別中，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)只能作為模型識(shí)別過程中的一個(gè)參考，并不能通過它們準(zhǔn)確的識(shí)別模型的具體形式。具體的模型形式，還要通過自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)給出的信息，經(jīng)過反復(fù)的試驗(yàn)及檢驗(yàn)，最終挑選出各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)均符合要求的模型形式。814.模型的識(shí)別與建立81

例5.6利用消費(fèi)價(jià)格指數(shù)研究模型識(shí)別和建模本例將用ARMA模型模擬我國(guó)1983年1月～2007年8月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)CPI（上年同月=100）的變化規(guī)律。實(shí)際上用后面學(xué)到的單位根檢驗(yàn)可知CPI序列是一個(gè)非平穩(wěn)的序列，但是它的一階差分序列CPI是平穩(wěn)的。首先觀察CPI序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的圖形:圖5.6CPI序列的相關(guān)圖82例5.6利用消費(fèi)價(jià)格指數(shù)研究模型從圖5.6可以看出CPI序列的自相關(guān)系數(shù)是拖尾的，偏自相關(guān)系數(shù)在2階截尾。由前面的知識(shí)可以判斷CPI序列基本滿足AR(2)過程。建模得到t=(7.25)(3.29)R2=0.286D.W.=2.03圖5.7左邊是CPI序列的實(shí)際值和擬合值，右邊是殘差序列83從圖5.6可以看出CPI序列的自相關(guān)系數(shù)是由圖5.7可以觀察到AR(2)模型比較好的擬合了CPI序列，回歸方程的殘差序列基本上也是一個(gè)零均值的平穩(wěn)序列。從圖5.8的回歸方程的殘差序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看到不存在序列相關(guān)。因此，在實(shí)際建模中，可以借助ARMA(p,q)模型去擬合一些具有平穩(wěn)性的經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)律。圖5.8CPI序列方程殘差序列的相關(guān)圖84由圖5.7可以觀察到AR(2)模型比較好的

前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三個(gè)模型只適用于刻畫一個(gè)平穩(wěn)序列的自相關(guān)性。一個(gè)平穩(wěn)序列的數(shù)字特征，如均值、方差和協(xié)方差等是不隨時(shí)間的變化而變化的，時(shí)間序列在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)性服從一定的概率分布。也就是說，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列可以通過過去時(shí)間點(diǎn)上的信息，建立模型擬合過去信息，進(jìn)而預(yù)測(cè)未來的信息。

§5.3非平穩(wěn)時(shí)間序列建模

85前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q

然而，對(duì)于一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列而言，時(shí)間序列的某些數(shù)字特征是隨著時(shí)間的變化而變化的。

非平穩(wěn)時(shí)間序列在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)規(guī)律是不同的，難以通過序列已知的信息去掌握時(shí)間序列整體上的隨機(jī)性。但在實(shí)踐中遇到的經(jīng)濟(jì)和金融數(shù)據(jù)大多是非平穩(wěn)的時(shí)間序列。8686圖5.9中國(guó)1978年～2006年的生產(chǎn)法GDP序列87圖5.9中國(guó)1978年～2006年的生產(chǎn)法GDP序列8

1.確定性時(shí)間趨勢(shì)

描述類似圖5.9形式的非平穩(wěn)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列有兩種方法，一種方法是包含一個(gè)確定性時(shí)間趨勢(shì)

(5.3.1)

其中ut是平穩(wěn)序列；a+t是線性趨勢(shì)函數(shù)。這種過程也稱為趨勢(shì)平穩(wěn)的，因?yàn)槿绻麖氖?5.3.1)中減去a+t，結(jié)果是一個(gè)平穩(wěn)過程。注意到像圖5.9一類的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列常呈指數(shù)趨勢(shì)增長(zhǎng)，但是指數(shù)趨勢(shì)取對(duì)數(shù)就可以轉(zhuǎn)換為線性趨勢(shì)。

§5.3.1非平穩(wěn)序列和單整881.確定性時(shí)間趨勢(shì)§5.3.1非平穩(wěn)序列一般時(shí)間序列可能存在一個(gè)非線性函數(shù)形式的確定性時(shí)間趨勢(shì)，例如可能存在多項(xiàng)式趨勢(shì)：

(5.3.2)

t=1,2,,T同樣可以除去這種確定性趨勢(shì)，然后分析和預(yù)測(cè)去勢(shì)后的時(shí)間序列。對(duì)于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)而言，能準(zhǔn)確地給出確定性時(shí)間趨勢(shì)的形式很重要。如果yt能夠通過去勢(shì)方法排除確定性趨勢(shì)，轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，稱為退勢(shì)平穩(wěn)過程。89一般時(shí)間序列可能存在一個(gè)非線性函數(shù)形式的確定2.差分平穩(wěn)過程非平穩(wěn)序列中有一類序列可以通過差分運(yùn)算，得到具有平穩(wěn)性的序列，考慮下式

(5.3.3)也可寫成(5.3.4)

其中a是常數(shù)，ut是平穩(wěn)序列，若ut

～i.i.d.N(0,

2)，且ut是一個(gè)白噪聲序列。若令a=0，y0=0，則由式(5.3.2)生成的序列yt，有var(yt)=t

2（t

=

1,2,,T），顯然違背了時(shí)間序列平穩(wěn)性的假設(shè)。而式(5.3.3)的差分序列是含位移a的隨機(jī)游走，說明yt的差分序列yt是平穩(wěn)序列。902.差分平穩(wěn)過程其中

實(shí)際上，在5.1節(jié)中討論的回歸方程的序列自相關(guān)問題暗含著殘差序列是一個(gè)平穩(wěn)序列。這是因?yàn)?，如果殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列，則說明因變量除了能被解釋變量解釋的部分以外，其余的部分變化仍然不規(guī)則，隨著時(shí)間的變化有越來越大的偏離因變量均值的趨勢(shì)，這樣的模型是不能夠用來預(yù)測(cè)未來信息的。91實(shí)際上，在5.1節(jié)中討論的回歸方程的

殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列的回歸被稱為偽回歸，這樣的一種回歸有可能擬合優(yōu)度、顯著性水平等指標(biāo)都很好，但是由于殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列，說明了這種回歸關(guān)系不能夠真實(shí)的反映因變量和解釋變量之間存在的均衡關(guān)系，而僅僅是一種數(shù)字上的巧合而已。偽回歸的出現(xiàn)說明模型的設(shè)定出現(xiàn)了問題，有可能需要增加解釋變量或者減少解釋變量，抑或是把原方程進(jìn)行差分，以使殘差序列達(dá)到平穩(wěn)。一個(gè)可行的辦法是先把一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過某種變換化成一個(gè)平穩(wěn)序列，根據(jù)5.2節(jié)中的方法建模，并利用變量之間的相關(guān)信息，描述經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的變化規(guī)律。92殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列的回歸被

3.單整

像前述yt這種非平穩(wěn)序列，可以通過差分運(yùn)算，得到平穩(wěn)性的序列稱為單整(integration)序列。定義如下：

定義：如果序列yt，通過d次差分成為一個(gè)平穩(wěn)序列，而這個(gè)序列差分d–1次時(shí)卻不平穩(wěn)，那么稱序列yt為d階單整序列，記為yt～I(xiàn)(d)。特別地，如果序列yt本身是平穩(wěn)的，則為零階單整序列，記為yt～I(xiàn)(0)。933.單整93

單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的次數(shù)。對(duì)于上面的隨機(jī)游走過程，有一個(gè)單位根，所以是I(1)，同樣，平穩(wěn)序列是I(0)。一般而言，表示存量的數(shù)據(jù)，如以不變價(jià)格資產(chǎn)總值、儲(chǔ)蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為2階單整I(2)；以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為1階單整I(1)；而像利率、收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為0階單整I(0)。94單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的次數(shù)。對(duì)于上面的隨機(jī)

§5.3.2

非平穩(wěn)序列的單位根檢驗(yàn)

檢查序列平穩(wěn)性的標(biāo)準(zhǔn)方法是單位根檢驗(yàn)。有6種單位根檢驗(yàn)方法：ADF檢驗(yàn)、DFGLS檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)、KPSS檢驗(yàn)、ERS檢驗(yàn)和NP檢驗(yàn)，本節(jié)將介紹DF檢驗(yàn)、ADF檢驗(yàn)。

ADF檢驗(yàn)和PP檢驗(yàn)方法出現(xiàn)的比較早，在實(shí)際應(yīng)用中較為常見，但是，由于這2種方法均需要對(duì)被檢驗(yàn)序列作可能包含常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)變量項(xiàng)的假設(shè)，因此，應(yīng)用起來帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前2種方法帶來的不便，在剔除原序列趨勢(shì)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列是否存在單位根，應(yīng)用起來較為方便。

95§5.3.2非平穩(wěn)序列

其中a是常數(shù)，t是線性趨勢(shì)函數(shù)，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF檢驗(yàn)

為說明DF檢驗(yàn)的使用，先考慮3種形式的回歸模型

96其中a是常數(shù)，t是線性趨勢(shì)函數(shù)，ut～

(1)如果-1<

<1，則yt平穩(wěn)（或趨勢(shì)平穩(wěn)）。(2)如果=1，yt序列是非平穩(wěn)序列。(5.3.4)式可寫成：顯然yt的差分序列是平穩(wěn)的。(3)如果

的絕對(duì)值大于1，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。97(1)如果-1<<1，則

因此，判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗(yàn)

是否嚴(yán)格小于1來實(shí)現(xiàn)。也就是說：

原假設(shè)H0：

=1，備選假設(shè)H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

從方程兩邊同時(shí)減去yt-1得，其中：

=

-1。98因此，判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗(yàn)是

其中：

=

-1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為

可以通過最小二乘法得到的估計(jì)值，并對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法，構(gòu)造檢驗(yàn)顯著性的t統(tǒng)計(jì)量。但是，Dickey-Fuller研究了這個(gè)t統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從t分布，它依賴于回歸的形式(是否引進(jìn)了常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng))和樣本長(zhǎng)度T

。99其中：=-1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為99Mackinnon進(jìn)行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平