2.2.速率方程組與粒子數反轉回顧——實現(xiàn)粒子數反轉的兩個必要條件:①工作物質粒子有適當的能級結構②有合適的激勵能源前瞻——分析方法:速率方程方法以及速率方程的求解步驟速率方程方法:分析粒子系統(tǒng)能否實現(xiàn)反轉的一種方法

速率方程:描述各能級粒子數(密度)變化速率的方程組

速率方程的求解步驟:(1)列出速率方程:(i=1,2,...n)n是粒子參予光和物質相互作用的能級總數。若粒子有n個能級,則可列出n個方程,其中(n-1)個獨立。(!可實現(xiàn)粒子數反轉的幾種量子系統(tǒng))速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!(2)求出速率方程的穩(wěn)定解(數學解):求出穩(wěn)態(tài)下()各能級的粒子數,或比值

其中nj----激光上能級粒子數

ni

----激光下能級粒子數穩(wěn)態(tài)----達到動態(tài)平衡時;穩(wěn)態(tài)下各能級粒子數密度不再變化(即)。

（3）確定粒子數反轉(即）的物理條件(物理解)速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!2.2.1三能級系統(tǒng)和四能級系統(tǒng)一.二能級系統(tǒng)*(光與粒子相互作用過程只涉及二個能級)1.能級圖

約定:實線箭頭代表輻射躍遷;虛線箭頭代表非輻射躍遷。其中：W12——受激吸收幾率(激勵幾率)

W21——受激發(fā)射幾率

A21——自發(fā)發(fā)射幾率

ω21——非輻射躍遷幾率(熱弛豫等,熱弛豫即熱運動碰撞交換能量)（雙下標代表過程的量）

速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!2.速率方程:二能級系統(tǒng)只有1個獨立的速率方程方程中的每一項:某一過程的幾率與該過程始態(tài)能級上的粒子數之積=該過程導致的粒子數變化率(!)

能級E2上粒子數密度的變化率為：項——受激吸收引起的n2的增加率,取正號(過程幾率與過程始態(tài)上粒子數的乘積);第二項——受激發(fā)射引起的n2的減少率,取負號;第三項——自發(fā)發(fā)射引起的n2的減少率,取負號;第四項——非輻射躍遷引起的n2的減少率,取負號。速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!二.實現(xiàn)上下能級之間粒子數反轉產生激光的物理過程：1.

三能級系統(tǒng)圖:其中

E1——基態(tài)能級,又是激光下能級,也是抽運能級。

E2——激光上能級,是亞穩(wěn)能級(ω21小)。

E3——抽運能級,非輻射躍遷幾率大(ω32大(!))其主要特征是激光的下能級為基態(tài)，極易積累粒子(幾乎聚集了所有粒子),發(fā)光過程中下能級的粒子數一直保存有相當的數量,對抽運的要求很高。所以不易實現(xiàn)粒子數反轉若激光下能級不是基態(tài),則反轉條件較易實現(xiàn)----這正是要討論的四能級系統(tǒng)的優(yōu)點速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!

3.激光下能級粒子數與基態(tài)粒子數的比較:

實例:(三價釹離子),而常溫下(T=300K)∵∴即速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!

(2).穩(wěn)定解(數學解):故由（1)有代入（2）有∵

∴(1)(2)

當激光器工作達到穩(wěn)定時,抽運和躍遷達到動平衡，各能級上粒子數密度并不隨時間而改變，即：(3)速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!2.四能級系統(tǒng)(1)能級圖

(2)用以上方法可得其數學解:(4)∵四能級系統(tǒng)中

(3)物理條件:比較(4)式與三能級系統(tǒng)的(3)即可見:四能級系統(tǒng)要實現(xiàn)粒子數反轉,所需激勵速率遠小于三能級系統(tǒng)的;所需抽運強度遠低于三能級。因此，四能級系統(tǒng)的閾值抽運強度比三能級系統(tǒng)小，有時甚至可以小3～4個數量級。產生激光要比三能級系統(tǒng)容易得多。速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!(2)E1能級在單位時間內增加的粒子數密度為：圖(2-5)）簡化的四能級圖式中各項的物理過程及物理意義如同以上所述.總的粒子數為各能級粒子數之和速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!2.2.3穩(wěn)態(tài)工作時的粒子數密度反轉分布一.

當激光器工作達到穩(wěn)定時,抽運和躍遷達到動態(tài)平衡，各能級上粒子數密度并不隨時間而改變，即：假設能級E2、E1的簡并度相等，即g1=g2，因此有B12=B21，又認為E2能級向E1能級的自發(fā)躍遷幾率遠大于E2能級向基態(tài)E0的自發(fā)躍遷幾率，即A2=A21

則有：將上兩式相加可得：速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!2.2.4小信號工作時的粒子數密度反轉分布

由式可得：一.小信號粒子數密度反轉分布它是當分母中的第二項為零時的粒子數密度反轉分布值。而分母中的第二項一定是個正值，因此它又是粒子數密度反轉分布值可能達到的最大值。顯然只有在諧振腔中傳播的單色光能密度可能趨近于零(ρ0即I0)，換句話說，參數對應著諧振腔的單色光能密度為零或者近似為零時的粒子數密度反轉分布的大小。參數對應著激光諧振腔尚未發(fā)出激光時的狀態(tài)(入射光不含

)，通常把這個狀態(tài)叫作小信號工作狀態(tài)，而參數就被稱作是小信號工作時的粒子數密度反轉分布。Δn0稱作小信號反轉集居數密度,它正比于受激輻射上能級壽命τ2及激發(fā)幾率R2.速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!2.2.5均勻增寬型介質的粒子數密度反轉分布

由式可知激光工作物質的光譜線型函數對激光器的工作有很大的影響.具有均勻加寬譜線和具有非均勻加寬譜線的工作物質的反轉密度行為有很大差別,由它們所構成的激光器的工作特性也有很大不同,因此將分別予以討論。一.對于均勻增寬的介質如果介質中傳播的光波頻率為，則有：飽和光強速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!這就是均勻增寬型介質E2、E1能級之間粒子數反轉分布的表達式。它給出能級間粒子數反轉分布值與腔內光強、光波的中心頻率、介質的飽和光強、激勵能源的抽運速率以及介質能級的壽命等參量的關系。(2-10)均勻增寬情形:只要入射光頻率在譜線線寬范圍內,所有粒子都參加受激發(fā)射/吸收;速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!

飽和原因:入射光引起強烈的受激發(fā)射使激光上能級粒子數減少。二.△n與入射光頻率v的關系:討論①時:

(入射光頻率等于譜線中心頻率)可見:

I一定時,對不同入射光頻率v,△n不同.只要,必有有飽和效應;若,,飽和效應顯著。

0IsIv這是由于中心頻率處受激輻射幾率最大，所以入射光造成的反轉集居數下降越嚴重。速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!(3).為了更具體地說明頻率對n的影響，令腔中光強都等于Is，根據上式算出幾個頻率下的n值。如下表所示。隨著頻率對中心頻率的偏離，光波對粒子數密度反轉分布值的影響逐漸減小。

頻率

確定對介質有影響的光波的頻率范圍，通常采用與線型函數的線寬同樣的定義方法：頻率為0、強度為Is的光波使n0減少了n02，這里把使n0減少(n02)/2的光波頻率與0之間的間隔，定義為能使介質產生飽和作用的頻率范圍，通常認為頻率在此范圍內的人射光才會引起顯著的飽和作用。速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!若設

g1=g2,則

W12=W21=W,速率方程變?yōu)?/p>

3.穩(wěn)定解(數學解):穩(wěn)態(tài)下,故

可見:對二能級系統(tǒng),一般總有;僅當激勵速率很大時(),

4.結論(物理解):在光頻區(qū),二能級系統(tǒng)不可能實現(xiàn)粒子數

反轉速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!由圖可見:四能級系統(tǒng)要實現(xiàn)粒子數反轉,只要求n2＞n1而不必令n2＞n0,而n0則是極易積累的基態(tài)粒子數。E0:基能級/光抽運能級E1:不是基態(tài)能級，而是一個激發(fā)態(tài)能,是激光下能級,

τ10小而ω10大(迅速弛豫到E0,抽空E1,減少n1)在常溫下基本上是空的。E2:激光上能級/亞穩(wěn)能級(易積累n2)E3:光抽運能級,

τ32小而ω32

大(迅速弛豫到E2)

2.

四能級系統(tǒng)圖:速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!2.2.2速率方程組一.未考慮譜線增寬時的情況1.三能級系統(tǒng)

約定:實線箭頭代表輻射躍遷;

虛線箭頭代表非輻射躍遷。

(1).速率方程:3個能級應有2個獨立方程

∵

但故且∴而∵∴三能級系統(tǒng)激光工作物質的典型例子是紅寶石晶體。紅寶石在室溫下的一些躍遷幾率數據為:ω32≈0.5×107s-l

A31≈3×105s-1,A21≈0.3×103s-1,ω21,ω31≈0.速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!當(如紅寶石),則,得,于是(3)要實現(xiàn)粒子數反轉即,應該滿足

(4).物理解:三能級系統(tǒng)粒子數反轉(即）的物理條件是：必須使從基態(tài)E1到E3的抽運速率W13大于從

E2到E1的自發(fā)發(fā)射幾率A21.即W13＞A21

A31

W31

W13

ω31

ω32

W21

W12

A21

ω21

E3

E1

E2

這里對W13的要求很高,由于這一原因,除紅寶石激光器采用三能級系統(tǒng)外,目前大多數激光器都采用激光下能級不是基態(tài)的四能級系統(tǒng).選擇工作物質的一條標準:粒子有易于實現(xiàn)反轉的能級結構.速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!1.圖(2-5)為簡化的四能級圖，n0、n1、n2分別為基態(tài)、上能級、下能級的粒子數密度；n為單位體積內增益介質的總粒子數，R1、R2分別是激勵能源將基態(tài)E0上的粒子抽運到E1、E2能級上的速率；

2.速率方程:3個能級應有2個獨立方程(1)E2能級在單位時間內增加的粒子數密度為：項——激勵能源抽運引起的n2的增加率,取正號;第二項——自發(fā)發(fā)射引起的n2的減少率,取負號;第三項——受激發(fā)射引起的n2的減少率,取負號;第四項——受激吸收引起的n2的增加率,取正號;此處因為考慮到介質的線型函數遠比傳播著的光能量密度為的單色受激輻射光的線寬要寬得多,故應用(1-54)式和(1-55)式因為E2能級向E1能級的自發(fā)躍遷幾率A21遠大于E2能級向基級能級E0的自發(fā)躍遷幾率A20

,所以這里沒有考慮由A20引起的躍遷.圖(2-5)）簡化的四能級圖二.考慮譜線增寬時的情況?速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!速率方程組以上三式即為在增益介質中同時存在抽運、吸收、自發(fā)輻射和受激輻射時各能級上的粒子數密度隨時間變化的速率方程組。速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!由上幾式可得：則激光上下能級粒子數密度反轉分布的表達式為：式中τ1、τ2

分別為上、下能級的壽命速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!二.小信號粒子數反轉的物理條件:1.激光上能級E2的壽命要長,使該能級上的粒子不能輕易地通過非受激輻射而離開;2.激光下能級E1的壽命要短,使該能級上的粒子很快地衰減;3.選擇合適的激勵能源,使它對介質的E2能級的抽運速率R2愈大愈好,而E1能級的抽運速率R1愈小愈好.即滿足條件速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!如果介質中傳播的光波頻率，則有：則有：一般情況下的粒子數密度反轉分布可以表示為：速率方程組與粒子數反轉共27頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!2.2.6均勻增寬型介質粒子數密度反轉分布的飽和效應本節(jié)研究:反轉粒子數密度△n的飽和效應（討論△n與各種因素的關系，引出△n飽和效應的概念。）一.粒子數反轉分布△n飽和效應:介質已實現(xiàn)粒子數反轉并達到閾值。入射光中含頻率時,強烈的受激發(fā)射使激光上能級的粒子數迅速減少,隨入射光強I

增大反而下降的現(xiàn)象