2020-2021學年河北省保定二十八中高一（下）月考數(shù)學試卷（5月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）.設復數(shù)z滿足z（3-2i）=13i,則』=（）A.-2—3iB.-2+3i C.2—3i D.2+3i.已知空間向量五=（-1,0,3）,6=（3,-2,x）.若五1%，則實數(shù)x的值是（）A.-1 B.0 C.1 D.2.某中學春季運動會上，12位參加跳高半決賽同學的成績各不相同，按成績從高到低取前6位進入決賽.如果小明知道了自己的成績后，則他可根據(jù)其他11位同學成績的哪個數(shù)據(jù)判斷自己能否進入決賽（）A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.極差 D.方差.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球 B.至少有一個黑球與至少一個紅球C.至少有一個黑球與都是紅球 D.恰好有一個黑球與都是紅球.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設內壁表面光滑，忽略杯壁厚度）如圖2所示，設酒杯上部分（圓柱）的體積為匕，下部分（半球）的體積為%,若匕=2/，則半球的半徑與圓柱的高之比為（）4：334：33：41：25：36.己知荏、正是非零向量且滿足（荏-2就）_L松，（AC-2AB）LAC,則△ABC的6.形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形7.如圖，平行六面體A8C0-中，7.如圖，平行六面體A8C0-中，4c與8。交于點M,設48=乙40=b,441=d則為M=()CiDLTOC\o"1-5"\h\zA1- I?* ---a--6-c-a+-b-c2 2C1— 1E--Q—b-c2 2-^a+^b—c.平面a截一個三棱錐，如果截面是梯形，那么平面a必定和這個三棱錐的（）A.一個側面平行 B.底面平行C.僅一條側棱平行 D.某兩條相對的棱都平行二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）.為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某學校分別從兩個班各抽取7位同學分成甲、乙兩組參加環(huán)保知識測試，得分（十分制）如圖所示，則下列描述正確的有（）A.甲、乙兩組成績的平均分相等 B.甲、乙兩組成績的中位數(shù)相等C.甲、乙兩組成績的極差相等 D.甲組成績的方差小于乙組成績的方差.已知甲罐中有四個相同的小球，標號為1,2,3,4；乙罐中有五個相同的小球，標號為1,2,3,4,5.現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件4="抽取的兩個小球標號之和大于5"，事件B="抽取的兩個小球標號之積大于8”，則（）A.從甲罐中抽到標號為2的小球的概率為:B.事件4發(fā)生的概率為:C.事件AnB發(fā)生的概率為；D.事件4UB發(fā)生的概率為：.某市教體局對全市高三年級的學生身高進行抽樣調查，隨機抽取了100名學生，他們的身高都處在4,B,C,D,E五個層次內，根據(jù)抽樣結果得到統(tǒng)計圖表，則下面敘述正確的是（）

女生身高情況直方圖男生身高情況扇形圖A.樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù)B.女生身高情況直方圖男生身高情況扇形圖A.樣本中女生人數(shù)多于男生人數(shù)B.樣本中B層人數(shù)最多C.樣本中E層次男生人數(shù)為6人 D.樣本中。層次男生人數(shù)多于女生人數(shù).如圖，在正方體ABC。-A/iGDi中，點E是棱CC］上的一個動點，給出以下結論，其中正確的有（）4。與8劣所成的角為45。AD1〃平面BCGC.平面AC。11平面BRi。D.對于任意的點E,三棱錐Bi-BEDi的體積均不變三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）.已知復數(shù)z=（m+4）+（m-2）i在復平面內對應的點在第三象限，則實數(shù)7n的取值范圍是..某健康協(xié)會從某地區(qū)睡前看手機的居民中隨機選取了270人進行調查，得到如右圖所示的頻率分布直方圖，則可以估計睡前看手機在40?50分鐘的人數(shù)為..甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取三場二勝制（當一隊贏得二場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主客主”,設甲隊主場取

勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以2：1獲勝的概率是..在三棱柱ABC-AiBiG中，D為側棱CCi的中點，從該三棱柱的九條棱中隨機選取兩條，則這兩條棱所在直線至少有一條與直線BC異面的概率是.四、解答題(本大題共6小題，共70.0分).在棱長是2的正方體ABC。一AiBiGDi中，E,F,G分別為AB,4C,C。的中點.應用空間向量方法求解下列問題.(1)求EF的長.(2)求異面直線EF與GG所成角的余弦值..為了了解我市參加2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽的學生考試結果情況，從中選取60名同學將其成績(百分制，均為正數(shù))分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)六組后，得到部分頻率分布直方圖(如圖)，觀察圖形，回答下列問題：(1)求分數(shù)在[70,80)內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試成績的眾數(shù)、均值；(3)根據(jù)評獎規(guī)則，排名靠前10%的同學可以獲獎，請你估計獲獎的同學至少需要所少分？■頻率/斯0.035 0.030 - 0.0250.0200.0250.0200.0150.0100.005-- I-405060708090100.在①/+y[2ac=a2+c2?@acosB=bsinA,③sinB+cosB=四這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.

已知AABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,,4=g,b=五,(1)求角B；(2)求△ABC的面積..已知某區(qū)甲、乙、丙三所學校的教師志愿者人數(shù)分別為240,160,80.為助力疫情防控，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從這三所學校的教師志愿者中抽取6名教師，參與“抗擊疫情?你我同行”下卡口執(zhí)勤值守專項行動.(I)求應從甲、乙、丙三所學校的教師志愿者中分別抽取的人數(shù)：(II)設抽出的6名教師志愿者分別記為4,B,C,D,E,F,現(xiàn)從中隨機抽取2名教師志愿者承擔測試體溫工作.(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；(ii)設M為事件“抽取的2名教師志愿者來自同一所學?！?，求事件M發(fā)生的概率..如圖，四棱錐P-ABCD中，底面4BCD為菱形，PA1平面ABC。，E為PD的中點.(1)求證：PB〃平面4EC：(2)求證：平面PACJ?平面PBD；(3)當P4=AB=2,乙4BC=：時，求三棱錐C-PBC的體積..如圖，在三棱錐P-ABC中，PA1AB,PA1BC,AB1BC,PA=2>/3,AB=BC=V2,。為線段4c的中點，E為線段PC上一點.(I)求證：PA1BD；(II)求證：平面BDEJ?平面PAC：(ID)當P4〃平面BDE時，求直線EB與平面4BC所成的角.第6頁，共18頁答案和解析.【答案】4【解析】解：rz(3-2i)=13i,13i 13i(3+2i) ?,:.z== -=—2+3i,3-2i (3-2Z)(3+2i)z=—2-3i?故選：A.根據(jù)已知條件，結合共施復數(shù)的概念，以及復數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，即可求解.本題考查了共規(guī)復數(shù)的概念，以及復數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，需要學生熟練掌握公式,屬于基礎題..【答案】C【解析】解：向量五=(-1,0,3),b=(3,—2,x)>若五J.b1則一1x3+0x(-2)+3x=0,解得x=1.故選：C.根據(jù)1J.石時，a.h=01列方程求出x的值.本題考查了空間向量的坐標運算與垂直應用問題，是基礎題..【答案】A【解析】解：12位同學參賽，按成績從高到低取前6位進入決賽，正好一半，因此可根據(jù)中位數(shù)判斷小明是否能進入決賽.故選：A.把已知12個數(shù)據(jù)從小到大依次排列，由此能求出數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可.本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的應用，屬于基礎題..【答案】D【解析】解：對于選項A,事件”至少有一個黑球“包含事件”都是黑球“，故錯誤:對于選項8,事件”至少有一個黑球“與事件”至少一個紅球“都有事件”紅球、黑球各一個“，故錯誤；對于選項C,事件”至少有一個黑球”與事件”都是紅球“是對立事件，故錯誤；對于選項。事件”恰好有一個黑球”與事件”都是紅球“是互斥而不對立的事件，故正確：故選：D.由題意對事件依次判斷關系即可.本題考查了互斥事件與對立事件的定義，屬于基礎題..【答案】B【解析】解：設圓柱的高為九，半徑為r,則圓柱的體積為匕=乃「2九，而半球的體積為眩=空x2=叱，4323因為匕=2%，所以仃2h=萼，所以：=：?故選：B.設圓柱的高為九，半徑為r,分別求出圓柱和半球的體積，即可得到答案.本題考查了圓柱和半球的體積計算，屬于基礎題..【答案】C【解析】解：?.?荏、就是非零向量且滿足(而一2就)1南，(AC-2AB)LAC，(AB-2AC)AB=(AC-2AB)AC=0>|荏/=?砌2=2|函函|cos/B4C，|AB|=|4C|，4BAC=60°.ABC是等邊三角形，故選：C.由荏、就是非零向量且滿足(荏-2萬)1而，(AC-2AB)LAC，利用向量垂直與數(shù)量積的關系可得(同一2萬).荏=(前一2希)?前=0，進而得至羽四產(chǎn)=| |2=2|AB|\AC|coszBt1C,即可得出.本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、等邊三角形的判定方法，屬于基礎題..【答案】D【解析】【分析】本題考查了空間向量的線性運算，考查了計算能力，屬于基礎題.由于瓦祈=瓦豆+的,西=［而，前=瓦5+而，即可得出結果.【解答】解：+~BM,BM=-JD.BD=M+FC,...b7m=^b+1(-4f+fc)：.Bj4=-AAi+^-AB+AD)=-c-1a+1K.故選。..【答案】CTOC\o"1-5"\h\z【解析】解：如圖，平面截一個三棱 A錐’ /\得到的截面是梯形， ；\由圖形知平面a必定和這個三棱錐的 \ \一條棱平行， ZgM\且只能和一條棱平行. ，,\ ;\故選：c. ,/' \； \利用空間中線線、線面、面面間的位 ［「一 \置關系求解. L-i- -本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)..【答案】BCD【解析】【分析】本題考查統(tǒng)計知識的應用，主要考查平均數(shù)、中位數(shù)、極差以及方差的理解和應用，解題的關鍵是正確讀取統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)信息，屬于基礎題.利用統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)信息，分別求解甲、乙兩組成績的平均分、中位數(shù)、極差等，即可判斷各選項的正誤.【解答】解：因為元平=,x(4+5+6+6+7+7+8)=T，xz=1x(5+5+5+6+7+84-9)=y,則元用<3■乙、所以甲組成績的平均分小于乙組成績的平均分，故A錯誤;甲、乙兩組成績的中位數(shù)均為6,故8正確；甲、乙兩組成績的極差均為4,故C正確；甲組的成績比乙組的更加穩(wěn)定，所以甲組成績的方差小于乙組成績的方程，故。正確.故選：BCD..【答案】BD【解析】解：對于4甲罐中有四個相同的小球，標號為1,2,3,4,從甲罐中抽到標號為2的小球的概率為P=；,故4錯誤：對于B,從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，共有20個基本事件，分別為：11,12,13,14,15,21,22,23,24,25,31,32,33,34,35,41,42,43,44,45,事件4="抽取的兩個小球標號之和大于5”，則事件4包含的基本事件有10個，分別為15,24,25,33,34,35,42,44,45,???P(A)=曇=%故B正確；對于C,事件B="抽取的兩個小球標號之積大于8”，事件4CIB包含的基本事件有：25,33,34,35,43,44,45,共7個，P(AnB)=M故C錯誤；對于D,事件AUB包含的基本事件有：15,24,25,33,34,35,42,43,44,45,共10個，二P(4UB)=芫=3故。正確.故選：BD.列出所有的基本事件，能求出所求事件的概率.本題考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題..【答案】ABC【解析】解：由女生頻數(shù)直方圖可知女生人數(shù)為：9+24+15+9+3=60,則男生人數(shù)為100-60=40,則A對；由圖可知：女生人數(shù)中B層的人最多，男生人數(shù)中B層的人最多，則總人數(shù)中B層的人最多，B對；可求出E層為(1-0.1-0.3-0.25-0,2)x40=6人，C對；

樣本中。層次男生人數(shù)為40x20%=8,樣本中。層次女生人數(shù)為9,D錯,故選：ABC.根據(jù)頻率直方圖，扇形圖求出選項中的數(shù)，進行比較.本題考查頻率直方圖，扇形圖，考查學生對圖表的整合能力，屬于基礎題..【答案】BCD【解析】解：⑴連接力???4?！σ玻???4BD[Ai為AD與BDi所成角,設正方體棱長為1,則tanNBCi4=春=魚，H45。，故4錯誤；???平面zWDiAi〃平面BCCiBi，ADu平面AD〃平面BCC/i，即平面BCG，故B正確;(3)連接BC,貝IJ4CJLBD,???DDi1平面4BCC,???DD11AC,又BDnDDt=D,二4C_L平面8叫，又ACu平面ACDi，???平面4CZ)i_L平面Bi。1。，故C正確；(4)設正方體棱長為1,則Kbi-beDi=Vdi-bb*e=^SabbiE-^iCi=-x-xlxlxl=-,故三棱錐為-BE。1的體積均不變，故。正確.故選：BCD.計算NBC14即可判斷4,根據(jù)平面〃平面BCGBi即可判斷B,根據(jù)4cl平面當內。即可判斷C,計算三棱錐/-BEC1的體積即可判斷D.本題考查了線面平行，面面垂直的判定和性質，考查異面直線所成的角，屬于中檔題.13.【答案】(一8,-4)【解析】解：?.?復數(shù)2=(血+4)+(血-2/在復平面內對應的點在第三象限,：-2<0'解得一<一4,故實數(shù)ni的取值范圍為(-8,-4).故答案為：(-oo,-4).根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的幾何意義，即可求解.本題主要考查復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.14.【答案】81【解析】解：根據(jù)頻率分布直方圖知，睡前看手機在40?50分鐘的頻率為1-(0.01+0.037+0.023)x10=0.3,所以，估計睡前看手機在40?50分鐘的人數(shù)為270x0.3=81.故答案為：81.根據(jù)頻率分布直方圖知，利用頻率=正黑二的關系，即可算出正確的結果.樣木容量本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，也考查了頻率、頻數(shù)與樣本容量的應用問題，是基礎題目..【答案】0.3【解析】解：甲隊的主客場安排依次為“主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立，甲隊以2：1獲勝的是指甲隊前兩場比賽中一勝一負，第三場比賽甲勝，則甲隊以2：1獲勝的概率是：P=0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.6=0.3.故答案為：0.3.甲隊以2：1獲勝的是指甲隊前兩場比賽中一勝一負，第三場比賽甲勝，由此能求出甲隊以2：1獲勝的概率.本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題..【答案】31O【解析】解：先確定從三棱柱的九條棱隨機選取兩條的取法數(shù)為n=量=36,如圖三棱錐ABC-4B1G的九條棱中與BD異面的直線有AC,AAt,AXBX,AXCX,ti???三棱柱的九條棱中隨機取兩條，兩條棱所在直線至少有一條與直線BC異面的取法數(shù)為m=C1+C4C5=26,???由古典概型概率公式可得事件兩條棱所在直線至少有一條與直線BD異面的概率為P=m_26_13n-36-18,故答案為：先確定從三棱柱的九條棱隨機選取兩條的取法數(shù)為腐，再求出三棱柱的九條棱中隨機取兩條，兩條棱所在直線至少有一條與直線8。異面的取法數(shù)為m=4+盤盤.由古典概型概率公式可得事件兩條棱所在直線至少有一條與直線BD異面的概率.本題考查古典概型、排列組合、三棱柱結構特征、異面直線的定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題..【答案】解：（1）以A為坐標原點，AB,AD,A4為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則4(0,0,0),F(l,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),G(l,2,0),4(0,0,2),4(1,1,1), (2,2,2),則方=(0,1,1).：.\EF\=VO2+l2+l2=V2.???EF=V2.⑵弧=(1,0,2)，EF=(0,1,1)-

/TTP?rr?、朗GC； 2 V10cos<EF，GC1>=南兩=聲釬丁’.??異面直線EF與GCi所成角的余弦值為唱.【解析】(1)以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求出EF的長即可.(2)由直線方向向量的夾角余弦，求出異面直線EF與GCi所成角的余弦值.本題考查了正方體的結構特征，向量法求長度與異面直線所成的角，考查運算求解能力,是基礎題..【答案】解：(1)分數(shù)在［70,80)內的頻率為：1-(0.0104-0.015+0.020+0.025+0.005)x10=0.25.補全這個頻率分布直方圖如下圖：?頻率/組距0.035 0.025 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 nJTL405060TO8090100(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試成績的眾數(shù)為：黃=80,均值為：45x0.01x10+55x0.015x10+65x0.020x10+75x0.025x10+85x0.025x10+95X0.005X10=70.5.(3)根據(jù)評獎規(guī)則，排名靠前10%的同學可以獲獎，由［90,100)的頻率為0.005x10=0.05,［80,90)的頻率為0.025X10=0.25,???估計獲獎的同學至少需要的分數(shù)為：90-琮答x10=88(分).【解析】本題考查樣本頻數(shù)眾數(shù)、均值的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題.(1)先求出分數(shù)在［70,80)內的頻率，由此能求出結果，并補全頻率分布直方圖.(2)根據(jù)頻率分布直方圖，能估計本次考試成績的眾數(shù)和平均數(shù).(3)根據(jù)評獎規(guī)則，排名靠前10%的同學可以獲獎，［90,100)的頻率為0.05,［80,90)的頻率為0.25,由此能估計獲獎的同學至少需要的分數(shù).19.【答案】解19.【答案】解：(1)若選①，由余弦定理得，cosBa2+c2-b2yflac2ac2ac因為86(0,兀)，所以若選②，由正弦定理知，±b若選②，由正弦定理知，±b

sinB——=2R,sine因為qcosB=bsinA,^VXsinAcosB=sinBsinA,又46(0,7T),所以sim4>0,所以cosB=sinB,又B6(0,7T),所以tCUlB=1,即B=E若選③，由sinB+cosB=&得，V2sin(B+：)=V2,所以sin(B+》=1,又B6(0,7T),所以乎),TOC\o"1-5"\h\z所以8+彳=，解得B=I4 2 4(2)由正弦定理得，急=高又A=￡b=V2，8=}3 4所以q="乎=-^2-=V3,。=兀一4一8=冷SinBv2 122sci*i.c?57r ?，tt.tt、.nn,n.nx^6+V2所以smC=sin-=sin(-+-)=sin-cos-4-cos-sin-= ，12v467 4 6 4 6 4所以S—bc=\ccbsinC=|xV3xV2x在:夕=?所以△ABC的面積為出l4(解析】本題考查解三角形與三角恒等變換的綜合應用，熟練掌握正弦定理、余弦定理、正弦面積公式與正弦的兩角和公式是解題的關鍵，考查學生的邏輯推理能力和運算能力,屬于中檔題.(1)若選①，由余弦定理即可得解；若選②，利用正弦定理將將acosB=bsinA中的邊化為角，可求得tanB的值，從而得解;若選③，結合輔助角公式可推出sin(B+》=l,再由Be(0,7r),即可得解；(2)由正弦定理求出a的值，由正弦的兩角和公式求出sinC,根據(jù)S=[absinC,即可得解.

.【答案】解：(I)由已知，甲、乙、丙三所學校的教師志愿者人數(shù)之比為3：2：1由于采用分層抽樣的方法從中抽取6名教師，因此應從甲、乙、丙三所學校的教師志愿者中分別抽取3人，2人，1人.(口)(回)從抽出的6名教師中隨機抽取2名教師的所有可能結果為:{A,B},{A,C},{4。},{A.E},{A,F}, (B.D],{B.E},{B.F},{C.D},{C.E},(C.F},{D,E},{D,F},{E,尸},共15種.(ii)由(I),不妨設抽出的6名教師中，來自甲學校的是A,B,C,來自乙學校的是。，E,來自丙學校的是F,則從抽出的6名教師中隨機抽取的2名教師來自同一學校的所有可能結果為{AB},{A,C},{B,C},{D.E},共4種.所以，事件M發(fā)生的概率P(M)=卷.【解析】本題考查古典概型及其概率公式，涉及分層抽樣方法，注意列舉事件的可能結果要做到不重不漏.(I)由已知，甲、乙、丙三所學校的教師志愿者人數(shù)之比為3：2：1,進而計算可得相應的人數(shù)：(U)(i)列舉隨機抽取2名教師志愿者的所有結果共15種：(”)隨機抽取的2名教師來自同一學校的所有可能結果為{48},{4C},{B,C},{C,E},共4種，由概率公式可得..【答案】(1)證明：如圖，設AC與BD的交點為。，連a.接困 /VE為PC的中點，OE//PB, 4X(---"七二^DvOEu平面AEC,PB