202L2022學年天津市靜海一中高二(±)學業(yè)能力調(diào)研數(shù)學試卷(12月份).在等差數(shù)列位工中，若=5,則S[3的值等于()A.8 B.10 C.13 D.26.已知等差數(shù)列｛a"的前”項和為方，若。3=2,且S4=S7,則下列說法中正確的是()A.｛aQ為遞增數(shù)列B.當且僅當n=5時，S”有最大值C.不等式2>0的解集為｛n6/V*|n<10｝D.不等式an>0的解集為無限集.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作只之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的2是較小的兩份之和，問最小一份為()TOC\o"1-5"\h\zA.- B.- C.- D.-3 3 6 6.如圖，尸1、尸2是雙曲線c塔一、=l(a>0,b>0)的左、 4右焦點，過F2的直線與雙曲線C交于A、B兩點.若A是HF? \? /中點且8018七，則該雙曲線的漸近線方程為() /y=±2V3xy=±2>/2x / \y=±V3xy=±V2x.已知Fi，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以尸2為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點M、N,若過Fi的直線四后是圓尸2的切線，則橢圓的離心率為.已知圓C的圓心與點P(-2,l)關于直線y=x+l對稱.直線3x+4y-ll=0與圓C相交于A,B兩點，且|AB|=6,則圓C的方程為.2 2 2 2.若雙曲線C：2-標=19>0/>0)與雙曲線。:？一卷=1有相同的漸近線，且C經(jīng)過點(2,6),則C的實軸長為..若等差數(shù)列｛aj與等差數(shù)列｛%｝的前”項和分別為當和7n，且乎=誓?，則In371-1血=.若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點、,M為準線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且14Ml=JI7,\AF\=3,則此拋物線的標準方程為.

.如圖，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線/交拋物線于點A、B,交其準線于點C,若|BC|=2|BF|,且|4F|=3,則此拋物線的方程為..已知棱長為1的正方體ABCC-EFGH,若點P在正方體內(nèi)部且滿足而=：荏+^AD+1荏，則點P到AB的距離為,正方體ABC。-EFGH,Q是平面ABCD內(nèi)一動點，若E0與EC所成角為全則動點。的軌跡方程..已知關于x,y的方程(4—m)x2+(16—m)y2=m2—20m+64表示雙曲線，求焦點坐標..已知0),B(m,0)(m>0),若圓C：x2+y2+6x-8y+21=0上存在點P,使得|P4|2+\PB\2=4m2,則m的范圍 ..(1)在數(shù)列｛即｝中，%=2,yjan+1=y[a^+VI,求數(shù)列｛a”｝的通項公式；(2)若數(shù)列｛an｝是正項數(shù)列，且>/就+Va^+…=n2+3n(nEN*),求數(shù)列｛冊｝的通項公式；(3)在數(shù)列｛a"中，的=8,。4=2，且滿足an+2-2an+i+an=0(neN*),求數(shù)列｛即｝的通項公式；設S”=|出|+|a2|4 1-|On|,求Sn..在如圖所示的多面體中，EA_L平面ABC,DBJ_平面ABC,AC1BC,且4c=BC=BD=2AE=2,M是A8的中點.(1)求證：CMJ.EM；(2)求平面EMC與平面BCD所夾角的余弦值：(3)在棱OC上是否存在一點N,使得直線MN與平面EMC所成的角是60。,若存在，求|CN|的長；若不存在，請說明理由..已知在非零數(shù)列｛%｝中，%=1.an-an_!=-janan_!(n>2,ne/V?),數(shù)列｛b｝的前n項和S.=3n2+8n.(1)證明：數(shù)列?■｝為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列｛b｝的通項公式；(3)若數(shù)列&｝滿足d=高+小，求數(shù)列&｝的前n項和加.已知橢圓C：5+《=l(a>b>0),&(—1,0),尸2。。)分別為橢圓C的左，右焦點，M為C上任意一點，Samf/z的最大值為L(1)求橢圓C的方程；(2)不過點尸2的直線/：y=kx+m(mHO)交橢圓C于A,B兩點.(i)若/= 且S“o8=*，求機的值；(ii)若x軸上任意一點到直線AF2與BF2的距離相等，求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標..已知橢圓C：《+，=l(a>b>0)的長軸長為4,離心率為*(1)求橢圓C的程；(2)設橢圓C的左焦點為F,右頂點為G,過點G的直線與y軸正半軸交于點S,與橢圓交于點H,且HF1x軸，過點S的另一直線與橢圓交于M,N兩點，若Sasmg=6Sashn，求直線MN的方程.(3)圓錐曲線問題的關鍵一步是條件的翻譯，所以請同學們不用解答，翻譯下面的條件，轉化為數(shù)學表達式：①若直線冬一5=1(。>0*>0)與雙曲線交于4、8兩點，與其漸近線交于C、兩點，求證：AC=BD.②橢圓的9+y2=1左頂點為。，上頂點為B,點A的坐標為(1,0),過點。的直線L與橢圓在第一象限交于點P,與直線AB交于點。設L的斜率為K,若黑=3\[2sinz.ADQ,求直線K的值.③橢圓的9+y2=1左頂點為4過點A作直線與橢圓C交于另一點B.若直線/交y軸于點C,且0C=8C,求直線/的斜率.答案和解析.【答案】C【解析】解：因為等差數(shù)列｛an｝,的++07+。8+。9=5a7=5,所以。7=1，則Sc=13(即廣3)=13a7=13.故選：C.結合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出巧,然后結合等差數(shù)列的求和公式即可求解.本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式，屬于基礎題..【答案】C【解析】解：設等差數(shù)列｛冊｝的公差為"，由S4=S7，得@5+。6+。7=。，即即=根據(jù)+2d=2,解得.%+5d=0'肝傳根據(jù)所以a九=y-1(n-1)=-1n+4,Sn=7(T+4-|n)=+gn，由dVO可得｛an｝是遞減數(shù)列，選項A錯誤；令冊=一|幾+4>0,解得nV6,由于n￡N+，所以OWn45,不等式即>0的解集為｛nWN+|nW5｝,是有限集，選項。錯誤；又即=0，則當且僅當九=5或九=6時，Sn有最大值，選項8錯誤；令5?=—1九2+甘■九>o,得n?—llnVO,由于九EN+，所以n€N+，且n410,選項C正確.故選：C.設等差數(shù)列｛冊｝的公差為"，由$4=$7，得。5+。6+。7=0，即即=0，根據(jù)｛胃=：可求得11 3之，所以與=/_沁_1)=*n+4,Sn=］皆+4-|n)=_”+聲,ld=~3從而可對選項逐一判斷.本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學生的邏輯推理和運算求解的能力，屬于基礎題..【答案】A【解析】【分析】本題考查了等差數(shù)列模型的實際應用，解題時應巧設數(shù)列的中間項，從而容易得出結果.設五個人所分得的面包為Q-2d,a-dfa,Q+d,a4-2d,(d>0)；則由五個人的面包和為100,得a的值；由較大的三份之和的;是較小的兩份之和，得d的值；從而得最小的1份Q—2d的值.【解答】解：設五個人所分得的面包為Q—2d,a—d,a,a+d,a+2d,(其中d>0)；則，(q-2d)+(a-d)4-a4-(a+d)4-(a+2d)=5a=100,???a=20；由;(a+q+d+q+2d)=a-2d+q-d,得3a+3d=7(2a-3d)；???24d=Ila,, 55所以，最小的1份為a—2d=20—6 3故選：A..【答案】A【解析】解：設|4尸2|=3則|4B|=3根據(jù)雙曲線的定義，得MF/一|小引=\BF2\-\BF1\=2a,即|4Fi|=2a+t,|BF/=2t-2a,因為AF/F2是以B為直角的RtA,所以|篤尸2|2=國6|2+|8尸2|2,BP4c2=(2t-2a)2+4t2,...@AABFi中,|AF/2=|4B|2+|B0|2,即(2a+t)2=t2+(2t—2a)2,...②由②得t=3a,所以c=ga,所以b=Vc2-a2=2>/3a.所以2=2V3,a所以雙曲線的漸近線方程為y=±2V3x.故選：A.設|川引=3得|4B|=3根據(jù)雙曲線的定義求出MF/、利用直角三角形的勾股定理和雙曲線的定義列方程求出八〃和c、b,即可求出雙曲線的漸近線方程.本題考查了雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、利用余弦定理解三角形等知識，是中檔題..【答案】V3-1【解析】【分析】本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.由題意可得：MF】J.MF2，IMF2I=c,IMFJ=2a-c,^2\=2c,利用勾股定理可得c2+(2a-c)2=牝2,即可得出.【解答】

解：如圖所示，由題意可得：M&lMFz，\MF2\=c,IMFJ=2a-c,\FtF2\=2c9:.c2+(2a-c)2=4c2,化為c?+2cLe—2a2=o,即e2+2e—2=0,c€(04).解得e=V3-1.故答案為：V3—1..【答案】x2+(y+l)2=18【解析】解：設圓心坐標C(q/),根據(jù)圓心與尸關于直線y=x+l對稱得到直線CP與y=%+1垂直，而丫=x+1的斜率為1,所以直線CP的斜率為一1即？=一1化簡得a+b+1=0①，-2—a再根據(jù)CP的中點在直線y=x+1上得到等=等+1化簡得a-b-1=0②聯(lián)立①②得到a=0,b=-1,所以圓心的坐標為(0,-1)；圓心C到直線AB的距離d=部=3,加B|=3所以根據(jù)勾股定理得到半徑產(chǎn)=32+笠誓=18,所以圓的方程為x2+O+1)2=18.故答案為：x2+(y+I)2=18要求圓C的方程，先求圓心，設圓心坐標為(a,b),根據(jù)圓心與P關于直線y=x+l對稱得到直線PC垂直與y=x+1且PC的中點在直線y=x+1上分別列出方程①②，聯(lián)立求出a和6即可；再求半徑，根據(jù)垂徑定理得到g48|、圓心到直線A8的距離及圓的半徑成直角三角形，根據(jù)勾股定理求出半徑.寫出圓的方程即可.此題是一道綜合題，要求學生會求一個點關于直線的對稱點，靈活運用垂徑定理及點到直線的距離公式解決數(shù)學問題.會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程..【答案】2同【解析】解：由已知可得雙曲線C的漸近線方程為：y=±^x,雙曲線。的漸近線方程為：y=±^x,所以”手，又點(2,6)在雙曲線C上，則若―卷=1,解得a=所以雙曲線C的實軸長為2a=2V30,故答案為：2聞.由已知分別求出雙曲線C,。的漸近線方程，進而可以求出a,人的關系式，再把已知點代入雙曲線C,即可求出a,匕的值，從而可以求解.本題考查了雙曲線的性質(zhì)以及漸近線方程，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.8?【答案】S44lS(ai+a15)【解析】解：由已知可得/嘉二亞品廣祟需=青2故答案為：44利用公式詈=等工即可求解.bn?2n-l本題考查了等差數(shù)列的項與和的性質(zhì)，考查了學生的運算能力，屬于基礎題..【答案】x2=4y或/=8y【解析】解：由拋物線的頂點在原點，開口向上，尸為焦點，M為準線與y軸的交點,故可設拋物線的標準方程/=2py(p>0),設｛(沏/。)，由題意可得，v\AF\=3,y()+々=3,v\AM\=V17,：?詔+(yo+f)2=17,. 2MWc),?Aq-o????4為拋物線上一點，%o=2py0.即8=2p(3-g),解得p=2或p=4,二所求拋物線的標準方程為M=4y或/=8y.故答案為：x2-4y或/=8y.由已知條件，設出拋物線方程，求出仞的坐標，再結合拋物線性質(zhì)和兩點之間距離公式，求解p,即可得到拋物線方程.本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，以及拋物線方程的求法，屬于中檔題..【答案】y2=3x.【解析】解：設A(Xi，yJ，S(x2,y2)>作AM、BN垂直準線于點M、N,則|BN|=\BF\,又|BC|=2|8F|,得|BC|=2|BN|,Z.NCB=30",有|AC|=2\AM\=6,設|BF|=x,則2x+x+3=6=>x=l,而Xi+43,x2+^=l,由直線A8：y=k(x-?代入拋物線的方程可得，

=0,k2x2—(pk2+2p)x+-k2p=0,即有Xl%2=???(3_以1一方=?np=m得y2=3x.故答案為：y2=3x.根據(jù)過拋物線p=2px(p>0)的焦點/的直線/交拋物線于點A、B,作AM、BN垂直準線于點M、N,根據(jù)18cl=2|8/|,且①尸|=3,和拋物線的定義，可得乙NCB=30°,設4&/1),8(%2/2)，出用=X,而X1+：=3,&+/1，且X62=9，(3-。)(1-々)=9=p=;,可求得P的值，即求得拋物線的方程.此題是個中檔題.考查拋物線的定義以及待定系數(shù)法求拋物線的標準方程.體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，特別是解析幾何，一定注意對幾何圖形的研究，以便簡化計算..【答案】|x2+y2+1-4xy—4x—4y=0【解析】解：在正方體ABCC-EFGH中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則4(0,0,0),B(l,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),E(0,0,1)，屈=久1,0,0)+10,l,0)+久0,0,1)=弓,統(tǒng))，AB=(1,0,0),于是得而在志上的投影向量長度為I鑼I則點P到AB的距離為d=］沖2-1鬻|2=品+瀉Y=3，所以點P到4B的距離為;；因動點。在平面A8C。內(nèi)，設Q(x,y,0),則衣=(x,y,-l),而前又EQ與EC所成角為m因此，的?就=質(zhì)II殖cos%即有x+y+1=Jx2+y2+1X百X日,整理得/+y24-1—4xy—4x—4y=0,即動點。的軌跡方程是/+y2+1-4xy-4x-4y=0.故答案為：-；/+y2+]_4xy—4x-4y=0.6根據(jù)給定的正方體建立空間直角坐標系，利用點到直線距離公式計算點P到48的距離；借助空間向量數(shù)量運算求出軌跡方程.本題主要考查動點的軌跡方程，點到直線的距離的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題..【答案】(±2百,0)【解析】解：關于x,y的方程(4—m)x2+(16-m)y2=m2-20m+64表示雙曲線，"2 y.2可得77 1"1—=1'16-m 4-m所以(4-m)(16-m)<0,解得4<m<16.c=J|4-m-16+ =V12=273,所以焦點坐標(±2百,0).故答案為：(±2G,0).利用二次曲線表示雙曲線，列出不等式，求解即可.本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，是基礎題..【答案】[3,7]【解析】解：圓C：x2+y2+6x-8y+21=0,即(x+3尸+(y—4產(chǎn)=2：其圓心為(-3,4),半徑r=2,設A8的中點為M,又由點A(-m,0),F(m,0),\AB\=2\m\,：.\PA\2+\PB\2=4m2=\AB\2,二P的軌跡是以AB為直徑的圓O：x2+y2=m2,若圓C：》2+丫2+6%-8丫+21=0上存在一點/>,使得伊川2+仍8|2=4機2,則圓c與圓M有公共點，又由|OC|=V32+4Z=5,即有|m|-245<|m|+2,解得：3W|m|W7,又m>0.a3<m<7,〃?的范圍[3,7].故答案為：[3,7].由已知得圓C的圓心坐標以及半徑，由|PAE+|尸網(wǎng)2=4巾2=|4團2,可得p的軌跡以AB為直徑的圓M，原問題可以轉化為圓C與圓。有公共點，由兩圓圓心距離與半徑的關系列式求解.本題考查宜線與圓的位置關系，將問題轉化為圓與圓的位置關系是關鍵，考查計算能力，

是中檔題..【答案】解：(1)“n+l= +魚,?**yj^n+1-dQn=V2,乂=V2,???｛阮｝是以首項為近，公差為近的等差數(shù)列，:.yfa^=V24-(n-l)xV2=V2n:，an=2n2；(2)vV^i+\l^2+…+=n24-3n,*? +???+)斯-1=(7i—l)?+3(7i—1),(n>2),兩式相減可得:J^=2n+2,(n>2),又n=1時，y[a[=4也滿足上式，??y[a^=2n+2,(n6N*),??an=4(n+l)2；(3)???an+2-2an+1+Qn=0，(n6N*),?**an+2—Qn+1=an+l~~anf(九WN*),??.數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，又公差4=竽詈=1=-2,且%=8,4—1 3***cin=8+(n—1)x(—2)=10—2幾,令冊=10-2n>0, 1<n<5,又Sn=l^il+同+…+1*，???①當幾<5時，Sn=a】+a2H Fan=酎。；2n)】“=9n-n2,②當71>5時，Sn=+…+。5—(。6+a7+…+M)=2(Q]+O,2+…+05)-91+a2+…+Qn)=2x20—n(9—n)=n2-9n4-40,.?_(9n-n2,(n<5)ntn2—9n+40,(n>5)【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義與通項公式即可求解；(2)根據(jù)前〃項和作差即可求解；(3)根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式，可求出數(shù)列｛a、｝的通項，再分析等差數(shù)列的通項的符號，接著分類討論求S”，最后綜合即可得解.本題考查等差數(shù)列的定義與通項公式，根據(jù)前〃項和作差求通項，分類討論思想，屬中檔題.15.【答案】(1)證明：因為AC=BC,M是AB的中點，則CM1AB,

又EA_L平面ABC,CMu平面ABC,貝ijCM1EA,因為ABnE4=A,AB,E4u平面4EM,所以CM，平面AEM,因為EMu平面AEM,故CM1EM；(2)解：以點M為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則M(0,0,0),C(0,V2,0),B(V2,0,0),D(V2,0,2),E(-Vz,0,1),所以配=(-V2,0,l),MC=(0,V2,0),BD=(0,0,2),BC=(-V2,V2,0),設平面EMC的法向量為沅=(x,y,z),T.需=；^展7=。，令"i,則z=也m?MC=y/2y=0故沅=(1,0,a)，設平面BOC的法向量為元=(a,b,c),7.黑:Ga+他=0,令。=1，則b=l，所以|cos所以|cos<n,m>|=|n||m| y/2Xy/3 6故平面EMC與平面BC。所夾角的余弦值為手；6(3)解：假設在棱OC上存在一點N,使得直線MN與平面EMC所成的角是60。,設N(x,y,z)且而=kDC(0<fc<1),則(x—V2,y,z—2)=k(—V2,V2,-2).解得N(或-y[2k,y[2k,2-2k),所以麗=(或一 企k,2-2k),因為直線MN與平面EMC所成的角是60。，則如<^->1=舄累篇翳翟后=-6。。=當解得k=%所以在棱OC上存在一點M使得直線MN與平面EMC所成的角是60。，點N為棱OC的中點，且|CN|=||CD|=V2.【解析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)可得CM1EA,又CM1AB,即可證明CM，平面AEM,從而證明結論；(2)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面EMC與平面BCD的法向量，由向量的夾角公式求解即可；(3)設N(x,y,z)且而=k比(0WkWl),求出點N的坐標，得到麗的坐標，利用線面角的公式，求出％的值，即可得到答案.本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應用，二面角的求解以及線面角的應用，在求解有關空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.16.【答案】(1)證明：在非零數(shù)列｛a.｝中，%=1,即一an_i=-]anan-i(n>2,nGN*),則二一—-= 可得三一一-=；(n>2),^n-1 2 (LnQn-12又Ql=1,A-=1,%可得數(shù)列｛2｝是以1為首項，以3為公差的等差數(shù)列；(2)解：?.,數(shù)列｛bn｝的前n項和%=3n2+8n，???瓦=11,當九>2時，bn=Sn-Sn_1=3n2+8n—3(n—l)2—8(n—1)=6n+5.瓦=11適合上式，:.bn=6n+5；(3)解：由(1)可知，^-=^-+(n—l)d=l+(n—l)x^=~~9又由(2)知，％=6n+5,2???cn=—Fbn=幾+1+6n+5=7n+6,可知數(shù)列｛0｝是等差數(shù)列，則Tn=彎也=6)=筆絲【解析】(1)把0〃_dn-i=—舞Qn_i兩邊同時除以Q/n-i，可得 -=(n>2),2 anan-i2即可證明數(shù)列｛嵩｝是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列；(2)由數(shù)列｛bn｝的前"項和S”=3〃2+8n,得瓦=11,當nN2時，由bn=S“-Sn-i求數(shù)列｛九｝的通項公式；(3)解由(1)可求上，由(2)知%=6n+5,代入7=義+%，整理后可知數(shù)列｛0｝是等an an差數(shù)列，再由等差數(shù)列的求和公式求數(shù)列｛%｝的前〃項和乙.本題考查等差數(shù)列的通項公式與前〃項和，考查運算求解能力，是中檔題.{C=1l-2cb=l,可得b=l,a=42,a—y/b2+c2所以橢圓的方程為：y+y2=1;（2）（。設A（xi，%）,B（x2,y2）,聯(lián)立［二二^：771 整理可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0,+2/=24=16k2rH2-4（i+2k2）（27n2-2）>0,可得加2<1+212,當憶2=點可得血2<2,

Xi+x2-4km1+2/cXi+x2-4km1+2/c2%1%2=2m2-2

l+2k2所以|4B|=y/l+k2-V(Xi+x2)2-4x^2=y/l+k2?J；黑,-4, =l+2k2o到直線/的距離&=懸，^AUb21 1 2 l+2fc2x/T+fc2v l+2k2|mpV2-m2\/2—2-=T可得|m|,V2—m2=1,整理可得—2m2+1=0,解得m?=1,可得m=±1,所以tn的值為±1；(ii)證明：由若x軸上任意一點到直線4尸2與NF2的距離相等，可得怎24+^^=°，即人+*_=0,41-1x2-l即為(*2-1)+為(無1-1)=0，由(i)可得(k#i+m)(x2-1)+(kx24-巾)(石-1)=0,整理可得：2kxiM+(m—k)(》i+x2)-2m=0,即2k-2m2-l+(m-k)?—2m=0,l+2k2 ' 'l+2k2可得?n=—2k,所以直線l的方程為y=kx—2k=k(x—2),可證得直線/恒過定點(2,0).【解析】(1)由焦點坐標及AMaF2面積的最大值和a,b,c之間的關系，可得a,b的值，進而求出橢圓的方程；(2)(。聯(lián)立直線/與橢圓的方程，求出兩根之和及兩根之積，求出弦長|48|及。到直線/的距離d的中，代入三角形的面積公式，再由人的值，可得相的值；(ii)由題意可得直線4F2,BF2的斜率恒為相反數(shù)，求出斜率之和，將兩根之和及兩根之積代入可得相與4的關系，代入直線/的方程，可證得直線恒過定點.本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應用，直線恒過定點的證法，三角形面積公式的應用，屬于中檔題.18.【答案】解：(1)因為橢圓。