專題25等比數(shù)列及其前n項和【考點預(yù)測】一．等比數(shù)列的有關(guān)概念（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．（2）等比中項：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?．二．等比數(shù)列的有關(guān)公式（1）等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式： （2）等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的公比為，其前項和為注①等比數(shù)列的前項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．②已知（項數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．③，為關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．三．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）等比中項的推廣．若時，則，特別地，當(dāng)時，．（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．（3）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定）．當(dāng)或時，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時，為遞減數(shù)列．（4）其他衍生等比數(shù)列．若已知等比數(shù)列，公比為，前項和為，則：①等間距抽取為等比數(shù)列，公比為．②等長度截取為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時，不為偶數(shù)）．【方法技巧與總結(jié)】（1）若，則．（2）若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．（3）在等比數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即為等比數(shù)列，公比為．（4）公比不為－1的等比數(shù)列的前項和為，則，，仍成等比數(shù)列，其公比為．（5）為等比數(shù)列，若，則成等比數(shù)列．（6）當(dāng)，時，是成等比數(shù)列的充要條件，此時．（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間項的平方．（8）若為正項等比數(shù)列，則為等差數(shù)列．（9）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列．（10）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列．【題型歸納目錄】題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算題型二：等比數(shù)列的判定與證明題型三：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用題型四：等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)題型五：求數(shù)列的通項題型六：奇偶項求和問題的討論題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問題題型九：等比數(shù)列的簡單應(yīng)用【典例例題】題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，，，則的公比為(

)A．1 B． C．2 D．4【答案】B【解析】因為，，為正項等比數(shù)列，所以，解得.故選：B．例2．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高三階段練習(xí)）等比數(shù)列中，，．則的公比q為（

）A．2 B．2或 C． D．3【答案】B【解析】由題意，故選：B例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記為正項等比數(shù)列的前項和，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)公比為，則，得，解得（舍去），∴.故選：A.例4．（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且滿足，則公比q＝（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】由，則，所以，即，解得q＝3或q＝－1（舍去）．故選：D．例5．（2022·廣東江門·高三階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列滿足，則___________.【答案】【解析】因為等比數(shù)列滿足，所以，又，解得，故，，所以.故答案為：例6．（2022·福建·廈門一中模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______．【答案】【解析】由已知條件得，解得，∴；故答案為：.例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個伙伴；第2天，5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個伙伴，……按照這個規(guī)律繼續(xù)下去，第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（

）A．420只 B．520只 C．只 D．只【答案】B【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……按照這個規(guī)律每天的蜜蜂數(shù)構(gòu)成以為5首項，公比為5的等比數(shù)列則第天的蜜蜂數(shù)第20天蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢中共有蜜蜂數(shù)故選：B．例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知、、成等比數(shù)列，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因為、、成等比數(shù)列，所以，解得；故選：C例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在3和9之間插入兩個正數(shù)后，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則這兩個正數(shù)之和為（

）A． B． C． D．10【答案】B【解析】不妨設(shè)插入兩個正數(shù)為，即∵成等比數(shù)列，則成等差數(shù)列，則即，解得或（舍去）則故選：B．例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值是（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】由等差中項的性質(zhì)可得，由等比中項的性質(zhì)可得，因此，.故選：B.例11．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列的公比，則等于（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】解：因為等比數(shù)列的公比，所以．故選：D例12．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列中，其前5項的和，等比數(shù)列中，則（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：，解得：，設(shè)等比數(shù)列的公比是，因為，所以，解得：，顯然，所以，所以，所以故選：D例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列滿足，若存在、，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，解得，因為，則，，可得，由已知、，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正項等比數(shù)列中，，且，則（

）A．1024 B．960 C．768 D．512【答案】A【解析】解：依題意設(shè)公比為，且、，由，則，即，所以，因為，所以，所以，所以，所以；故選：A例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．86【答案】C【解析】因為成公比為3的等比數(shù)列，可得，所以又因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以公差，所以，所以，解得.故選：C.例17．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））等比數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，化為：，解得．故選：D【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略（1）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量，，，，，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解．（2）等比數(shù)列的前項和公式涉及對公比的分類討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，．題型二：等比數(shù)列的判定與證明例18．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)數(shù)列的前n項和為，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)若數(shù)列的前m項和，求m的值．【解析】(1)當(dāng)時，，．當(dāng)時，，兩式相減得，即，，則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．(2)由（1）得，，當(dāng)時，，數(shù)列的通項公式為．，，令，得，解得．例19．（2022·海南?？凇ざ＃┮阎獢?shù)列的各項均為正整數(shù)且互不相等，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；③．注：如選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【解析】選擇①②為條件，③為結(jié)論．證明過程如下：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知且．則，，，因為是等比數(shù)列，所以，即，展開整理得，所以，即．選擇①③為條件，②為結(jié)論，證明過程如下：設(shè)的公比為q，由題意知且．因為，即，因為，所以．所以，所以．因為，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．選擇②③為條件，①為結(jié)論，證明過程如下：設(shè)的公比為，由題意知且．則，所以，又因為，且，所以．所以．當(dāng)時，，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．例20．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前項和，其中，，為常數(shù).(1)若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)當(dāng)時，，則，又正項數(shù)列，則且，當(dāng)時，，又，則，也符合，則，，則，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；(2)由（1）知：當(dāng)時，，則，由可得，又正項數(shù)列可得，則，，則，又，可得，則，時也符合，則，則，，兩式相減得，則.例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列.【解析】設(shè)，則，且，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，其中.證明：是等比數(shù)列；【解析】證明：因為，所以，又，∴是首項為，公比為2的等比數(shù)列；例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，．證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；【解析】解：因為，所以，又，所以是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時，，而也滿足，所以；例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且.求證：數(shù)列是等比數(shù)列；【解析】證明：因為，，，所以，所以，即，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.例25．（2022·上?！つM預(yù)測）在數(shù)列中，，其中．(1)設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前n項和為，試比較與的大小．【解析】(1)，由得：，而，則，整理得，而，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.(2)由（1）知，，于是得，，因此，，令，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，而，即時，，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，.例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，已知，數(shù)列滿足，且.(1)求的通項公式；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，則，解得或（舍去），所以；(2)證明：因為，所以，即，所以，因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前項和為，證明：．【解析】(1)因為，所以，所以，因為，所以，，故數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為2；(2)由（1）可知，所以，所以．例28．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列和滿足，，，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．【解析】(1)由，，兩式相減得：，，則，所以是等比數(shù)列.(2)由，，兩式相加得：，即，因為，所以，由（1）知，所以，所以的前項和.例29．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列和滿足．(1)證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；(2)求的通項公式以及的前項和．【解析】(1)證明：因為，所以，即，所以是公比為的等比數(shù)列．將方程左右兩邊分別相減，得，化簡得，所以是公差為2的等差數(shù)列．(2)由（1）知，，上式兩邊相加并化簡，得，所以．例30．（2022·湖北·房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知在數(shù)列中，.(1)令，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)，證明：.【解析】(1)證明：，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.(2)證明：法一：，①，②①+②得所以.法二：由（1）知，所以，所以，所以，又，所以.例31．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，證明.【解析】(1)證明：因為，，則，，，以此類推可知，對任意的，，由已知得，即，所以，，且，是首項為，公比為的等比數(shù)列.(2)證明：由（1）知，，，，.例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）若恒成立，求的最小值.【解析】（1）由已知得，所以，又，，所以所以，所以數(shù)列的通項公式；（2）由得，又因為，所以是以首項為，公比為的等比數(shù)列；（3）由（2）得，所以，，因為，所以隨的增大而增大，又，所以要使恒成立，則的最小值為.例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，且.(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【解析】(1)由得：，且，則，又，所以數(shù)列是首項為3，公比為4的等比數(shù)列.(2)由（1）知：，又，則，當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，·綜上，·【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列的判定方法定義法若（為非零常數(shù)，或（為非零常數(shù)且，），則是等比數(shù)列中項公式法若數(shù)列中，且，則是等比數(shù)列通項公式法若數(shù)列的通項公式可寫成（均為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列前項和公式法若數(shù)列的前項和（為非零常數(shù)，），則是等比數(shù)列【注意】（1）前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定．（2）若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．題型三：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】C【解析】等比數(shù)列中，若，所以，所以．故選：C例35．（2022·遼寧沈陽·三模）在等比數(shù)列中，為方程的兩根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：在等比數(shù)列中，因為為方程的兩根，所以，所以，所以.故選：C.例36．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室二模（理））已知等比數(shù)列的公比為2，前n項和為，若，則（

）A． B．4 C． D．6【答案】D【解析】因為，，則，所以．故選:D例37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，如果，，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)知，，，，成等比數(shù)列，其首項為，公比為，所以.故選：C.例38．（2022·陜西·長安一中一模（理））正項等比數(shù)列滿足：，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比，，，則，時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，時，，舍去，綜上可得：的最小值是，故選B.例39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中，若，的為A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】在等比數(shù)列{an}中，由，得則故選A.例40．（2022·天津·一模）在等比數(shù)列中，公比是，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】解：當(dāng)時，則，因為，所以，所以，故，所以不能推出，當(dāng)時，則，由，得，則，所以，所以不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.例41．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））已知為等比數(shù)列，，則_________．【答案】【解析】設(shè)公比為，由題意知：，又，解得或，若，則，，則；若，則，，則.故答案為：.例42．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））在正項等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項積為，，則n的最小值為______【答案】5【解析】設(shè)正項等比數(shù)列公比為q，由得，于是得，而，解得，因此，，，由得：，從而得：，而，解得，又，則n的最小值為5，故答案為：5.例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，已知，其前n項之積為，且，則取最小值時，n的值是___________．【答案】9【解析】由得，依題意得故時，取最小值.【詳解】由得，即故因為，則，由于，得所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，故則取最小值時，故答案為：9【方法技巧與總結(jié)】（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若，則．”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．題型四：等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項和，則________．【答案】2【解析】由題設(shè)，，若時，，故與矛盾，∴，即，顯然成立.故答案為：2.例45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的前項和為,則實數(shù)_______.【答案】1【解析】【詳解】最后代回原式進(jìn)行檢驗。例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列前n項和為，若，則______.【答案】【解析】因為等比數(shù)列的前n項和為，則成等比，且，所以，又因為，即，所以，整理得.故答案為：.例47．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列、均為正項等比數(shù)列，、分別為數(shù)列、的前項積，且，則的值為___________.【答案】【解析】推導(dǎo)出數(shù)列、為等差數(shù)列，由此可得出，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則（常數(shù)），所以，數(shù)列為等差數(shù)列，同理可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，因為，同理可得，因此，.故答案為：.例48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因為數(shù)列為等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，設(shè)，則，則，故，所以，得到，所以.故選：C.例49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因為是正項等比數(shù)列，所以，，仍然構(gòu)成等比數(shù)列，所以.又，，成等差數(shù)列，所以，，所以.又是正項等比數(shù)列，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：B.例50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，，則A．144 B．81 C．45 D．63【答案】B【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可知：，，，……成等比數(shù)列，設(shè)公比為由題意得：

本題正確選項：例51．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，等比數(shù)列前項和公式，依題意.故選：A例52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項和，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，得，所以，故選：A【方法技巧與總結(jié)】（1）等比數(shù)列中，所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和具有的性質(zhì)，設(shè)公比為．①若共有項，則；②若共有項，．（2）等比數(shù)列中，表示它的前項和．當(dāng)時，有也成等比數(shù)列，公比為．題型五：求數(shù)列的通項例53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，則，又，所以是以3為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，得．故選：C．例54．（2022·青海玉樹·高三階段練習(xí)（文））已知為數(shù)列的前n項和，若，則的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令可得，又，解得，又，則，，即是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，.故選：B.例55．（2022·安徽·高考模擬（文））已知等比數(shù)列的首項為2，前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得：或（舍去），∴；當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，.例56．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)（文））2022北京冬奧會開幕式上，每個代表團(tuán)都擁有一朵專屬的“小雪花”，最終融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界！（如圖一），如圖二是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案．圖形的作法是從一個正三角形開始，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一個“雪花”狀的圖案．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為3，把圖二中的①，②，③，④，……圖形的周長依次記為，，，，…，得到數(shù)列．(1)直接寫出，的值；(2)求數(shù)列的通項公式．【解析】(1)，.(2)由圖形的作法可知：從邊數(shù)看，后一個圖形的邊數(shù)是前一個圖形的邊數(shù)的倍，所以，從一個正三角形開始，“雪花”圖案的作法所得圖形的邊數(shù)是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，第個圖形的邊數(shù)為，從邊長看，后一個圖形的邊長是前一個圖形的邊長的倍，所以，從一個正三角形開始，“雪花”圖案的作法所得圖形的邊長是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，第個圖形的邊長為，所以，.例57．（2022·上?！じ呷A段練習(xí)）治理垃圾是S市改善環(huán)境的重要舉措．去年S市產(chǎn)生的垃圾量為200萬噸，通過擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理等一系列措施，預(yù)計從今年開始，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年減少20萬噸，從第6年開始，每年的垃圾排放量為上一年的．(1)寫出S市從今年開始的年垃圾排放量與治理年數(shù)的表達(dá)式；(2)設(shè)為從今年開始n年內(nèi)的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，則認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的；否則，認(rèn)為無效，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說明理由．【解析】(1)設(shè)治理年后，S市的年垃圾排放量構(gòu)成數(shù)列.當(dāng)時，是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以；當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表達(dá)式為(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，則．由于由（1）知，時，，所以為遞減數(shù)列，時，，所以為遞減數(shù)列，且，所以為遞減數(shù)列，于是因此，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，故認(rèn)為現(xiàn)有的治理措施是有效的【方法技巧與總結(jié)】（1）等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則它的通項公式．推廣形式： （2）等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列的公比為，其前項和為題型六：奇偶項求和問題的討論例58．（2022·全國·一模（理））已知數(shù)列中，，，則的前200項和_________.【答案】【解析】當(dāng)時，可知，進(jìn)而可知，即，從而可知的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是等比數(shù)列，進(jìn)而分奇偶兩部分，可求出.【詳解】由，，得.當(dāng)時，，所以，即，所以的奇數(shù)項是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；其偶數(shù)項是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.則.故答案為：.例59．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的前10項中所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和的比為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，又，即前10項分別為，所以數(shù)列的前10項中，，所以，故選：C．例60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一個等比數(shù)列首項為，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則這個數(shù)列的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)這個等比數(shù)列共有項，公比為，則奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，，等比數(shù)列的所有項之和為，則，解得，因此，這個等比數(shù)列的項數(shù)為.故選：C.例61．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前n項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)變形為，因為，所以，故；(2)當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，則例62．（2022·天津·二模）已知數(shù)列中，，，令．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若求數(shù)列的前23項和．【解析】(1)解：當(dāng)n=1時，a1a2=2，又a1=1，得a2=2，由，①，得，②，①②兩式相除可得，則，且b1=a2=2，所以數(shù)列{bn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故；(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，，，所以數(shù)列的前23項和為，=，=．例63．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，(1)令，求，及的通項公式；(2)求數(shù)列的前2n項和.【解析】(1)由題意得，，，，，，，，當(dāng)時，，又，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.(2)由（1）知，所以，所以.例64．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）已知數(shù)列，，已知對于任意，都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)記．（ⅰ）求；（ⅱ）求．【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d，∵，，成等比數(shù)列，且，∴，即，解得，則，即，(2)（?。┯桑?）可知，，則；（ⅱ）由題意，對，，設(shè)的前n項為，所以，則，則，所以，即．例65．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項和為，且滿足(1)求和的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【解析】(1)由題：，∵，即得：，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，，兩式相減整理得，即數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列∴(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，，兩式相減得：得：【方法技巧與總結(jié)】求解等比數(shù)列的前項和，要準(zhǔn)確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數(shù)的值；對于奇偶項通項不統(tǒng)一問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類．題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例66．（2022·北京市玉淵潭中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為一等差數(shù)列，為一等比數(shù)列，且這6個數(shù)都為實數(shù).則下面四個結(jié)論中正確的是（

）①與可能同時成立

②與可能同時成立③若，則

④若，則A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【答案】B【解析】解：由等差數(shù)列知：，為公差），故①③均不正確，由等比數(shù)列為公比）知：，知④正確，當(dāng)，時，②正確，所以正確的序號有：②④．故選：．例67．（2022·浙江省杭州第二中學(xué)模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列公差不為0，正項等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項等比數(shù)列公比為，因為，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以時，，時，．，，由，，即，（*），令，，（*）式為，其中，且，由已知和是方程的兩個解，記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)它們同增或同減時，圖象才能有兩個交點，即方程才可能有兩解（題中時，，時，，滿足同增減）．如圖，作出和的圖象，它們在和時相交，無論還是，由圖象可得，，，時，，時，，因此，，，，即，故選：B例68．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由等差，等比數(shù)列的形式特征畫函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷選項.【詳解】等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，，圖象中的孤立的點在一條直線上，而等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點在指數(shù)函數(shù)圖象上，如圖所示當(dāng)時，如下圖所示，當(dāng)公差時，如下圖所示，如圖可知當(dāng)時，，，，.故選：D例69．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．(2)由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．例70．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列是首項為2的等比數(shù)列，且．設(shè)數(shù)列滿足，其中，其前n項和為．(1)求的值．(2)若，求證：．【解析】(1)解：因為，所以，解得，所以，所以，，；(2)．當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，所以，.例71．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列，與的等差中項為，且．(1)求的通項公式；(2)從中依次取出第項、第項、第項、…、第項，按照原來的順序組成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，與的等差中項為，，解得：；，，；(2)由（1）得：，即，.例72．（2022·吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測（理））在①，②這兩個條件中，任選一個補(bǔ)充在下面的問題中，并解答．已知正項等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)已知正項等比數(shù)列的前n項和為，，_________，求．注：如果選擇兩個條件并分別作答，按第一個解答計分．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，因為，且成等比數(shù)列，所以，解得：或（舍），所以．(2)選擇①：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，所以，又，即，所以或（舍），所以．選擇②：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，，即，可得或（舍），所以．【方法技巧與總結(jié)】（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項等比數(shù)列，正項等比數(shù)列通過對數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列．題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問題例73．（2022·安徽·蚌埠二中二模（理））已知等比數(shù)列的前項和為，則下列判斷一定正確是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】【詳解】利用排除法：考查等比數(shù)列：，，，，滿足，但是，選項A錯誤；考查等比數(shù)列：，，，，滿足，但是，選項B錯誤；該數(shù)列滿足，但是，選項C錯誤；本題選擇D選項.例74．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列存在最大值 D．是數(shù)列中的最大值【答案】D【解析】因為是公比為的等比數(shù)列，且，，，所以，，所以，所以在等比數(shù)列中，從到的每一項都大于，從開始后面所有的項的值都小于且大于.對于A：因為，所以，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C：根據(jù)上面的分析，等比數(shù)列中每一項都為正值，所以無最大值，所以數(shù)列無最大值，故C不正確；對于D：因為在等比數(shù)列中，從到的每一項都大于，從開始后面所有的項的值都小于且大于，所以是數(shù)列中的最大值，故D正確.故選：D.例75．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結(jié)論：①；②；③是數(shù)列中的最大項；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的序號為（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【解析】，，，，．，故①正確；，，故②不正確；，是數(shù)列中的最大項，故③正確；，，使成立的最大自然數(shù)等于4038，故④不正確．正確結(jié)論的序號是①③．故選：B．例76．（2022·北京房山·高三開學(xué)考試）已知等比數(shù)列中，，那么“”是“為數(shù)列的最大項”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，可知遞減，所以為數(shù)列的最大項，當(dāng)為數(shù)列的最大項時，則，所以，解得且，所以“”是“為數(shù)列的最大項”的充分而不必要條件，故選：A例77．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，且是數(shù)列的前n項和，則（

）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增 B．C． D．【答案】D【解析】對于A，因為，所以，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以所以所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，所以這種情況不存在.所以，所以數(shù)列單調(diào)遞減.所以選項A錯誤.．所以A錯誤．對于B：由前面得．下面證明．只需證明，令，，令，則，∴成立．所以，所以，所以選項B錯誤；對于C：，設(shè)，設(shè)，則．所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以隨著減小，從而增大．所以，即．所以C錯誤．對于D：一般地，證明：．只需證明．．令，則，∴成立．所以，所以．所以D正確．故選：D例78．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，，．記，下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的公比為 B．C．存在最大值，但無最小值 D．【答案】C【解析】因為，，所以正項等比數(shù)列的公比滿足，且，所以，故A錯誤；由等比數(shù)列的前項和公式可得，，因為，所以，故B錯誤；因為，所以，易知，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，所以存在最大值，但無最小值，故C正確；，故D錯誤；故選：C.例79．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則（

）A． B．當(dāng)時，最小C．當(dāng)時，最小 D．存在，使得【答案】AC【解析】對A，∵，，∴，又，，∴，故A正確；對B，C，由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故，，，∴，∵，，，∴，，∴，故當(dāng)時，最小，B錯誤，C正確；對D，當(dāng)時，，故，故D錯誤.故選：AC．例80．（多選題）（2022·湖南懷化·一模）設(shè)是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項的積，且，則下列選項中成立的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值【答案】ABD【解析】由已知數(shù)列各項均為正，因此乘積也為正，公比，又，，，B正確；，，即，A正確；由得，，所以，而，，因此，C錯；由上知，先增后減，與均為的最大值，D正確．故選：ABD．例81．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，解得，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，取得最小值，所以，解得，故選：D題型九：等比數(shù)列的簡單應(yīng)用例82．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））北京年冬奧會開幕式用“一朵雨花”的故事連接中國與世界，傳遞了“人類命運(yùn)共同體”的理念．“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，是一種分形幾何．圖1是長度為的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，這稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，這稱為“二次分形”；．依次進(jìn)行“次分形”．規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度．若要得到一個長度不小于的分形圖，則的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)，）A． B． C． D．【答案】C【解析】圖1的線段長度為，圖2的線段長度為，圖3的線段長度為，，“次分形”后線段的長度為，所以要得到一個長度不小于的分形圖，只需滿足，則，即，解得，所以至少需要次分形．故選：C.例83．（2022·四川·宜賓市教科所三模（理））如圖，作一個邊長為1的正方形，再將各邊的中點相連作第二個正方形，依此類推，共作了n個正方形，設(shè)這n個正方形的面積之和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，從第2個正方形開始，以后每個正方形邊長都是相鄰前一個的，而所有正方形都相似，則從第2個正方形開始，每個正方形面積都是相鄰前一個的，因此，將各正方形面積依次排成一列可得等比數(shù)列，其首項，公式，所以.故選：B例84．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在適宜的環(huán)境中，一種細(xì)菌的一部分不斷分裂產(chǎn)生新的細(xì)菌，另一部分則死亡.為研究這種細(xì)菌的分裂情況，在培養(yǎng)皿中放入m個細(xì)菌，在1小時內(nèi)，有的細(xì)菌分裂為原來的2倍，的細(xì)菌死亡，此時記為第一小時的記錄數(shù)據(jù).若每隔一小時記錄一次細(xì)菌個數(shù)，則細(xì)菌數(shù)超過原來的10倍的記錄時間為第（

）A．6小時末 B．7小時末 C．8小時末 D．9小時末【答案】A【解析】設(shè)表示第n小時末的細(xì)菌數(shù)，依題意有，，則是等比數(shù)列，首項為，公比，所以.依題意，，即，所以,由于，又，所以，所以第6小時末記錄的細(xì)菌數(shù)超過原來的10倍,故選:A.例85．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）十九世紀(jì)下半葉，集合論的創(chuàng)立莫定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我們可以構(gòu)造一個“四分集”，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為四段，去掉其中的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的三個間分別均分為四段，并各自去掉第二個區(qū)間段，記為第二次操作；……如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為四段，同樣各自去掉第二個區(qū)間段．操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“四分集”．第三次操作去掉的區(qū)間長度和為________；若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為________（參考數(shù)據(jù)：）【答案】

【解析】由題意得：每次操作，去掉的區(qū)間長度和為上一次去掉的區(qū)間長度之和的，設(shè)去掉的區(qū)間長度之和為，則為等比數(shù)列，其中，公比，所以，故，其中，令，解得：，所以需要操作的次數(shù)n的最小值為11.故答案為：，11例86．（2022·全國·華中師大一附中模擬預(yù)測）已知數(shù)列為1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此規(guī)律類推．若其前n項和，則稱k為的一個理想數(shù)．將的理想數(shù)從小到大依次排成一列，則第二個理想數(shù)是______；當(dāng)?shù)捻棓?shù)時，其所有理想數(shù)的和為______．【答案】

2

115【解析】由題意可知,故第一個理想數(shù)為1，第二個理想數(shù)為2，當(dāng)時，數(shù)列可分為：第1組1個數(shù)：1，其和為，第2組2個數(shù)：，，其和為，第3組3個數(shù)：，，，其和為，……，第N組N個數(shù)：，，，…，，其和為，于是，前N組共個數(shù)，其和為，當(dāng)時，不可能是2的整數(shù)冪，設(shè)第組還有t個數(shù)（），這t個數(shù)的和為，所以項數(shù)，其前n項和，當(dāng)時，若，則是的一個理想數(shù)．由項數(shù)，即得，由，因此．當(dāng)時，，理想數(shù)為6；當(dāng)時，，理想數(shù)為14；當(dāng)時，，理想數(shù)為30；當(dāng)時，，理想數(shù)為62；所以當(dāng)項數(shù)時，所有理想數(shù)的和為．故答案為：2；115例87．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）雪花曲線是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從圖①的正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊得到圖②，重復(fù)進(jìn)行這一過程可依次得到圖③、圖④等一系列“雪花曲線”．①

②

③

④若第①個圖中的三角形的邊長為1，則第②個圖形的面積為___________；第n個圖中“雪花曲線”的周長Cn為___________．【答案】

【解析】第一個三角形面積，第二個圖形在第一個基礎(chǔ)上多了三個小正三角形，故．記第n個圖形為，三角形邊長為，邊數(shù)，周長，有條邊，邊長；有條邊，邊長；有條邊，邊長，即，，周長．故答案為：；【過關(guān)測試】一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2022·上海奉賢·二模）若，，，成等比數(shù)列，則下列三個數(shù)列：①；②；③，必成等比數(shù)列的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若，，，為，則不為等比數(shù)列，①不符合；由，，，必非零且公比為，則也非零且公比為，②符合；若，，，為，則不為等比數(shù)列，③不符合；故選：B2．（2022·遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列是首項為1的正項等差數(shù)列，公差不為0，若、數(shù)列的第2項、數(shù)列的第5項恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，所以，，又、數(shù)列的第2項、數(shù)列的第5項恰好構(gòu)成等比數(shù)列，即，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，解得，（舍去），所以.故選：A.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）1883年，德國數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成三段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間和；第二步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為三段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下的各個區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷步構(gòu)造后，不屬于剩下的閉區(qū)間，則的最小值是（

）．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】不屬于剩下的閉區(qū)間，屬于去掉的開區(qū)間經(jīng)歷第步，剩下的最后一個區(qū)間為，經(jīng)歷第步，剩下的最后一個區(qū)間為，……，經(jīng)歷第步，剩下的最后一個區(qū)間為，去掉的最后開區(qū)間為由化簡得，解得故選:A4．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前項和為．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，由①，可得：②，兩式相減得：，所以，，當(dāng)時，，故數(shù)列是從第二項開始的，公比是2的等比數(shù)列，所以，所以故選：C5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列為等比數(shù)列，，，命題，命題是、的等比中項，則是的（

）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列，且，，若，則，則是、的等比中項，即；若是、的等比中項，設(shè)的公比為，則，因為，故，即.因此，是的充要條件.故選：A.6．（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））數(shù)列中，，對任意m，，，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】解：在等式，中，令，可得，∴，∴數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得故選：C.7．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列{}滿足，，則數(shù)列{}第2022項為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：由.得，又，可得所以，，，……，，將上式相加得，故選：A.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，，，則下列選項不正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．C．是等比數(shù)列 D．【答案】B【解析】對于A：當(dāng)是奇數(shù)時，，所以，又因為，所以，所以當(dāng)是奇數(shù)時，，即．即是以首項為，公比為1的等比數(shù)列，即選項A正確；對于B：由A知：當(dāng)是奇數(shù)時，，所以，即選項B錯誤；對于C：當(dāng)為偶數(shù)時，，即，又因為，所以，所以是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故選項C正確；對于D：，即選項D正確．故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】AD【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，則是以為公比的等比數(shù)列，A對；時，，則不是等比數(shù)列，B錯；，時，，此時不是等比數(shù)列，C錯；，所以，是公比為的等比數(shù)列，D對.故選：AD．10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差和首項都不等于0，且，，成等比數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由題設(shè)，若的公差和首項分別為，而，∴，整理得，又公差和首項都不等于0，∴，故D正確，C錯誤；∵，∴，故A正確，B錯誤.故