專題17向量中的隱圓問(wèn)題【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內(nèi)，若為定點(diǎn)，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據(jù)極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．二．極化恒等式和型：定理：若為定點(diǎn)，滿足,則的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．三．定冪方和型若為定點(diǎn)，，則的軌跡為圓．證明：．四．與向量模相關(guān)構(gòu)成隱圓【典例例題】例1．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知與為單位向量，且⊥，向量滿足，則||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得，進(jìn)而由向量模的計(jì)算公式可得，分析可得在以為圓心，半徑為2的圓上，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S的正方向建立坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，若，則有，則在以為圓心，半徑為2的圓上，設(shè)為點(diǎn)，則，則有，即，則的取值范圍為；故選：D．例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D

例3．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知平面向量，，且非零向量滿足，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由得，將轉(zhuǎn)化為和圓上點(diǎn)之間的距離，即可求出最大值.【詳解】設(shè)，則，，整理得，則點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則表示和圓上點(diǎn)之間的距離，又在圓上，故的最大值是.故選：B.例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的夾角公式可得，設(shè)，，，，，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得點(diǎn)的軌跡為圓，由幾何意義可知：的最小值為減去半徑即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以不妨設(shè)，，，，，，則，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)為：，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以為圓心，半徑為的圓，所以的最小值為，故選：B.例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為（

）A． B．1C． D．

【答案】D【解析】【分析】由題意可得，將原等式化為，得出，設(shè)，進(jìn)而得出，表示以，半徑為1的圓；而表示圓心到定點(diǎn)B(-2，0)的距離減去半徑，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解得答案.【詳解】由題意知，，則，由可得，即，設(shè)，則，所以，所以表示以，半徑為1的圓，表示圓C上的點(diǎn)到定點(diǎn)B(-2，0)的距離，而的最小值即為圓心到定點(diǎn)B(-2，0)的距離減去半徑，如圖所示，又，所以.故選：D例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為2的正方形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可計(jì)算作答.【詳解】是邊長(zhǎng)為2的正方形，則以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，設(shè)點(diǎn)，，于是得：，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最小值是.故選：B例7．（2022·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知平面向量滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得，，，設(shè)，，，可得點(diǎn)的軌跡為圓，由圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，，因?yàn)?，所以，設(shè)，，，，，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑的圓上，表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，所以的最小值為，故選：D.例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，表示以為圓心，為半徑的圓，求出圓心到原點(diǎn)的距離，再減去半徑即為所求【詳解】解：建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，表示以為圓心，為半徑的圓，則的最小值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值，因?yàn)閳A到原點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是寫出滿足條件的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，滿足，在方向上的投影為2，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)，向量的夾角為，可得，即可求出，不妨設(shè)，，設(shè)，由，整理可知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，而，結(jié)合圓的性質(zhì)，可求出的最小值.【詳解】設(shè)，向量的夾角為，則，則，因?yàn)?，所?不妨設(shè)，，設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，記圓心為，又，即，當(dāng)直線過(guò)圓心，且垂直于軸時(shí)，可取得最小值，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的模，考查向量的數(shù)量積及向量的投影，注意利用數(shù)形結(jié)合的方法，屬于難題.例10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則的最小值是A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】作出圖像如下圖所示，取的中點(diǎn)為D，由，則P在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，再由公式，可得選項(xiàng).【詳解】作出圖像如下圖所示，取的中點(diǎn)為D，則，因?yàn)?，則P在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，則.又為圓O上的點(diǎn)P到D的距離，則，∴的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的最值，轉(zhuǎn)化法是解決此類問(wèn)題的常用方法，屬于中檔題.例11．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知為單位向量，向量滿足：，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】可設(shè)，，根據(jù)，可得的關(guān)系式，并得出的范圍，，將用表示，再根據(jù)函數(shù)的最值即可得解.【詳解】解：可設(shè)，，則，即，則，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為6，即的最大值為6.故選：C例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，為平面向量，，且使得與所成夾角為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出向量，的夾角，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)，，，根據(jù)線性運(yùn)算可得，，，結(jié)合正弦定理可求出點(diǎn)的軌跡，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，可得，因?yàn)椋?，如圖所示：在平面直角坐標(biāo)系中，，，不妨設(shè)，，延長(zhǎng)到使得，則，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，則，，則滿足題意時(shí)，，結(jié)合點(diǎn)，為定點(diǎn)，且，由正弦定理可得：，可得，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的優(yōu)弧上，當(dāng)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)位于圖中點(diǎn)位置時(shí)，取得最大值，其最大值為，故選：A.例13．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及余弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.【詳解】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，且，則為的中點(diǎn)，故，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.例14．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿足，與的夾角為，且則的最小值是___．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，，設(shè)，根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求得C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,利用的幾何意義可求得答案.【詳解】由題意不妨設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，令，，設(shè)，由于,∴，∴，即，故C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,故，故答案為：例15．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿足，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用平面向量的幾何意義及平面向量等和線定理進(jìn)行求解.【詳解】解析：幾何意義+等和線由題記，則由，得，且．作圖，如右圖所示：為正三角形，，由，得C在直線上，又∵，∴，即點(diǎn)D在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上，∴．故答案為：．例16．（2022·浙江金華·三模）已知平面向量，，滿足，當(dāng)取到最小值吋，對(duì)任意實(shí)數(shù)，的最小值是___________．【答案】##【解析】【分析】構(gòu)造單位圓，設(shè)出向量，，，由題設(shè)得到CA、CB是圓O的兩條切線，，從而由當(dāng)取到最小值時(shí)，求得，結(jié)合表示的是以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在AB上的向量，可求得答案.【詳解】如圖，設(shè)為單位圓O的兩條半徑，記，，，設(shè)，由題意，可知CA、CB是圓O的兩條切線，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”，此時(shí)，因?yàn)楸硎镜氖且設(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在AB上的向量，故當(dāng)該向量垂直于向量時(shí)，其模最小，記，則，則，故答案為：例17．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)為AB中點(diǎn)，令，結(jié)合圖形，利用向量的線性運(yùn)算求出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最小值即可.【詳解】如圖，設(shè)為AB中點(diǎn)，令，則

①，因?yàn)椋视校?/p>

②，由①②得，從而，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)C在以AB為直徑的圓E上.，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在平面上分別作出向量對(duì)應(yīng)的有向線段，利用極化恒等式得出，聯(lián)立方程后可得，是解題的關(guān)鍵，再將向量模用表示出來(lái)，即可利用函數(shù)單調(diào)性求最值.例18．（2022·浙江·慈溪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，若，且，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)，，，，，，則，再根據(jù)題意得點(diǎn)是直線與的角平分線的交點(diǎn)，得到，進(jìn)而得到，求解計(jì)算即可.【詳解】如下圖所示，設(shè)，，，，，，因?yàn)?，所以，因此點(diǎn)在直線上，又由于，因此是的角平分線，因此點(diǎn)是直線與的角平分線的交點(diǎn).根據(jù)角平分線的性質(zhì)可.過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，則.因此點(diǎn)在以為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)由于，由此當(dāng)直線相切于時(shí)，有最大值，有最小值.設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為，則，，故.綜合上述，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】與平面向量有關(guān)的最值問(wèn)題，常見(jiàn)處理方法有兩種：第一種：利用坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；第二種：利用點(diǎn)的幾何意義轉(zhuǎn)化成軌跡問(wèn)題求解.例19．（2022·遼寧·一模）已知向量、、，且，，，，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，寫出、、坐標(biāo)，求出終點(diǎn)軌跡，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】不妨設(shè)，，，，則起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)軌跡為單位圓，∴當(dāng)與同向時(shí)，最小，為.故答案為：.例20．（2022·浙江·寧波市鄞州高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知平面向量，和單位向量，滿足，，當(dāng)變化時(shí)，的最小值為，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，由條件得出點(diǎn)的軌跡方程，又設(shè),即由條件可得三點(diǎn)共線，根據(jù)幾何關(guān)系可得答案.【詳解】設(shè)，則，由，則即即點(diǎn)在圓上.由，即設(shè),即由，則三點(diǎn)共線.當(dāng)時(shí)，取得最小值故當(dāng)與圓相切時(shí),取得最大值.如圖設(shè)圓心為，由與相似則，即故答案為：例21．（2022·浙江·湖州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知平面向量滿足：，，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求出B的軌跡方程，再根據(jù)的幾何意義求其最小值.【詳解】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，則A(1，0)，B(x，y)，則，，即的軌跡為拋物線：.設(shè)，則，＝，設(shè)，∵，故C的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，∴，可看作拋物線上任意點(diǎn)到以為圓心，半徑為1的圓上任一點(diǎn)的距離，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最小值為.故答案為：.例22．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知、、是平面向量，是單位向量．若，，則的最大值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】作，，，，分析可知?jiǎng)t點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，可得，設(shè)，利用圓的幾何性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】因?yàn)?，則，即，因?yàn)?，即，作，，，，則，，則，固定點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示：，設(shè)，則，因?yàn)?，，故，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求向量模的常見(jiàn)思路與方法：（1）求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用，勿忘記開(kāi)方；（2）或，此性質(zhì)可用來(lái)求向量的模，可實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化；（3）一些常見(jiàn)的等式應(yīng)熟記：如，等.例23．（2022·浙江·舟山市田家炳中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知向量與的夾角為，，，向量的夾角為，，則的最大值是___________.【答案】25【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)正弦定理可求出.記線段的中點(diǎn)為M，的中點(diǎn)，在中，可求出，從而可求出，然后在中，根據(jù)余弦定理求出，從而可求出.【詳解】如圖，作圓P，使得，且點(diǎn)O在優(yōu)弧上，點(diǎn)C滿足，則，符合題意.記線段的中點(diǎn)為M，在中，由正弦定理，得，取的中點(diǎn)，連接，在中，，，所以，所以，在中，由余弦定理，得，且，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，等號(hào)成立所以的最大值是.故答案為：.例24．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，若，則的最大值是__________．【答案】##【解析】【分析】由已知條件可設(shè)，．由已知可確定點(diǎn)C在以為圓心，1為半徑的圓上，D在以為圓心3為半徑的圓內(nèi)（含邊界），則所求即為圓面M內(nèi)一點(diǎn)與圓P上一點(diǎn)之間的距離，從而可得答案.【詳解】∵，∴，又，則可設(shè)，設(shè)．由知C在以為圓心，1為半徑的圓上，取的中點(diǎn)為，由,又，所以所以D在以為圓心3為半徑的圓內(nèi)（含邊界），如圖所示．作圓N關(guān)于x軸的對(duì)稱圓圓P，其中，則表示圓面M內(nèi)一點(diǎn)與圓P上一點(diǎn)之間的距離，所以，即的最大值為．故答案為：．例25．（2022·四川省瀘縣第四中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是_________．【答案】【解析】【分析】由題意可設(shè)的坐標(biāo)，設(shè)，利用求得的終點(diǎn)的軌跡方程，即可求得答案.【詳解】因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，故不妨設(shè)，設(shè)，由得：，即，即，則的終點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，故的最大值為，故答案為：例26．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，滿足，，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】4【解析】【分析】，，得到，，從而畫圖，點(diǎn)A，B在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，作出平行四邊形，利用差向量與和向量分別為平行四邊形的兩條