/9word.圖1A.夕卜心BA.夕卜心B?內(nèi)心C?重心D?垂心分析已知等式即AP=+_^C),設(shè)AE=^B,AF=^C，顯然IABIIACIIABIIACIAE,AF都是單位向量，以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，則結(jié)果為菱形，故AP為ZABC的平分線，選B?一例7、AABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OH二m(OA+OB+OC)，則實(shí)數(shù)m=?分析：本題除了利用特殊三角形求解夕，純粹利用向量知識推導(dǎo)則比較復(fù)雜，更加重要的一點(diǎn)是缺乏幾何直觀?解法如下，由已知，有向量等式AHBC二0,代入將其中的向量分解，向已知等式形式靠攏，有(OH-OA)(OC-OB)=0，將已知代入有[m(OA+OB+OC)-OA](OC-OB)=0m(OC2-OB2)+(m-1)OABC=0,由O是外心，得(m-1)OABC=0,由于AABC是任意二角形，則OABC不恒為0,故只有m=1恒成立.或者8點(diǎn)O作OM丄BC與M,則M是BC的中點(diǎn)瑋OM=-(OB+OC)；H是垂心，貝UAH丄BC,故AH與OM共線，設(shè)AH二kOM,則k’??OH=OA+AH=OA+—(OB+OC),又OH=m(OA+OB+OC),故可得2kk>?k??(m-1)OA+(m--)OB+(m--)OC=0,有m-1=m--=0,得m=1?222根據(jù)已知式子OH二m(OA+OB+OC)中的OA+OB+OC部分，很容易想到三角形的重心坐標(biāo)公式設(shè)三角形的重心為G,O是平面內(nèi)任一點(diǎn),均有OGZ°A+如O匚由題意,題目顯然敘述的是一個一般的結(jié)論，先作圖使問題直觀化，如圖1,由圖上觀察，很容易猜想到HG=2GO，至少有兩個產(chǎn)生猜想的誘因其一是BF,OT均與三角形的邊AC垂直則BF//OT；其二，點(diǎn)G是三角形的中線BT的三等分

點(diǎn).此時，會先猜想△BHG^△TOG,但現(xiàn)在缺少一個關(guān)鍵的條件，即BH=2OT，這樣由兩個三角形的兩邊長對應(yīng)成比例，同時，夾角對應(yīng)相等可得相似．當(dāng)然，在考試時，只需大膽使用，也可利用平面幾何知識進(jìn)行證明．本題結(jié)論是關(guān)于三角形的歐拉定理，即設(shè)O、G、H分別是△ABC的外心、重心和垂心，則O、G、H三點(diǎn)共線，且OG：GH=1：2,利用向量表示就是OH=3OG?例8、點(diǎn)0是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OAOB=OBOC=OCOA,則點(diǎn)0是AABC的（）?A?三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)A?三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B??三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)八、、C?三條中線的交點(diǎn)C?三條中線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)移項(xiàng)后不難得出OBCA=OCAB=OACB=0，點(diǎn)0是AABC的垂心,3推廣應(yīng)用題例9在AABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使AP2+BP2+CP2最小?分析如圖2,構(gòu)造向量解決?取CA二a,CB二b為基向量，設(shè)CP=x，有AP=x-a,BP=x-b?TOC\o"1-5"\h\z?—??—?是，AP2+^BP2TCP2土(x一a)2+(x一b)2+x=3[x一1(a+b)]2+a2+b2一1(a+b)2.當(dāng)x=-(a+b)時，AP2+BP2+CP2最小，此時，即OP=1(OA+OB+OC),33則點(diǎn)PABC的重心匚??????--例f10--已知O為AABC所在平面申一^點(diǎn)十滿足心?IOA|2+1BC|2=1OB|2+1CA|2=1OC|2+1AB|2，則O為AABC心?分析將丨BC|2=(OC一OB)2=OC2+OB2-2OCOB,ICAb,|ABI2也類似展

開代入，已知等式與例4的條件一樣?也可移項(xiàng)后，分解因式合并化簡，0為垂心．例11已知例11已知O為△ABC的外心求證：OAsinBOC+OBsinAOC+OCsinAOB=0.分析構(gòu)造坐標(biāo)系證明?如圖3,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),B在x軸的正半軸,C在x軸的上方.S二1xy,直線BC的方程是△AOB220yx+（x-x）y-xy=0，由于點(diǎn)A與點(diǎn)O必在直32323線BC的同側(cè)，且-xy<0,因此有23xy-xy+xy-xy<0，得03302023S=(xy+xy-xy-xy).△BOC230230320直線AC的方程是yx-xy=0，由于點(diǎn)(1,0)與點(diǎn)O必在直線AC的同側(cè)，且33yx1-xx0>0，因此有xy-xy>0，得S=(xy-xy)?330330△AOC20330于是，容易驗(yàn)證，OAxS+OBxS+OCxS=0，又△BOC△AOC△AOBS=丄丨OBIIOCIsinBOC,△BOC2S=11OBIIOAIsinAOB,S二11OAIIOCIsinAOC□又IOAI=IOB1=IOCI,△BOA2△AOC2則所證成立總結(jié)：知識綜述一-—-—-一一—（一）三角形各心的概念介紹1、重心——三角形的三條中線的交點(diǎn)；2、垂心——三角形的三條垂線的交點(diǎn)；3、內(nèi)心——三角形的三個內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)（三角形內(nèi)切圓的圓心）；4、外心——三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)（三角形外接圓的圓心）根據(jù)概念，可知各心的特征條件?比如：重心將中線長度分成2：1；垂線與對應(yīng)邊的向量積為0；角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等?二）三角形各心的向量表示1、O是A1、O是AABC的重心oOA+OB+OC=0；2、O是AABC的垂心oOA-OB=OB-OC=OC-2、TOC\o"1-5"\h\zF*"*■ry&QH03、O是AABC的外心olOA1=1OB1=1OC丨(或OA2=OB2=OC2)；4、O4、O]，I，ABACBABCCACBA_oOA-(-)=OB-