第12講數(shù)列性質:中項、片段和參考答案與試題解析選擇題(共12小題)(2021?南昌自主招生)等差數(shù)列｛4｝中,2(q+a4+%)+3(4+%)=24,則其前13項和為( )A.13 B.26 C.52 D.156【解答】解：?.?2(4+q+34+4+6")+3(4+8</+q+104)=2(3。]+9d)+3(2a,+18d)=1244-72d=24?q+6d=2,a7=2(q+q3)xl32%xl35.,=―! L =-L =2x13=26TOC\o"1-5"\h\z13 2 2故選：B.(2021春?沙坪壩區(qū)校級期中)設｛q｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若4+g+/=15,4a203=80,貝U/+%+々14=( )A.120 B.114 C.105 D.75【解答】解：設等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d>0，，?q+%+%=15,.匕生=15,解得％=5.又446=8。，(5-</)x5x(5+J)=80,解得d=3.又3%+3d=15t解得4=2.則%+%+%=3O|3=3(2+12x3)=114.故選：B.(2021秋?漳平市期中)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃"｝中，％=1，則其前3項的和S3的取值范圍是( )A.(—00,—1] B.[3,4-oo)C.(―,0)<J(l,+00) D.(y,-1]|J[3,+8)【解答】解：?.?等比數(shù)列僅〃｝中，4=1，/.S3=a｝+a,+%=a,(1+夕+一),q??,公比q>0時，S3=14-(7+—..1+2=3.q當且僅當q=l時上式等號成立.

前3前3項的和S3的取值范圍是［3,+00）.故選：B.4.（2021?浙江模擬）已知等比數(shù)列｛《,｝的前”項和為S“，則下列結論一定成立的是（A.若521H9>°，則q+fljCO B.若S202G>0,則q+qv。C.若Sa)”〉。，則a,+%>0 D.若S202n>0,則q+4>0【解答】解：因為&1H9=皿二￡*>o,/.q>0,/.q+%=4(1+g2)>0，/+%=4(q?+q4)>0,不正確，C正確；同理排除B、D.故選：C.5.（2021春?海淀區(qū)校級月考）已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，則下列結論中一定成立的（ ）A.若%成立的（ ）A.若%>0，則S2019VoC.若。6>0，則$2018<0D.若。6>0，則S20|8>0【解答】解：我們考慮公比q（q工0）的正負，若q>0，若。5（。6）>°時，顯然an>0（neN*）,從而5.>0（〃￡*）排除人，C；若”0,%>。時，取夕=-；，則一%一1> 0a2A+%ITV°9即5刈8<0,排除。從而選5,對于8選項，我們可以如下證明：①4>0時命題成立：②一1V4V0時，a2k-\>一^2k即%k7+。2A>。9從而§2019=(S]+S?)+…+(S2G17+^2()18)+$2019,。q,,—1~a2k<02*+lO七*+%l+l>°，從$2019=S[+(S2+S3)+…+($2018+$2019)>。故選：B.（2021春?屯溪區(qū)校級期中）各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛（｝的前〃項和為5.，4,1+4+|-。：=°（m>1），5皿=38,則m等于（）A.38 B.20 C.10 D.9【解答】解：由4“_1=。（機>1），利用等差數(shù)列的性質可得：24-說=0,a,?>0.解得=2.???&t=Q吁怨+*）=Q-38,則m=10.故選：C.（2021春?綏化期末）若數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列，首項q>0,a2Go3+&x“>。，。謝?生a”<。，則使前"項和5”>0成立的最大自然數(shù)”是（ ）A.4005 B.4006 C.4007 D.4008【解答】解；在等差數(shù)列｛4｝中，“I>°，”2003+生004>°,"2003,^2004<°,%XH>°, fl2?04<°'則S4ttxi=血+段6）4006=2003（01ttB+瞑）>0，S4007=400702aM<0..,?使前”項和S”>0成立的最大自然數(shù)”是4006.故選：B.（2021秋?吳興區(qū)校級月考）在等差數(shù)列伍“｝中，/<0,%>0,且S,為｛q｝的前"項的和，則下列結論正確的是（ ）S、,S2,....Si。都小于零，S”，12，…都大于零E,S, S$都小于零，$6，$7，…都大于零S,,S2 S20都小于零，sn>%，…都大于零S\,52?...,519都小于零，§20，521，…都大于零【解答】解：在等差數(shù)列｛4｝中，*/a10<0?%i>0,且|《0|v4],公差d>0?6?l0+4]>0,/.S[9=19al0v0,S20=20（.；+%））=10（60+q]）>o,由等差數(shù)列的性質知，S1,52,.?,九都小于零，520,其㈠…都大于零，故選：D.（2021?邢臺模擬）設等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，已知（40-1）3+114o=O,（g-IP+11%=22,則下列結論正確的是（ ）A.S]]=11?口⑷V B*S]]=11,.io>|￡?2C.S[]=22t4（）< D*S]]=22,可o>a、【解答】解：由（%—1）3+11/=0,（%—iy+llg=22,得（。10—I）3+11。]0+（凡—1）3+11。2=22,*'?（。10_]+。2_ _1）_（4o―1）（。2—1）+（a2-1）2]+11（^0+。2）=22... +—2-則§_11（4+許）_1]（4+%）_]]、11- 2 2由（。2—1）3+11。2—（4（）—1）'—1以0=22,得（g-Q]o）[（。2—1）+（4—l）（4o—1）+（。10—1）+11]=22>0,v（a2-I）24-（叼-1）（卬0-1）+（a10-1）-4-11>0,1.g—4o>O,即故選：A.（2021春?海淀區(qū)期中）等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“，已知$9<0,S]]>0,那么下列結論正確的是（ ）S9+S10<0S[o+Ri>。C.數(shù)列｛可｝是遞增數(shù)列，且前9項的和最小D.數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，且前5項的和最小【解答】解：由品=9（勺;%）=9%<0,可得/<0.再由￡1=9（9；勺）=9%>0，可得4>0.故此等差數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，前5項為負數(shù),從第6項開始為正數(shù)，故前5項的和最小，故選：D.11.已知數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛"｝是等比數(shù)列，公比為4,數(shù)列出｝中,d?=a?bn,S?是數(shù)列｛QJ前〃項和，若=S2m=7,53m=-201（■為正偶數(shù)），則工,的值為（）A.-1601 B.-1801 C.-2001 D.-2201【解答】解：設等差數(shù)列伍“｝的公差為d，由S”=。6+a2b]q+。3如2+...+a?b｛q"~'>（gw1）.則qSn-ciyb^q+a^q2+...+an_tbtq"~'+anb｝q",：.（1-q）Sn=a、b\+dbl（q+q2+...+q"~'）-a/闖”=axbx+db、 --anbxq",q-i,s—丁一曲曷不妨取m=2?則S2=ll，S4=7,S6=-201.??.岫+a2b1q=11 , 岫+a2b1q+a3bd+a4biq3=7+a力岡+a3Aq2+a4biq3,+〃5Ag4+/4 =—201>可得/=4,bx(d+dq)=-6,"(q+%q)=ll.取g=-2,b、d=6,q。=—23.S8=axb}+a24g+4力闖2+4J+a54g$+460as+01bd+闖7=—201+07blq'+a^q1=—201+(q+6</地Ix64+(q+ld)bxx(—128)=-201+64（-q4-8由）=-1801,故選：B.二.多選題（共1小題）12.等差數(shù)列｛《,｝的前”項和為S“，若出<0,al0>0,則下列結論正確的是（ ）A.Sl0>Sg B.Sl7<0 C.Slg>5I9 D.5I9>0【解答】解：根據題意可知數(shù)列為遞增數(shù)列，出<0，4。>0.?.前9項的和最小，故A正確，%= =^^=17%<0,故8正確，（4+41x19=%°219=]9>o,故。正確.19 2 2,/?19>0,?$18=S、9—%S18<sl9.故c不正確.故選：AB