2022年浙江省高考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A={1,2),B=[2,4,6},貝！|AU8=(A.{2} B.{1,2} C.{2,4,6} D.{1,2,4,6}TOC\o"1-5"\h\z.已知a,beR,a+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位)，貝！J( )A.a=\,b=-3B.a=-l,b=3C.a=~\,b=-3D.a=\,b=3x—2..0,.若實數(shù)x,y滿足約束條件bx+y-7,,0,則z=3x+4y的最大值是( )x—y—2,,0,A.20 B.18 C.13 D.6.設xeR,則"sinx=l"是"cosx=0"的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要弱牛 D.既不充分切必要融.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：加）是（）不2TOC\o"1-5"\h\z*1*2,1**1 1*正視圖 惻視圖6.為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin（3x+?）圖象上所有的點（ ）A.向左平移-個單位長度 B.向右平移-個單位長度C.向左平移-個單位長度 D.向右平移-個單位長度15 157.已知2"=5,log83=Z>,貝!]4"厘=（ ）25 5A.25 B.5 C.— D.-9 38.如圖，已知IEH棱柱ABC-A4G,AC=A4,,E,產(chǎn)分別是棱8C,AG上的點.記E尸與伍所成的角為a,EF與平面ABC所成的角為夕，二面角b-8C-A的平面角為7,則（）BTOC\o"1-5"\h\zA./ B,像h / C.滋歡a D. cd敝）39,已知4,beR,若對任意xeR,a\x-b\+\x-4\-\2x-5\..O,貝U（ ）A. a,,1,b..3 B. 4,1, b,,3 C.a.A,b.,3 D. a..1, 310?已知數(shù)列｛〃〃｝滿足4=1,%=勺一卜;（〃wN*），則（ ）5s 7 7A.2v100a1Go<— B.二<1004Go<3 C.3v10040G<- D.1004Go<4二.填空題：本大題共7小題,單空題每題4分，多空題每空3分，共36分。.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為〃三斜求積"，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是S=J；［c2a27c2+：_與］，其中a,b,C是三角形的三邊，S是三角形的面積.設某三角形的三邊a=0Sc=2,則該三角形的面積S=—..（6分）已知多項式（大+2）（x-1），=%+qx+出產(chǎn)+生/+a4x4+a5V,貝!J%=，q+4+%+%+%=?.（6分）若3sina-sin4=\/15,a+0=%,貝!|sina=,cos2y0=.卜/+2,玉,1,（6分）已知函數(shù)/（外= 1則/（/（3）=—港當，回時，1期（x）3,lx+——1,X>1, 2則b-a的最大值是 ..（6分）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為自,則尸匕=2）=—,EC）=—..已知雙曲線J-，=l（a>0力>0）的左焦點為F，過尸且斜率為白的直線交雙曲線于點4（為，y）,交雙曲線的漸近線于點8（x2,丫2）且“<0<》2.若|FB|=3|FA|,則雙曲線的離心率是—..設點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A&...A的邊A4上，則隨?？?砥2的取值范圍是.三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。L 3.（14分）在AA8C中，角A,8，。所對的邊分別為a,b,c.已知4a=6c,cosC=^?（I）求5）4的值;（H）若6=11,求AABC的面積..(15分)如圖，已知ABC。和C￡)E尸都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=\,ZBAD=ZCDE=60P，二面角尸一DC-B的平面角為60°.設M,N分別為AE,8C的中點.(I)證明：FN1.AD；(D)求直線BM與平面A￡)E所成角的正弦值.20.(15分)已知等差數(shù)列｛4｝的首項4=7,公差d>l.記｛叫的前〃項和為S“(〃eN*).(I)若$4-2%%+6=0,求5.；(n)若對于每個〃eN*,存在實數(shù)c“，使,%+4q,八+15c“成等比數(shù)列，求”的取值范圍.21.(15分)如圖，已知橢圓卷+丁=1.設a,8是橢圓上異于。(0,1)的兩點，且點Q。；)在線段回上,直線PA, 分別交直線y=-；x+3于C,。兩點.(I)求點P到橢圓上點的距離的最大值；(n)已知a,AeR,曲線y=/(x)上不同的三點(占，/(xj),(x2,/(x2)),(x3,7(x,))處的切線都經(jīng)過點(a,6).證明：(i)若。>0,則0<b-/(a)<-(--1);2e/：：xzfctzx mn2 e-a 1 1 2 e-a(ii)右0<々<6tXy<x2<x3，貝！J—卜 ，<—?—< 7?e be" x} x3 a 6e?(注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))2022年浙江省高考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。.設集合A={1,2},8={2,4,6},則從#=( )A.{2} B.{1,2} C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}【思路分析】利用并集運算求解即可.【解析】；A={1,2},B={2,4,6}, =,2,4,6),嵋：D.【試題評價】本題考查了并集的定義及其運算，屬于基礎題..已知a,b&R,a+3i=(6+i)i(i為虛數(shù)單位)，貝U( )A.a=1,b=—3 B.a=—l,b=3C.a=-1,b=—3D.a=1,b=3【思路分析】利用復數(shù)的乘法運算化簡，再利用復數(shù)相等求解.【解析】?：a+3i=(b+i)i=-1+bi,a,bwRa=-l,b=3,故選：B.【試題評價】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了復數(shù)相等的定義,是基礎題.x—2..0,3.若實數(shù)x,y滿足約束條件上工+丫-7,,0,則z=3x+4y的最大值是( )x-y-2,,0,A.20 B.18 C.13 D.6【思路分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結合圖象求解即可.x—2..0,【解析】實數(shù)x,y滿足約束條件2x+y-7,,0,-y-2,0,則不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分，3z由已知可得42,3),由3x+4y-z=0得y=—ZX+w,即求直線在y軸上截距的最大值，由圖可知：當直線3x+4y-z=0過點A時，二取最大值，貝?。輟=3x+4y的最大值是3x2+4x3=18,【試題評價】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，重點考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于基4.設xeR,貝（!"sinx=l"是"cosx=0"的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【思路分析】利用同角三角函數(shù)間的基本關系，充要條件的定義判定即可.【解析】vsin2X4-COS2X=1,①當sinx=l時，則8sx=0,??.充分性成立，②當cosx=0時，則sinx=±l,，必要性不成立，，sinx=1是cosx=0的充分不必要條件，故選：A.【試題評價】本題考查了同角三角函數(shù)間的基本關系，充要條件的判定，屬于基礎題.5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：加）是（）【思路分析】判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可.【解析】由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下部是圓臺，所以幾彳可體的只為：—x—xI3+^-xI2x2+-（22x+12x+>/22x^-xl2x^-）x2=—^.TOC\o"1-5"\h\z23 3 3故選：C.【試題評價】本題考查三視圖求解幾何體的體積,判斷幾何體的形狀是解題的關鍵，是中檔題.6.為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin（3x+§圖象上所有的點（ ）A.向左平移衛(wèi)個單位長度 B.向右平移巳個單位長度5 5C.向左平移三個單位長度 D.向右平移￡個單位長度15 15【思路分析】由已知結合正弦函數(shù)圖象的平移即可求解.【解析】把y=2sin（3x+（）圖象上所有的點向右平移看各單位可得

丫=2$訶3。-自+勺=25析3內(nèi)的圖象.故選：D.【試題評價】本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖象平移，屬于基礎題.TOC\o"1-5"\h\z.已知2"=5,logQ”,則4內(nèi)=( )25 5A.25 B.5 C.— D.-9 3【思路分析】直接利用指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【解析】由2"=5,10gli3=6,可彳導8〃=2'"=3,則”=￡=或金)，人」d⑵)32 9'故選：C.【試題評價】本題考查了指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了運算求解能力，屬于基礎題..如圖，已知正三棱柱ABC-A4G,AC=44,,E,尸分別是棱BC,AG上的點.記所與A4,所成的角為a,EF與平面ABC所成的角為萬，二面角尸-8C-A的平面角為/,則()C1CBA.漏卜/B.鷹h/ C.萬領卜aD.p【思路分析】根據(jù)線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，轉化求解即可.【解析】?.?后棱柱A8C-A4G中，4C=至，.?.后棱柱的所有棱長相等，設棱長為1,如圖，過F作FG1.AC,垂足點為G,連接GE,則AA//FG,GF與伍所成的角為ZE尸G=a,且tana=—=GE,FG又GEw[0,1],.\tanaG[0,1],.?.￡/與平面48。所成的角為/尸￡6=夕，且130/=空=」-€[1,+8),GEGE/.tan/?..tana,…①，再過G點作G"_L8C,垂足點為，,連接〃尸,又易知尸GJ_底面ABC,8Cu底面A8C,:.BCLFG,又FGnGH=G,.?.BC,平面GWF,二面角F—3C—A的平面角為NGHf=7,Htan/=—，又G/7w[0,1],GHGHtan/e[l,+oo),/.tan/..Iana,...(2),又GE..GH,tan/??tany，…③，由①②③得tana領lan/?tan/,又a,13,7e[0,今，y=tanx在[0,今單調(diào)遞增，.,.溷J?y,【試題評價】本題考查線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，考查了轉化思想，屬中檔題..已知a,bwR,若對任意xwR,a|x-ft|+|x-4|-|2x-5|..O,則()A.a,,1,h..3B.a,,1,h?3C.a..1,b..3D.a..l,b?3【思路分析】取特值，結合選項直接得出答案.【解析】【解法一】：取x=4,則不等式為“|4|-3..0,顯然awO,且6H4,觀察選項可知，只有選項。符合題意.故選：。.【解法二】由題意有：對任意的xeR,有〃|x-6以2x-5|-|x-4|恒成立.; 51-X,X<—2i^f(x)=a\x—b\tg(x)=|2x-5|-|x-4|=<3x-9,—<x<4,x-l,x>4即f(x)的圖象恒在g(x)的上方(可重合)，如下圖所示:3由圖可知，a>3,l<b<3,或14"3,14b44——<3,故選：D.a【試題評價】本題考查絕對值不等式的解法，作為選擇題，常常采用特值法，排除法等提高解題效率，屬于基礎題.10?已知數(shù)列｛〃“｝滿足4=1,，則( )5 5 7 7Ae2<1004Go<—B.—<100al()0<3C.3vl00q0G<- D.—<lOO6rloo<4【思路分析】分析可知數(shù)列｛〃〃｝是單調(diào)遞減數(shù)列，根據(jù)題意先確定上限，得到冊,—,〃+2由此可推得100。〃<3,再將原式變形確定下限,可得 (1 1- H )+1,TOC\o"1-5"\h\zan+i3 323 〃+1由此可推得100%*,>|,綜合即可得到答案.【解析】,.?.｛(｝為遞減數(shù)列，又4,+i=%一弓，且a“w0, ,3 3 an3 3又q=l>0，則/>0ran-an+l=-an2..r-anan+],/. ，3 3 an+ian31 1 1/ 1 2mu3 inninn3 306q.??一-+T（n-1）=-?+-,則4”， , 100400MJ00x—<——=3,anax3 3 3 n+2 102102TOC\o"1-5"\h\z, 1 2,日 1 1 1 1 1 " 1、由 =可-彳41可4*i=4（1-彳4,）<彳可 =7 ” =三（1+-T7），3 3 % an 3-an 3__￡_ 3 n+\n+2累加可得，——? + —■—）+1/J3 323 〃+1 ,,344—x（—? F H ）<34H—x（—x6H—x93）<40, 1OOq的>100x—=一4Go323 100 32 8 402綜上，!<100a1()u<3. ：B.【試題評價】本題考查遞推數(shù)列，數(shù)列的單調(diào)性等知識，對化簡變形能力要求較高，考查運算求解能力，邏輯推理能力，屬于難題.二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，共36分。11.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積"，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是S= ，其中"，人c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設某三角形的三邊。=啦，b=G,c=2,則該三角形的面積S=叵.—4—【思路分析】直接由泰九韶公式計算可得面積.[解析】由S=舊由& 二忙)2]=*.(夜)2_產(chǎn)土(&；-(圾2=卒,故答案為：竺.4【試題評價】本題考查學生的閱讀能力，考查學生計算能力，屬基礎題.12.(6分)已知多項式(x+2)(x-I)4=4+a/+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,貝U勺=8 ,6Z|+出+/+4+a,— ?【思路分析】%相當于是用(X+2)中的一次項系數(shù)乘以(X-1)"展開式中的一次項系數(shù)加上(x+2)中的常數(shù)項乘以(x-l)’展開式中的二次項系數(shù)之和，分別令x=0,x=],即可求得q+g+%+q+G的值.【解析】【解:4-1v(x-l)4=x4-4x3+6x2-4x+l,.*.Oj=-4+12=8；令x=0，則4=2，令x=l,則/+4+%+/+。4+生=0,ciy+4+4+44+05=-2.故答案為：8,-2.【解法二】：由題O2=lxC：(T)+2xC：(-1)2=8.令*X=1,貝[|a。+q+。)+/+。4+。5=0.又％=2,用f以4+。)+%+。4+。5=-2.【試題評價】本題考查二項式定理的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.13.(6分)若3sina-sin/?=J15,。+a=工，則sina= ,cos2/5= .2 -10- 【思路分析】由誘導公式求出3sina-cosa=M，再由同角三角函數(shù)關系式推導出sina= ?由此能求出cos2戶的值.【解析】v3sina-sin/3=ViO,a+0=%,:,3sina-cosa=VlO,/.cosa=3sina-V10,vsin2a+cos2a=l,/.sin2a+(3sina-V10)2=1,短但? 3V10 Q? 3V10解彳守sina=I。,cosp=sina=-乂),cos2/?=2cos2y0-l=2x—-1=-.100 5故答案為：嚶；3.10 5【試題評價】本題考查三角函數(shù)值的求法，考查誘導公式、同角三角函數(shù)關系式、二倍角公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.卜f+2,K,1,14.（6分）已知函數(shù)/。）= 1則”/*（<））=_￡_；若當工€他，切時，x+——l,x>1, 2—28—Ix1期（幻3,貝降一〃的最大彳.【思路分析】直接由分段函數(shù)解析式求/（/（；））；畫出函數(shù)/（X）的圖象，數(shù)形結合得答案.卜x-+2,x,1 ] [ 7【解析】,函數(shù)y（x）=<1 ,.,./（-）=―+2=-，X+--1,X>1 2 4 4作出函數(shù)/（x）的圖象如圖：由圖可知，若當xe[a,勿時，1頷（x）3，貝！|b—“的最大值是2+6-（-1）=3+6.故答案為：—；3+6.28【試題評價】本題考查函數(shù)值的求法，考查分段函數(shù)的應用，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.15.（6分）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為4,則P（€=2）=_/_,E?=.【思路分析】根據(jù)組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機變量的均值定義即可求解.【解析】根據(jù)題意可得：&的取值可為1,2,3,4,又喋=1）喑=>C23尸（-3）=百=玉,r21尸?=4)===」-C；35??.E記)??.E記)=1x3+2x16+3xA+4x1=7 35 35 3512T故答案為：【試題評價】本題考查組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機變量的均值定義，屬基礎題.16.已知雙曲線1-1=1（“>0,6>0）的左焦點為尸，過尸且斜率為2的直線交雙曲線于a~b~ 4a點A8,y）,交雙曲線的漸近線于點8（毛，%）且%<0<七.若1所|=3|必|,則雙曲線的離心率是—.—4—【思路分析】過點A作軸于點H,過點8作8x軸于點方,依題意，點8在漸TOC\o"1-5"\h\z近線y=^x上，不妨設,根據(jù)題設條件可求得點A的坐標為（-生，生），代a a 99a入雙曲線方程，化簡可得〃，。的關系，進而得到離心率.【解析】【解法一】如圖，過點A作41」x軸于點4,過點8作軸于點八、b , h由于8（工2,%）且%>°f則點3在漸近線丫=—x上，不妨設3（加,—M,m>0,a ab設直線村的傾斜角為〃,貝（Itan8=2,則黑=鄉(xiāng),即4=二，貝力切1=4根,4a\FB,\4a\FB'\4a.,JOF\=c=3/w,則如，T網(wǎng)啜4,又篇描《則g/又篇描《則g/沏號即即與5m.??點A的坐標為（-如，生），99a25c2一27T耳一.=127Tcrtr a'24c3x/6/.e=—= .a4故答案為：巫.4【解法一】根據(jù)IFB\=3\FA\,結合圖象可知，點A在雙曲線的左支上，點B在雙曲線的斜率為正的漸近線上，過F且斜率為—的直線：丫=+c）（I）4a斜率為正的漸近線：y=-x （II）acbe聯(lián)立（D（n）得點b（弓，石）FA=-FB- ￡史根據(jù)I物=3|陽，可得3，因為￡3=（3,3n）,???點A的坐標為（-工，生）,99a25c2b2c?【試題評價】本題考查雙曲線的性質(zhì),考查數(shù)形結合思想及運算求解能力，屬于中檔題.17.設點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A4-4的邊A4上，則pC+pU+…+%，的取值范圍是_[12+2\[1,16]_.【思路分析】以圓心為原點，44所在直線為x軸，AA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，求出正八邊形各個頂點坐標，設P（x,y），進而得到PA^+PA^+...+P^2=8（^+y2）+8,根據(jù)點P的位置可求出.F+V的范圍，從而得到心’+%，+…+%”的取值范圍.【解析】【解法一】以圓心為原點，44所在直線為x軸，&a所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示,則N?！唬?（孝凈，A（2，小冬當'A（oi），4（當-￥），4（-1，。），4（等乎），設P(x,y),貝！J*+喏+...+喈=|州『+|四2+|飛『+|尸兒『+|成|2+|尸、『+|咐|2+|必|2=8,+y2)+8,?.?cos22.5啜1OP|1,/.l+COs45°M2+y21P+y21,.-.12+2>/2g4(x2+y2)+816,即陽°+至2的取值范圍是【12+2&,16],故答案為：[12+2V2,16][解法二】因為pf=P爐+。4,0+2P。?。<=OP2+of—2OP?°A所以P\+P\+...+P\=Y(OP+OA：_20P.。4)=8OP+XOA：一20A?￡。4r=l i=l i=1因為兩2=1,所以之四=8;1=1因為正八邊形是中心對稱圖形，所以火?？?，。,所以20戶?￡°耳=0/=1/=!rr因為根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得乙4,。4=7所以85工0。戶區(qū)1,所以90$馬240戶241,即也上24麗2418 8 4所以20+4W8才48所以必"+%"?.+氣”的取值范圍是“2+2上,16],故答案為：[12+2夜,16].【試題評價】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)以及三角函數(shù)中的二倍角公式的應用，考查了學生分析問題、轉化問題的能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18.(14分)在AABC中，角4,B,(7所對的邊分別為a,6,c.已知4a=6c,cosC=-.(I)求加4的值;(H)若6=11,求AABC的面積.【思路分析】(I)根據(jù)cosC=3,確定C的范圍，再求出sinC,由正弦定理可求得sinA；(H)根據(jù)A,C的正、余弦值，求出sin8,再由正弦定理求出“，代入面積公式計算即可.【解析】(I)因為cosC=°>0,所以Ce(O,馬，SsinC=\J\-cos2C=—,5 2 5由遇定理可得：3 ，sinAsinC

即有sin4=^￡=AinC=昌力在；cc45 5(口)因為4a=>/5cna也<c,4所以AvC,故Aw(O,為，2又因為sinA=(,所以cosA=^,所以sinB=sin[乃-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=~~；由正弦定理可得：°=-7--=-y—=5芯,sinAsinCsinB所以a=56sinA=5,所以Sg"='a6sinC」x5xl1x3=22.MBC2 2 5【試題評價】本題考查了解三角形中正弦定理、面積公式，屬于基礎題.19.(15分)如圖，已知ABC。和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60P，二面角?DC-8的平面角為60。.設M,N分別為,8c的中點.(n)求直線與平面4)E所成角的正弦值.(I)(n)求直線與平面4)E所成角的正弦值.A【思路分析】(I)根據(jù)題意證出硒，平面，即可得證;(n)由于平面ABC。,如圖建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解.【解答】證明：(/)由于CD_LCB,CDA.CF,平面ABCZJC平面CD￡F=CD,CFu平面CD￡F,CBu平面ABCZ),所以NFCB為二面角F-DC-B的平面角，貝！|NFCB=60。,C￡>_L平面CBF,貝！.又CF=瓜CD-EF)=2瓜CB=E(AB-CD)=2G,則AfiCF是等邊三角形，N為8c的中點,則CB1FN,因為￡>CJ_FC,DCLBC,FCQBC=C,FCu平面尸CB,BCu平面“B,所以。C_L平面FCB,因為FNu平面ECB,所以ZX7J./W,又因為OCnC8=C,￡)Cu平面ABCO,CBu平面A8C￡),所以FN_L平面ABC。,因為ADu平面ABCD,故RVJ_A￡>；解：(H)由于FN,平面ABCD,如圖建系：

E尸E尸于是B(0,6,0),A(5,75,0),F(0,0,3),E(l,0,3),D(3,-^,0),則M(3,苧|BM= DA=(2,2^,0),DE=(-2,53),設平面的法向量”=(x,y,z),n-DA=On-DE=O2x+2fy=°，令x=n-DA=On-DE=O—2x+\3y+3z=0.?.平面4￡電的法向量方=(3-1,6),設BM與平面4出所成角為。,則sin*gu筮.\BM\\n\ 14【試題評價】本題考查了線線垂直的證明和線面角的計算，屬于中檔題.20.(15分)已知等級歹!!｛。,,｝的首項4=一1，公差d>l.記｛q｝的前〃項和為S,,(〃eN*).(I)若54-2%0,+6=0,求5.；(n)若對于每個〃eN*,存在實數(shù)c.，使“,,+c?,%1+4C",a“+2+15q,成等比數(shù)列，求d的取值范圍.【思路分析XI面等差數(shù)列⑸｝的首項4=-1及邑-2/4+6=0可得關于公差d的方程，再由公差”的范圍可得d的值，再由等差數(shù)列的前〃項和公式可得S“的解析式；(II)由4+c“，an+l+4c“，a,.+15%成等比數(shù)列，可得關于c“的二次方程，由判別式大于0可得d的表達式，分類討論可得”的取值范圍.【解析】(I)因為等差數(shù)列｛4｝的首項生=-1,公差d>l,因為S4-2%g+6=0,可得4回；q)_24%+6=0,即2(4+%)-2生4+6=0,q+q+3d—(q+d)(〃1+2d)+3=0,即—1—14-3d—(—1+d)(—\+2d)+3=0,整理可得：d?=3d,解得d=3,所以S所以S〃=na]+-

即S,,=宜產(chǎn)〃(〃一1), 3n2-3n3n2-5n ?=-7?+ = (H)因為對于每個〃eN”,存在實數(shù)g,使4+q，h+4c―心2+15c“成等比數(shù)列，貝U(q+〃d+4c“)~=[q+(〃+l)d+15qJ,q=T,整理可彳導：c；+[(14-Sn)d+8]c?+J2=0,則&=[(14-8")d+8『-4/..0,即(7-4〃)d+4..4或(7-4〃)d+4,,-d,整理可得(3—2〃)d...-2或(2—〃)d,,-1,當〃=1時，可得或d,,-1,而〃>1,所以d?—1(舍)，所以d的范圍為；〃=2時，d,,2或0，而d>l,所以此時de(1,2],當〃為大于2的任何整數(shù)，，而d>l,2〃—3 7?-2所以辦一二(舍)，d>l恒成立；2〃-3綜上所述,"=2時，Je(l,2]；“為不等于2的正整數(shù)時，”的取值范圍為(1,”),都存在g,使q,+c“，a”,1+4q,,4k+15c“成等比數(shù)列?【試題評價】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應用及等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，恒成立的判斷方法,屬于中檔題.21.(15分)如圖，已知橢圓土?+丁=1.設A,B是橢圓上異于P(O,1)的兩點，且點。(0,1)12 2在線段上，直線PA,PB分別交直線y=」x+3于C,。兩點.2(I)求點P到橢圓上點的距離的最大值；【思路分析】(I)設橢圓上任意一點M(x,y),利用兩點間的距離公式結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；(n)設直線■方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得到兩根之和與兩根之積，進而表示出|占一毛1，再分別聯(lián)立直線竊，直線8P與直線.v=-gx+3，得到C,。兩點的坐標,由此可表示出,再轉化求解即可.【解析】(I)設橢圓上任意一點M(x,y),貝！||沏2=f+(3_1)2=12_]2y2+y2_2y+]=Tly2_2y+13,ye[-l,1],

而函數(shù)二=-1_2y+13的又掰軸為_v=-yj-e[-l,l],則其最大值為-11x(-」)2+2x'+13=^,111111???IPMJ???IPMJ,即點P到橢圓上點的距離的最大值為誓；((n)設直線AB:y=h+g,A(X]，x),B(w，y2)1聯(lián)立直線AB與橢圓方程有由韋達定理可得，%=-r1聯(lián)立直線AB與橢圓方程有由韋達定理可得，%=-r1y=KX4--X22 1—+y=11212k,消去.v并整理可得，（12F+DW+12履-9=0,市77rxl七-一即4+[X]1=J(X|+X2)2-4X|N=簽+'+36-6J16/+112*2+1 \2k2+\設設C(±,y3),D(x*,y4),直線AP:y=^--x+1,直線BP:y=^--x+1,聯(lián)立不1r—x聯(lián)立不1r—x+3244以及Qk+1)%—Iy=&Zlx+l

w1、y=—x+3. 24x2(2k+l)Xj-1由弦長公式可得所以\CD\由弦長公式可得所以\CD\=rd41 2(2k+l)x,-1(2k+l)x2-l=2y/5=2y/5[(2A+1)&-1][(2后+l)x,-1](2k+1)?x上一(2k+1)(X]+X2)+1將士+七=將士+七= -,x}x2k2+—1234(公+J-I12化簡得：S;唳雷'l+化簡得：S;唳雷'l+l6k3A+1（2）當Q—；時，記〃女）=即\CD\>2>/5；3A+1 3鉀，則3Z+1f'(k)= (3A+1>川6/+116故/⑹在（-彳）上單調(diào)遞減，在舟+8）上單調(diào)遞增.所以/(a)n/島)=：,bp|cd|>^^.16綜上所述,當％=■時，|co|取最小值竽.【試題評價】本題考查直線與橢圓的綜合運用，涉及了兩點間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，弦長公式等基礎知識點，考有邏輯推理能力，運算求解能力，屬于難題.22.(15分)設函數(shù)f(x)=Jnx(x>0).2x(I)求/(2的單調(diào)區(qū)間；(n)已知。,bwR,曲線y=/(x)上不同的三點(耳，/(%)),(x2,f(x2)),(七，/(&))處的切線都經(jīng)過點3力.證明：(i)若a>c，貝!JOvb-f(a)<—(――1);2e/：：\-M-mil2e—a112e—a(II)S'0vavetAjVx2V七?貝!J—+—<——< ,e6e- $x3a6c-(注:e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))【思路分析】(I)求出導數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II)(i)設經(jīng)過點(a,b)的直線與函數(shù)f(x)的圖象相切時切點坐標為(%,-—+/5)，求出TOC\o"1-5"\h\z切線/的方程為(——+—)a-b+—+Inx^-1=0，令g(x)=(--^-+-)-a^b+-+Inx-],2xqXq / 2rx x(X>0),由題意得到函數(shù)g(x)有三個不同的零點推導出g(x)極大值=g(e)>0,g(x)極小值=g(a)<0,b< F1,要證B月b—f(a)<—(1),只需證B月Ina>—，令h(a)=Ina ,2e 2e 2a2 2a貝(]h\a)= -y=之"'>0,利用導數(shù)性質(zhì)能證明〃>e，則?！础贰?(3)<—(——1)；a2cT2a 2e(ii)g(x)=(--：+2)々-。+￡+仇”1(工>0)有三個不同的零點，設,=/，則g(x)化為2；rxx xh(t)=(——t2+t)a—h+et—Int—\,力(r)在二個不同的零點4，q，4，且乙>，2>〃，推導出要證明結論，只需證明[t,+q-(2_=)]國+4-(2+=],0,由此能證明a6e- e6e-2 e-a 1 1 2 e-a-+——<—+—< —?e 6夕 x 巧 a 6夕【解析】(I)?.?函數(shù)f(x)=-^-+lnx(x>0),2xp1 2x-pf'M=-^+-==^-,(x>0),2x~x2x~由八制=生<>0,得x>￡，，/出在(￡,+8)上單調(diào)遞增；TOC\o"1-5"\h\z2x 2 2由r(x)=^^<0,得0d，，/(x)在(0昌上單調(diào)遞減.2k 2 2(n)【解法一】⑺證明：設經(jīng)過點(。,力的直線與函數(shù)/(X)的圖象相切時切點坐標為/ eIX(^0?T~+/叫)/

則切線方程為/:二——/nx0=/r(Xo)(x-xo)，2x0,/fr(x)=—,/.切線l的方程為(—二+—)x—y+—4-/nx0—1=0,TOC\o"1-5"\h\z2xqx0 2xqXq x0:.( Y+—)。-b+—+Inx^-1=0f2% % /g(x)=C T—)—a+bT—+Inx—1,(x>0),2xx x?,曲線y=f(x)上不同的三點(司J(F)),(8,/5)),*3,/(七))處的切線都經(jīng)過點(。向，.?函數(shù)g(x)有三個不同的零點,??g，(x)=6~4)a=+L(…廠。),,：a>e,:.x<e，或無>a時，g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增，e<x<a時,g'(x)v0,g(x)單調(diào)遞減，從而g(x)極大值=g(6)>0,g(x)極小值=g(a)vO,/.—-b+\>0?/S.—+hia~h<0@,TOC\o"1-5"\h\z2e 2a由②得/，-f(a)=b---lna>0,由①有b<巴+1,2a 2e：b-f(a)=h---lna，:要證明0-/(a)<1(--1),2a 2e—+1---/na<-(--l),BP/na+—>-,2e2a2e 2a2令〃(a)=Ina+—令〃(a)=Ina+—t貝!Jh\a)=—2a a2a2a：.h(a)>h(e)=],:.b—f(a)<—(——1),2 2e綜上，若a>e,貝！JOvb-/(a)<-(--1)；2e(ii)證明：由⑺知g(x)=(--=+3b+g+ -l(x>0)有三個不同的零點，2x-xx設，貝!lg(x)化為/2(，)=(一2/+/)々一人+々一/川一1,TOC\o"1-5"\h\zx 2〃⑴在三個不同的零點6,l，g，且，(%)=%(，3),e(%—，3)—/，,+5〔2—e(：+[3)]”[-4)=°，,3 2ar./ 、、Int,-Int,cH—[2— +A)]= i2 4—%Arj/e /Int,—Int-,、2z-x解付4+4=(e+。 -)—,③Z(-t3ae要證明結論/只需證明[%+/3—(―-