考點(diǎn)55導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)(練習(xí))【題組一零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷】.已知函數(shù)f(x)=ae，(a-2)eJ-x(1)討論，(x)的單調(diào)性；(2)若/'(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)(0,1).【解析】【詳解】試題分析：(1)討論/(x)單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解，再對(duì)。按a>0進(jìn)行討論，寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)第(1)問(wèn)，若aWO,/(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).若a>0,當(dāng)x=-lna時(shí)，/(x)取得最小值，求出最小值/(Tna)=l-'+lna,根據(jù)。=1,aw(l,+8),aw(0,l)進(jìn)行討論，可知當(dāng)aae(0,l)時(shí)有2個(gè)零點(diǎn).易知/(x)在(-8,-Ina)有一個(gè)零點(diǎn)；設(shè)正整數(shù)〃。滿足>ln(——1),貝!]f(nQ)=e"°(ae"°+a-2)-n0>e"°-?0>2"°-m0>0.由于a3ln(--l)>-lna,因此/(x)在(-lna,+oo)有一個(gè)零點(diǎn).從而可得a的取值范圍為a(0,1).試題解析：(1)“X)的定義域?yàn)?，》,田)，f'(x)=2ae2x+(a-2)/-]="-1)(2e*+1),(i)若aWO,則，(x)<0,所以f(x)在(to,m)單調(diào)遞減.(ii)若a>0,則由/'(x)=0得x=-lna.當(dāng)xw(-oo,-lna)時(shí)，/,(x)<0；當(dāng)尤e(-Ina,田)時(shí)，/,(x)>0,所以在(to,-Ina)單調(diào)遞減，在(Tna,+。。)單調(diào)遞增.(2)(i)若aWO,由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(ii)若a>0,由(1)知，當(dāng)x=—Ina時(shí)，/(x)取得最小值，最小值為f(—Ina)=1 1-Ina.①當(dāng)。=1時(shí)，由于/(-lna)=。，故/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)ae(l,+oo)時(shí)，由于l-'+lna>0,即f(-lna)>0,故〃x)沒(méi)有零點(diǎn)；a③當(dāng)ae(O,l)時(shí)，l-L+lna<0,BP/(-Ina)<0.X/(-2)=ae^+(tz-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故/(x)在(-00,-Ina)有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)〃。滿足%〉In(|-“，則/(n0)=e^(ae他 一2)一%>e'1°—%>2%—%>0.由于>—lna,因此在(—Ina,+。。)有一個(gè)零點(diǎn).綜上，。的取值范圍為（0,1）.點(diǎn)睛:研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)/（x）有2個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷丁=。與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0,且后面還需驗(yàn)證最小值兩邊存在大于0的點(diǎn)..已知函數(shù)/（幻=*3-H+爐.（1）討論f（x）的單調(diào)性;（2）若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求攵的取值范圍.4【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（0,藥）.【解析】【分析】（1）f'（x）=3x2-k,對(duì)女分ZW0和Z>0兩種情況討論即可；"-百>0/（x）有三個(gè)零點(diǎn)，由（1）知k>0,且， ，解不等式組得到人的/哈）<。范圍，再利用零點(diǎn)存在性定理加以說(shuō)明即可.

【詳解】(1)由題，f(x)=3x2-k,當(dāng)女WO時(shí)，f(x)NO恒成立，所以f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增;當(dāng)2>0時(shí),當(dāng)2>0時(shí),令/'(x)=0,得x=±g,令/'(x)<0,得一g<x<令f(x)>0,得令f(x)>0,得x<-J|或x>J,所以f(x)在上單調(diào)遞減，在(-8,-Jg),(Jg,+OO)上單調(diào)遞增.(2)由(1)知,/(X)有三個(gè)零點(diǎn),則A>0,(2)由(1)知,/(X)有三個(gè)零點(diǎn),則A>0,4.當(dāng)0<k<—時(shí),27且->o,所以/3)在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，同理一f(-k-l)=-k3-(k+l)2<0,所以/(x)在(-k-1,一卡)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，又fM在(-J|，g)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以/(X)有三個(gè)零點(diǎn)，4綜上可知k的取值范圍為(0,藥).【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍問(wèn)題，考查學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題..已知函數(shù)/(x)=sinx-ln(l+x),/'(x)為了(幻的導(dǎo)數(shù).證明：

f（x）在區(qū)間（-1,萬(wàn)）存在唯一極大值點(diǎn);f（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在，1，力上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出IT定理可判斷出IT。G，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在卜1，胃上的單調(diào)性,從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知x=0為/（可在（-1,0］上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，首先可判斷出在（0,不）上無(wú)零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到f（x）在乃\ jr/，萬(wàn)）上的單調(diào)性，可知/（工）＞0，不存在零點(diǎn)；當(dāng)彳￡時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理和/（力單調(diào)性可判斷出存在唯一一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)xe（應(yīng)供），可證得f（x）＜0；綜合上述情況可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：/（X）定義域?yàn)椋海ㄒ?,田）且尸（x）=cosx-擊令g(x)=cosx_^jg'(x)=-g'(x)=-sinx+1

(*+1)21(X+1)2在上單調(diào)遞減，-sinx,在卜上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減又g'(0)=—又g'(0)=—sin0+l=l>0,g.71=-sin—F2(乃+21(乃+2『-1<0，使得g'（Xo）=。，當(dāng)xe（T,』）時(shí)，g'（x）＞0； 時(shí)，g'（x）＜0即g（x）在（-1,%）上單調(diào)遞增；在卜。仁）上單調(diào)遞減則X=%為g（X）唯一的極大值點(diǎn)即：/'（X）在區(qū)間（-1，?上存在唯一的極大值點(diǎn)七.（2）由（1）知：/'（x）=cosx XG（-1,+OO）①當(dāng)X€（-1,O］時(shí)，由（1）可知r（x）在（—1,0］上單調(diào)遞增＜r（0）=0 .?J（x）在（-1,0］上單調(diào)遞減又〃。）=0.?.x=o為y（x）在（―1,0］上的唯一零點(diǎn)②當(dāng)T。,'時(shí)，/'（X）在（0田）上單調(diào)遞增，在卜身上單調(diào)遞減又/'（0）=。.??/（X）在（0,%）上單調(diào)遞增，此時(shí)/（力＞〃0）=0,不存在零點(diǎn)~ 7t 2 2又f|一|=cos = ＜0{2） 27T+2 %+2.?.荊€卜0個(gè)），使得/'（%）=0???/（X）在伉,X|）上單調(diào)遞增，在人,力上單調(diào)遞減又/（又/（玉）＞/（0）=。,fsin In2上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn)③當(dāng)工￡5，"時(shí)，sinx單調(diào)遞減，—ln(x+l)單調(diào)遞減???/(X)在爭(zhēng)上單調(diào)遞減又/(])>0,/(zr)=sin^--ln(^4-l)=-ln(^4-l)<0即/⑺?/圖<。，又f(x)在.，%上單調(diào)遞減???/(”在小上存在唯一零點(diǎn)④當(dāng)xg(%,+oo)時(shí)，sinxe[-1,1],ln(x+l)>ln(zr+l)>ln￡?=l.".sinx-ln(x+l)<0即/(x)在(zr,+oo)上不存在零點(diǎn)綜上所述：”力有且僅有2個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題.解決零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來(lái)說(shuō)明存在零點(diǎn)，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可.【題組二已知零點(diǎn)求參數(shù)】.已知函數(shù)/(x)=e*-or2.(1)若a=l,證明：當(dāng)xNO時(shí)，/(%)>1；(2)若/(%)在(0,48)只有一個(gè)零點(diǎn)，求。的值.2【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)a=J4【解析】【詳解】分析：⑴先構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x2+l)er-l,再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式；(2)研究/(x)零點(diǎn)，等價(jià)研究

〃(x)=l-加的零點(diǎn)，先求〃(x)導(dǎo)數(shù)：/?'(%)=ax(x-2)e-\這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn)，一個(gè)是a與零，一個(gè)是x與2,當(dāng)“40時(shí)，〃(x)>0,〃(x)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)。>0時(shí)，〃(x)先減后增，從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.詳解：(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(司21等價(jià)于任+1,-，-140.設(shè)函數(shù)g(x)=(d+])er_],則= =-(x-l)2e-x.當(dāng)XH1時(shí),g'(x)<0,所以g(x)在(0,+。)單調(diào)遞減.而g(0)=0,故當(dāng)xNO時(shí),g(x)<0,BP/(x)>l.(2)設(shè)函數(shù)Zl(x)=l-?廿”./(x)在(0,+助只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)〃(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn).(i)當(dāng)。4。時(shí),〃(x)>0,〃(x)沒(méi)有零點(diǎn);(ii)當(dāng)a>0時(shí)，/z'(x)=ar(x-2)e-x.當(dāng)xe(O,2)時(shí)，〃'(x)<0；當(dāng)xg(2,+qo)時(shí)，〃'(x)>0.所以〃(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增.故〃(2)=1-壓是〃(力在[0,”)的最小值.2i(?\i16a〃(甸=1-三,16a'[16a3而i(?\i16a〃(甸=1-三,16a'[16a3而a②若〃(2)=0,即“=?,〃(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)；③若〃(2)<0,即a>[,由于〃(0)=1,所以〃(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn),由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，，>/,所以故〃(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn)，因此〃(x)在(0,+8)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，/(X)在(o,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=j.點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.2.已知函數(shù)/(力=1一4(4€R).eA(1)若/(X)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍；(2)當(dāng)xN3時(shí)，不等式e"(x)+(a+3)xW0恒成立，求a的取值范圍.【答案】⑴?；⑵/，十°°)【解析】2 )【分析】(1)令/(x)=工-a=0,則。=工.將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象ex e"2的交點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)“力=與，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)性，作出簡(jiǎn)圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，可得出。的取值范圍.(2)不等式e"(x)+(a+3)xW0,整理得a(e*-x)之幺+3x.設(shè)g(x)=e*-x,求導(dǎo),分析出函數(shù)的值域，再運(yùn)用參變分離的思想得aN正包.設(shè)機(jī)(犬)=二包，e'-x ex—x求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，運(yùn)用不等式恒成立的思想求得。的取值范圍.【詳解】(1)令=C—。=0,則。=2.er ev設(shè)〃(x)=0,則令〃'(x)>0,得0<x<2；令/i'(x)<0,得er erx<0或x>2,則〃(x)在(Y>,0)和(2,一8)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，故/2(x)的極小值=〃(O)=O,〃(x)的極大值=畸)=上e可知”的取值范圍為(0,1(2)不等式e"(x)+(a+3)尤W0,即xO - 1Q O - 1Q \故。2/七，即。的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，以及不等式恒成立的相關(guān)問(wèn)題，屬于較難題.6.已知函數(shù)/(x)=e*-a(x+2).設(shè)g(x)=e，-x,則g，(x)=eX-L因?yàn)閤N3,所以g'(x)2e3—1>0,所以函數(shù)g(x)在［3,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)2g(3)=eL3>0,rn>|、X~+3X?n/\X~+3XTOC\o"1-5"\h\z貝ija> ?設(shè)〃7(x)= ,ev-x ev-x(-x2-x+3)eA-x2-x2(eA+l)+(3-x)ev則加⑺=A L——=―1——人工—(7 (e~)因?yàn)閤N3,所以(3—x)e"0,-x2(ex+l)<0,所以加(尤)<0,所以，"(x)在［3,+a>)上單調(diào)遞減，1Q所以n?(x)Wm(3)=三一-,(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論，(x)的單調(diào)性；(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.【答案】(1)/0)的減區(qū)間為(-8,0),增區(qū)間為(0,+8)；(2)(1,”).e【解析】【分析】(1)將。=1代入函數(shù)解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零,求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即e，-a(x+2)=0有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為。=上有兩x+2個(gè)解，令人(X)=-^_(XH-2),求導(dǎo)研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結(jié)果.2【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=，—(x+2),f\x)=ex-19令/''(x)<0,解得x<0,令/'(x)>0,解得x>0,所以/(x)的減區(qū)間為(-°°,0),增區(qū)間為(0,+8);(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),即e*-a(x+2)=0有兩個(gè)解，從方程可知，x=-2不成立，即。=且一有兩個(gè)解，x+2人a w,/、ev(x+2)-exev(x+l)令人(幻=―-(X*-2)，則有〃(X)=- 5—=]六，x+2 (x+2) (x+2)令"(x)>0,解得x>-l,令/(x)<0,解得x<-2或一2cx<-1,所以函