曲面的分類(lèi):1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面8-5第二型曲面積分1.雙側(cè)曲面動(dòng)點(diǎn)在雙側(cè)曲面上連續(xù)移動(dòng)(不跨越曲面的邊界)并返回到起始點(diǎn)時(shí),其法向量的指向不變.曲面的分類(lèi):1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面8-51曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)?曲面分類(lèi)

雙側(cè)曲面單側(cè)曲面曲面分左側(cè)和右側(cè)

曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)?曲面分類(lèi)雙側(cè)曲面單側(cè)2莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:3莫比烏斯帶

莫比烏斯帶4其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)

>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,

表示:其面元在xOy

面上的投影記為的面積為則規(guī)定類(lèi)似可規(guī)定其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)封閉曲面>0為右5實(shí)例:流向曲面一側(cè)的流量.2.第二型曲面積分的概念實(shí)例:流向曲面一側(cè)的流量.2.第二型曲面積分的概念6

S是速度場(chǎng)中的一片有向曲面,函數(shù)),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在S上連續(xù),

求在單位時(shí)間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量F.(2)設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體(假定密度為1)的速度場(chǎng)由kzyxRjzyxQizyxPzyxvrrrr),,(),,(),,(),,(++=給出.

S是速度場(chǎng)中的一片有向曲面,函數(shù)),,(),,,(),,,71.分割則該點(diǎn)流速為法向量為.把曲面S分成n小塊(),第i小塊曲面的面積同時(shí)也代表在上任取一點(diǎn)1.分割則該點(diǎn)流速為法向量為.把曲面S82.求和通過(guò)S流向指定側(cè)的流量該點(diǎn)處曲面S的單位法向量2.求和通過(guò)S流向指定側(cè)的流量該點(diǎn)處曲面S的單位法向量93.取極限.得到流量m的精確值3.取極限.得到流量m的精確值10,則

,則11第二型曲面積分的定義設(shè)S是一個(gè)分片光滑的雙側(cè)曲面,記選定一側(cè)的單位法向量為假設(shè)在S上給定了一個(gè)向量函數(shù)將S分割成n個(gè)不相重疊的小曲面片在上任取一點(diǎn)作和式令是中直徑的最大者

在S上選定了一側(cè),第二型曲面積分的定義設(shè)S是一個(gè)分片光滑的雙側(cè)曲面,記選定一側(cè)12若和式對(duì)Ｓ的任意一種分割及中間點(diǎn)的任意的選取，當(dāng)時(shí)總有極限，則稱(chēng)此極限為向量函數(shù)在Ｓ所指定一側(cè)上的第二型曲面積分，也稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)的曲面積分或若和式對(duì)Ｓ的任意一種分割及中間點(diǎn)的任意的選取，當(dāng)時(shí)總13其中與為同一個(gè)曲面的兩個(gè)相反的定向.(2)若積分與存在,則其中為任意常數(shù)．第二型曲面積分的性質(zhì)其中與為同一個(gè)曲面的兩個(gè)相反的定向.14其中由互不重疊的兩個(gè)曲面組成．3.第二型曲面積分的計(jì)算第二型曲面積分可表示成第一型曲面積分的形式和坐標(biāo)的形式其中由互不重疊的兩個(gè)曲面組成．3.第二型曲面積15為dS在平面上的有向投影面積.若單位法向量的方向余弦為(上正下負(fù))為dS在平面上的有向投影面積.若單位法向量的方向余16平面上的有向投影面積.平面上的有向投影面積.(前正后負(fù))(右正左負(fù))平面上的有向投影面積.平面上的有向投影面積.(前正后負(fù))(右17稱(chēng)為P在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)y,z的曲面積分;稱(chēng)為Q在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)z,x的曲面積分;稱(chēng)為R在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)x,y的曲面積分;若以-S表示曲面S的另一側(cè)，則由定義可得注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).稱(chēng)為P在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)y,z的曲面積分;稱(chēng)為Q18取上側(cè),是S上的連續(xù)函數(shù),則設(shè)光滑曲面注：積分的計(jì)算，必須先將曲面表示成：再代公式計(jì)算積分的計(jì)算方法：取上側(cè),是S上的連續(xù)函數(shù),則設(shè)光滑曲面注：積分的計(jì)算，19說(shuō)明:如果積分曲面S取下側(cè),則若曲面S是母線平行于z軸的柱面（垂直于xy坐標(biāo)面）則說(shuō)明:如果積分曲面S取下側(cè),則若曲面S是母線平行20(前正后負(fù))將曲面S表示為若曲面S是母線平行于x軸的柱面（垂直于yoz坐標(biāo)面）則積分的計(jì)算方法：(前正后負(fù))將曲面S表示為若曲面S是母線平行于x21(右正左負(fù))若曲面S是母線平行于y軸的柱面（垂直于zox坐標(biāo)面）則積分的計(jì)算方法：將曲面S表示為注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).(右正左負(fù))若曲面S是母線平行于y軸的柱面（垂直于22概括為：代：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個(gè)變量同名的坐標(biāo)面上（如xoy面）定號(hào)：

由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分的正負(fù)號(hào)一代、二投、三定號(hào)注意積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計(jì)算，結(jié)果相加②確定正負(fù)號(hào)的原則：曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時(shí)為正曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時(shí)為負(fù)概括為：代：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入投：將23第二型曲面積分的性質(zhì)（坐標(biāo)形式）⑴⑵若曲面S由兩兩無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的曲面

Si

i=1,2,...,n所組成，則第二型曲面積分的性質(zhì)（坐標(biāo)形式）⑴⑵若曲面S由兩兩無(wú)24由第二型曲面積分的定義，流體以速度從曲面S的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量由第二型曲面積分的定義，流體以速度從曲面S的負(fù)側(cè)流向正側(cè)25解解26第二型曲面積分3課件27第二型曲面積分3課件28第二型曲面積分3課件29第二型曲面積分3課件30第二型曲面積分3課件31第二型曲面積分3課件32第二型曲面積分3課件33第二型曲面積分3課件34第二型曲面積分3課件35法向量指向上側(cè)時(shí)取正，指向下側(cè)時(shí)取負(fù)．單位法向量的方向余弦是：曲面

在點(diǎn)處的法向量為例如第二型曲面積分直接化成二重積分關(guān)鍵是正確理解曲面S的面積元dS在坐標(biāo)平面上的有向投影．法向量指向上側(cè)時(shí)取正，指向下側(cè)時(shí)取負(fù)．單位法向量的方向余弦是36第二型曲面積分3課件37第二型曲面積分3課件38第二型曲面積分3課件39第二型曲面積分3課件40曲面的分類(lèi):1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面8-5第二型曲面積分1.雙側(cè)曲面動(dòng)點(diǎn)在雙側(cè)曲面上連續(xù)移動(dòng)(不跨越曲面的邊界)并返回到起始點(diǎn)時(shí),其法向量的指向不變.曲面的分類(lèi):1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面8-541曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)?曲面分類(lèi)

雙側(cè)曲面單側(cè)曲面曲面分左側(cè)和右側(cè)

曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)?曲面分類(lèi)雙側(cè)曲面單側(cè)42莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:43莫比烏斯帶

莫比烏斯帶44其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)

>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,

表示:其面元在xOy

面上的投影記為的面積為則規(guī)定類(lèi)似可規(guī)定其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)封閉曲面>0為右45實(shí)例:流向曲面一側(cè)的流量.2.第二型曲面積分的概念實(shí)例:流向曲面一側(cè)的流量.2.第二型曲面積分的概念46

S是速度場(chǎng)中的一片有向曲面,函數(shù)),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在S上連續(xù),

求在單位時(shí)間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量F.(2)設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體(假定密度為1)的速度場(chǎng)由kzyxRjzyxQizyxPzyxvrrrr),,(),,(),,(),,(++=給出.

S是速度場(chǎng)中的一片有向曲面,函數(shù)),,(),,,(),,,471.分割則該點(diǎn)流速為法向量為.把曲面S分成n小塊(),第i小塊曲面的面積同時(shí)也代表在上任取一點(diǎn)1.分割則該點(diǎn)流速為法向量為.把曲面S482.求和通過(guò)S流向指定側(cè)的流量該點(diǎn)處曲面S的單位法向量2.求和通過(guò)S流向指定側(cè)的流量該點(diǎn)處曲面S的單位法向量493.取極限.得到流量m的精確值3.取極限.得到流量m的精確值50,則

,則51第二型曲面積分的定義設(shè)S是一個(gè)分片光滑的雙側(cè)曲面,記選定一側(cè)的單位法向量為假設(shè)在S上給定了一個(gè)向量函數(shù)將S分割成n個(gè)不相重疊的小曲面片在上任取一點(diǎn)作和式令是中直徑的最大者

在S上選定了一側(cè),第二型曲面積分的定義設(shè)S是一個(gè)分片光滑的雙側(cè)曲面,記選定一側(cè)52若和式對(duì)Ｓ的任意一種分割及中間點(diǎn)的任意的選取，當(dāng)時(shí)總有極限，則稱(chēng)此極限為向量函數(shù)在Ｓ所指定一側(cè)上的第二型曲面積分，也稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)的曲面積分或若和式對(duì)Ｓ的任意一種分割及中間點(diǎn)的任意的選取，當(dāng)時(shí)總53其中與為同一個(gè)曲面的兩個(gè)相反的定向.(2)若積分與存在,則其中為任意常數(shù)．第二型曲面積分的性質(zhì)其中與為同一個(gè)曲面的兩個(gè)相反的定向.54其中由互不重疊的兩個(gè)曲面組成．3.第二型曲面積分的計(jì)算第二型曲面積分可表示成第一型曲面積分的形式和坐標(biāo)的形式其中由互不重疊的兩個(gè)曲面組成．3.第二型曲面積55為dS在平面上的有向投影面積.若單位法向量的方向余弦為(上正下負(fù))為dS在平面上的有向投影面積.若單位法向量的方向余56平面上的有向投影面積.平面上的有向投影面積.(前正后負(fù))(右正左負(fù))平面上的有向投影面積.平面上的有向投影面積.(前正后負(fù))(右57稱(chēng)為P在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)y,z的曲面積分;稱(chēng)為Q在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)z,x的曲面積分;稱(chēng)為R在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)x,y的曲面積分;若以-S表示曲面S的另一側(cè)，則由定義可得注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).稱(chēng)為P在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)y,z的曲面積分;稱(chēng)為Q58取上側(cè),是S上的連續(xù)函數(shù),則設(shè)光滑曲面注：積分的計(jì)算，必須先將曲面表示成：再代公式計(jì)算積分的計(jì)算方法：取上側(cè),是S上的連續(xù)函數(shù),則設(shè)光滑曲面注：積分的計(jì)算，59說(shuō)明:如果積分曲面S取下側(cè),則若曲面S是母線平行于z軸的柱面（垂直于xy坐標(biāo)面）則說(shuō)明:如果積分曲面S取下側(cè),則若曲面S是母線平行60(前正后負(fù))將曲面S表示為若曲面S是母線平行于x軸的柱面（垂直于yoz坐標(biāo)面）則積分的計(jì)算方法：(前正后負(fù))將曲面S表示為若曲面S是母線平行于x61(右正左負(fù))若曲面S是母線平行于y軸的柱面（垂直于zox坐標(biāo)面）則積分的計(jì)算方法：將曲面S表示為注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).(右正左負(fù))若曲面S是母線平行于y軸的柱面（垂直于62概括為：代：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個(gè)變量同名的坐標(biāo)面上（如xoy面）定號(hào)：

由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分的正負(fù)號(hào)一代、二投、三定號(hào)注意積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計(jì)算，結(jié)果相加