曲面的側對坐標的曲面積分的概念與性質

對坐標的曲面積分的計算法兩類曲面積分的聯(lián)系12.2對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分的實際背景

內(nèi)容曲面的側對坐標的曲面積分的概念與性質對坐標的曲面積分的觀察以下曲面的側有上側和下側有內(nèi)側和外側

通常光滑曲面都有兩側.(假設曲面是光滑的)一、預備知識有兩側的曲面.(1)雙側曲面1.曲面的分類有左側和右側觀察以下曲面的側有上側和下側有內(nèi)側和外側通常(2)單側曲面默比烏斯(Mobius)帶.B和D粘在一起形成的環(huán)不越過其邊界，可以這在雙側曲面上是不可能的.它是由一張長方形紙條ABCD,扭轉一下,將A和C粘在一起，行帶.小毛蟲在莫比烏斯帶上,爬到任何一點去.Mobius(1790--1868)19世紀德國數(shù)學家默比烏斯(Mobius)帶.我們只考慮雙側曲面，不考慮單側曲面.(2)單側曲面默比烏斯(Mobius)帶.B和D粘在一起2.有向曲面有向曲面的方向確定了曲面的側.2.有向曲面有向曲面的方向確定了曲面的側.設有向曲面

的單位法向量為設有向曲面的單位法向量為122-對坐標曲面積分課件122-對坐標曲面積分課件122-對坐標曲面積分課件3.有向曲面在坐標面上的有向投影設有有向曲面Σ，

假定的余弦上各點處的法向量與z軸的夾角有相同的符號.

在曲面Σ上取一小塊有向曲面(上側)(下側)在xOy坐標面上的有向投影為規(guī)定：記為在xOy面上的投影區(qū)域的面積.(垂直)，3.有向曲面在坐標面上的有向投影設有有向曲面Σ，假定的(前側)(后側)(垂直)同理可定義在yOz坐標面及zOx坐標面的有向投影.xOy面：上正下負垂直為零yOz面：前正后負垂直為零zOx面：右正左負垂直為零(右側)(左側)(垂直)為在yOz面上的投影區(qū)域的面積.為在zOx面上的投影區(qū)域的面積.(前側)(后側)(垂直)同理可定義在yOz坐標面122-對坐標曲面積分課件流向曲面一側的流量.流量引例為平面A指定側的單位法向量)(斜柱體體積)(1)流速為常向量有向曲面Σ為有向平面區(qū)域

A,求單位時間流過A的流體的流量(假定密度為1).二、對坐標的曲面積分的背景

(S為有向平面區(qū)域

A的面積，流向曲面一側的流量.流量引例為平面A指定側的單位(2)

設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體給出,函數(shù)

流體的密度與速度均不隨時間而變化(假定密度為1)的速度場由不是常向量,Σ為有向曲面求在單位時間內(nèi)流向指定側的流體的流量是速度場中的一片有向曲面,ΣΣ分割→近似→求和→取極限(2)設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體給出,函數(shù)分割近似分割近似122-對坐標曲面積分課件求和取極限求和取極限設

為光滑有向曲面，或對坐標的曲面積分，記作被積函數(shù)積分曲面第二類曲面積分存在且唯一，向量場若對的任意分割和局部任意取點，就稱此極限為F在有向曲面Σ上的1.定義三、對坐標的曲面積分的概念與性質在上有界，有向投影元素設為光滑有向曲面，或對坐標的曲面積分，記作被積函數(shù)積分122-對坐標曲面積分課件注1：若為封閉曲面,記為注2：特別地稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對

x,y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;注1：若為封閉曲面,記為注2：特別地稱為Q在有向曲3.物理意義流向Σ指定側的流量2.存在條件在光滑有向曲面Σ上連續(xù)，則第二類曲面積分存在.4.性質

3.物理意義流向Σ指定側的流量2.存在條件在光滑有向曲面Σ5.兩類曲面積分的聯(lián)系其中為有向曲面∑上任意點（x,y,z）處指定側的單位法向量.5.兩類曲面積分的聯(lián)系其中為有向曲面∑上任意點（x,y,z）為連續(xù)函數(shù)，Σ是平面在第四卦限部分的上側,計算解例1

設∑的單位法向量為連續(xù)函數(shù)，Σ是平面在第四卦限部分的上側,計算解例1四、對坐標的曲面積分的計算法思想:化為二重積分計算.求xy型積分(1)(2)四、對坐標的曲面積分的計算法思想:化為二重積分計算.求xy型第二類曲面積分,必須注意曲面所取的注側.于是，上正下負前正后負右正左負第二類曲面積分,必須注意曲面所取的注側.于是，上正下負前正后垂直為零上正下負前正后負右正左負垂直為零垂直為零上正下負解:例2.當Σ是xOy坐標面的一個區(qū)域時，曲面積分Σ取上側時與二重積分有什么關系？則Σ取下側時解:例2.當Σ是xOy坐標面的一個區(qū)域時，解投影域

例3計算其中Σ是球面在部分的外側.取上側取下側解投影域例3計算其中Σ是球面在部分的外側.取上側取下側極坐標注：不可用奇偶對稱性得極坐標注：不可用奇偶對稱性得例4.

計算邊長為

2a

的正立方體的整個表面的外側.解:

取上側；取下側.,其中是以原點為中心,由于垂直為零，又例4.計算邊長為2a的正立方體的整個表面的外側.解:例5.

計算曲面積分其中解法一:旋轉拋物面介于平面z=0

及z=2之間部分的下側.

把分為前后兩部分：取前側取后側為計算例5.計算曲面積分其中解法一:旋轉拋物面介于平面z=122-對坐標曲面積分課件因此得第二類曲面積分計算的三合一投影法.因此得第二類曲面積分計算的三合一投影法.例5解法二:奇偶對稱性輪換對稱性例5解法二:奇偶對稱性輪換對稱性曲面的側對坐標的曲面積分的概念與性質

對坐標的曲面積分的計算法兩類曲面積分的聯(lián)系12.2對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分的實際背景

內(nèi)容曲面的側對坐標的曲面積分的概念與性質對坐標的曲面積分的觀察以下曲面的側有上側和下側有內(nèi)側和外側

通常光滑曲面都有兩側.(假設曲面是光滑的)一、預備知識有兩側的曲面.(1)雙側曲面1.曲面的分類有左側和右側觀察以下曲面的側有上側和下側有內(nèi)側和外側通常(2)單側曲面默比烏斯(Mobius)帶.B和D粘在一起形成的環(huán)不越過其邊界，可以這在雙側曲面上是不可能的.它是由一張長方形紙條ABCD,扭轉一下,將A和C粘在一起，行帶.小毛蟲在莫比烏斯帶上,爬到任何一點去.Mobius(1790--1868)19世紀德國數(shù)學家默比烏斯(Mobius)帶.我們只考慮雙側曲面，不考慮單側曲面.(2)單側曲面默比烏斯(Mobius)帶.B和D粘在一起2.有向曲面有向曲面的方向確定了曲面的側.2.有向曲面有向曲面的方向確定了曲面的側.設有向曲面

的單位法向量為設有向曲面的單位法向量為122-對坐標曲面積分課件122-對坐標曲面積分課件122-對坐標曲面積分課件3.有向曲面在坐標面上的有向投影設有有向曲面Σ，

假定的余弦上各點處的法向量與z軸的夾角有相同的符號.

在曲面Σ上取一小塊有向曲面(上側)(下側)在xOy坐標面上的有向投影為規(guī)定：記為在xOy面上的投影區(qū)域的面積.(垂直)，3.有向曲面在坐標面上的有向投影設有有向曲面Σ，假定的(前側)(后側)(垂直)同理可定義在yOz坐標面及zOx坐標面的有向投影.xOy面：上正下負垂直為零yOz面：前正后負垂直為零zOx面：右正左負垂直為零(右側)(左側)(垂直)為在yOz面上的投影區(qū)域的面積.為在zOx面上的投影區(qū)域的面積.(前側)(后側)(垂直)同理可定義在yOz坐標面122-對坐標曲面積分課件流向曲面一側的流量.流量引例為平面A指定側的單位法向量)(斜柱體體積)(1)流速為常向量有向曲面Σ為有向平面區(qū)域

A,求單位時間流過A的流體的流量(假定密度為1).二、對坐標的曲面積分的背景

(S為有向平面區(qū)域

A的面積，流向曲面一側的流量.流量引例為平面A指定側的單位(2)

設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體給出,函數(shù)

流體的密度與速度均不隨時間而變化(假定密度為1)的速度場由不是常向量,Σ為有向曲面求在單位時間內(nèi)流向指定側的流體的流量是速度場中的一片有向曲面,ΣΣ分割→近似→求和→取極限(2)設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體給出,函數(shù)分割近似分割近似122-對坐標曲面積分課件求和取極限求和取極限設

為光滑有向曲面，或對坐標的曲面積分，記作被積函數(shù)積分曲面第二類曲面積分存在且唯一，向量場若對的任意分割和局部任意取點，就稱此極限為F在有向曲面Σ上的1.定義三、對坐標的曲面積分的概念與性質在上有界，有向投影元素設為光滑有向曲面，或對坐標的曲面積分，記作被積函數(shù)積分122-對坐標曲面積分課件注1：若為封閉曲面,記為注2：特別地稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對

x,y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;注1：若為封閉曲面,記為注2：特別地稱為Q在有向曲3.物理意義流向Σ指定側的流量2.存在條件在光滑有向曲面Σ上連續(xù)，則第二類曲面積分存在.4.性質

3.物理意義流向Σ指定側的流量2.存在條件在光滑有向曲面Σ5.兩類曲面積分的聯(lián)系其中為有向曲面∑上任意點（x,y,z）處指定側的單位法向量.5.兩類曲面積分的聯(lián)系其中為有向曲面∑上任意點（x,y,z）為連續(xù)函數(shù)，Σ是平面在第四卦限部分的上側,計算解例1

設∑的單位法向量為連續(xù)函數(shù)，Σ是平面在第四卦限部分的上側,計算解例1四、對坐標的曲面積分的計算法思想:化為二重積分計算.求xy型積分(1)(2)四、對坐標的曲面積分的計算法思想:化為二重積分計算.求xy型第二類曲面積分,必須注意曲面所取的注側.于是，上正下負前正后負右正左負第二類曲面積分,必須注意曲面所取的注側.于是，上正下負前正后垂直為零上正下負前正后負右正左負垂直為零垂直為零上正下負解:例2.當Σ是xOy坐標面的一個區(qū)域時，曲面積分Σ取上側時與二重積分有什么關系？則Σ取下側時解:例2.當Σ是xOy坐標面的一個區(qū)域時，解投影域

例3計算其中Σ是球面在部分的外側.取上側取下側解投影域例3計算其中Σ是球面在部分的外側.取上側取下側極坐標注：不可用奇偶對稱性得極坐標注：不可用奇偶對稱性得例4.

計算邊長為

2a

的正立方體的整個表面的外側.解:

取上側；取下側.