第4課時(shí)絕對(duì)值三角不等式若點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，A，B為數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)，則一定有|AB|＝|AO|＋|OB|嗎?如果原點(diǎn)O的坐標(biāo)為0，而A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)分別為a，b，那么一定有|a＋b|＝|a|＋|b|嗎?第4課時(shí)絕對(duì)值三角不等式若點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，A，B為數(shù)軸上預(yù)學(xué)1:定理1如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立.議一議:說出不等式|a|－|b|≤|a＋b|等號(hào)成立的條件.【解析】等號(hào)成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|.預(yù)學(xué)1:定理1預(yù)學(xué)2:定理2如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立.想一想:方程|2－x|＋|x－4|＝2的解集是多少?【解析】∵|2－x|＋|x－4|≥|2－4|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)(2－x)·(x－4)≥0，即2≤x≤4時(shí)等號(hào)成立.∴方程|2－x|＋|x－4|＝2的解集為[2，4].預(yù)學(xué)2:定理2預(yù)學(xué)3:|a＋b|與|a|－|b|，|a－b|與|a|－|b|及|a|＋|b|之間的關(guān)系|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.當(dāng)ab≥0時(shí)，|a＋b|＝|a|＋|b|;當(dāng)ab≤0時(shí)，|a－b|＝|a|＋|b|.練一練:若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，則|a＋b|的最大值是

，最小值是

.

【解析】||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故|a＋b|的最大值是5，最小值是0.【答案】5

0預(yù)學(xué)3:|a＋b|與|a|－|b|，|a－b|與|a|－|b預(yù)學(xué)4:不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中等號(hào)成立的條件左邊等號(hào)成立的條件是ab≤0，右邊等號(hào)成立的條件是ab≥0，||a|－|b||≤|a|＋|b|等號(hào)成立的條件是ab＝0.想一想:不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，其中左右兩邊等號(hào)成立的條件分別是什么?【解析】||a|－|b||≤|a－b|等號(hào)成立的條件是ab≥0，|a－b|≤|a|＋|b|等號(hào)成立的條件ab≤0.預(yù)學(xué)4:不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|

2.利用絕對(duì)值三角不等式解決函數(shù)的最值問題例2、對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立.(1)求實(shí)數(shù)M的最大值;(2)若實(shí)數(shù)M的最大值為m，當(dāng)x<1時(shí)，解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.2.利用絕對(duì)值三角不等式解決函數(shù)的最值問題

變式訓(xùn)練3、設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－3|－|x＋a|，其中a∈R.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，解不等式f(x)<1;(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x)≤2a成立，求a的取值范圍.變式訓(xùn)練3、設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－3|－|x＋a|，其中a∈【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)<1就是|x－3|－|x＋2|<1.當(dāng)x<－2時(shí)，不等式為3－x＋x＋2<1，得5<1，不等式無解;當(dāng)－2≤x<3時(shí)，不等式為3－x－x－2<1，得x>0，所以0<x<3;當(dāng)x≥3時(shí)，不等式為x－3－x－2<1，得－5<1，不等式恒成立，所以x≥3.綜上可知，不等式f(x)<1的解集是(0，＋∞).【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)<1就是|x－3|－|x＋(2)因?yàn)閒(x)＝|x－3|－|x＋a|≤|(x－3)－(x＋a)|＝|a＋3|，所以f(x)的最大值為|a＋3|.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x)≤2a成立等價(jià)于|a＋3|≤2a.當(dāng)a≥－3時(shí)，不等式為a＋3≤2a，得a≥3;當(dāng)a<－3時(shí)，不等式為－a－3≤2a，得a≥－1，無解.綜上，所求a的取值范圍是[3，＋∞).(2)因?yàn)閒(x)＝|x－3|－|x＋a|≤|(x－3)1.兩數(shù)和與差的絕對(duì)值不等式的性質(zhì):|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)對(duì)絕對(duì)值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等號(hào)成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值.(2)該定理可強(qiáng)化為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它經(jīng)常用于證明含絕對(duì)值的不等式.1.兩數(shù)和與差的絕對(duì)值不等式的性質(zhì):|a|－|b|≤|a±b2.含絕對(duì)值不等式的證明主要分兩類:一類是比較簡(jiǎn)單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題，或利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì):||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當(dāng)?shù)奶怼⒉痦?xiàng)證明;另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對(duì)值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明.2.含絕對(duì)值不等式的證明主要分兩類:一類是比較簡(jiǎn)單的不等式，

高中數(shù)學(xué)第4課時(shí)絕對(duì)值三角不等式課件新人教A版選修4_第4課時(shí)絕對(duì)值三角不等式若點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，A，B為數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)，則一定有|AB|＝|AO|＋|OB|嗎?如果原點(diǎn)O的坐標(biāo)為0，而A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)分別為a，b，那么一定有|a＋b|＝|a|＋|b|嗎?第4課時(shí)絕對(duì)值三角不等式若點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，A，B為數(shù)軸上預(yù)學(xué)1:定理1如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立.議一議:說出不等式|a|－|b|≤|a＋b|等號(hào)成立的條件.【解析】等號(hào)成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|.預(yù)學(xué)1:定理1預(yù)學(xué)2:定理2如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立.想一想:方程|2－x|＋|x－4|＝2的解集是多少?【解析】∵|2－x|＋|x－4|≥|2－4|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)(2－x)·(x－4)≥0，即2≤x≤4時(shí)等號(hào)成立.∴方程|2－x|＋|x－4|＝2的解集為[2，4].預(yù)學(xué)2:定理2預(yù)學(xué)3:|a＋b|與|a|－|b|，|a－b|與|a|－|b|及|a|＋|b|之間的關(guān)系|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.當(dāng)ab≥0時(shí)，|a＋b|＝|a|＋|b|;當(dāng)ab≤0時(shí)，|a－b|＝|a|＋|b|.練一練:若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，則|a＋b|的最大值是

，最小值是

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【解析】||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故|a＋b|的最大值是5，最小值是0.【答案】5

0預(yù)學(xué)3:|a＋b|與|a|－|b|，|a－b|與|a|－|b預(yù)學(xué)4:不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中等號(hào)成立的條件左邊等號(hào)成立的條件是ab≤0，右邊等號(hào)成立的條件是ab≥0，||a|－|b||≤|a|＋|b|等號(hào)成立的條件是ab＝0.想一想:不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，其中左右兩邊等號(hào)成立的條件分別是什么?【解析】||a|－|b||≤|a－b|等號(hào)成立的條件是ab≥0，|a－b|≤|a|＋|b|等號(hào)成立的條件ab≤0.預(yù)學(xué)4:不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|

2.利用絕對(duì)值三角不等式解決函數(shù)的最值問題例2、對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立.(1)求實(shí)數(shù)M的最大值;(2)若實(shí)數(shù)M的最大值為m，當(dāng)x<1時(shí)，解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.2.利用絕對(duì)值三角不等式解決函數(shù)的最值問題

變式訓(xùn)練3、設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－3|－|x＋a|，其中a∈R.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，解不等式f(x)<1;(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x)≤2a成立，求a的取值范圍.變式訓(xùn)練3、設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－3|－|x＋a|，其中a∈【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)<1就是|x－3|－|x＋2|<1.當(dāng)x<－2時(shí)，不等式為3－x＋x＋2<1，得5<1，不等式無解;當(dāng)－2≤x<3時(shí)，不等式為3－x－x－2<1，得x>0，所以0<x<3;當(dāng)x≥3時(shí)，不等式為x－3－x－2<1，得－5<1，不等式恒成立，所以x≥3.綜上可知，不等式f(x)<1的解集是(0，＋∞).【解析】(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)<1就是|x－3|－|x＋(2)因?yàn)閒(x)＝|x－3|－|x＋a|≤|(x－3)－(x＋a)|＝|a＋3|，所以f(x)的最大值為|a＋3|.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x)≤2a成立等價(jià)于|a＋3|≤2a.當(dāng)a≥－3時(shí)，不等式為a＋3≤2a，得a≥3;當(dāng)a<－3時(shí)，不等式為－a－3≤2a，得a≥－1，無解.綜上，所求a的取值范圍是[3，＋∞).(2)因?yàn)閒(x)＝|x－3|－|x＋a|≤|(x－3)1.兩數(shù)和與差的絕對(duì)值不等式的性質(zhì):|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)對(duì)絕對(duì)值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等號(hào)成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值.(2)該定理可強(qiáng)化為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它經(jīng)常用于證明含絕對(duì)值的不等式.1.兩數(shù)和與差的絕對(duì)值不等式的