考點(diǎn)專練48：雙曲線一、選擇題1.已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1(x≥eq\r(2))B.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1(x≤－eq\r(2))C.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,14)＝1(x≥eq\r(2))D.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,14)＝1(x≤－eq\r(2))2.已知雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l分別交C的左、右支于點(diǎn)A，B，且|AF1|＝|BF1|，則|AB|＝()A.4B.8C.16D.323.已知雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(4y2,3)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝14.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積是()A.eq\f(7,2)B.3C.eq\f(5,2) D.25.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，△PF1F2是等腰三角形且底角的余弦值為eq\f(3,4)，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,4)D.26.已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，實(shí)軸長(zhǎng)為6，漸近線方程為y＝±eq\f(1,3)x，動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線左支上，點(diǎn)N為圓E：x2＋(y＋eq\r(6))2＝1上一點(diǎn)，則|MN|＋|MF2|的最小值為()A.8B.9C.10D.117.已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)落在直線y＝x－2上，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1C.x2－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,3)－y2＝18.已知雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率e∈(1,2]，則其經(jīng)過(guò)第一、三象限的漸近線的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))9.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A.4B.8C.16D.3210.(多選)雙曲線E：eq\f(x2,m)－eq\f(y2,4)＝1(m＞0)一條漸近線方程為x＋3y＝0，則下列說(shuō)法正確的是()A.雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上B.m＝eq\f(4,9)C.雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為6D.雙曲線E的離心率為eq\f(\r(10),3)二、填空題11.已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為_(kāi)_______12.已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線C的兩條漸近線與圓(x－2)2＋y2＝1都相切，則雙曲線C的離心率是________13.雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線上一點(diǎn)．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝________14.已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N．若△OMN為直角三角形，則|MN|＝________三、解答題15.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(4,0)，實(shí)軸長(zhǎng)為4eq\r(3)．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：y＝kx＋2eq\r(2)與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，求k的取值范圍．16.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2eq\r(13)，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)之差為4，離心率之比為3∶7．(1)求橢圓和雙曲線的方程；(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cos∠F1PF2的值．參考答案：一、選擇題1.A2.C3.D4.B5.D6.B7.D8.C9.B10.AD二、填空題11.答案：212.答案：eq\f(2\r(3),3)或213.答案：eq\f(\r(5),5)14.答案：3三、解答題15.解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝2eq\r(3)，c＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝4，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1．(2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，將y＝kx＋2eq\r(2)與eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1聯(lián)立，得(1－3k2)x2－12eq\r(2)kx－36＝0．由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝(－12\r(2)k)2＋4×(1－3k2)×36＞0，,xA＋xB＝\f(12\r(2)k,1－3k2)＜0，,xAxB＝\f(－36,1－3k2)＞0，))解得eq\f(\r(3),3)＜k＜1．所以當(dāng)eq\f(\r(3),3)＜k＜1時(shí)，l與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)．16.解：(1)由題知c＝eq\r(13)，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，雙曲線方程為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,m＝3.))則b＝6，n＝2．故橢圓方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,36)＝1，雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1．(2)不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P是