——小結(jié)與復(fù)習(xí)——小結(jié)與復(fù)習(xí)1.圓心為點(diǎn)C(8，-3)，且過點(diǎn)A(5，1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(x+8)2+(y-3)2=5

B.(x-8)2+(y+3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25

D.(x-8)2+(y+3)2=25

半徑所以所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25.選D.D1.圓心為點(diǎn)C(8，-3)，且過點(diǎn)A(5，1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.方程y=對應(yīng)的曲線是（）

原曲線方程可化為x2+y2=4（y≤0），表示下半圓,選A.A2.方程y=對應(yīng)的曲線是（）A3.半徑為5且圓心在y軸上的圓與x軸相切，則圓的方程為（）A.x2+y2+10y=0B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10x=0或x2+y2-10x=0B3.半徑為5且圓心在y軸上的圓與x軸相切，則圓的方程為（

設(shè)圓心為（0，b），由題意，則圓的方程為x2+（y-b）2=b2.因?yàn)榘霃綖?.所以=5,b=±5.故圓的方程為x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.選B.易錯(cuò)點(diǎn)：圓心的位置可能在y軸上半軸或下半軸.設(shè)圓心為（0，b），由題意，則圓的方程為x2+（y-b4.已知圓C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對稱，則圓C2的方程為

.

設(shè)圓C2的圓心為（a，b），則依題意，

對稱圓的半徑不變，為1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有，解得：a=2b=-2.4.已知圓C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圓C2與圓C

5.若圓x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0關(guān)于直線x-y+1=0對稱，則實(shí)數(shù)a=

.

依題意直線x-y+1=0，過已知圓的圓心所以解得a=3或a=-1，當(dāng)a=-1時(shí)，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圓，所以只能取a=3.填3.易錯(cuò)點(diǎn)：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0僅在D2+E2-4F＞0時(shí)才表示圓，因此需檢驗(yàn)不等式是否成立.35.若圓x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0關(guān)于直1.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫做圓，定點(diǎn)叫做圓心，定長叫做圓的半徑.2.圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：以（a,b）為圓心，r（r>0）為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2.1.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，表示圓的一般方程，其圓心的坐標(biāo)為

半徑當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，只表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，不表示任何圖形.（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，圓心C（a,b），半徑r，若點(diǎn)M（x0,y0）在圓C外，則（x0-a）2+（y0-b）2>r2;若點(diǎn)M（x0,y0）在圓C上，則（x0-a）2+（y0-b）2=r2;若點(diǎn)M（x0,y0）在圓C內(nèi)，則（x0-a）2+（y0-b）2<r2.3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系則圓C與l相離Δ＜0,圓C與l相切Δ=0，圓C與l相交Δ＞0.(1)直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離，相切，相交。判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法常見的有兩種方法：4.直線與圓的位置關(guān)系①代數(shù)法：

由圓C方程及直線L的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得一元二次方程，設(shè)一元二次方程的根的判別式為Δ則圓C與l相離Δ＜0,(1)直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離ddd.O.O.Orrr相離相切相交1、直線與圓相離=>d>r2、直線與圓相切=>d=r3、直線與圓相交=>d<r<<<lll②幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑的大小關(guān)系ddd.O.O.Orrr相離相切相交1、直線與圓相離外離|O1O2|>R+r|O1O2|=R+rR-r<|O1O2|<R+r|O1O2|=R-r|O1O2|<R-r外切相交內(nèi)切內(nèi)含rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O25.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，外離|O1O2|>R+r|O1O2|=R+rR-r<|O1O6.對稱問題:圓（x-a）2+（y-b）2=r2關(guān)于直線x=0的對稱圓的方程為（x+a）2+（y-b）2=r2;關(guān)于直線y=0的對稱圓的方程為（x-a）2+（y+b）2=r2；關(guān)于直線y=x的對稱圓的方程為（x-b）2+（y-a）2=r2；關(guān)于直線y=-x的對稱圓的方程為（x+b）2+（y+a）2=r2.6.對稱問題:7.與圓有關(guān)的弦長問題①幾何方法：②代數(shù)方法：rdABO解析幾何中，解決圓的弦長、弦心距的計(jì)算常常利用幾何方法.其中K是直線的斜率，XA、xB是直線和圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo),且7.與圓有關(guān)的弦長問題①幾何方法：②代數(shù)方法：rdABO解析①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則此點(diǎn)的切線方程為x0x+y0y=r2．②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2．8.過圓上一點(diǎn)的切線方程：①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則此點(diǎn)的切線9.兩圓相交的弦的方程

⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交時(shí)，公共弦方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

9.兩圓相交的弦的方程10.圓系方程：①設(shè)圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若兩圓相交，則過交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ為參數(shù)，圓系中不包括圓C2，λ=-1為兩圓的公共弦所在直線方程)．②設(shè)圓C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線l：Ax+By+C=0，若直線與圓相交，則過交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數(shù))．10.圓系方程：

重點(diǎn)突破：圓的方程

（Ⅰ）求過兩點(diǎn)A（1,4）,B（3,2）,且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)P（2,4）與圓的位置關(guān)系.（Ⅱ）求過A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓半徑長和圓心C坐標(biāo).重點(diǎn)突破：圓的方程

（Ⅰ）欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，而要判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，只需看點(diǎn)P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系.（Ⅱ）設(shè)出圓的方程，解方程組即可.（Ⅰ）欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需求出圓心坐標(biāo)和圓

（Ⅰ）解法1：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，因?yàn)閳A心在y=0上,故b=0，所以圓的方程為（x-a）2+y2=r2又因?yàn)樵搱A過A（1,4）,B（3,2）兩點(diǎn),則（1-a）2+16=r2（3-a）2+4=r2，解得a=-1，r2=20.（Ⅰ）解法1：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）解法2：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過A（1,4）,B（3,2）兩點(diǎn)，所以圓心必在線段AB的中垂線l上,又因?yàn)閗AB==-1,故l的斜率為1,又AB的中點(diǎn)為（2，3）,故線段AB的中垂線l的方程為x-y+1=0.解法2：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過A（1,4）,B（又知圓心在直線y=0上,故圓心為C(-1，0)，所以半徑故所求圓的方程為(x+1)2+y2=20.又點(diǎn)P(2,4)到圓心(-1，0)的距離為所以點(diǎn)P在圓外.又知圓心在直線y=0上,故圓心為C(-1，0)，(Ⅱ)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，因?yàn)槿c(diǎn)A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程的解，將它們的坐標(biāo)代入方程得，42+12+4D+E+F=062+(-3)2+6D-3E+F=0(-3)2+02-3D+0·E+F=0，解得D=-2E=6F=-15.(Ⅱ)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，，解得D=所以圓的方程為x2+y2-2x+6y-15=0，即（x-1）2+（y+3）2=25，所以圓心坐標(biāo)為（1，-3），半徑為r=5.“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法.一般的，在選用圓的方程形式時(shí)，若問題涉及圓心和半徑，則選用標(biāo)準(zhǔn)方程比較簡便，否則選用一般方程方便些.所以圓的方程為x2+y2-2x+6y-15=0，根據(jù)下列條件求圓的方程.（Ⅰ）圓過P（4,-2）,Q（-1,3）兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4

.（Ⅱ）已知圓的半徑為，圓心在直線y=2x上，圓被直線x-y=0截得的弦長為4.根據(jù)下列條件求圓的方程.(Ⅰ)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.①

4D-2E+F=-20

D-3E-F=10，令x=0,由①得y2+Ey+F=0.②由已知其中y1,y2是方程②的兩根，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，聯(lián)立方程解得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4，故所求的圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.將P,Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入①式得(Ⅰ)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.(Ⅱ)解法1：設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=10，由圓心在直線y=2x上，得b=2a，①由圓在直線x-y=0截得的弦長為4，將y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10.整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦長公式得化簡得a-b=±2.②解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4,所以所求圓方程為(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.(Ⅱ)解法1：設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=10，解法2：根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)：半徑，弦長的一半，弦心距構(gòu)成直角三角形，由勾股定理，可得弦心距因?yàn)橄倚木嗟扔趫A心（a,b）到直線x-y=0的距離，所以又已知b=2a，解得a=2,b=4或a=-2,b=-4.所以所求圓方程為（x-2）2+（y-4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10.解法2：根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)：半徑，弦長的一半，弦心距構(gòu)成直角求以圓C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程．解法一：

相減得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0．

∵所求圓以AB為直徑，

于是圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=25.求以圓C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圓解法二：設(shè)所求圓的方程為：x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ為參數(shù))

∵圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線上，

∴所求圓的方程為x2+y2-4x+4y-17=0．

解法二：∵圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線上，∴所求圓的方程重點(diǎn)突破：與圓有關(guān)的最值問題

例3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0（Ⅰ）求y-x的最大值和最小值,（Ⅱ）求x2+y2的最大值和最小值.根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合求解.重點(diǎn)突破：與圓有關(guān)的最值問題方程x2+y2-4x+1=0變形為(x-2)2+y2=3，所表示的圖形是圓.(Ⅰ)y-x看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值和最小值，此時(shí)解得b=-2±,所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-.方程x2+y2-4x+1=0變形為(x-2)2+y2=（Ⅱ）x2+y2表示圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，在原點(diǎn)與圓心連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4;最小值是(2-)2=7-4.涉及與圓有關(guān)的最值，可以借助圓的幾何性質(zhì)，依照數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解；聯(lián)想過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，兩點(diǎn)間距離公式，過定點(diǎn)的直線系或平行線系等知識的應(yīng)用.（Ⅱ）x2+y2表示圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求的最大值與最小值.設(shè)=k，即y=kx，當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，斜率k取得最大值和最小值.因?yàn)閳A心（2,0）到直線y=kx的距離為，所以得k=±.所以已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.利用OP⊥OQ得到O點(diǎn)在以PQ為直徑的圓上，在利用勾股定理求解.已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0設(shè)已知圓的圓心為C，弦PQ中點(diǎn)為M，因?yàn)镃M⊥PQ,所以kCM=2，所以CM所在直線的方程為即：y=2x+4.

y=2x+4

x+2y-3=0,解得M的坐標(biāo)為（-1，2）.由方程組設(shè)已知圓的圓心為C，弦PQ中點(diǎn)為M，由方程組則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x+1)2+(y-2)2=r2，因?yàn)镺P⊥OQ所以點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上.所以(0+1)2+(0-2)2=r2，即r2=5，MQ2=5.在Rt△CMQ中，因?yàn)镃Q2=CM2+MQ2，所以所以m=3.所以半徑為，圓心為(-，3).在解決與圓有關(guān)的問題中.借助與圓的幾何性質(zhì)，往往會(huì)使得思路簡潔明了，簡化運(yùn)算.則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x+1)2+(y-2)2=r2，1.求圓的方程常用待定系數(shù)法，步驟大致是：①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組；③解出a,b,r或D,E,F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.1.求圓的方程常用待定系數(shù)法，步驟大致是：2.研究與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解，一般地①形如

形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的斜率的最值問題；②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；③形如v=（x-a）2+（y-b）2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的最值問題.2.研究與圓有關(guān)的最值問題時(shí)，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可利用點(diǎn)與圓心的距離和半徑r的大小來判斷.4.圓的問題的解題技巧：處理有關(guān)圓的問題，要特別注意圓心半徑及平面幾何知識的應(yīng)用，如弦心距，半徑，弦長的一半構(gòu)成的直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問題簡化.3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可利用點(diǎn)與圓心的距離和半徑r的大小來判斷1.（2009·遼寧卷）已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為（）A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2

圓心在x+y=0上,排除C、D,再結(jié)合圖象,或者驗(yàn)證A、B中圓心到兩直線的距離等于半徑即可.選B.

本小題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.B1.（2009·遼寧卷）已知圓C與直線x-y=0及x-y-4

2.(2009·廣東卷)以點(diǎn)(2，-1)為圓心且與直線x+y=6相切的圓的方程是

.將直線x+y=6化為x+y-6=0,則易知圓的半徑所以圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=.故填(x-2)2+(y+1)2=.本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及點(diǎn)到直線的距離公式.2.(2009·廣東卷)以點(diǎn)(2，-1)為圓心且與直——小結(jié)與復(fù)習(xí)——小結(jié)與復(fù)習(xí)1.圓心為點(diǎn)C(8，-3)，且過點(diǎn)A(5，1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(x+8)2+(y-3)2=5

B.(x-8)2+(y+3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25

D.(x-8)2+(y+3)2=25

半徑所以所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25.選D.D1.圓心為點(diǎn)C(8，-3)，且過點(diǎn)A(5，1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.方程y=對應(yīng)的曲線是（）

原曲線方程可化為x2+y2=4（y≤0），表示下半圓,選A.A2.方程y=對應(yīng)的曲線是（）A3.半徑為5且圓心在y軸上的圓與x軸相切，則圓的方程為（）A.x2+y2+10y=0B.x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10x=0或x2+y2-10x=0B3.半徑為5且圓心在y軸上的圓與x軸相切，則圓的方程為（

設(shè)圓心為（0，b），由題意，則圓的方程為x2+（y-b）2=b2.因?yàn)榘霃綖?.所以=5,b=±5.故圓的方程為x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.選B.易錯(cuò)點(diǎn)：圓心的位置可能在y軸上半軸或下半軸.設(shè)圓心為（0，b），由題意，則圓的方程為x2+（y-b4.已知圓C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對稱，則圓C2的方程為

.

設(shè)圓C2的圓心為（a，b），則依題意，

對稱圓的半徑不變，為1，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有，解得：a=2b=-2.4.已知圓C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圓C2與圓C

5.若圓x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0關(guān)于直線x-y+1=0對稱，則實(shí)數(shù)a=

.

依題意直線x-y+1=0，過已知圓的圓心所以解得a=3或a=-1，當(dāng)a=-1時(shí)，方程x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0不能表示圓，所以只能取a=3.填3.易錯(cuò)點(diǎn)：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0僅在D2+E2-4F＞0時(shí)才表示圓，因此需檢驗(yàn)不等式是否成立.35.若圓x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0關(guān)于直1.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫做圓，定點(diǎn)叫做圓心，定長叫做圓的半徑.2.圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：以（a,b）為圓心，r（r>0）為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2.1.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，表示圓的一般方程，其圓心的坐標(biāo)為

半徑當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，只表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，不表示任何圖形.（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，圓心C（a,b），半徑r，若點(diǎn)M（x0,y0）在圓C外，則（x0-a）2+（y0-b）2>r2;若點(diǎn)M（x0,y0）在圓C上，則（x0-a）2+（y0-b）2=r2;若點(diǎn)M（x0,y0）在圓C內(nèi)，則（x0-a）2+（y0-b）2<r2.3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系則圓C與l相離Δ＜0,圓C與l相切Δ=0，圓C與l相交Δ＞0.(1)直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離，相切，相交。判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法常見的有兩種方法：4.直線與圓的位置關(guān)系①代數(shù)法：

由圓C方程及直線L的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得一元二次方程，設(shè)一元二次方程的根的判別式為Δ則圓C與l相離Δ＜0,(1)直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離ddd.O.O.Orrr相離相切相交1、直線與圓相離=>d>r2、直線與圓相切=>d=r3、直線與圓相交=>d<r<<<lll②幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑的大小關(guān)系ddd.O.O.Orrr相離相切相交1、直線與圓相離外離|O1O2|>R+r|O1O2|=R+rR-r<|O1O2|<R+r|O1O2|=R-r|O1O2|<R-r外切相交內(nèi)切內(nèi)含rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O25.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1的半徑為r1，圓O2的半徑為r2，外離|O1O2|>R+r|O1O2|=R+rR-r<|O1O6.對稱問題:圓（x-a）2+（y-b）2=r2關(guān)于直線x=0的對稱圓的方程為（x+a）2+（y-b）2=r2;關(guān)于直線y=0的對稱圓的方程為（x-a）2+（y+b）2=r2；關(guān)于直線y=x的對稱圓的方程為（x-b）2+（y-a）2=r2；關(guān)于直線y=-x的對稱圓的方程為（x+b）2+（y+a）2=r2.6.對稱問題:7.與圓有關(guān)的弦長問題①幾何方法：②代數(shù)方法：rdABO解析幾何中，解決圓的弦長、弦心距的計(jì)算常常利用幾何方法.其中K是直線的斜率，XA、xB是直線和圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo),且7.與圓有關(guān)的弦長問題①幾何方法：②代數(shù)方法：rdABO解析①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則此點(diǎn)的切線方程為x0x+y0y=r2．②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2．8.過圓上一點(diǎn)的切線方程：①圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則此點(diǎn)的切線9.兩圓相交的弦的方程

⊙O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交時(shí)，公共弦方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

9.兩圓相交的弦的方程10.圓系方程：①設(shè)圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若兩圓相交，則過交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ為參數(shù)，圓系中不包括圓C2，λ=-1為兩圓的公共弦所在直線方程)．②設(shè)圓C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線l：Ax+By+C=0，若直線與圓相交，則過交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數(shù))．10.圓系方程：

重點(diǎn)突破：圓的方程

（Ⅰ）求過兩點(diǎn)A（1,4）,B（3,2）,且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)P（2,4）與圓的位置關(guān)系.（Ⅱ）求過A（4,1），B（6，-3）C（-3,0）三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓半徑長和圓心C坐標(biāo).重點(diǎn)突破：圓的方程

（Ⅰ）欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，而要判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，只需看點(diǎn)P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系.（Ⅱ）設(shè)出圓的方程，解方程組即可.（Ⅰ）欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需求出圓心坐標(biāo)和圓

（Ⅰ）解法1：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，因?yàn)閳A心在y=0上,故b=0，所以圓的方程為（x-a）2+y2=r2又因?yàn)樵搱A過A（1,4）,B（3,2）兩點(diǎn),則（1-a）2+16=r2（3-a）2+4=r2，解得a=-1，r2=20.（Ⅰ）解法1：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）解法2：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過A（1,4）,B（3,2）兩點(diǎn)，所以圓心必在線段AB的中垂線l上,又因?yàn)閗AB==-1,故l的斜率為1,又AB的中點(diǎn)為（2，3）,故線段AB的中垂線l的方程為x-y+1=0.解法2：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過A（1,4）,B（又知圓心在直線y=0上,故圓心為C(-1，0)，所以半徑故所求圓的方程為(x+1)2+y2=20.又點(diǎn)P(2,4)到圓心(-1，0)的距離為所以點(diǎn)P在圓外.又知圓心在直線y=0上,故圓心為C(-1，0)，(Ⅱ)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，因?yàn)槿c(diǎn)A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都是方程的解，將它們的坐標(biāo)代入方程得，42+12+4D+E+F=062+(-3)2+6D-3E+F=0(-3)2+02-3D+0·E+F=0，解得D=-2E=6F=-15.(Ⅱ)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，，解得D=所以圓的方程為x2+y2-2x+6y-15=0，即（x-1）2+（y+3）2=25，所以圓心坐標(biāo)為（1，-3），半徑為r=5.“待定系數(shù)法”是求圓的方程的常用方法.一般的，在選用圓的方程形式時(shí)，若問題涉及圓心和半徑，則選用標(biāo)準(zhǔn)方程比較簡便，否則選用一般方程方便些.所以圓的方程為x2+y2-2x+6y-15=0，根據(jù)下列條件求圓的方程.（Ⅰ）圓過P（4,-2）,Q（-1,3）兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4

.（Ⅱ）已知圓的半徑為，圓心在直線y=2x上，圓被直線x-y=0截得的弦長為4.根據(jù)下列條件求圓的方程.(Ⅰ)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.①

4D-2E+F=-20

D-3E-F=10，令x=0,由①得y2+Ey+F=0.②由已知其中y1,y2是方程②的兩根，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，聯(lián)立方程解得D=-2,E=0,F=-12或D=-10,E=-8,F=4，故所求的圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.將P,Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入①式得(Ⅰ)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.(Ⅱ)解法1：設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=10，由圓心在直線y=2x上，得b=2a，①由圓在直線x-y=0截得的弦長為4，將y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10.整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦長公式得化簡得a-b=±2.②解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4,所以所求圓方程為(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.(Ⅱ)解法1：設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=10，解法2：根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)：半徑，弦長的一半，弦心距構(gòu)成直角三角形，由勾股定理，可得弦心距因?yàn)橄倚木嗟扔趫A心（a,b）到直線x-y=0的距離，所以又已知b=2a，解得a=2,b=4或a=-2,b=-4.所以所求圓方程為（x-2）2+（y-4）2=10或（x+2）2+（y+4）2=10.解法2：根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)：半徑，弦長的一半，弦心距構(gòu)成直角求以圓C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓的方程．解法一：

相減得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0．

∵所求圓以AB為直徑，

于是圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=25.求以圓C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圓解法二：設(shè)所求圓的方程為：x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ為參數(shù))

∵圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線上，

∴所求圓的方程為x2+y2-4x+4y-17=0．

解法二：∵圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線上，∴所求圓的方程重點(diǎn)突破：與圓有關(guān)的最值問題

例3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0（Ⅰ）求y-x的最大值和最小值,（Ⅱ）求x2+y2的最大值和最小值.根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合求解.重點(diǎn)突破：與圓有關(guān)的最值問題方程x2+y2-4x+1=0變形為(x-2)2+y2=3，所表示的圖形是圓.(Ⅰ)y-x看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值和最小值，此時(shí)解得b=-2±,所以y-x的最大值為-2+，最小值為-2-.方程x2+y2-4x+1=0變形為(x-2)2+y2=（Ⅱ）x2+y2表示圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，在原點(diǎn)與圓心連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4;最小值是(2-)2=7-4.涉及與圓有關(guān)的最值，可以借助圓的幾何性質(zhì)，依照數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解；聯(lián)想過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，兩點(diǎn)間距離公式，過定點(diǎn)的直線系或平行線系等知識的應(yīng)用.（Ⅱ）x2+y2表示圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求的最大值與最小值.設(shè)=k，即y=kx，當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，斜率k取得最大值和最小值.因?yàn)閳A心（2,0）到直線y