初等幾何選講

張新全1初等幾何選講

張新全1二、初等幾何的內(nèi)容體系①.初等幾何研究的內(nèi)容②.初等幾何研究的方法③.初等幾何的內(nèi)容體系④.初等幾何研究問(wèn)題的主要類型§1.初等幾何簡(jiǎn)介一、初等幾何的研究對(duì)象2二、初等幾何的內(nèi)容體系§1.初等幾何簡(jiǎn)介2三、學(xué)習(xí)初等幾何的重要性1.培養(yǎng)人的邏輯思維能力2.邏輯能力的培養(yǎng)不能被數(shù)學(xué)的其他科目完全取代3.學(xué)習(xí)初等幾何可發(fā)展人的空間想象能力和識(shí)圖能力4.學(xué)習(xí)初等幾何有助于在生活現(xiàn)實(shí)中獨(dú)立自主，提高動(dòng)手能力，更是繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)5.你認(rèn)為學(xué)習(xí)初等幾何還有哪些重要性？(討論題)3三、學(xué)習(xí)初等幾何的重要性1.培養(yǎng)人的邏輯思維能力31.幾何發(fā)展大約經(jīng)過(guò)四個(gè)階段(1)實(shí)驗(yàn)幾何(大約公元前七世紀(jì)前)(2)初步推理幾何(大約公元前四世紀(jì)前)(3)解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展(4)現(xiàn)代幾何的發(fā)展2.歐幾里得《幾何原本》中的不足3.歐幾里得不可磨滅的貢獻(xiàn)(1)《幾何原本》是人類第一次把豐富散漫的幾何材料整理成了系統(tǒng)嚴(yán)明的讀本(2)《原本》是人類歷史上的一部杰作(3)兩千年來(lái)，人類對(duì)初等幾何的研究仍以《原本》為依據(jù)(4)歐幾里得成了“幾何”的代名詞歐幾里德(前330～前260)畢達(dá)哥拉斯(約前580～約前500)四、初等幾何學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史41.幾何發(fā)展大約經(jīng)過(guò)四個(gè)階段歐幾里德(前330～前260)畢約前486～前376

5約前486～前37654.《幾何原本》譯成中文簡(jiǎn)介(1)明萬(wàn)歷年間(明萬(wàn)歷三十五年(1607))徐光啟(1562－1633)與意大利傳教士利瑪竇(R·Matte1552-1610)首次合譯前6卷[“幾何學(xué)”一詞由徐光啟引入]；(2)清人李善蘭(1810－1882)與英人偉烈亞力(W·Lexanbler1805-1887)于1852-1856年合譯后9卷。5.公理化方法

從盡可能少的無(wú)定義的原始概念和一組不證自明的命題(基本公理)出發(fā)，利用邏輯的法則，把一門(mén)數(shù)學(xué)建成為演繹系統(tǒng)的方法。徐光啟(1562-1633)李善蘭(1810－1882)64.《幾何原本》譯成中文簡(jiǎn)介5.公理化方法徐光啟(1562-《幾何原本》的每一卷都以一些概念的定義、公設(shè)、和公理為基礎(chǔ)。第一卷以23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理開(kāi)始的。465個(gè)定理。定義(1)點(diǎn)是沒(méi)有部分的。(2)線是只有長(zhǎng)度而沒(méi)有寬度的。(3)線的界限是點(diǎn)。(4)直線是這樣的線，它對(duì)于它的所有各個(gè)點(diǎn)都有同樣的位置。(5)面是只有長(zhǎng)度和寬度的。(6)面的界限是線。(7)平面是這樣的面，它對(duì)于它的所有直線有同樣的位置。(8)平面上的角是在一個(gè)平面上的兩條相交直線相互的傾斜度(9)當(dāng)形成一角度的兩線是一直線的時(shí)候，那角度成為平角?！?23)平行線是在同一平面上而且盡管向兩側(cè)延長(zhǎng)也決不相交的直線。7《幾何原本》的每一卷都以一些概念的定義、公設(shè)、和公理為基礎(chǔ)。公設(shè)(1)任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過(guò)一條直線連接。(2)任意線段能無(wú)限延伸成一條直線。(3)以任意點(diǎn)為圓心、任意線段為半徑可以作一個(gè)圓。(4)凡直角皆相等。(5)若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。第五公設(shè)稱為平行公理，引導(dǎo)出千年來(lái)數(shù)學(xué)上和哲學(xué)上最大的難題之一。后人證明它同下面兩條命題等價(jià)

1.三角形內(nèi)角和等于兩個(gè)直角

2.通過(guò)一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，有且僅有一條不與該直線相交的直線。8公設(shè)8公理(1)等于同量的量彼此相等。(2)等量加等量，其和仍相等。(3)等量減等量，其差仍相等。(4)彼此能夠重合的物體是全等的。(5)整體大于部分。說(shuō)明：近代數(shù)學(xué)不分公設(shè)與公理，凡是基本假定都叫公理。那么，“公設(shè)”與“公理”最初的含義分別是什么？有什么細(xì)微差別嗎？9公理9歐幾里德是這樣區(qū)分公理與公設(shè)的：

第一，公理適合于一切科學(xué)，而公設(shè)是幾何所特有的；

第二，公理本身是自明的，公設(shè)沒(méi)有公理那樣自明，但也是不加證明而承認(rèn)其真實(shí)性的。

時(shí)至今日，人們已不再區(qū)分公理與公設(shè)了，都用公理一詞來(lái)表明。10歐幾里德是這樣區(qū)分公理與公設(shè)的：

第一，公理適合于一切科學(xué)，6.希爾伯特的公理體系希爾伯特(1862～1943)116.希爾伯特的公理體系希爾伯特(1862～1943)11§2.幾何證明概述一、現(xiàn)行中學(xué)幾何教材的邏輯結(jié)構(gòu)特征1.擴(kuò)大公理系統(tǒng)，刪減繁雜內(nèi)容，適應(yīng)中學(xué)生接受2.利用圖形直觀降低幾何學(xué)習(xí)入門(mén)難度二、幾何證明的要求和特點(diǎn)1.充分利用一般數(shù)學(xué)證明的方法、思路、技巧2.嚴(yán)格規(guī)范證題的基本要求3.作一般圖形，盡量避免將特殊圖形的某些直觀特征引入幾何證題4.作圖準(zhǔn)確，幫助啟發(fā)探索證題思路12§2.幾何證明概述一、現(xiàn)行中學(xué)幾何教材的邏輯結(jié)構(gòu)特征二、幾何三、幾何證題的步驟1審題：2.尋求思路：3.選擇證法：4.敘述證明：EBACDFHGMPQK四、幾何證題的基本思路1.如何選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ?.怎樣創(chuàng)造條件用好選用的定理3.定理選擇的多樣性和特殊性4.引用定理的相關(guān)性和靈活性13三、幾何證題的步驟1審題：2.尋求思路：EBACDFHGMP§3.幾何證明的一般方法1.直接證法(1)疊合法(2)合一法2.間接證法(1)反證法：①歸謬法②窮舉法(2)同一法

證明方法小結(jié)：一、直接證法與間接證法14§3.幾何證明的一般方法1.直接證法證明方法小結(jié)：一☆

二、綜合法與分析法1.綜合法(由因?qū)Ч?

從題設(shè)的已知出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出所給命題的結(jié)論，即“由因?qū)Ч钡乃季S方法。AC1C2C3D1D3D2D4D5B

15☆二、綜合法與分析法1.綜合法(由因?qū)Ч?AC1C2C3D2.分析法(執(zhí)果索因)

是指從待證的結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件，如此逐步往追溯，一直到已知條件為止，即“執(zhí)果索因”的方法。AC1C2C3C4C5D1D2D3B162.分析法(執(zhí)果索因)AC1C2C3C4C5D1D2D3B1三、演繹法與歸納法1.演繹法(三段論法)

是由演繹推理組成的證明方法，要求演繹推理中的三段論的大、小前提都是正確真實(shí)的，是一種由一般原理推出特殊事實(shí)結(jié)論的證明方法。例1.題略證明：同圓半徑相等(大前提)OA、OB都是⊙O的半徑(小前提)∴OA＝OB(結(jié)論)∵線段中點(diǎn)平分線段(大前提)C、D分別是OA、OB的中點(diǎn)(小前提)∴OC＝OA，OD=OB(結(jié)論)∵等量的同分量相等(大前提)OC、OD是等量OA＝OB的同分量(小前提)∴OC＝OD(結(jié)論)平時(shí)證題我們用簡(jiǎn)略的三段論。17三、演繹法與歸納法1.演繹法(三段論法)例1.題略平時(shí)證題我2.歸納法

是由歸納推理組成的證明方法。歸納法又分為不完全歸納法、完全歸納法和數(shù)學(xué)歸納法。(1)不完全歸納法－－在研究事物的某些特殊情況所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。

注意：不完全歸納法有時(shí)不太可靠

如：x=1,2,3,……,39時(shí)，式子x2+x+41的值都是質(zhì)數(shù)，若就此得出“當(dāng)x∈N+時(shí)，式子x2+x+41的值都是質(zhì)數(shù)”的結(jié)論便是錯(cuò)誤的。其實(shí)當(dāng)x＝40時(shí)，402＋40＋41＝412是合數(shù)。182.歸納法(1)不完全歸納法－－在研究事物的某些特殊情況所得(2)完全歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(通常只有有限多種)所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。(如圓周角定理的證明)(3)數(shù)學(xué)歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(可數(shù)多種，即可用自然數(shù)來(lái)一一編號(hào)種情況)所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。19(2)完全歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(通常只有有限多§4.度量關(guān)系與位置關(guān)系的證明(1)何謂度量關(guān)系的證明？(2)何謂位置關(guān)系的證明？一、關(guān)于兩線段(角)相等的證明1.有關(guān)證明的主要定理2.證明的一般思考方法(1)(2)(3)(4)①②③(5)(6)3.例題選講20§4.度量關(guān)系與位置關(guān)系的證明(1)何謂度量關(guān)系的證明？2例2：題略分析：因?yàn)閍是一條直線，OA⊥a，可聯(lián)想到連OE、OF.若能證得△OEF為等腰三角形即可。憑經(jīng)驗(yàn)應(yīng)連OB、OC，發(fā)現(xiàn)只要能證Rt△EBO≌Rt△FCO即可。它有一邊OB＝OC，設(shè)法再找一組銳角或另一條直角邊對(duì)應(yīng)相等。另外還有哪些證明的途徑？可分別在O、C、A、F和B、E、A、O共圓的條件下有：∠1＝∠2＝∠3＝∠4

△OEF為等腰三角形或∠1＝∠2＝∠3(及OB＝OC)△EBO≌△FCO，OE＝OF，AE＝AFAEFBCOa341223121例2：題略分析：因?yàn)閍是一條直線，OA⊥a，可聯(lián)想到連OE、例3：已知B為線段AC內(nèi)任一點(diǎn),分別以AB、BC為邊在同一側(cè)作等邊三角形ABD和BCE,BD與AE交于F,BE與CD交于G.求證:BF=BG.·

BACDEF··G分析：

要證BF=BG，可在△BFE、△BGC中考慮，它們已有∠1=∠2，BE=BC，若再有∠3=∠4即可。這時(shí)可考慮是否有△ABE≌△DBC.這是易證的。1234當(dāng)然也可由證得△BAF≌△BDG，BF＝BG.同時(shí)，此題可改造成求證：FG∥AC，或△BFG為正三角形等。上述問(wèn)題可供大家課后研究。22例3：已知B為線段AC內(nèi)任一點(diǎn),分別以AB、BC為邊在同一二、關(guān)于線段(角)的和、差、倍、分的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.關(guān)于證明的一般思考方法［通常有“截長(zhǎng)”、“補(bǔ)短”、“加倍”、“減半”、“n倍”、“1/n”等。］23二、關(guān)于線段(角)的和、差、倍、分的證明23ABC·PD3.例題選講例4.已知P是正△ABC外接圓BC弧上任一點(diǎn).求證：PA=PB+PC.

這是一個(gè)傳統(tǒng)的題目，不少教材都有這個(gè)例子。

不少書(shū)上通常使用截長(zhǎng)法、補(bǔ)短法，我們也可從不同的地方截長(zhǎng)或補(bǔ)短。這樣可有8種不同的方法。此外，在△PAB，△PAC中用余弦定理，或正弦定理()，或托勒密定理(最簡(jiǎn))等可解本題。24ABC·D3.例題選講這是一個(gè)傳統(tǒng)的題目，不少教材都有這三、關(guān)于線段(角)不等的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.關(guān)于證明的一般方法思考3.例題選講例5.已知在△ABC中AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB＞∠APC.求證：PB＜PC.ABCPP′小大本題的結(jié)論也可改為求證：∠BAP<∠CAP大小25三、關(guān)于線段(角)不等的證明1.有關(guān)證明的重要定理3.例題選

例6.若AD為△ABC的角平分線，過(guò)A、D的圓切BC于D，且與AB、AC分別相交于E、F.試證：EF∥BCABCDEF3124分析：本例思路：要證：EF∥BC(連ED)只要證得∠3＝∠4即可。由圖易知：∠3＝∠1＝∠2＝∠4四、關(guān)于平行線的證明26例6.若AD為△ABC的角平分線，過(guò)A、D的圓切BC于D五、關(guān)于垂直直線的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.有關(guān)證明的一般方法3.例題選講

例7.以△ABC的邊AB和AC為一邊向外分別作正方形ABDE和工ACFG，試證：BC的中線AM與EG垂直。EBACFDGM27五、關(guān)于垂直直線的證明1.有關(guān)證明的重要定理例7.以△例8.設(shè)BD、CE為△ABC的兩條高線，若M為ED的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，試證NM⊥DE.ABCDEMN證法1.連接ND、NE，∵BN＝NC，∠BDC＝90°，∠BDC＝90°∴ND＝BC=NE.又∵DM＝ME，∴NM⊥DE。證法2.∵∠BDC＝∠BEC＝90°，∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓，且BC為圓的直徑。∵BN＝NC，∴N為圓心。∵M(jìn)為弦DE的中點(diǎn)，∴NM⊥DE。28例8.設(shè)BD、CE為△ABC的兩條高線，若M為ED的中點(diǎn)，六、關(guān)于共線點(diǎn)、共點(diǎn)線等的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.有關(guān)證明的一般思考方法(1)關(guān)于點(diǎn)共線的證明證明A、B、C三點(diǎn)共線的一般思考方法是：(2)關(guān)于線共點(diǎn)的證明證明a、b、c三線共點(diǎn)的一般思考方法是：(3)關(guān)于點(diǎn)共圓的證明證明A、B、C、D四點(diǎn)共圓的一般思考方法是：(4)關(guān)于圓共點(diǎn)的證明

喂！王老師，線共點(diǎn)的證明方法有哪些？29六、關(guān)于共線點(diǎn)、共點(diǎn)線等的證明1.有關(guān)證明的重要定理3.例題選講例9.已知：如圖，X、Y、Z是△ABC外接圓上一點(diǎn)P分別在三邊(或三邊所在直線)上的射影.求證：X、Y、Z共線。ABC［分析：思路，連XY、XZ后，設(shè)法證明∠PXY＋∠PXZ＝180°］ZYXP303.例題選講ABC［分析：思路，連XY、XZ后，設(shè)法證明∠P九點(diǎn)圓例10.

三角形三邊的中點(diǎn)，三高線足，垂心與三頂點(diǎn)連線段的中點(diǎn)，這九點(diǎn)共圓.稱為這個(gè)三角形的九點(diǎn)圓。ABCD··F·

EQ

··

RP

·O.

本例結(jié)論稱為九點(diǎn)圓定理。IMNH31九點(diǎn)圓例10.三角形三邊的中點(diǎn)，ABCD··F·EQ五、中學(xué)幾何教學(xué)改革的反思1.改革初期對(duì)幾何證明要求過(guò)低；學(xué)習(xí)幾何不學(xué)證明的話，等于白學(xué)。幾何證明應(yīng)在初中學(xué)習(xí)，學(xué)生完全可以接受。許多學(xué)生是在學(xué)習(xí)幾何證明后才對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生興趣的。2.對(duì)某些重要定理要求降低或刪除。比如，角平分線性質(zhì)定理、圓冪定理等，有必要把初中幾何證明拿到高中選修中去嗎？3.高中立體幾何淡化對(duì)綜合法的要求是否恰當(dāng)？2019年高考數(shù)學(xué)立體幾何題的啟示。32五、中學(xué)幾何教學(xué)改革的反思1.改革初期對(duì)幾何證明要求過(guò)低；學(xué)本題滿分13分，全省均分2.2分19題：如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5度,AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60度，（Ⅰ）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；（Ⅱ）求cosCOD。33本題滿分13分，全省均分2.2分19題：如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，4.中考數(shù)學(xué)中的幾何題往往是全卷中最具特色的試題。幾何題對(duì)全卷得分影響最大。2019年安徽省中考數(shù)學(xué)，選擇題第9,10題，填空題第13,14題，解答題第18,23題。2019年安徽省初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)2019年安徽中考?jí)狠S題欣賞與研究23(3)幾何畫(huà)板演示344.中考數(shù)學(xué)中的幾何題往往是全卷中最具特色的試題。幾何題對(duì)全六、競(jìng)賽中的幾何試題在初高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，幾何題是必不可少的，且所占比例較高。2019年國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題共6題，就有2道平面幾何試題。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱：幾何部分要求三角形中的邊角之間的不等關(guān)系。

面積及等積變換。

三角形的心（內(nèi)心、外心、垂心、重心）及其性質(zhì)。

相似形的概念和性質(zhì)。

圓，四點(diǎn)共圓，圓冪定理。

四種命題及其關(guān)系。

35六、競(jìng)賽中的幾何試題在初高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，幾何題是必不可少高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱：幾何部分要求幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的幾個(gè)特殊點(diǎn):旁心、費(fèi)馬點(diǎn)，歐拉線。

幾何不等式。

幾何極值問(wèn)題。

幾何中的變換：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)。

圓的冪和根軸。

面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法。36高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱：幾何部分要求362019年第53屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO試題（阿根廷）372019年第53屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO試題（阿根廷）372019年第53屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO試題（阿根廷）382019年第53屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO試題（阿根廷）38七、數(shù)學(xué)教師應(yīng)讀的幾本幾何名著幾何原本、幾何基礎(chǔ)初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）梁紹鴻初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究(平面幾何)習(xí)題解答尚強(qiáng)《初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（立體幾何）》朱德祥幾何瑰寶：平面幾何500名題暨1000條定理沈文選39七、數(shù)學(xué)教師應(yīng)讀的幾本幾何名著幾何原本、幾何基礎(chǔ)39初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）梁紹鴻40初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）梁紹鴻41初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）梁紹鴻41初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）梁紹鴻42初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）梁紹鴻4243434444454546464747484849495050515152525353545455555656575758585959606061616262尚強(qiáng)63尚強(qiáng)63尚強(qiáng)-基本介紹尚強(qiáng)，男，安徽馬鞍山人，出生于1962年。1986年7月畢業(yè)于安徽蕪湖教育學(xué)院(本院前身)，后在中科大現(xiàn)代代數(shù)研究生班學(xué)習(xí)兩年。深圳市市教研室主任、黨支部書(shū)記。享受國(guó)務(wù)院特殊津貼專家、特級(jí)教師、國(guó)家數(shù)學(xué)奧林匹克隊(duì)教練。64尚強(qiáng)-基本介紹64尚強(qiáng)-榮譽(yù)1992年和1993年國(guó)家教委、中國(guó)科協(xié)授予“國(guó)家有突出貢獻(xiàn)的教練員”稱號(hào)。

1994年馬鞍山市委宣傳部授予“馬鞍山市十大杰出青年”稱號(hào)。

2019年深圳市委授予“深圳市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員”稱號(hào)。

2019年深圳市人民政府授予“深圳市有突出貢獻(xiàn)的優(yōu)秀教師”稱號(hào)。

2019年廣東省人民政府授予“廣東省優(yōu)秀教師特等獎(jiǎng)”。

2019年國(guó)務(wù)院授予“享受國(guó)務(wù)院特殊津貼專家”稱號(hào)。

2019年共青團(tuán)深圳市委授予“鵬城青年功勛章”。

2019年深圳市總工會(huì)授予“孺子牛金獎(jiǎng)”。

2019年深圳市教育局授予“深圳市學(xué)科帶頭人”稱號(hào)。

2019年廣東省人民政府授予“廣東省特級(jí)教師”稱號(hào)。

2019年被廣東省教育廳授予“廣東省名師”稱號(hào)。

2019年廣東省教育廳授予“廣東省教育專家”稱號(hào)。65尚強(qiáng)-榮譽(yù)65尚強(qiáng)-著作在教院學(xué)習(xí)期間出版獨(dú)力完成的著作《梁紹鴻平面幾何研究》。其后，先后出版七本著作（共170萬(wàn)字）。被中國(guó)大百科全書(shū)出版社、北京大學(xué)出版社、北京科技出版社、上海教育出版聘為叢書(shū)學(xué)科編委；被《數(shù)學(xué)通訊》、《數(shù)學(xué)研究》等雜志聘為特約評(píng)論員；被北京華羅庚數(shù)學(xué)學(xué)校聘為教授。

66尚強(qiáng)-著作66沈文選沈文選，男，1948年10月生，湖南臨澧人。1982年7月畢業(yè)于湖南師范大學(xué)的數(shù)學(xué)系。

沈文選教授在山東大學(xué)為仁慧書(shū)院上課67沈文選沈文選，男，1948年10月生，湖南臨澧人。

沈文選教曾在中、小學(xué)從事數(shù)學(xué)教學(xué)18年，1990年8月調(diào)入湖南師范大學(xué)工作?，F(xiàn)為湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教授，碩士生導(dǎo)師，湖南師范大學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)研究所負(fù)責(zé)人。中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克高級(jí)教練。全國(guó)初等數(shù)學(xué)研究協(xié)調(diào)組成員，全國(guó)高師數(shù)學(xué)教育研究會(huì)常務(wù)理事，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》編委，曾任湖南省數(shù)學(xué)會(huì)初等數(shù)學(xué)委員會(huì)副主任。長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)教育研究、中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法研究、初等數(shù)學(xué)研究、奧林匹克數(shù)學(xué)研究、凸幾何研究。已出版書(shū)籍20余部（截至2019年），其中專著有《單行論導(dǎo)引—三角形的高維推廣研究》、《中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法基礎(chǔ)》等6部；主編有《初等數(shù)學(xué)研究教程》等。多次參與初、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽和數(shù)學(xué)冬令營(yíng)（CMO）的命題，是湖南師大附中、長(zhǎng)沙一中數(shù)學(xué)奧林匹克金牌選手的主要教練之一。68曾在中、小學(xué)從事數(shù)學(xué)教學(xué)18年，1990年8月調(diào)入湖南師范大《奧賽經(jīng)典—數(shù)學(xué)奧林匹克中的XX問(wèn)題》這套書(shū)，受到廣大參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)的中學(xué)生和老師的好評(píng)。沈文選老師非常敬業(yè)，講課時(shí)略有口音但聲音洪亮，喜愛(ài)板書(shū)。沈老為推動(dòng)湖南的初等數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)以及數(shù)學(xué)教育理論的研究做了大量富有成效的工作。沈老師還主編了《高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略》叢書(shū)，受到廣大學(xué)生好評(píng)。69《奧賽經(jīng)典—數(shù)學(xué)奧林匹克中的XX問(wèn)題》這套書(shū)，受到廣大參與數(shù)7070思考：1．在初等幾何的發(fā)展中，貢獻(xiàn)卓著的有誰(shuí)？歐幾里德的什么著作成為幾何經(jīng)典名著？這部著作的寫(xiě)作特點(diǎn)是什么？2．已知梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC和腰AB垂直且相等，對(duì)角線BD等于底邊BC，如果AC、BD交于E點(diǎn)，求證：CE=CD。3．設(shè)ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，M是AC中點(diǎn)，自A點(diǎn)引AE⊥BM于E，且交BC于D，求證：∠AMB=∠CMD。71思考：1．在初等幾何的發(fā)展中，貢獻(xiàn)卓著的有誰(shuí)？歐幾里德的謝謝！72謝謝！72初等幾何選講

張新全73初等幾何選講

張新全1二、初等幾何的內(nèi)容體系①.初等幾何研究的內(nèi)容②.初等幾何研究的方法③.初等幾何的內(nèi)容體系④.初等幾何研究問(wèn)題的主要類型§1.初等幾何簡(jiǎn)介一、初等幾何的研究對(duì)象74二、初等幾何的內(nèi)容體系§1.初等幾何簡(jiǎn)介2三、學(xué)習(xí)初等幾何的重要性1.培養(yǎng)人的邏輯思維能力2.邏輯能力的培養(yǎng)不能被數(shù)學(xué)的其他科目完全取代3.學(xué)習(xí)初等幾何可發(fā)展人的空間想象能力和識(shí)圖能力4.學(xué)習(xí)初等幾何有助于在生活現(xiàn)實(shí)中獨(dú)立自主，提高動(dòng)手能力，更是繼續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)5.你認(rèn)為學(xué)習(xí)初等幾何還有哪些重要性？(討論題)75三、學(xué)習(xí)初等幾何的重要性1.培養(yǎng)人的邏輯思維能力31.幾何發(fā)展大約經(jīng)過(guò)四個(gè)階段(1)實(shí)驗(yàn)幾何(大約公元前七世紀(jì)前)(2)初步推理幾何(大約公元前四世紀(jì)前)(3)解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展(4)現(xiàn)代幾何的發(fā)展2.歐幾里得《幾何原本》中的不足3.歐幾里得不可磨滅的貢獻(xiàn)(1)《幾何原本》是人類第一次把豐富散漫的幾何材料整理成了系統(tǒng)嚴(yán)明的讀本(2)《原本》是人類歷史上的一部杰作(3)兩千年來(lái)，人類對(duì)初等幾何的研究仍以《原本》為依據(jù)(4)歐幾里得成了“幾何”的代名詞歐幾里德(前330～前260)畢達(dá)哥拉斯(約前580～約前500)四、初等幾何學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史761.幾何發(fā)展大約經(jīng)過(guò)四個(gè)階段歐幾里德(前330～前260)畢約前486～前376

77約前486～前37654.《幾何原本》譯成中文簡(jiǎn)介(1)明萬(wàn)歷年間(明萬(wàn)歷三十五年(1607))徐光啟(1562－1633)與意大利傳教士利瑪竇(R·Matte1552-1610)首次合譯前6卷[“幾何學(xué)”一詞由徐光啟引入]；(2)清人李善蘭(1810－1882)與英人偉烈亞力(W·Lexanbler1805-1887)于1852-1856年合譯后9卷。5.公理化方法

從盡可能少的無(wú)定義的原始概念和一組不證自明的命題(基本公理)出發(fā)，利用邏輯的法則，把一門(mén)數(shù)學(xué)建成為演繹系統(tǒng)的方法。徐光啟(1562-1633)李善蘭(1810－1882)784.《幾何原本》譯成中文簡(jiǎn)介5.公理化方法徐光啟(1562-《幾何原本》的每一卷都以一些概念的定義、公設(shè)、和公理為基礎(chǔ)。第一卷以23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理開(kāi)始的。465個(gè)定理。定義(1)點(diǎn)是沒(méi)有部分的。(2)線是只有長(zhǎng)度而沒(méi)有寬度的。(3)線的界限是點(diǎn)。(4)直線是這樣的線，它對(duì)于它的所有各個(gè)點(diǎn)都有同樣的位置。(5)面是只有長(zhǎng)度和寬度的。(6)面的界限是線。(7)平面是這樣的面，它對(duì)于它的所有直線有同樣的位置。(8)平面上的角是在一個(gè)平面上的兩條相交直線相互的傾斜度(9)當(dāng)形成一角度的兩線是一直線的時(shí)候，那角度成為平角。……(23)平行線是在同一平面上而且盡管向兩側(cè)延長(zhǎng)也決不相交的直線。79《幾何原本》的每一卷都以一些概念的定義、公設(shè)、和公理為基礎(chǔ)。公設(shè)(1)任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過(guò)一條直線連接。(2)任意線段能無(wú)限延伸成一條直線。(3)以任意點(diǎn)為圓心、任意線段為半徑可以作一個(gè)圓。(4)凡直角皆相等。(5)若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。第五公設(shè)稱為平行公理，引導(dǎo)出千年來(lái)數(shù)學(xué)上和哲學(xué)上最大的難題之一。后人證明它同下面兩條命題等價(jià)

1.三角形內(nèi)角和等于兩個(gè)直角

2.通過(guò)一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，有且僅有一條不與該直線相交的直線。80公設(shè)8公理(1)等于同量的量彼此相等。(2)等量加等量，其和仍相等。(3)等量減等量，其差仍相等。(4)彼此能夠重合的物體是全等的。(5)整體大于部分。說(shuō)明：近代數(shù)學(xué)不分公設(shè)與公理，凡是基本假定都叫公理。那么，“公設(shè)”與“公理”最初的含義分別是什么？有什么細(xì)微差別嗎？81公理9歐幾里德是這樣區(qū)分公理與公設(shè)的：

第一，公理適合于一切科學(xué)，而公設(shè)是幾何所特有的；

第二，公理本身是自明的，公設(shè)沒(méi)有公理那樣自明，但也是不加證明而承認(rèn)其真實(shí)性的。

時(shí)至今日，人們已不再區(qū)分公理與公設(shè)了，都用公理一詞來(lái)表明。82歐幾里德是這樣區(qū)分公理與公設(shè)的：

第一，公理適合于一切科學(xué)，6.希爾伯特的公理體系希爾伯特(1862～1943)836.希爾伯特的公理體系希爾伯特(1862～1943)11§2.幾何證明概述一、現(xiàn)行中學(xué)幾何教材的邏輯結(jié)構(gòu)特征1.擴(kuò)大公理系統(tǒng)，刪減繁雜內(nèi)容，適應(yīng)中學(xué)生接受2.利用圖形直觀降低幾何學(xué)習(xí)入門(mén)難度二、幾何證明的要求和特點(diǎn)1.充分利用一般數(shù)學(xué)證明的方法、思路、技巧2.嚴(yán)格規(guī)范證題的基本要求3.作一般圖形，盡量避免將特殊圖形的某些直觀特征引入幾何證題4.作圖準(zhǔn)確，幫助啟發(fā)探索證題思路84§2.幾何證明概述一、現(xiàn)行中學(xué)幾何教材的邏輯結(jié)構(gòu)特征二、幾何三、幾何證題的步驟1審題：2.尋求思路：3.選擇證法：4.敘述證明：EBACDFHGMPQK四、幾何證題的基本思路1.如何選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ?.怎樣創(chuàng)造條件用好選用的定理3.定理選擇的多樣性和特殊性4.引用定理的相關(guān)性和靈活性85三、幾何證題的步驟1審題：2.尋求思路：EBACDFHGMP§3.幾何證明的一般方法1.直接證法(1)疊合法(2)合一法2.間接證法(1)反證法：①歸謬法②窮舉法(2)同一法

證明方法小結(jié)：一、直接證法與間接證法86§3.幾何證明的一般方法1.直接證法證明方法小結(jié)：一☆

二、綜合法與分析法1.綜合法(由因?qū)Ч?

從題設(shè)的已知出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出所給命題的結(jié)論，即“由因?qū)Ч钡乃季S方法。AC1C2C3D1D3D2D4D5B

87☆二、綜合法與分析法1.綜合法(由因?qū)Ч?AC1C2C3D2.分析法(執(zhí)果索因)

是指從待證的結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件，如此逐步往追溯，一直到已知條件為止，即“執(zhí)果索因”的方法。AC1C2C3C4C5D1D2D3B882.分析法(執(zhí)果索因)AC1C2C3C4C5D1D2D3B1三、演繹法與歸納法1.演繹法(三段論法)

是由演繹推理組成的證明方法，要求演繹推理中的三段論的大、小前提都是正確真實(shí)的，是一種由一般原理推出特殊事實(shí)結(jié)論的證明方法。例1.題略證明：同圓半徑相等(大前提)OA、OB都是⊙O的半徑(小前提)∴OA＝OB(結(jié)論)∵線段中點(diǎn)平分線段(大前提)C、D分別是OA、OB的中點(diǎn)(小前提)∴OC＝OA，OD=OB(結(jié)論)∵等量的同分量相等(大前提)OC、OD是等量OA＝OB的同分量(小前提)∴OC＝OD(結(jié)論)平時(shí)證題我們用簡(jiǎn)略的三段論。89三、演繹法與歸納法1.演繹法(三段論法)例1.題略平時(shí)證題我2.歸納法

是由歸納推理組成的證明方法。歸納法又分為不完全歸納法、完全歸納法和數(shù)學(xué)歸納法。(1)不完全歸納法－－在研究事物的某些特殊情況所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。

注意：不完全歸納法有時(shí)不太可靠

如：x=1,2,3,……,39時(shí)，式子x2+x+41的值都是質(zhì)數(shù)，若就此得出“當(dāng)x∈N+時(shí)，式子x2+x+41的值都是質(zhì)數(shù)”的結(jié)論便是錯(cuò)誤的。其實(shí)當(dāng)x＝40時(shí)，402＋40＋41＝412是合數(shù)。902.歸納法(1)不完全歸納法－－在研究事物的某些特殊情況所得(2)完全歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(通常只有有限多種)所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。(如圓周角定理的證明)(3)數(shù)學(xué)歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(可數(shù)多種，即可用自然數(shù)來(lái)一一編號(hào)種情況)所得到的共同屬性的基礎(chǔ)上，作出一般性結(jié)論的推理方法。91(2)完全歸納法－－在研究事物的一切特殊情況(通常只有有限多§4.度量關(guān)系與位置關(guān)系的證明(1)何謂度量關(guān)系的證明？(2)何謂位置關(guān)系的證明？一、關(guān)于兩線段(角)相等的證明1.有關(guān)證明的主要定理2.證明的一般思考方法(1)(2)(3)(4)①②③(5)(6)3.例題選講92§4.度量關(guān)系與位置關(guān)系的證明(1)何謂度量關(guān)系的證明？2例2：題略分析：因?yàn)閍是一條直線，OA⊥a，可聯(lián)想到連OE、OF.若能證得△OEF為等腰三角形即可。憑經(jīng)驗(yàn)應(yīng)連OB、OC，發(fā)現(xiàn)只要能證Rt△EBO≌Rt△FCO即可。它有一邊OB＝OC，設(shè)法再找一組銳角或另一條直角邊對(duì)應(yīng)相等。另外還有哪些證明的途徑？可分別在O、C、A、F和B、E、A、O共圓的條件下有：∠1＝∠2＝∠3＝∠4

△OEF為等腰三角形或∠1＝∠2＝∠3(及OB＝OC)△EBO≌△FCO，OE＝OF，AE＝AFAEFBCOa341223193例2：題略分析：因?yàn)閍是一條直線，OA⊥a，可聯(lián)想到連OE、例3：已知B為線段AC內(nèi)任一點(diǎn),分別以AB、BC為邊在同一側(cè)作等邊三角形ABD和BCE,BD與AE交于F,BE與CD交于G.求證:BF=BG.·

BACDEF··G分析：

要證BF=BG，可在△BFE、△BGC中考慮，它們已有∠1=∠2，BE=BC，若再有∠3=∠4即可。這時(shí)可考慮是否有△ABE≌△DBC.這是易證的。1234當(dāng)然也可由證得△BAF≌△BDG，BF＝BG.同時(shí)，此題可改造成求證：FG∥AC，或△BFG為正三角形等。上述問(wèn)題可供大家課后研究。94例3：已知B為線段AC內(nèi)任一點(diǎn),分別以AB、BC為邊在同一二、關(guān)于線段(角)的和、差、倍、分的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.關(guān)于證明的一般思考方法［通常有“截長(zhǎng)”、“補(bǔ)短”、“加倍”、“減半”、“n倍”、“1/n”等。］95二、關(guān)于線段(角)的和、差、倍、分的證明23ABC·PD3.例題選講例4.已知P是正△ABC外接圓BC弧上任一點(diǎn).求證：PA=PB+PC.

這是一個(gè)傳統(tǒng)的題目，不少教材都有這個(gè)例子。

不少書(shū)上通常使用截長(zhǎng)法、補(bǔ)短法，我們也可從不同的地方截長(zhǎng)或補(bǔ)短。這樣可有8種不同的方法。此外，在△PAB，△PAC中用余弦定理，或正弦定理()，或托勒密定理(最簡(jiǎn))等可解本題。96ABC·D3.例題選講這是一個(gè)傳統(tǒng)的題目，不少教材都有這三、關(guān)于線段(角)不等的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.關(guān)于證明的一般方法思考3.例題選講例5.已知在△ABC中AB＝AC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB＞∠APC.求證：PB＜PC.ABCPP′小大本題的結(jié)論也可改為求證：∠BAP<∠CAP大小97三、關(guān)于線段(角)不等的證明1.有關(guān)證明的重要定理3.例題選

例6.若AD為△ABC的角平分線，過(guò)A、D的圓切BC于D，且與AB、AC分別相交于E、F.試證：EF∥BCABCDEF3124分析：本例思路：要證：EF∥BC(連ED)只要證得∠3＝∠4即可。由圖易知：∠3＝∠1＝∠2＝∠4四、關(guān)于平行線的證明98例6.若AD為△ABC的角平分線，過(guò)A、D的圓切BC于D五、關(guān)于垂直直線的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.有關(guān)證明的一般方法3.例題選講

例7.以△ABC的邊AB和AC為一邊向外分別作正方形ABDE和工ACFG，試證：BC的中線AM與EG垂直。EBACFDGM99五、關(guān)于垂直直線的證明1.有關(guān)證明的重要定理例7.以△例8.設(shè)BD、CE為△ABC的兩條高線，若M為ED的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，試證NM⊥DE.ABCDEMN證法1.連接ND、NE，∵BN＝NC，∠BDC＝90°，∠BDC＝90°∴ND＝BC=NE.又∵DM＝ME，∴NM⊥DE。證法2.∵∠BDC＝∠BEC＝90°，∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓，且BC為圓的直徑?！連N＝NC，∴N為圓心?！進(jìn)為弦DE的中點(diǎn)，∴NM⊥DE。100例8.設(shè)BD、CE為△ABC的兩條高線，若M為ED的中點(diǎn)，六、關(guān)于共線點(diǎn)、共點(diǎn)線等的證明1.有關(guān)證明的重要定理2.有關(guān)證明的一般思考方法(1)關(guān)于點(diǎn)共線的證明證明A、B、C三點(diǎn)共線的一般思考方法是：(2)關(guān)于線共點(diǎn)的證明證明a、b、c三線共點(diǎn)的一般思考方法是：(3)關(guān)于點(diǎn)共圓的證明證明A、B、C、D四點(diǎn)共圓的一般思考方法是：(4)關(guān)于圓共點(diǎn)的證明

喂！王老師，線共點(diǎn)的證明方法有哪些？101六、關(guān)于共線點(diǎn)、共點(diǎn)線等的證明1.有關(guān)證明的重要定理3.例題選講例9.已知：如圖，X、Y、Z是△ABC外接圓上一點(diǎn)P分別在三邊(或三邊所在直線)上的射影.求證：X、Y、Z共線。ABC［分析：思路，連XY、XZ后，設(shè)法證明∠PXY＋∠PXZ＝180°］ZYXP1023.例題選講ABC［分析：思路，連XY、XZ后，設(shè)法證明∠P九點(diǎn)圓例10.

三角形三邊的中點(diǎn)，三高線足，垂心與三頂點(diǎn)連線段的中點(diǎn)，這九點(diǎn)共圓.稱為這個(gè)三角形的九點(diǎn)圓。ABCD··F·

EQ

··

RP

·O.

本例結(jié)論稱為九點(diǎn)圓定理。IMNH103九點(diǎn)圓例10.三角形三邊的中點(diǎn)，ABCD··F·EQ五、中學(xué)幾何教學(xué)改革的反思1.改革初期對(duì)幾何證明要求過(guò)低；學(xué)習(xí)幾何不學(xué)證明的話，等于白學(xué)。幾何證明應(yīng)在初中學(xué)習(xí)，學(xué)生完全可以接受。許多學(xué)生是在學(xué)習(xí)幾何證明后才對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生興趣的。2.對(duì)某些重要定理要求降低或刪除。比如，角平分線性質(zhì)定理、圓冪定理等，有必要把初中幾何證明拿到高中選修中去嗎？3.高中立體幾何淡化對(duì)綜合法的要求是否恰當(dāng)？2019年高考數(shù)學(xué)立體幾何題的啟示。104五、中學(xué)幾何教學(xué)改革的反思1.改革初期對(duì)幾何證明要求過(guò)低；學(xué)本題滿分13分，全省均分2.2分19題：如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5度,AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60度，（Ⅰ）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；（Ⅱ）求cosCOD。105本題滿分13分，全省均分2.2分19題：如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，4.中考數(shù)學(xué)中的幾何題往往是全卷中最具特色的試題。幾何題對(duì)全卷得分影響最大。2019年安徽省中考數(shù)學(xué)，選擇題第9,10題，填空題第13,14題，解答題第18,23題。2019年安徽省初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)2019年安徽中考?jí)狠S題欣賞與研究23(3)幾何畫(huà)板演示1064.中考數(shù)學(xué)中的幾何題往往是全卷中最具特色的試題。幾何題對(duì)全六、競(jìng)賽中的幾何試題在初高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，幾何題是必不可少的，且所占比例較高。2019年國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題共6題，就有2道平面幾何試題。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱：幾何部分要求三角形中的邊角之間的不等關(guān)系。

面積及等積變換。

三角形的心（內(nèi)心、外心、垂心、重心）及其性質(zhì)。

相似形的概念和性質(zhì)。

圓，四點(diǎn)共圓，圓冪定理。

四種命題及其關(guān)系。

107六、競(jìng)賽中的幾何試題在初高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中，幾何題是必不可少高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱：幾何部分要求幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的幾個(gè)特殊點(diǎn):旁心、費(fèi)馬點(diǎn)，歐拉線。

幾何不等式。

幾何極值問(wèn)題。

幾何中的變換：對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)。

圓的冪和根軸。

面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法。108高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱：幾何部分要求362019年第53屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO試題（阿根廷）1092019年第53屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO試題（阿根廷）372019年第53屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO試題（阿根廷）1102019年第53屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO試題（阿根廷）38七、數(shù)學(xué)教師應(yīng)讀的幾本幾何名著幾何原本、幾何基礎(chǔ)初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）梁紹鴻初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究(平面幾何)習(xí)題解答尚強(qiáng)《初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（立體幾何）》朱德祥幾何瑰寶：平面幾何500名題暨1000條定理沈文選111七、數(shù)學(xué)教師應(yīng)讀的幾本幾何名著幾何原本、幾何基礎(chǔ)39初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）梁紹鴻112初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）梁紹鴻113初等數(shù)學(xué)