1§1.2高斯消元法與矩陣的初等變換一、引入二、高斯消元法與初等變換三、初等矩陣2教學目的

通過解方程的消元法，引出矩陣的初等變換；反過來再利用矩陣的初等行變換，簡化解方程的過程；并讓學生掌握初等矩陣及初等矩陣乘矩陣的結果。教學重點教學難點

掌握矩陣的初等變換、初等矩陣；及用初等行變換解方程;讓學生認識到左乘初等矩陣相當于行變換，右乘初等矩陣相當于列變換

用初等行變換將矩陣化為行階梯型矩陣，進而化為行簡化階梯型矩陣；3一、引入齊次方程組：AX=04齊次方程組：AX=0;

非齊次方程組：AX=b,b0(b中至少有一分量不為零)則稱C為AX=b的解：使得AX=b成立，定義5非齊次方程組：AX=b問題方程組何時有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？齊次方程組：AX=0一定有解！X=0是齊次方程組的解問題齊次方程組何時只有零解？何時有非零解？6引例用消元法解下列方程組的過程．二、高斯消元法與初等變換7解89用“回代”的方法求出解：于是解得10故方程組有無窮多解11小結1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（它們是同解變換）（1）兩個方程互換；（2）以不等于０的數乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．稱以上三種變換為線性方程組的初等變換但線性方程組的初等變換，實際上只對增廣矩陣的系數作了相應的行變化，稱為增廣矩陣的初等行變換。12定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:對換變換倍乘變換倍加變換13下面三種變換稱為矩陣的初等列變換:矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應用廣泛.對換變換倍乘變換倍加變換矩陣的初等變換初等列變換初等行變換14用矩陣的初等行變換解方程組（1）：（1）1516方程組的解為：17（2）零行(元素全為0)都在下方。（1）對于每個非零行(元素不全為0)的非0首元都出現在上一行非0首元的右邊；是行階梯形矩陣不是行階梯形矩陣滿足下列2個條件的矩陣稱為行階梯形矩陣18（1）是行階梯形矩陣；不是簡化行階梯形矩陣（2）每一非0行的非0首元為1；（3）每一非0首元1所在的列的其余元素均為0；是簡化行階梯形矩陣滿足下列3個條件的矩陣稱為簡化行階梯形矩陣19注對于任何矩陣，總可以經過有限次初等行變換把它變?yōu)楹喕须A梯形矩陣.高斯消元法解方程組的過程，就是對其增廣矩陣做初等行變換的過程，目標是將增廣矩陣化為簡化行階梯形矩陣。20例

求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣進行初等行變換，故方程組無解21方程組無解這時出現了矛盾方程22例

求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣進行初等行變換，23故方程組有唯一解24方程組有唯一解這時沒出現矛盾方程，且行階梯形矩陣有2個非0行（有2個非0首元）25例

求解非齊次方程組的通解解

對增廣矩陣進行初等行變換26故方程組有無窮多解27方程組有無窮多解這時故方程組有無窮多解沒出現矛盾方程，且行階梯形矩陣有2個非0行（有2個非0首元）28線性方程組一般情形

對其增廣矩陣作初等行變換，總可以化為如下形式的簡化行階梯矩陣（必要時交換未知量的下標）2930這個方程組與原方程組同解,31自由未知量.解為32當方程為齊次方程組時，齊次方程組至少有一組零解特別地，方程個數少于未知量個數的齊次方程組:一定有非零解.33例

求解齊次線性方程組解

對系數矩陣進行初等行變換34由此即得齊次方程有無窮多解，所以有非零解.35解線性方程組解練一練36簡化行階梯形矩陣對應的方程組為方程組有無窮多解.37例

設有線性方程組解38其解為3940這時又分兩種情形：41矩陣的等價初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換42矩陣等價關系的性質43定義

由單位矩陣

I經過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應著三種初等方陣.三、初等矩陣44第

列第

列(1)對調I中兩行或兩列，得初等對換矩陣.45第

列(2)以數乘I中某行或某列，得初等倍乘矩陣.46第

列第

列得初等倍加矩陣.47例484950定理設A是m

n矩陣，對A施行一次初等列變換，相當于在A的左邊乘一個相應的m階初等矩陣；相當于在A的右邊乘一個相應的n階初等矩陣對A施行一次初等行變換，51“左乘行，右乘列”定理的應用：1.若矩陣B與A行等價，則存在有限個初等矩陣

E1,…,Ek,使得2.若矩陣B與A列等價，則存在有限個初等矩陣

E1,…,Ek,使得3.若矩陣B與A等價，則存在有限個初等矩陣

P1,…,Pk,Q1,…,Qt使得52解例

53設矩陣練一練54小結1.初等行(列)變換3.矩陣等價具有的性質2.初等變換555.利用矩陣的初等行變換解線性方程組.目