新課導入思考：自然數多還是有理數多？新課導入思考：自然數多還是有理數多？1了解康托爾德國數學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。了解康托爾德國數學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于2—觀察下列的對象：(1)

1~20以內所有的質數(2)我國從1991~2003年13年內所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星；(3)金星汽車廠2003年所生產的汽車；(4)

2004年1月1日之前與我國建立外交關系的所有國家。

(5)所有的正方形。

(6)到直線L的距離等于定長d的所有點。(7)我校今年9月入學的高一的學生全體。請概括7個例子的特征問題情景—觀察下列的對象：(1)1~20以內所有的質數(2)我國3

1.集合的含義：把研究對象統(tǒng)稱為元素(element)

，把一些元素組成的總體叫做集合(set)（簡稱集）.通常用大寫字母A，B，C…表示集合，用小寫字母a,b，c…表示集合中的元素探索研究

1.集合的含義：通常用大寫字母A，B，C…表示集合，探索研42.集合元素具有以下三個特征

（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了

（2）互異性：一個給定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。

（3）無序性：集合中的元素是無先后順序的，即集合里的任何兩個元素可以交換位置2.集合元素具有以下三個特征（1）確定性：給定的5[例1]下面各組對象能否構成集合？（1）所有的好人；（2）小于2003的數；（3）和2003非常接近的數；（4）滿足x－2<8的全體實數；（5）方程x2＋1＝0的實數解。[例1]下面各組對象能否構成集合？6

根據集合中元素個數的多少，我們將集合分為以下兩大類：1.有限集：

含有有限個元素的集合稱為有限集,特別，不含任何元素的集合稱為空集,記為2.無限集：若一個集合不是有限集，則該集合稱為無限集

3、集合的分類根據集合中元素個數的多少，我們將集合分為以下兩大類：1.有7如果兩個集合的元素完全相同，則它們相等。4、集合相等例2.已知M={2,a,b},N={a2,2,0},且M=N

求a,b的值。a=1,b=0如果兩個集合的元素完全相同，則它們相等。4、集合相等例2.8（5）實數集：5.常用數集及記法（1）自然數集（非負整數集）：全體非負整數組成的集合。記作N（2）正整數集:所有正整數組成的集合。記作N*或N+（3）整數集：全體整數組成的集合。記作Z（4）有理數集：全體有理數組成的集合。記作Q全體實數組成的集合。記作R（5）實數集：5.常用數集及記法（1）自然數集（非負整數集）9

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A

，記作a?A；

如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A

，記作a?A。◣◢6.元素與集合的關系例如，用A表示“

1~20以內所有的質數”組成的集合，則有3?A，4?A，等等。如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A10例3.用符號“∈”或“∈”填空：3.14＿Q；(2)π＿Q

；(3)0＿N+

(4)0＿N(7)＿Q(8)＿Q(5)(-2)0

＿N+

(6)＿Z第5頁：練習1例3.用符號“∈”或“∈”填空：3.14＿Q；(211

[例4]

若-3∈{a-3,2a+1,a2+1},求實數a的值.[例5]求集合{3，x,x2-2x}中，元素x應滿足的條件。能力提高題x≠-1，且x≠0，且x≠3a=-2[例4]若-3∈{a-3,2a+1,a2+1}12本節(jié)課我們學習了那些內容？

1.集合的含義

2.集合中元素的三個特性

3.集合的分類

4.集合相等

5.常用數集及記法

6.元素與集合的關系：?，?總結提煉本節(jié)課我們學習了那些內容？

1.集合的含義

2.集合中元素的131、教材P.11.A組第1題選做：

2、若{1，a}和{a,a2}表示同一個集合，則a的取值為多少？布置作業(yè)1、教材P.11.A組第1題布置作業(yè)14

大學期間康托爾主修數論，但受外爾斯特拉斯的影響,對數學推導的嚴格性和數學分析感興趣。哈雷大學教授H.E.海涅鼓勵他研究函數論。他于1870、1871、1872年發(fā)表三篇關于三角級數的論文。在1872年的論文中提出了以基本序列（即柯西序列）定義無理數的實數理論，并初步提出以高階導出集的性質作為對無窮集合的分類準則。函數論研究引起他進一步探索無窮集和超窮序數的興趣和要求。

1872年康托爾在瑞士結識了J.W.R.戴德金，此后時常往來并通信討論。1873年他估計，雖然全體正有理數可以和正整數建立一一對應，但全體正實數似乎不能。他在1874年的論文《關于一切實代數數的一個性質》中證明了他的估計，并且指出一切實代數數和正整數可以建立一一對應，這就證明了超越數是存在的而且有無窮多。在這篇論文中，他用一一對應關系作為對無窮集合分類的準則。

格奧爾格·康托爾康托爾（GeorgCantor，1845-1918，德）

德國數學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父為遷居俄國的丹麥商人?？低袪?1歲時移居德國,在德國讀中學。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學,翌年轉入柏林大學,主修數學，從學于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內克。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以數論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資格考試，后即在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

大學期間康托爾主修數論，但受外爾斯特拉斯的影響,對數學推15康托爾在1878年這篇論文里已明確提出“勢”的概念(又稱為基數)并且用“與自身的真子集有一一對應”作為無窮集的特征。

康托爾認為，建立集合論重要的是把數的概念從有窮數擴充到無窮數。他在1879～1884年發(fā)表的題為《關于無窮線性點集》論文6篇，其中5篇的內容大部分為點集論，而第5篇很長，此篇論述序關系，提出了良序集、序數及數類的概念。他定義了一個比一個大的超窮序數和超窮基數的無窮序列，并對無窮問題作了不少的哲學討論。在此文中他還提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未給出證明。

在1891年發(fā)表的《集合論的一個根本問題》里，他證明了一集合的冪集的基數較原集合的基數大，由此可知，沒有包含一切集合的集合。他在1878年論文中曾將連續(xù)統(tǒng)假設作為一個估計提出，其后在1883年論文里說即將有一嚴格證明，但他始終未能給出。

在整數和實數兩個不同的無窮集合之外，是否還有更大的無窮?從1874年初起,康托爾開始考慮面上的點集和線上的點集有無一一對應。經過三年多的探索，1877

說，“我見到了，但我不相信?！边@似乎抹煞了維數的區(qū)別。論文于1878年發(fā)表后引起了很大的懷疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克羅內克都反對，而戴德金早在1877年7月就看到,不同維數空間的點可以建立不連續(xù)的一一對應關系，而不能有連續(xù)的一一對應。此問題直到1910年才由L.E.J.布勞威爾給出證明。康托爾在1878年這篇論文里已明確提出“勢”的概念(又稱為基1619世紀70年代許多數學家只承認，有窮事物的發(fā)展過程是無窮盡的，無窮只是潛在的，是就發(fā)展說的。他們不承認已經完成的、客觀存在著的無窮整體，例如集合論里的各種超窮集合。康托爾集合論肯定了作為完成整體的實無窮，從而遭到了一些數學家和哲學家的批評與攻擊，特別是克羅內克?？低袪栐?883年的論文和以后的哲學論文里對于無窮問題作了詳盡的討論。另一方面，康托爾創(chuàng)建集合論的工作開始時就得到戴德金、外爾斯特拉斯和D.希爾伯特的鼓勵和贊揚。20世紀以來集合論不斷發(fā)展，已成為數學的基礎理論。

他的著作有：《G.康托爾全集》1卷及《康托爾-戴德金通信集》等。

康托爾是德國數學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。

康托爾11歲時移居德國，在德國讀中學。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學，翌年入柏林大學，主修數學，1866年曾去格丁根學習一學期。1867年以數論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資格考試，后在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

集合論是現代數學的基礎，康托爾在研究函數論時產生了探索無窮集和超窮數的興趣。康托爾肯定了無窮數的存在，并對無窮問題進行了哲學的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現代數學的發(fā)展打下了堅實的基礎。19世紀70年代許多數學家只承認，有窮事物的發(fā)展過程是無窮盡17新課導入思考：自然數多還是有理數多？新課導入思考：自然數多還是有理數多？18了解康托爾德國數學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。了解康托爾德國數學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于19—觀察下列的對象：(1)

1~20以內所有的質數(2)我國從1991~2003年13年內所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星；(3)金星汽車廠2003年所生產的汽車；(4)

2004年1月1日之前與我國建立外交關系的所有國家。

(5)所有的正方形。

(6)到直線L的距離等于定長d的所有點。(7)我校今年9月入學的高一的學生全體。請概括7個例子的特征問題情景—觀察下列的對象：(1)1~20以內所有的質數(2)我國20

1.集合的含義：把研究對象統(tǒng)稱為元素(element)

，把一些元素組成的總體叫做集合(set)（簡稱集）.通常用大寫字母A，B，C…表示集合，用小寫字母a,b，c…表示集合中的元素探索研究

1.集合的含義：通常用大寫字母A，B，C…表示集合，探索研212.集合元素具有以下三個特征

（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了

（2）互異性：一個給定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。

（3）無序性：集合中的元素是無先后順序的，即集合里的任何兩個元素可以交換位置2.集合元素具有以下三個特征（1）確定性：給定的22[例1]下面各組對象能否構成集合？（1）所有的好人；（2）小于2003的數；（3）和2003非常接近的數；（4）滿足x－2<8的全體實數；（5）方程x2＋1＝0的實數解。[例1]下面各組對象能否構成集合？23

根據集合中元素個數的多少，我們將集合分為以下兩大類：1.有限集：

含有有限個元素的集合稱為有限集,特別，不含任何元素的集合稱為空集,記為2.無限集：若一個集合不是有限集，則該集合稱為無限集

3、集合的分類根據集合中元素個數的多少，我們將集合分為以下兩大類：1.有24如果兩個集合的元素完全相同，則它們相等。4、集合相等例2.已知M={2,a,b},N={a2,2,0},且M=N

求a,b的值。a=1,b=0如果兩個集合的元素完全相同，則它們相等。4、集合相等例2.25（5）實數集：5.常用數集及記法（1）自然數集（非負整數集）：全體非負整數組成的集合。記作N（2）正整數集:所有正整數組成的集合。記作N*或N+（3）整數集：全體整數組成的集合。記作Z（4）有理數集：全體有理數組成的集合。記作Q全體實數組成的集合。記作R（5）實數集：5.常用數集及記法（1）自然數集（非負整數集）26

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A

，記作a?A；

如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A

，記作a?A。◣◢6.元素與集合的關系例如，用A表示“

1~20以內所有的質數”組成的集合，則有3?A，4?A，等等。如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A27例3.用符號“∈”或“∈”填空：3.14＿Q；(2)π＿Q

；(3)0＿N+

(4)0＿N(7)＿Q(8)＿Q(5)(-2)0

＿N+

(6)＿Z第5頁：練習1例3.用符號“∈”或“∈”填空：3.14＿Q；(228

[例4]

若-3∈{a-3,2a+1,a2+1},求實數a的值.[例5]求集合{3，x,x2-2x}中，元素x應滿足的條件。能力提高題x≠-1，且x≠0，且x≠3a=-2[例4]若-3∈{a-3,2a+1,a2+1}29本節(jié)課我們學習了那些內容？

1.集合的含義

2.集合中元素的三個特性

3.集合的分類

4.集合相等

5.常用數集及記法

6.元素與集合的關系：?，?總結提煉本節(jié)課我們學習了那些內容？

1.集合的含義

2.集合中元素的301、教材P.11.A組第1題選做：

2、若{1，a}和{a,a2}表示同一個集合，則a的取值為多少？布置作業(yè)1、教材P.11.A組第1題布置作業(yè)31

大學期間康托爾主修數論，但受外爾斯特拉斯的影響,對數學推導的嚴格性和數學分析感興趣。哈雷大學教授H.E.海涅鼓勵他研究函數論。他于1870、1871、1872年發(fā)表三篇關于三角級數的論文。在1872年的論文中提出了以基本序列（即柯西序列）定義無理數的實數理論，并初步提出以高階導出集的性質作為對無窮集合的分類準則。函數論研究引起他進一步探索無窮集和超窮序數的興趣和要求。

1872年康托爾在瑞士結識了J.W.R.戴德金，此后時常往來并通信討論。1873年他估計，雖然全體正有理數可以和正整數建立一一對應，但全體正實數似乎不能。他在1874年的論文《關于一切實代數數的一個性質》中證明了他的估計，并且指出一切實代數數和正整數可以建立一一對應，這就證明了超越數是存在的而且有無窮多。在這篇論文中，他用一一對應關系作為對無窮集合分類的準則。

格奧爾格·康托爾康托爾（GeorgCantor，1845-1918，德）

德國數學家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父為遷居俄國的丹麥商人。康托爾11歲時移居德國,在德國讀中學。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學,翌年轉入柏林大學,主修數學，從學于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內克。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以數論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資格考試，后即在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

大學期間康托爾主修數論，但受外爾斯特拉斯的影響,對數學推32康托爾在1878年這篇論文里已明確提出“勢”的概念(又稱為基數)并且用“與自身的真子集有一一對應”作為無窮集的特征。

康托爾認為，建立集合論重要的是把數的概念從有窮數擴充到無窮數。他在1879～1884年發(fā)表的題為《關于無窮線性點集》論文6篇，其中5篇的內容大部分為點集論，而第5篇很長，此篇論述序關系，提出了良序集、序數及數類的概念。他定義了一個比一個大的超窮序數和超窮基數的無窮序列，并對無窮問題作了不少的哲學討論。在此文中他還提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未給出證明。

在1891年發(fā)表的《集合論的一個根本問題》里，他證明了一集合的冪集的基數較原集合的基數大，由此可知，沒有包含一切集合的集合。他在1878年論文中曾將連續(xù)統(tǒng)假設作為一個估計提出，其后在1883年論文里說即將有一嚴格證明，但他始終未能給出。

在整數和實數兩個不同的無窮集合之外，是否還有更大的無窮?從1874年初起,康托爾開始考慮面上的點