13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形（第2課時）人教版數(shù)學(xué)八年級上冊13.3等腰三角形人教版數(shù)學(xué)八年級上冊ABC如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險船只的報警，當時測得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能同時趕到出事地點（不考慮風浪因素）？ABC如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇21.掌握等腰三角形的判定方法，并運用其進行證明和計算.2.通過學(xué)習等腰三角形的判定方法，使學(xué)生能從正反兩個方面認識等腰三角形，養(yǎng)成科學(xué)的思維習慣.1.掌握等腰三角形的判定方法，并運用其進行證明和計算.2.通

如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系?CAB

請同學(xué)用直尺和量角器，畫一個△ABC，其中∠B=∠C=30°，請你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？AB=AC你能驗證你的結(jié)論嗎？小活動等腰三角形的判定知識點如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對的邊AB4在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.過A作AD平分∠BAC交BC于點D.證明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD5∴

AC=AB.()即△ABC為等腰三角形.∵∠B=∠C，()等腰三角形的判定方法：

如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”，這又是一個判定兩條線段相等的根據(jù)之一）.已知等角對等邊在△ABC中，BCA((歸納總結(jié)應(yīng)用格式：∴AC=AB.()∵∠B6ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對等邊）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對等邊）.錯，因為都不是在同一個三角形中.【思考】如圖,下列推理正確嗎?ABCD21∵∠1=∠2,∴7例1

求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．

證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．ABCE（（12D利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形狀素養(yǎng)考點1例1求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，8已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點E.求證：△AED是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等),∴AE=DE(等角對等邊）,∴△AED是等腰三角形.鞏固練習已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點E.證9例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB=AD.BADC證明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD.總結(jié)：平分角+平行=等腰三角形由平行及角平分線識別等腰三角形素養(yǎng)考點2例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.BADC證101、如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______.3cm鞏固練習2、如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？BCADE答：是.由折疊可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.∴∠EDB=∠CBD，1、如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，11例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．通過計算角相等來證明等腰三角形素養(yǎng)考點3例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上12方法點撥

“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，它的前提條件是“在同一個三角形中”．方法點撥“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，13如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點D,E在BC邊上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,則圖中共有等腰三角形的個數(shù)是 (

)

A.4 B.5 C.6 D.7C

解析:∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠BAC=108°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6個.鞏固練習如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點D,E在BC邊上,∠A14例4已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作等腰△ABC.使底邊BC=a，底邊上的高為h.ah作法：1.作線段AB=a.2.作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點D.3.在MN上取一點C，使DC=h.4.連接AC，BC，則△ABC即為所求.ABCMND利用尺規(guī)作圖作等腰三角形素養(yǎng)考點4例4已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作等15例5

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF，BE，F(xiàn)C之間的關(guān)系.OABCEF解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵

BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴

EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEF若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？結(jié)論還成立嗎？利用等腰三角形的判定證明線段之間的關(guān)系素養(yǎng)考點5例5如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的16方法點撥

判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過證明線段所在的兩個三角形全等或利用同一個三角形中“等角對等邊”，運用轉(zhuǎn)化思想，解決問題.方法點撥判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過證明17∴MN=OABCMN123456在ΔABC中,OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，過O點作MN∥BC.

ΔAMN的周長=AB+AC嗎？為什么？∴ΔAMN的周長=AM+MN+ANBM+CN.=AM+BM+CN+AN=AB+AC.解：∵OB平分∠ABC，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.∴OM=BM.同理得：ON=CN.

∵MN=OM+ON,鞏固練習∴MN=OABCMN123456在ΔABC中,OB平分∠AB18在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC解析：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．C連接中考在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE分別是∠ABC,∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）

A．5個B．4個C．3個D．2個2.一個三角形的一個外角為130°，且它恰好等于一個不相鄰的內(nèi)角的2倍.這個三角形是（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形CA基礎(chǔ)鞏固題1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE203.如圖，直線a、b相交于點O，∠1=50°，點A在直線a上，直線b上存在點B，使以點O、A、B為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的B點有（）A．1個

B．2個C．3個D．4個D1OabA3.如圖，直線a、b相交于點O，∠1=50°，點A在直線a上214.如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則∠DBC=_____，∠BDC=_____，圖中的等腰三角形有_______________________.36°72°△ABC、△DBA、△BCD5.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長為_____.9第5題圖ABCD第4題圖4.如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，221.如圖，上午10時，一條船從A處出發(fā)以20海里每小時的速度向正北航行，中午12時到達B處，從A、B望燈塔C，測得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求從B處到燈塔C的距離.解：∵∠NBC=∠A+∠C，

∴∠C=80°–

40°=40°，∴∠C=∠A，∴BA=BC(等角對等邊).∵AB=20×(12–10)=40(海里),∴BC=40海里.答：B處距離燈塔C為40海里.80°40°NBAC北能力提升題1.如圖，上午10時，一條船從A處出發(fā)以20海里每小時的速232.（A類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求證：∠A=∠C．（B類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求證：AD=CD．2.（A類）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，AD=C24證明：（A類）連接AC，∵AB=BC，AD=CD，∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即BAD=∠BCD；（B類）連接AC，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．證明：（A類）連接AC，25等腰三角形的判定等角對等邊定義注意是指同一個三角形中有兩邊相等的三角形是等腰三角形課堂小結(jié)等腰三角形的判定等角對等邊定義注意是指同一個三角形中有兩邊相2613.3等腰三角形13.3.1等腰三角形（第2課時）人教版數(shù)學(xué)八年級上冊13.3等腰三角形人教版數(shù)學(xué)八年級上冊ABC如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險船只的報警，當時測得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能同時趕到出事地點（不考慮風浪因素）？ABC如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇281.掌握等腰三角形的判定方法，并運用其進行證明和計算.2.通過學(xué)習等腰三角形的判定方法，使學(xué)生能從正反兩個方面認識等腰三角形，養(yǎng)成科學(xué)的思維習慣.1.掌握等腰三角形的判定方法，并運用其進行證明和計算.2.通

如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系?CAB

請同學(xué)用直尺和量角器，畫一個△ABC，其中∠B=∠C=30°，請你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？AB=AC你能驗證你的結(jié)論嗎？小活動等腰三角形的判定知識點如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對的邊AB30在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD（AAS）.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.過A作AD平分∠BAC交BC于點D.證明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形.在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD≌△ACD31∴

AC=AB.()即△ABC為等腰三角形.∵∠B=∠C，()等腰三角形的判定方法：

如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”，這又是一個判定兩條線段相等的根據(jù)之一）.已知等角對等邊在△ABC中，BCA((歸納總結(jié)應(yīng)用格式：∴AC=AB.()∵∠B32ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對等邊）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對等邊）.錯，因為都不是在同一個三角形中.【思考】如圖,下列推理正確嗎?ABCD21∵∠1=∠2,∴33例1

求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．

證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．ABCE（（12D利用等腰三角形的判定定理判定三角形的形狀素養(yǎng)考點1例1求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，34已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點E.求證：△AED是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等),∴AE=DE(等角對等邊）,∴△AED是等腰三角形.鞏固練習已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點E.證35例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB=AD.BADC證明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD.總結(jié)：平分角+平行=等腰三角形由平行及角平分線識別等腰三角形素養(yǎng)考點2例2已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.BADC證361、如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______.3cm鞏固練習2、如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？BCADE答：是.由折疊可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.∴∠EDB=∠CBD，1、如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，37例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．通過計算角相等來證明等腰三角形素養(yǎng)考點3例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上38方法點撥

“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，它的前提條件是“在同一個三角形中”．方法點撥“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，39如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點D,E在BC邊上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,則圖中共有等腰三角形的個數(shù)是 (

)

A.4 B.5 C.6 D.7C

解析:∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠BAC=108°,∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°，∴等腰三角形有△ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6個.鞏固練習如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點D,E在BC邊上,∠A40例4已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作等腰△ABC.使底邊BC=a，底邊上的高為h.ah作法：1.作線段AB=a.2.作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點D.3.在MN上取一點C，使DC=h.4.連接AC，BC，則△ABC即為所求.ABCMND利用尺規(guī)作圖作等腰三角形素養(yǎng)考點4例4已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作等41例5

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF，BE，F(xiàn)C之間的關(guān)系.OABCEF解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵

BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴

EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEF若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？結(jié)論還成立嗎？利用等腰三角形的判定證明線段之間的關(guān)系素養(yǎng)考點5例5如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的42方法點撥

判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過證明線段所在的兩個三角形全等或利用同一個三角形中“等角對等邊”，運用轉(zhuǎn)化思想，解決問題.方法點撥判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過證明43∴MN=OABCMN123456在ΔABC中,OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，過O點作MN∥BC.

ΔAMN的周長=AB+AC嗎？為什么？∴ΔAMN的周長=AM+MN+ANBM+CN.=AM+BM+CN+AN=AB+AC.解：∵OB平分∠ABC，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3.∴OM=BM.同理得：ON=CN.

∵MN=OM+ON,鞏固練習∴MN=OABCMN123456在ΔABC中,OB平分∠AB44在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC解析：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．C連接中考在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE分別是∠ABC,∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）

A．5個B．4個C．3個D．2個2.一個三角形的一個外角為130°，且它恰好等于一個不相鄰的內(nèi)角的2倍.這個三角形是（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形CA基礎(chǔ)鞏固題1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE463.如圖，直線a、b相交于點O，∠1=50°，點A在直線a上，直線b上存在點B，使以點O、A、B為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的B點有（）A．1個

B．