雅禮中學(xué)2023屆高三月考試卷(一)

數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合"={-2,0},B={.x\x-2x=0},則以下結(jié)論正確的是()A.A=B B.Ac8=網(wǎng) C.Au8=A D.A<zl3【答案】B【解析】【分析】由題得1={0,2},再判斷得解.【詳解】由題得8={0.2},所以Ac8={，},AUBhA,A不是H的子集，故選；B.已知等比數(shù)列{q}滿足?,=1.?<?,=4(?4-1),則為的值為9A.2 B.4 C.- D.62【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的性質(zhì)求出出,結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得?,?,=?；，:.?；=4(%-I),即(卬一2『=0,解得4=2,乂4=1,4",="；=4,故可得=4,故選：B.已知發(fā)數(shù)z=(a+l)-"i("w/?),則”=一1是|z|=1的( )A,充分不必要條件 B.必要不充分條件C,充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由閆=1求出“即可得出.【詳解】由同=1,可得4〃+1)2+(—4)2=],解得4=_|或0,

所以。=-1是回=1的充分不必要條件.故選：A..已知向量。=(cosO.sinO),〃= 若dj./；,則cos^6+gsin20的值為()TOC\o"1-5"\h\z13 4 2A.一 B.- C,— D.一3 5 5 3【答案】B【解析】【分析】先由“JJ；得出tan0=2,再按照齊次分式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】由得2cos。一sin0=O=lan0=2,，-1-recos20+sinOcosO1+tanO3TOC\o"1-5"\h\zcos-。+—sin2〃= ： ； = , =—.2 sin"6?+cos"0tan_0+\5故選：B.5.如圖，在樓長(zhǎng)為2的正方體A8CD-A8cA中，E.尸分別是極A4-CC；的中點(diǎn),過(guò)8E的平面a與直線4廣平行，則平面a載該正方體所得截面的面積為( )A.75 B.2卡 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】首先取的中點(diǎn)G，連接EG，CG,EC,易證人尸〃平面E/SCG,從而得到平面E/SCG為所求截面，再計(jì)算其面積即可.【詳解】取。。的中點(diǎn)G,旌接EG.CG,EC,如圖所示：

因?yàn)锳E”C,所以四邊形AECb為平行四邊形.所以4尸〃EC.又兒"Q平面EHCG.ECU平面EHCG，所以"〃平而E/TCG，即平面EHCG為所求截面.所以8七=應(yīng)~不=小，5ateg=BExBC=25故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考杳線面平行的判定，同時(shí)考查了正方體的截面,屬于新單題.6.某工廠有A4兩個(gè)生產(chǎn)車間，所生產(chǎn)的同一批產(chǎn)品合格率分別是99%和98%,已知某批產(chǎn)品的60%和40%分別是4/3兩個(gè)車間生產(chǎn)，質(zhì)量跟蹤小組從中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)不合格，則該產(chǎn)品是由A車間生產(chǎn)的概率為()A.- B.— C. D.-4 7 2 7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)貝葉斯公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)以，Bi,分別表示事件：任取的產(chǎn)品為甲、乙車間生產(chǎn)，A=”抽取的產(chǎn)品是不合格品”，由條件知P(A)=0.6, )=0.4,P(A|耳)=0.0l,P(A|fi,)=0.02,則該產(chǎn)品是由A車間生產(chǎn)的概率為2(8/IA),P⑶a)=一“J。⑷4)_ /4)。(小切 所以 ￡尸(耳)外川與)P(8JP(A|8,)+P(B"(A|BJr=l0.6x0,01 3-0.6x0.01+0.4x0.02=7'故選：D.

2 .27.已知橢圓C：W+與=1（。>0>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,F,,尸為橢圓上一點(diǎn)，且a2lrTT￡F\PF,=h若F,關(guān)于NF\PF,平分線的對(duì)稱點(diǎn)在幃網(wǎng)C上，則該橢■的離心率為【答案】B【解析】［分析］設(shè)巴關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)為M,根據(jù)題意可得P,F2,M三點(diǎn)共線，設(shè)仍用=〃］，則|「何|=|何用=，〃,在APT而中，分別求得仍胃,|尸修，再利用余弦定理可得“，c的齊次式，即可得出答案.（計(jì)解】解：設(shè)F］美于NF\PF?平分線的對(duì)稱點(diǎn)為M,則P，6，M三點(diǎn)共線，設(shè)|PF；\=nt,則\PM\=in,又上F\PF］吟、所以aP六M為等邊三角形，所以|“耳|=，律，^\PF］\-i\MFl\+\PM\=4a=3m,所以=京,忸&=2。，在APE片中，由余弦定理可得：|/?；6『=pp^+pf^-2PFy-PlycosNKPFZ,即4c2=—a2+-a2--az,所以=3c*.9 9 9irNc6所以e=-=l.a3故選：B.

中，角A,/T,C所對(duì)三邊分別為a,b,c,c=2b,若aA/，C的面積為I，則4。的最小值是（）A.2 B.3 C.73 D.縣【答案】C【解析】【分析】由三角形面積公式得到從=」一,利用角A的三角函數(shù)表達(dá)出sinA_ sinA_sinA-018c『=二^—,利用數(shù)形結(jié)合及 .5=a5的幾何意義求出最傀1 1sin4 cosA一:cosA一丁4 4【詳解】因?yàn)锳ABC的面枳為I,所工儀,sinA=l/?x2/?sinA=b2sinA=1,可得

2 24cosA_5-4cosA

sinAsinA由比=耳右一4月,可得|反？=|/F+1而產(chǎn)-2ACAB=4cosA_5-4cosA

sinAsinA(2〃f-2/?x2/?cosA=5b2-4〃2cosA=—sinA設(shè)〃一-4cos4+5設(shè)〃一-4cos4+5 4sinAcosA--4J其中Aw（0”）,TOC\o"1-5"\h\zsinA sinA-0 zr 、因?yàn)閍5 5表示點(diǎn)P|與點(diǎn)(cosA,sinA)連線的斜率,cosA— cosA— ( 4 )4 4 ' '如圖所示，當(dāng)過(guò)點(diǎn)『的直線與半圓相切時(shí)，此時(shí)斜率最小,

4所以斜率的最小值為=-tan/APO=-t,3所以，〃的最大值為」=所以|而『..3,所以|脛|..JL即8C的最小值4I3J3為#,故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解三角形中最值問(wèn)題，要結(jié)合基本不等式，導(dǎo)函數(shù)或者數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)式本身的幾何意義求解.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得2分.9,某人工智能公司近5年的利潤(rùn)情況如F表所示：第.V年12345利潤(rùn)W億元23457已知變量、,與a之間具有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)川坡小二乘法建立的I可歸總線方程為y=1.2r+</.則下列說(shuō)法正確的是（）A.?=0.6B變量y與r之間的線性相關(guān)系數(shù)，?<（）C.預(yù)測(cè)該人工智能公司第6年的利潤(rùn)約為7.8億元D.該人工智能公司這5年的利澗的方差小于2【答案】AC【解析】【分析】首先求出1、y?根據(jù)回歸直線方程必過(guò)（三3），即可求出從而得到回歸直

線方程，根據(jù)'與)'成正相關(guān)，即可得到相關(guān)系數(shù)廠>0,再令x=6求出y，即可預(yù)測(cè)第6年的利潤(rùn)，最后根據(jù)方差公式求出利潤(rùn)的方差，即可判斷D：_I _ 1 71【詳解】解：依題意x=w°+2+3+4+5)=3,y=-(2+3+4+5+7)=—,5 5 5因?yàn)閯?1直線方程為)，=|,2x+a必過(guò)樣本中心點(diǎn)(H),即日■=L2x3+”，解得a=0.6.故A正確：則回歸直線方程為y=l.2x+0.6,則x與)'成正相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)，?>(),故B錯(cuò)誤,當(dāng)x=6時(shí)v=|.2x6+06=7.8，即該人工科能公司第6年的利潤(rùn)約為7.8億元.故C正確，該人工智能公司這5年的利澗的方差為故選：AC)0.已知拋物線=4式的焦點(diǎn)為E，過(guò)原點(diǎn)。的動(dòng)直線/交拋物線于另一點(diǎn)P，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，下列說(shuō)法正確的是()A.若O為線段。。中點(diǎn)，則|"|=2 B.若|/Yj=4,則|。"=26C.存在直線/,使得尸F(xiàn)J.QF D.APFQ面枳的最小值為2【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A,求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義求出|PF|,即可判斷；對(duì)于B,根據(jù)拋物線的定義求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求出|。?|,即可判斷，對(duì)■于C,P(a',2a),則。(一］、—)，判斷FP,=0是否有解，即可判斷；對(duì)于D,根據(jù)S.PFQ=；?|。尸|?N-)'o|.結(jié)合基本不等式即可判斷.【詳解】解：拋物線.y2=4x的準(zhǔn)線為x=-l,焦點(diǎn)/0,0),若O為9中點(diǎn)，所以與=1,所以尸尸=與+1=2,故A正確；若仍產(chǎn)|=4,則=4-1=3,所以|OP|=Jx；+-Jx：+4Xp=TTr，故B錯(cuò)誤:

設(shè)P,2,2a),則所以麗二._[.2。)，QF=\2,^,所以RA?麗=202—2+4=2,」+2>0,所以口與尸。不垂直，故C錯(cuò)誤:S"=g,陽(yáng)卜〃-訃gxlx2“+：=時(shí)+百之2,當(dāng)且僅當(dāng)|。|=百，即。=±1時(shí)，取等號(hào)，所以△尸尸Q面積的城小值為2,故D正確.故選：AD單調(diào)遞增IT/("的圖象關(guān)于直線單調(diào)遞增IT/("的圖象關(guān)于直線1=一對(duì)稱/(.r)的最小正周期為萬(wàn)【答案】AD【解析】再利用周期性，選取一個(gè)周期來(lái)研究即可時(shí)(分析】先分析函數(shù)/")的奇偶性與周期性,每一個(gè)選項(xiàng)作出判斷.再利用周期性，選取一個(gè)周期來(lái)研究即可時(shí)【詳解】/(.v)=|sinx|+cos2x,xeR.所以/(—x)=|sin(-v)|+cos(-2.r)=|sinx|+cos2x=f(.￥),

所以/（X）是偶函數(shù),又f{x+不)=卜in(x+乃)|+cos2(k+乃)=|sin.r|+cos2x=f(x),所以乃是函數(shù)f(*)的周期，又/f.V+yj=sill(.V+y)+COS2(X+y)=|cOS.t|-COS2.VH/(X),故/(K)的最小正周期為兀.g一+2,可知其值域?yàn)?對(duì)于A,因?yàn)?(k)的最小正周期為萬(wàn)，令“6[(),乃],此時(shí)sin.rNO,所以f(x)=sinx+1g一+2,可知其值域?yàn)?=sin.v,re|(),ll，所以有g(shù)(/)=-2r+r+l=-29[0,-],故A正確：8時(shí)于B,由A可知，g（/）在[0,J上單調(diào)遞增，在（；川上單調(diào)遞減,因?yàn)椋?sinx/所以/（.'）在0,|上不是單調(diào)遞增，故B不正確；對(duì)于c,因?yàn)閒(o)=i,f所以所以/（K）的圖象不關(guān)于直線X=工時(shí)稱，故C不正確：4對(duì)于D,前面已證明正確.故選：AD）2.已知正四桂臺(tái)A8CD-A8cA（上下底面都是正方形的四校臺(tái)）.下底面A8C。邊長(zhǎng)為2,上底面邊長(zhǎng)為I,側(cè)棱長(zhǎng)為0,則（ ）A.它的表面積為5+3"B.它的外接球的表面積為雙2萬(wàn)C.側(cè)棱與下底面所成的角為6（）。D.它的體積比極長(zhǎng)為0的正方體的體枳大

【答案】ACD【解析】【分析】分別求得上、下底面面積，再求得側(cè)面等腰梯形A的面積，即可判斷A的正誤；如圖作輔助線，可求得各個(gè)長(zhǎng)度，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可判斷C的正誤；求得C。的K，分析可得即為正四棱臺(tái)A8C。-A8cM外接球的球心，且外接球半徑R=6,代入表面積公式，可判斷B的正誤：分別求得正四棱臺(tái)的體積匕和正方體的體積匕，利用作商法比大小，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】由題意得：上賬面AB￡R的面積§=1x1=1,下底面488的面積S,=2x2=4,側(cè)而A34A為等腰梯形，過(guò)A、片分別做A8的垂線，垂足為機(jī)F,如圖所示小 B]尸B所以EF=A5=1,則AE=8尸=1,2所以BF= =^-，所以梯形A84A的面積為4=JLx(1+2)x且=±2,32 2 4所以正四棱臺(tái)ABCD-A^B^D,的表面積S=S1+S,+4xS,=5+377,故A正確:連接AG，4。，口交于點(diǎn)Q,連接AC、BD交于點(diǎn)。2,連接GQ.則OR垂出底面ABCD,過(guò)A作4。1AO2于G,則AG1底面ABCD,則四邊形A,GO2O｝為矩形.由題意得ag=Rb；+bc：=J5,所以 =§,同理AC=2&,AO2=夜，又A0=GQ=q，所以ag=￥，

在即“3中，c°s"4G=^=%=L4Aa2所以NAAG=6,。，即側(cè)楂與下底面所成的角為60。，故C正確所以AG=QAAj—AG1=2,BB連接c。？，在Hhc。。中，cQ=JoQj+c0j=41'所以點(diǎn)o?到人&c、。、a、4、cP2的距離相等，均為母,所以點(diǎn)，印為正四樓臺(tái)A8cO-A8CA外接球的球心，且外接球半徑R=^2，3(1+4+后卜4=等所以外接球的表面積S'=4萬(wàn)x(J^Y=83(1+4+后卜4=等正四棱臺(tái)的體積V；=gx($+S2+，啊卜。。?校長(zhǎng)為虛的正方體的體積V,=(7?)'=2&，7v/6所以匕=工_遞_回、I，所以匕>匕，V,2>/2—12-VI44所以正四樓臺(tái)A8CD-ABQR的體積比校長(zhǎng)為也的正方體的體積大，故D正確：故選：ACD【點(diǎn)睹】解題的關(guān)鍵是熟練掌握極分的表面積、體積的求法及公式，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于求各個(gè)棱長(zhǎng)及確定。?為外接球的球心,考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共2■分..設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,b”若。(X>0)=0.9,則P(2<X<4)=2【答案】0.4##-5

【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2、c/),所以正態(tài)的線的對(duì)稱軸為x=2,所以。(X<O)=P(X>4)=1-P(X>())=().!,所以P(e<X<4)=l-2x0.1=0.8,所以尸(2<Xv4)=；x().8=0.4.故答案為：0.4..若(1-2.v)2OK=<^+a}x+a2x'+???+fljoi：-''2012,則與+%+?.?+；；濫的值

當(dāng)直線/n與圓相切時(shí),=1,化簡(jiǎn)得一當(dāng)直線/n與圓相切時(shí),=1,化簡(jiǎn)得一l|=5.解得。=6或a=-4（舍去）所以a26故答案為：［6,+8）【點(diǎn)睹】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)轉(zhuǎn)：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考置數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)健是畫出圖形，由圖可知當(dāng)（在圓左上方時(shí)，戶點(diǎn)與直線44的距離之和均為44的距離，即此時(shí)與、，y的值無(wú)關(guān)，然后計(jì)算出直線（與圓相切時(shí)”的值，從而可得答案，屬于中檔題16.若e'-e'=e，x,.yeR,則2a-「的最小值為 .【答案】1+2M2【解析】【分析】把e?”'表示成e'的函數(shù)，再借助均值不等式求解作答.［詳解】依題意，ex=e'+e,e'>0，則ex'y=—=（C'+C）--=ev+—+2ee，e> e>22^e',—+2e-4e,當(dāng)且僅當(dāng)e'=J，即）=1時(shí)取“=”，此時(shí)，（2x-jv）mm=l+2ln2,el所以，當(dāng)x=l+ln2,y=l時(shí)，2'-｝取最小值1+2］n2.故答案為：1+2U12四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟..在平面直角坐標(biāo)系X。),中，已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與a軸的非負(fù)半軸重合?，它的終邊過(guò)點(diǎn)。35⑴重合?，它的終邊過(guò)點(diǎn)。35⑴求sin的值;(2)若句/?滿足$而(&+/?)=得，求cos/?的值.【答案】(1)-4+3群:(2)cos/?=-史或cos/?=蛆.10 65 65【解析】【分析】(I)由角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，結(jié)合三角函數(shù)的定義可求sina,cosa,然后結(jié)合兩角和的正弦公式可求：(2)由sin(a+/?)=V，結(jié)合同由平方關(guān)系可求cos(a+⑶，然后根據(jù)Z?=(a+/?)-a,及兩角差的余弦公式可求.【詳解】(I)?.?知a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)= +(-g)=1?由三角_ _ 4 3函數(shù)的定義得sina=——,cosa=5 5\ 3)2 2 2V5)2V5J10(2)Vsin(?+/?)=A:.cos(a+/7)(2)Vsin(?+/?)=A:.cos(a+/7)=土Jl-sin(a+=)2:.cosp=cos[(a+/?)-a]=cos(a+夕)cosa+sin(cr+/?)sina,12當(dāng)cos(a+/?)=-—時(shí),綜上所述:cos/?=-1|或cos/?啥.【點(diǎn)暗】思路點(diǎn)瞄：先利用三角函數(shù)的定義求出sina,costt,再利用兩角和與差的正余弦公式計(jì)算及湊角思想的應(yīng)用..設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛?！埃那鞍隧?xiàng)和為S"，己知2S“=“：+a?.

(1)求｛““｝的通項(xiàng)公式：(2)記2=a；cos當(dāng)生，7；是數(shù)列3J的前〃項(xiàng)和，求7；“.【答案】(I)a?9，「+4〃【解析】【分析】(I)由〃=1可求得4的值，令〃N2,由2S“=a：+a”可得出2sl=<.+??,1.兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列｛““｝為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得數(shù)列｛”“｝的逋項(xiàng)公式：(2)計(jì)算出q—%八+般,然后利用等差數(shù)列的求和公式可求得7bt.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)〃=1時(shí)，2S|=a；+q,所以“：=%,又4>0,故4=1；當(dāng)“N2時(shí)，2s“T=a：1+ ,而2S“=”：+”“，兩式相減得2??=〃： +?,,-??-1，整理得(%+a“T -1)=0,因?yàn)閠>0,所以,故｛《,｝是以1為公差的等差數(shù)列，從而q=?I+(/?-l)xl=/J.【小問(wèn)2詳解】“， ? 21m解：h=trcos ,3設(shè)ck=b*-2+b*T+%=(3A-21cos(24乃一^^+(38-1)2(：0§(2女乃一耳)+(3A)?cos2k/r=_不(3&_2)~-5(34-1)_+9k?=9k ，其中AwN*,19.如圖，在四楂錐P—八8。。中，底而A8UO為正方形，尸￡)，底面A8。。，M為線段PU的中點(diǎn)，PD=AD，N為線段8。上的動(dòng)點(diǎn).

p(1)證明：平面例NO_L平而PBC(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段8c的何位置時(shí)，平面例NO與平面力8所成銳二面角的大小為30。？指出點(diǎn)N的位置，并說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)點(diǎn)N在線段8c的中點(diǎn)【解析】【分析】(1)由底面A8C。，可得叨_L8C,而CO_L/3C,可證得AC_L平面PCD,從而得ACJLOM,而DM工PC,所以￡)仞_1平面28。，再由面而垂直的判定定理可得結(jié)論，(2)設(shè)叨=AO=1，以。為原點(diǎn)，以DA,。。、。。所在的直線分別為k)'，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)镻DJJ氐面ABCD,8Cu底面A8s,所以PO_LBC,因?yàn)?J.BC,CDC\PD=D.所以8cl平面PC。，因?yàn)镈Mu平面PC。，所以8C_L。"，因?yàn)樗倪呅蜛BCO為正方形，PD=AD.所以PO=CO,因?yàn)樵凇魇珼C中，PD=CD,例為線段PC的中點(diǎn)，所以DM1.PC.因?yàn)镻Cc/，C=C,所以。例1.平面P8C,

因?yàn)镈Wu平面DMN,所以平面MND..L平面PBC.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)點(diǎn)N在線段8c的中點(diǎn)時(shí)，平面MNO與平面以8所成銳二面角的大小為30°,理由如卜.:因?yàn)镻D_L底面ABC。，OA,OCu平面ABCO,所以PO-LDAP?！笵C,因?yàn)镈4」DC.所以Dt,OC，P兩兩垂直，所以以。為原點(diǎn)，以所在的直線分別為x，3'，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)叨=AD=1,則。(0,0,0),4(1,0,0),8(1,1,0),P(0,0,1),C(0,I,0),M(0,；,設(shè)2(九1,0)(0</1<1),則4P=(-1,0,1),AB=(0,1.0),DN=(A,1,0),加設(shè)萬(wàn)=(x,y,z)為平面QA8的法向量，則u則〃7=(1,0,1)，而?u則〃7=(1,0,1)，而?A4=y=0設(shè)百=(小4，)為平面MND的法向量,則則〃=(1,-2,2),因?yàn)槠矫鍹N。因?yàn)槠矫鍹N。與平面所成銳二面角的大小為30°,化簡(jiǎn)得"42+「。，得目,所以當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，平面AWO與平面PAB所成銳二面角的大小為30°M20.最近考試頻繁，為了減輕同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力，班上決定進(jìn)行一次減壓游戲.班主任把除顏色不同外其余均相同的8個(gè)小球放入一個(gè)紙箱子，其中白色球與黃色球各3個(gè)，紅色球與綠色球各1個(gè).現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行摸球得分比賽，摸到白球每個(gè)記1分，黃球每個(gè)記2分，紅球每個(gè)記3分，綠球每個(gè)記4分，規(guī)定攬球人得分不低于8分獲勝.比賽規(guī)則如E：①只能一個(gè)人摸球：②摸出的球不放回：③摸球的人先從袋中摸出1球：若摸出的是綠色球，則再?gòu)拇永锩?個(gè)球：若摸出的不是綠色球，則再?gòu)拇永锩?個(gè)球，他的得分為兩次摸出的球的記分之和：④剩卜的球歸對(duì)方，得分為剩下的球的記分之和.（I）若甲第一次摸出了綠色球，求甲獲勝的概率：（2）如果乙先摸出/紅色球，求乙得分J的分布列和數(shù)學(xué)期里￡傳）；（3）第一輪比賽結(jié)束，有同學(xué)提出比賽不公平，提出你的看法，并說(shuō)明理由.， 60【答案】（I）-；（2）分布列見(jiàn)解析，一：（3）比賽不公平，理由見(jiàn)解析.7 7【解析】【分析】（I）中再摸2球至少得4分，分兩種情況：一個(gè)紅球，一個(gè)其他球，或者兩個(gè)黃球，求出方法數(shù)，由此根據(jù)古典概型公式計(jì)算出概率；（2）乙第一次摸出紅球，則可以再?gòu)拇永锩?個(gè)小球，可計(jì)算出3個(gè)球的得分情況也即乙得分情況，分別計(jì)算概率得概率分布列，從而計(jì)算出期望.（3）以第一次摸出的球的顏色分類，分別計(jì)算獲勝的概率，再il?算概率的期望，與;比較大小即可.【詳解】（I）記“甲第?次摸出「綠色球，求甲獲勝”為本件A則網(wǎng)小華L2&'，C-217（2）如果乙第一次摸出紅球，則可以再?gòu)拇永锩?個(gè)小球，則得分情況有：6分，7

分，8分，9分，10分，11分35P(i)=繇-93535P(i)=繇-935—%管+葛435尸仔=1。）35C,35所以。的分布列為:67891011P1359359354359353351004Q36()所以。的數(shù)學(xué)期望E^=6x-!-+7x3+8xt+9x：+l()x二+11x3=H■ 35 35 35 35 35 3573（3）由第（I）問(wèn)知，若第一次摸出來(lái)綠球，則摸球人獲勝的概率為四=二7由第（2）同知，若第一次摸出了紅球，則摸球人獲勝的概率為〃2=9+4+9+3535若第一次摸出了黃球，則摸球人獲勝由第（2）同知，若第一次摸出了紅球，則摸球人獲勝的概率為〃2=9+4+9+3535若第一次摸出了黃球，則摸球人獲勝概率為p.；=《+《+/_22C：35若第一次摸出了白球，則摸球人獲勝的概率為235]3 I5 3 22 3 17 157 I則摸球人獲勝的概率為尸=Lx?+Lx±+2x二+2x：=+>!87 87 8 35 8 35 280 2所以比賽不公平【點(diǎn)臍】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)，判斷是否公平，即判斷任何一方獲勝的概率是不是與，但是由于第一次摸出什么球?qū)竺婷蛴杏绊?，所以需要?duì)第一摸球進(jìn)行分類.

小?tar1￥sin.t(1)證明：1 < <1：6x(2)若or-L<sin.r，求〃的取值范圍.6【答案】(1)證明見(jiàn)解析：(2)(e5.【解析】【分析】(1)設(shè)“r)=sinx—?<]),式x)=sinx+—_x(0<x<1),根據(jù)函數(shù)的6單調(diào)性證明結(jié)論成立：(2)通過(guò)討論“的范圍，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定”的取值范困即可.【詳解】(1)由題意可設(shè)/(x)=sinx-x(O<x<l),有/(x)=cos.v-l<0,所以在(■,1)單減，所以/。)</(0)=0,即土<1,XTOC\o"1-5"\h\z、I X， . x2設(shè)8(》)=411》+-^--3(0〈3<1),g(x)=cosx+ 1.6 2屋(x)=x-sinx>0,則有g(shù)(x)>0,g。)單調(diào)遞增，得g(x)>g(O)=O,所以sin.V,a21Hr >1 得證：x6(2)由(1)可知。<1時(shí)，cix <x <sinK成立，6 6.3 .2則當(dāng)時(shí)，設(shè)/?(.r)=sinx+看一ar，則力(x)=cosx+5-a,h(x)=a-sin.v>0,h(x)單調(diào)遞增，則人(x)<//(l)=cosl4-——a.2①若aNcosI+q,Z?(a)<0, 單調(diào)遞減.則有/?(x)</7(0)=0,此時(shí)不符合題j￡r.總：②若l<a<cosl+：,A(0)=1-?<0,/?(l)=cosl+1-fl>0,所以"(x)有唯一零點(diǎn)，可記為?％,則0<工<七，A(.v)<0,此時(shí)/?")單調(diào)遞減，有力(x)<0,則不符合題意;

綜上可知?<1,即a的取值范圍為(-00,1］.【點(diǎn)晴】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法；一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)胞.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.22.已知雙Illi線C:V-)尸=1和點(diǎn)4(0.1).(1)斜率為上且過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于￡下兩點(diǎn)，求/E8/最小時(shí)A的值.(2)過(guò)點(diǎn)8的動(dòng)直線與雙曲線。交于只。兩點(diǎn)，若曲線C上存在定點(diǎn)A.使+%為定值2,求點(diǎn)A的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)A的值.【答案】(1)()(2)4(&,1),'=&或者'(一拒,1),2=一企【解析】［分析】(1)由對(duì)稱性可設(shè)E(x,y),F(-.v.-y)，由數(shù)量積得BEBF=-x2-y2+］，再由E點(diǎn)在雙曲線C上,進(jìn)向可得礪5r=2(l-.d1,0,進(jìn)而可得尸最小時(shí)日的值.②設(shè)A(〃1,〃)，過(guò)點(diǎn)"的動(dòng)直線為)，=女+1,聯(lián)立直線PQ與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得A+.q，.q.q,△>(),用坐標(biāo)表示&”+3。=%,化簡(jiǎn)得(Am2-2nni')r+2(Am-n-l)t+2A-2>n+2im-2w:=0.由于上式對(duì)"無(wú)窮多個(gè)不同的實(shí)數(shù)力〃2-2mn=0①,都成立，從而列《力〃一〃一1=0 ,解得〃，"1,進(jìn)而可得答案.122-2m+2mn-Am2=()(2)【小時(shí)1詳解】由對(duì)■稱性可設(shè)E(x,y),產(chǎn)(-X,-)，),則BEBF=(x,y-1)?(--v,-J-1)=-a2-y2+1.因?yàn)槠唿c(diǎn)在雙曲線。上，所以Y-V=l,即)，2=r