第11頁/共11頁2023年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬測試卷（三）（時(shí)間90分鐘，總分150分）一、選擇題（本大題共15小題，每小題6分，共90分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則．A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：利用交集的運(yùn)算直接求解即可詳解：∵集合，，∴，故選．點(diǎn)睛：本題考查交集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可．【詳解】故選：B3.在四邊形ABCD中，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量加法的三角形法則可判斷AD，由向量減法的運(yùn)算法則可判斷B，由向量加法的平行四邊形法則可判斷C.【詳解】根據(jù)三角形法則可得，所以A錯(cuò)誤；根據(jù)向量減法的運(yùn)算法則可得，所以B錯(cuò)誤；四邊形ABCD不一定是平行四邊形，所以不一定有，C錯(cuò)誤；根據(jù)三角形法則可得正確，所以D正確.故選：D.4.函數(shù)是（）A.最小正周期為π的奇函數(shù) B.最小正周期為π的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】因?yàn)楹瘮?shù)，由奇偶函數(shù)的定義結(jié)合求周期的公式即可得出答案.【詳解】解析：函數(shù)，故該函數(shù)為偶函數(shù)，且它的最小正周期為.故選：D5.設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.±2或±4 B.±2或－4 C.2或4 D.2或－4【答案】D【解析】【分析】討論與兩種情況，分別代入對(duì)應(yīng)解析式進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，得（舍去－2）；當(dāng)時(shí)，，得.綜上，或.故選：D.6.把紅、藍(lán)、白3張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙三個(gè)人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是A.對(duì)立事件 B.不可能事件 C.互斥但不對(duì)立事件 D.以上都不對(duì)【答案】C【解析】【詳解】黑、紅、白3張紙牌分給甲、乙、丙三人，每人一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不可能同時(shí)發(fā)生，但事件“甲分得紅牌”不發(fā)生時(shí)，事件“乙分得紅牌”有可能發(fā)生，有可能不發(fā)生，∴事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是互斥但不對(duì)立事件．故選C．7.設(shè)都是單位向量,且,則向量,的夾角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等式將移到另一端,兩邊同時(shí)平方,由都是單位向量可求出,的夾角.【詳解】解析:由,可知,故,∴.設(shè),的夾角為,即,又,∴.故選::A8.在空間四邊形中，在上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果交于一點(diǎn)P，則（）A.P一定在直線上B.P一定在直線上C.P在直線或上D.P既不在直線上，也不在直線上【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)知面，結(jié)合已知條件有面、面，進(jìn)而可判斷P所在的位置.【詳解】由題意知：面，又交于一點(diǎn)P，∴面，同理，面，又面面，由公理3知：點(diǎn)P一定在直線上.故選：B.9.為了了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如下圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組頻數(shù)和為62，設(shè)視力在4.6到4.8之間的學(xué)生數(shù)為a，最大頻率為0.32，則a的值為()A.64 B.54 C.48 D.27【答案】B【解析】【詳解】試題分析：在之間高為0.5，所以人數(shù)為人，在之間高為1.1，所以人數(shù)為人，在之間頻率為0.32，所以人數(shù)為人，又因?yàn)楹?組頻數(shù)和為62，所以在之間人數(shù)為22人，所以人.考點(diǎn)：頻率分布直方圖.10.已知，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】本試題主要是考查了不等式的運(yùn)用．利用均值不等式的思想求解最值問題．也可以運(yùn)用函數(shù)的思想得到最值．因?yàn)椋?(x＞0，y＞0)，則x＋y=（x＋y）（＋）=10+＋，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，解得＋滿足題意，故選D.解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于表達(dá)式的變形，構(gòu)造定值，結(jié)合均值不等式得到最值．11.某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，則該小組數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為A.85，85，85 B.87，85，86C.87，85，85 D.87，85，90【答案】C【解析】【詳解】由題意可知，學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，則該小組數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)，成績排列為75,80,85,85,85,85，90,90,95,100，可得眾數(shù)為85，中位數(shù)，因此選C12.將個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球熔成一個(gè)大球，則這個(gè)大球的半徑是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)大球體積等于個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球的體積和，結(jié)合球的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球的總體積為，設(shè)大球半徑為，則，解得：.故選：C.13.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且.若,則的形狀是A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】在中,由余弦定理的推論:,結(jié)合,可得,結(jié)合和正弦定理,即可求得答案.【詳解】在中,由余弦定理的推論:①將代入①得故:,又由根據(jù)正弦定理可得,即,為一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形,即為等邊三角形.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)正弦定理和余弦定理來判斷三角形形狀,解題關(guān)鍵是掌握正弦定理和余弦定理,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14.甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分．若甲、乙兩人射擊的命中率分別為和，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為．假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則值為A B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：由題意知甲、乙兩人射擊互不影響，則本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，根據(jù)題意可設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，由相互獨(dú)立事件的概率公式可得，可得關(guān)于p的方程，解方程即可得答案．詳解：設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B，則“甲射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件，“乙射擊一次，未擊中目標(biāo)”為事件，則P（A）=，P（）=1﹣=，P（B）=P，P（）=1﹣P，依題意得：×（1﹣p）+×p=，解可得，p=，故選B．點(diǎn)睛：求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．15.如圖所示，在直角梯形中，，，，，點(diǎn)E由B沿折線向點(diǎn)D移動(dòng)，，垂足為M，，垂足為N，設(shè)，矩形的面積為y，那么y與x的函數(shù)關(guān)系圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意分別寫出點(diǎn)E，在BC，CD上的矩形面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.后結(jié)合解析式分析選項(xiàng)得出答案.【詳解】解析：∵，，∴，.當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形即為矩形，此時(shí)，.所以y與x的函數(shù)關(guān)系為，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.在時(shí)取最大值，且圖像在部分為二次函數(shù)圖像一部分.經(jīng)比較選項(xiàng)，B，C，D錯(cuò)誤.A正確.故選：A二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）16.函數(shù)y＝loga(2x－3)＋8的圖象恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f（3）＝________.【答案】27【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象所過定點(diǎn)求得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出冪函數(shù)解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得冪函數(shù)解析式，然后可得函數(shù)值．【詳解】由題意，，則，定點(diǎn)A為(2,8)，設(shè)f(x)＝xα，則2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f（3）＝33＝27.故答案為：2717.設(shè)，若，則的值為________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可得，由兩角和差余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】，，，.故答案為：.18.底面邊長為1，棱長為的正四棱柱，各頂點(diǎn)均為在同一球面上，則該球的體積為__________．【答案】【解析】【詳解】∵正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為，∴正四棱柱體對(duì)角線的長為，又∵正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上，∴正四棱柱體對(duì)角線恰好是球的一條直徑，得球半徑，根據(jù)球的體積公式，得此球的體積為，故答案為.點(diǎn)睛：本題給出球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長和側(cè)棱長，求該球的體積，考查了正四棱柱的性質(zhì)、長方體對(duì)角線公式和球的體積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題；由長方體的對(duì)角線公式，算出正四棱柱體對(duì)角線的長，從而得到球直徑長，得球半徑，最后根據(jù)球的體積公式，可算出此球的體積.19.甲、乙、丙三人將參加某項(xiàng)測試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是0.8、0.6、0.5，則三人都達(dá)標(biāo)的概率是___________，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是_________．【答案】①.0.24②.0.76【解析】【詳解】三人均達(dá)標(biāo)為0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人達(dá)標(biāo)為1-0.24=0.76三、解答題（本大題共3小題，共36分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20.已知為兩個(gè)非零向量，且.（1）求與的夾角；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直的數(shù)量積表示，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法及向量夾角的公式即得；（2）根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則結(jié)合條件即得.【小問1詳解】∵，∴,即，∴，又，∴，即與的夾角；【小問2詳解】∵,.21.如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)線段PC中點(diǎn)，G為線段EC中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【詳解】分析：（1）先證明，再證明FG//平面PBD.（2）先證明平面，再證明BD⊥FG．詳解：證明：（1）連結(jié)PE，因?yàn)镚.、F為EC和PC的中點(diǎn)，，又平面，平面，所以平面（II）因?yàn)榱庑蜛BCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，且，平面，平面，∴BD⊥FG點(diǎn)睛：（1）本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系，一般有幾何法和向量法，本題利用幾何法比較方便.22.已知二次函數(shù)的最小值為1,且.(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】