《數(shù)學(xué)分析(1)》試卷(A)卷考試時(shí)間：120分鐘考試方式：閉卷學(xué)院班級(jí)姓名序號(hào)題號(hào)一二三總分12345123456712345得分一、敘述題(共20分每題4分)1．?dāng)⑹龊瘮?shù)在點(diǎn)局部有界及在區(qū)間上無(wú)界的定義。2．用“”語(yǔ)言敘述和的定義。3．寫(xiě)出極限存在的柯西準(zhǔn)則。4.敘述函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)的定義。5．寫(xiě)出區(qū)間上凸函數(shù)的定義及一個(gè)充要條件。二、計(jì)算題(共40分)1(5分)設(shè)，求。2(5分)求不定積分。3(6分)設(shè)，求使在點(diǎn)可導(dǎo)。4(6分)求函數(shù)的極值點(diǎn)與極值。5(6分)求極限6(6分)求極限7(6分)求不定積分三、證明題(共40分每題8分)1.設(shè)為定義在上的有界函數(shù)，證明：2.設(shè)，證明：3.設(shè)（為有限數(shù)），在點(diǎn)連續(xù)，證明：4.證明：當(dāng)時(shí)，成立不等式5.證明達(dá)布(Darboux)定理。即若函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則對(duì)，，使得。參考答案二、計(jì)算題1設(shè)，求?！窘狻?求不定積分【解】3設(shè)，求使在點(diǎn)可導(dǎo)?！窘狻渴紫纫邳c(diǎn)連續(xù)知,（*）下面可用導(dǎo)數(shù)極限定理或定義來(lái)做。用導(dǎo)數(shù)極限定理來(lái)做：，，從而，要可導(dǎo)即要求得再由（*）式得用定義來(lái)做：（也可用洛必達(dá)法則求導(dǎo)得）其它同上4求函數(shù)的極值點(diǎn)與極值【解】,,,在取得極小值，極小值為5求極限【解】（洛必達(dá)法則，見(jiàn)P131）6求極限【解】見(jiàn)P137，Taylor展開(kāi)答案：7求不定積分【解】,答案：三、證明題1.設(shè)為定義在上的有界函數(shù)，證明：【證】(1)先證右邊是的上界，故要證的成立。(2)再證，移項(xiàng)便得證。2.設(shè)，證明：【證】由，，，，有由于,故,,，取，當(dāng)時(shí)，3.設(shè)（為有限數(shù)），在點(diǎn)連續(xù)，證明：【證】因在點(diǎn)連續(xù)，故，，當(dāng)時(shí)，有又因，對(duì)上面，，當(dāng)時(shí)，有，從而綜上，，，當(dāng)時(shí)，有，這就證明了4.證明：當(dāng)時(shí)，成立不等式【證】見(jiàn)P12