PAGEPAGE22輸油管的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型摘要：本文是對鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站的輸油管設(shè)計(jì)問題。根據(jù)兩煉油廠間的距離和各自到鐵路線距離的不同情形，設(shè)計(jì)出在不同條件下的管線建設(shè)方案，使管線建設(shè)費(fèi)用達(dá)到最少。針對問題一，在費(fèi)用相同的情況下，建立最短距離函數(shù)，并對其求極值，分析之間的關(guān)系得到三種管線建設(shè)方案和對應(yīng)所需建設(shè)費(fèi)用（見表一）。在費(fèi)用不同的情況下，建立管線建設(shè)費(fèi)用函數(shù)，用類似方法，分析之間的關(guān)系得到三種管線設(shè)計(jì)路線和所需費(fèi)用（見表二）。針對問題二，用層次分析法，計(jì)算出采取三家工程咨詢公司估算值的權(quán)重。由附加費(fèi)用得到萬元/千米。在問題一得基礎(chǔ)上建立管線總費(fèi)用函數(shù)，通過求解其最小值得到管線設(shè)計(jì)方案為（見圖七），所需的費(fèi)用萬元。針對問題三，在問題二的基礎(chǔ)上建立管線總費(fèi)用函數(shù)，通過求解其最小值得到管線最佳布置方案（見圖八）和所需的最小費(fèi)用為萬元。關(guān)鍵詞：輸油管設(shè)計(jì)費(fèi)用函數(shù)求導(dǎo)最小值層次分析一問題重述某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。問題1：針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。問題2：設(shè)計(jì)院目前需對一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)。兩煉油廠的具體位置由附圖一所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a=5，b=8，c=15，l=20。若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)）進(jìn)行了估算。估算結(jié)果如附表一所示。為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。問題3：在該實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費(fèi)用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費(fèi)用同上。請給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。二問題分析某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩煉油廠和在鐵路線上增建一個車站，用來運(yùn)送成品油。所以，我們需要為這個計(jì)劃設(shè)計(jì)一個既可以滿足要求，也會使得所管線建設(shè)費(fèi)用最省的方案。對于問題一，要在兩煉油廠到鐵路線的距離和兩廠之間距離的各種不同情形下設(shè)計(jì)方案，使得管線建設(shè)費(fèi)用最少。首先分析出各種情形有哪些，要從哪一個方面入手才會使所分析的結(jié)果更合理。認(rèn)真分析后不難得出，根據(jù)兩煉油廠之間的水平距離在取不同范圍的情況，建立相應(yīng)的模型。在考慮共用管和非共用管費(fèi)用是否相同的情況下，分別建立相應(yīng)模型。對于費(fèi)用相同的情況，只需要求一個點(diǎn)，使這個點(diǎn)分別到兩煉油廠和車站距離總和最小，就可以求出建設(shè)管線的最少費(fèi)用。而對于費(fèi)用不想同時，可以構(gòu)造一個費(fèi)用函數(shù)，使建設(shè)管線費(fèi)用能達(dá)到最小。在求解出各種情形下所需管線建設(shè)費(fèi)用后，可以得到相應(yīng)情況下的管線建設(shè)方案。對于問題二，要想求出管線建設(shè)方案的費(fèi)用，先把附加費(fèi)用給確定下來。但從附表一中，我們只能知道三個工程咨詢公司所估算的附加費(fèi)用，并不能確定設(shè)計(jì)院所需要的費(fèi)用。所以，要通過一種方法來解決附加費(fèi)用的問題。由三個工程咨詢公司的級別，可以通過查找資料所要達(dá)到相應(yīng)級別的條件。把選擇公司作為目標(biāo)層，級別各個條件作為準(zhǔn)則層，以及把三個公司作為方案層，通過用層次分析法求出設(shè)計(jì)院采取三個公司的對應(yīng)權(quán)重。再用數(shù)學(xué)方法，確定附加費(fèi)用。在城區(qū)和郊區(qū)臨界線上取一點(diǎn)，通過建立郊區(qū)和城區(qū)的費(fèi)用函數(shù)并求解出其值，從而求出總管線建設(shè)費(fèi)用和管線布置方案。對于問題三，由已知輸送、廠成品油和共用管線的鋪設(shè)費(fèi)用可知，三個管線鋪設(shè)費(fèi)用都互不相同。這種情況比第二個需要解決的問題更為復(fù)雜。先把城區(qū)和郊區(qū)臨界線上的一點(diǎn)設(shè)為，建立郊區(qū)關(guān)于的費(fèi)用函數(shù)，加上城區(qū)的費(fèi)用得到費(fèi)用總函數(shù)。通過求解總費(fèi)用的最小值，可以確定。最后，得到修建管線所需總費(fèi)用和相應(yīng)的建設(shè)方案。三符號說明兩煉油廠分別到車站的距離A廠到城區(qū)與郊區(qū)分界線的距離兩煉油廠的水平距離非共用管所需費(fèi)用（萬元/千米）共用管所需費(fèi)用（萬元/千米）輸送和廠成品油的費(fèi)用（萬元/千米）建設(shè)管線的最短距離共用管起點(diǎn)車站地點(diǎn)附加費(fèi)用（萬元/千米）三個公司對附加費(fèi)用的估算值（）四模型假設(shè)1、鐵路線為直線，所建管線也是直線。2、除管線建設(shè)費(fèi)用以外，不考慮其它影響建設(shè)費(fèi)用因素。3、所給的信息真實(shí)可靠。4、、煉油廠、鐵路、車站、鋪設(shè)管線等全部在同一水平面。5、管線鋪設(shè)不會有阻礙（如高山和河流）6、非共有管線、公有共用管線均能承受兩個煉油廠的油量五模型的建立與求解5.1模型一的建立與求解雖然油田設(shè)計(jì)院希望能在既可以達(dá)到所需的要求又能在經(jīng)濟(jì)的前提下，來建設(shè)管線使費(fèi)用最少。但設(shè)計(jì)院必須考慮到兩油田和車站的位置對管線長度的影響情況,通過構(gòu)造兩油田和車站的位置圖形，并對圖形進(jìn)行分析，求解出兩油田水平距離在取不同范圍的情況下對應(yīng)所需的管線費(fèi)用。共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同情形對兩煉油廠和車站的位置進(jìn)行構(gòu)造幾何圖形關(guān)系，以鐵路所在直線為軸，為過點(diǎn)、分別作直線L的垂線，垂足分別為以、，以為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖一所示：AAByxpQabCOPl圖一建立直角坐標(biāo)系設(shè)，則，，當(dāng)最小時，點(diǎn)一定在四邊形內(nèi)部（包括邊界）。由于。所以，取得最小值時，點(diǎn)不可能在點(diǎn)的上方，故。而我們只考慮了的情況。因?yàn)楫?dāng)時，只需把當(dāng)情況下的值進(jìn)行互換，就是時的值。固定的大小，使點(diǎn)在直線上移動。設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為（如圖二），則的坐標(biāo)為，記。A(0,a)A(0,a)A’y=txLCQPo圖二關(guān)于的對稱點(diǎn)由平面幾何知識可知：并把上述所得到的關(guān)系記為。然后對求導(dǎo)，得到：對于最小值的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的極值問題，令：因?yàn)椋辉诘膮^(qū)間上，所以的值為：而由于，所以我們對的取值范圍做了三種情況。在這三種情況下分別求出車站所建立的位置，使最小。（1）當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)減。此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時，最小。結(jié)果如圖三所示：B()B()Q,A(0,a)y=tyxabCO,p圖三點(diǎn)在情況一時設(shè)計(jì)圖由上圖得到，車站建在原點(diǎn)處，而管線建設(shè)路線為。其中，為非共用管線，而為共用管。而所需要的管線費(fèi)用：（2）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)減，區(qū)間上單調(diào)增。得到：由可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為；直線為：聯(lián)立方程組：，解得：B()所以點(diǎn)坐標(biāo)為，此時最小。如圖四：B()圖四在情況二時設(shè)計(jì)圖由上圖可以得到，車站建在處。其管道路線為，其中，為非共用管線，而為共用管線。所需要的管線費(fèi)用：（3）當(dāng)時，即在區(qū)間[]上單調(diào)增。此時，的坐標(biāo)為，直線的方程為：令得到點(diǎn)坐標(biāo)為時，此時最小，如圖五：aaabA(0,a)B(,b)L圖五點(diǎn)在軸上設(shè)計(jì)圖由上圖得到，管道路線為。此時，所需要的管線費(fèi)用：綜上所述，得到一個值取不同范圍情況下的最終管線設(shè)計(jì)路線，如表一所示：取值范圍點(diǎn)坐標(biāo)路線，表一模型一費(fèi)用相同時各種方案5.1.2共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用不同情形在考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用不同的情況下，綜合考慮共用管和非共用管的管線長度和對應(yīng)的費(fèi)用。由費(fèi)用函數(shù)：（）對求導(dǎo)，得到：由，得到：解得：或（）由于，舍去。又由得到：對的取值范圍進(jìn)行分析，得到在不同范圍內(nèi)的不同管線設(shè)計(jì)方案。如下：當(dāng)時，在區(qū)間上單減。所以：此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，即當(dāng)點(diǎn)與重合時，最小。當(dāng)時，在區(qū)間上單減，在區(qū)間上單增。由可知的坐標(biāo)為，得到的方程為：；直線為：聯(lián)立方程組，得到：，解得：所以點(diǎn)坐標(biāo)時，最小。當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)增，所以：此時的坐標(biāo)為，直線的方程為：，令得：，所以坐標(biāo)為時，最小。綜上所述，當(dāng)共用管和非共用管費(fèi)用不同時，針對各個取值范圍，得到了對應(yīng)取值范圍的管線設(shè)計(jì)路線最終方案，如表二：取值范圍點(diǎn)坐標(biāo)路線，表二模型一費(fèi)用不同時的各種方案模型二的建立與求解附圖一中給出了兩廠的地理位置，由于廠位于郊區(qū)而廠位于城區(qū)，而鋪設(shè)在城區(qū)的管線需要增加支付拆遷等附加費(fèi)用。所以，并不是只考慮廠管線更多以減少附加費(fèi)用，而是要綜合考慮所建的管線在廠的長度，使最終建設(shè)管線的費(fèi)用最少。5.2.1采用三公司估算值的權(quán)重計(jì)算油田設(shè)計(jì)院所要建造的兩個煉油廠，一個在郊區(qū)，另一個在城區(qū)。由于在城區(qū)建造煉油廠需要支付拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，所以油田設(shè)計(jì)院需要設(shè)計(jì)一個合理方案，使得管線建設(shè)費(fèi)用最少。為此，設(shè)計(jì)院聘用了三家工程咨詢師，用以估算所需要的附加費(fèi)用。但是，設(shè)計(jì)院所聘用公司的估算值不一樣。這樣以來我們不能根據(jù)他們的估算值來確定最終的附加費(fèi)用。由上述分析，我們從公司所在級別所要滿足的條件著手。通過查找資料，對咨詢公司要達(dá)到甲級和乙級的條件進(jìn)行分析，得到公司申請級別之前要滿足一些基本條件、技術(shù)力量、技術(shù)水平和技術(shù)裝備、管理水平。用層次分析法來確定各公司估算值的權(quán)重。把選擇公司作為目標(biāo)層，上述各個條件做為準(zhǔn)則層，而把三個公司作為方案層，建立一個層次結(jié)構(gòu)模型，所得結(jié)果如下：目標(biāo)層目標(biāo)層選擇公司準(zhǔn)則層方案層基本條件技術(shù)力量技術(shù)水平和技術(shù)裝備管理水平公司一公司二公司三從上面的層次結(jié)構(gòu)模型中，可以分別計(jì)算出設(shè)計(jì)院采取這三個公司的權(quán)重大小。在建立了層次結(jié)構(gòu)模型后，將目標(biāo)層設(shè)為，準(zhǔn)則層設(shè)為，方案層設(shè)為，進(jìn)行構(gòu)造判斷矩陣。和的判斷矩陣，和的判斷矩陣：，和的判斷矩陣：和的判斷矩陣：和的判斷矩陣：得到各層之間的判斷矩陣后，再利用Matlab對各個層次進(jìn)行單排序及其一致性檢驗(yàn)。得到的結(jié)果如表三所示：判斷矩陣特征向量4.04170.01390.90.02393.0002.22e-0160.583.83e-016300.580300.580300.580表三各層次單排序及其一致性檢驗(yàn)結(jié)果因?yàn)樯鲜鰪纳系较碌?0.0239<0.1，=3.83e-016<0.1，=0<0.1，即通過一致性檢驗(yàn)。得到各層單排序的結(jié)果后，再求出層次和各個排序的權(quán)值及總排序權(quán)值。結(jié)果如表四：層次層次層次總排序權(quán)值0.54850.13750.1570.1570.60000.50000.23080.23080.47040.20000.25000.38460.38460.26480.20000.25000.38460.38460.2648表四層次總排序權(quán)值由上表格得到，=0.4704，=0.2648，=0.2648，即設(shè)計(jì)院采取公司一到公司三的估算值權(quán)重分別為：=0.4704，=0.2684，=0.2684。得到層次總排序權(quán)值后，對其結(jié)果進(jìn)行一致性檢驗(yàn)分析，得到：，因?yàn)?即層次總排序結(jié)果通過一致性檢驗(yàn)。得到其判斷矩陣的元素取值可以作為最終決策的依據(jù)。確定附加費(fèi)用對于在城區(qū)建設(shè)的管線費(fèi)用，三家咨詢公司進(jìn)行了各自的估算。在得到設(shè)計(jì)院采取三家公司的權(quán)值后，我們再求出最終所需要的附加費(fèi)用。附加費(fèi)用等于采取各個公司估算值的權(quán)重與對應(yīng)的估算值乘積之和，即：即管線在城區(qū)的那一部分，附加費(fèi)用為21.5萬元/千米。在確定附加費(fèi)用之后，再設(shè)計(jì)出一個能夠使城區(qū)和郊區(qū)管線建設(shè)總費(fèi)用最少的方案。5.2.3模型二的建立與求解問題二中，在考慮管線建設(shè)費(fèi)用的同時，鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用也要考慮，為此要設(shè)計(jì)一個方案，使得總的費(fèi)用最低。為解決這個問題，我們把鋪設(shè)的管線分為兩部分，一部分在郊區(qū)，另一部分在城區(qū)。建立直角坐標(biāo)系（如圖六），管線在郊區(qū)和城區(qū)的交點(diǎn)設(shè)為。ⅠⅠ（郊區(qū)）Ⅱ（城區(qū)）圖六模型二建立直角坐標(biāo)系1在郊區(qū)的管線（1）當(dāng)時，得到，令求得一個分界點(diǎn)，值為。對的不同取值范圍進(jìn)行分析，基于問題一中共用管線和非共用管線費(fèi)用相同時，的關(guān)系得到的不同的方案，得到以下兩種情形：情形一：當(dāng)時，得到此時，點(diǎn)坐標(biāo)的坐標(biāo)為；情形二：當(dāng)時，得到此時，點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時，得到，令求得一個分界點(diǎn)，為。所以此時點(diǎn)坐標(biāo)為在城區(qū)的管線分析圖形，可以計(jì)算出的長度：所以管線在城區(qū)的費(fèi)用：綜上可以得到總費(fèi)用函數(shù)為:將這些數(shù)據(jù)代入總費(fèi)用函數(shù)中，并用Lingo求解，得到總費(fèi)用函數(shù)的最小值為282.69萬元，此時。即在區(qū)間內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即。由上述得到的，，確定管線最終設(shè)計(jì)方案為圖七：圖七模型二設(shè)計(jì)方案圖模型三的建立與求解問題二中在考慮管線建設(shè)費(fèi)用同時，鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用也要考慮，使得總的費(fèi)用最低。建立直角坐標(biāo)系（圖六），管線在郊區(qū)和城區(qū)的交點(diǎn)設(shè)為。在郊區(qū)處的管線先固定，則管線在郊區(qū)處的費(fèi)用可表示為：建立直角坐標(biāo)系，假設(shè)，其中，，，代入其中得到：（1）由于，不難通過求極值，將（1）變形為：這里是絕對值小于1的待定常數(shù)，滿足（2）解得：（3）式（3）中，顯然，計(jì)算所以，。同理，。故函數(shù)有最小值等號當(dāng)且僅當(dāng)（4）時成立將（2）代入（4），有，解得：（5）將（3）代入（5）中，得到：（6）此時，應(yīng)該檢查條件，需要滿足：（7）（8）通過求解，得，而的范圍：，所以滿足（7）和（8）條件，則當(dāng)（6）時，有修建管線的最低費(fèi)用，為：（9）在城區(qū)處的管線城區(qū)的管線的長度為：所以管線在城區(qū)的費(fèi)用為：綜上得到總費(fèi)用函數(shù)為:將：代入函數(shù)中，且滿足約束條件,用Lingo求得，。將代入（6）式可得點(diǎn)、和的坐標(biāo)分別為、、，從而確定管線最終設(shè)計(jì)方案如圖八所示：圖八模型三設(shè)計(jì)方案圖六模型評價(jià)（1）模型評價(jià)1：在模型一中，對于兩煉油廠之間水平距離取值范圍的各種情況都予以考慮，求得在三種取值范圍下的管線建設(shè)方案，使模型更為全面；同樣，模型二對車工區(qū)和郊區(qū)臨界線上點(diǎn)的取值范圍，也都加以考慮，所得到的管線建設(shè)費(fèi)用和設(shè)計(jì)方案都會更優(yōu)。2：對于模型二，使用層次分析法來求解附加費(fèi)用。把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用于傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實(shí)際問題，應(yīng)用范圍很廣。但是從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響比較大。3：用表格解決模型的最終管線設(shè)計(jì)方案，更能夠反映出在不同情形下的不同模型和方案，使問題更簡單，具有一定的優(yōu)越性。4：當(dāng)今社會有很多像輸油管布置方案等需要解決的問題，可以通過本模型的結(jié)果，在實(shí)際情況下對模型進(jìn)行數(shù)據(jù)修改，就可以解決問題。模型實(shí)用性較好，具有普遍性，易推廣到其它領(lǐng)域當(dāng)中。5：為了便于計(jì)算，我們對模型一中兩廠到點(diǎn)管線費(fèi)用設(shè)為相同，即都為。但在實(shí)際社會中，這種設(shè)值有一定的局限性。因此，應(yīng)該對其費(fèi)用情況取不同值時，進(jìn)行建模。這樣，會使模型更緊密、更完善。七模型推廣我們建立的模型思想和方法對其它類似的問題也很適用。不緊能用于解決輸油管布置的問題，而且還可以推廣到石油輸?shù)?、輸水管道、輸電線以及電訊網(wǎng)絡(luò)鋪設(shè)等工程領(lǐng)域