第頁§5.3與圓有關(guān)的位置關(guān)系A(chǔ)組2015年全國中考題組一、選擇題1．(2015·浙江衢州，10，3分)如圖，已知等腰△ABC，AB＝BC，以AB為直徑的圓交AC于點D，過點D的⊙O的切線交BC于點E，若CD＝5，CE＝4，則⊙O的半徑是 ()A．3B．4C.eq\f(25,6) D.eq\f(25,8)解析連結(jié)DB，OD易得DE⊥BC，△CDE∽△ABD，利用對應(yīng)線段的比相等，可求得直徑AB，再求得半徑．答案D2．(2015·湖北宜昌，11，3分)如圖，圓形鐵片與直角三角尺、直尺緊靠在一起平放在桌面上．已知鐵片的圓心為O，三角尺的直角頂點C落在直尺的10cm處，鐵片與直尺的唯一公共點A落在直尺的14cm處，鐵片與三角尺的唯一公共點為B，下列說法錯誤的是 ()A．圓形鐵片的半徑是4cm B．四邊形AOBC為正方形C．弧AB的長度為4πcmD．扇形OAB的面積是4πcm2解析由題意得：BC，AC分別是⊙O的切線，B，A為切點，∴OA⊥CA，OB⊥BC.又∵∠C＝90°，OA＝OB，∴四邊形AOBC是正方形，∴OA＝AC＝4，故A，B正確；∴eq\o(AB,\s\up8(︵))的長度為：eq\f(90·4π,180)＝2π，故C錯誤；S扇形OAB＝eq\f(90·π·42,360)＝4π，故D正確．答案C3．(2015·四川瀘州，8，3分)如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，若∠C＝65°，則∠P的度數(shù)為()A．65°B．130°C．50°D．100°解析∵PA，PB是⊙O的切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠C＝130°，則∠P＝360°－(90°＋90°＋130°)＝50°.答案C4．(2015·福建漳州，9，4分)已知⊙P的半徑為2，圓心在函數(shù)y＝－eq\f(8,x)的圖象上運動，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切于點D時，則符合條件的點D的個數(shù)為()A．0 B．1 C．2 D．4解析根據(jù)題意可知，當(dāng)⊙P與y軸相切于點D時，得x＝±2.把x＝±2代入y＝－eq\f(8,x)得y＝±4，∴D(0，4)，(0，－4)；當(dāng)⊙P與x軸相切于點D時，得y＝±2.把y＝±2代入y＝－eq\f(8,x)得x＝±4，∴D(4，0)，(－4，0)，∴符合條件的點D的個數(shù)為4.答案D二、填空題5．(2015·浙江紹興，14，5分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，點P在以C為圓心，5為半徑的圓上，連結(jié)PA，PB.若PB＝4，則PA的長為________．解析連結(jié)CP，延長PB交⊙C于P′，連結(jié)P′A，如圖．∵CP＝5，CB＝3，PB＝4，∴CB2＋PB2＝CP2，∴△CPB為直角三角形，∠CBP＝90°，∴CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.∵∠C＝90°，∴PB∥AC，而PB＝AC＝4，∴四邊形ACBP為矩形，∴PA＝BC＝3，在Rt△APP′中，∵PA＝3.PP′＝8，∴P′A＝eq\r(82＋32)＝eq\r(73)，∴PA的長為3或eq\r(73).答案3或eq\r(73)三、解答題6．★(2015·浙江溫州，21，10分)如圖，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點C，交半圓于點E，DF切半圓于點F.已知∠AEF＝135°.(1)求證：DF∥AB；(2)若OC＝CE，BF＝2eq\r(2)，求DE的長．(1)證明連結(jié)OF，∵DF切半圓O于點F，∴DF⊥OF.∵∠AEF＝135°，四邊形ABFE為圓內(nèi)接四邊形，∴∠B＝45°.∴∠FOA＝90°，∴AB⊥OF，∴DF∥AB.(2)解連結(jié)OE，∵BF＝2eq\r(2)，∠FOB＝90°，∴OB＝OF＝2.∵OC＝CE，CE⊥AB，OE＝OF＝2，∴CE＝eq\r(2).∵DC∥OF，DF∥AB，∴DC＝OF＝2.∴DE＝DC－CE＝2－eq\r(2).7．(2015·浙江杭州，19，8分)如圖1，⊙O的半徑為r(r＞0)，若點P′在射線OP上，滿足OP′·OP＝r2，則稱點P′是點P關(guān)于⊙O的“反演點”．如圖2，⊙O的半徑為4，點B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若點A′，B′分別是點A，B關(guān)于⊙O的反演點，求A′B′的長．解設(shè)OA交⊙O于C，連結(jié)BC，如圖，∵OA′·OA＝42，而r＝4，OA＝8，∴OA′＝2.∵OB′·OB＝42，∴OB′＝4，即點B和B′重合．∵∠BOA＝60°，OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形．而點A′為OC的中點，∴B′A′⊥OC.在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝eq\f(A′B′,OB′)，∴A′B′＝4sin60°＝2eq\r(3).8．(2015·浙江湖州，20，8分)如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，E為AC的中點，連結(jié)DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求切線AC的長；(2)求證：ED是⊙O的切線．(1)解連結(jié)CD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB.∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10.(2)證明連結(jié)OD.∵∠ADC＝90°，E為AC的中點，∴DE＝EC＝eq\f(1,2)AC，∴∠1＝∠2.∵OD＝OC，∴∠3＝∠4.∵AC切⊙O于點C，∴AC⊥OC.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．B組2014～2011年全國中考題組一、選擇題1．(2013·浙江杭州，7，3分)在一個圓中，給出下列命題，其中正確的是()A．若圓心到兩條直線的距離都等于圓的半徑，則這兩條直線不可能垂直B．若圓心到兩條直線的距離都小于圓的半徑，則這兩條直線與圓一定有4個公共點C．若兩條弦所在直線不平行，則這兩條弦可能在圓內(nèi)有公共點D．若兩條弦平行，則這兩條弦之間的距離一定小于圓的半徑解析A．如圖，則A不正確；B.如圖，則B不正確；C.如圖，則C正確；D.如圖，則D不正確．故選C.答案C2．(2012·浙江嘉興，4，4分)如圖，AB是⊙O的弦，BC與⊙O相切于點B，連結(jié)OA、OB.若∠ABC＝70°，則∠A等于 ()A．15° B．20°C．30° D．70°解析∵BC與⊙O相切于點B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°.∵∠ABC＝70°，∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝20°.答案B3．(2011·浙江金華，10，3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是()A．點(0，3) B．點(2，3)C．點(5，1) D．點(6，1)解析連結(jié)AC，作AC的垂直平分線BO′，交格點于點O′，則點O′就是eq\o(AC,\s\up8(︵))所在圓的圓心．∵過格點A，B，C作一圓弧，∴三點組成的圓的圓心為：O′(2，0)．∵只有∠O′BD＋∠EBF＝90°時，BF與圓相切，∴當(dāng)△BO′D≌△FBE時，∴EF＝BD＝2，F(xiàn)點的坐標(biāo)為：(5，1)，∴點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是：(5，1)．答案C4．(2011·浙江臺州，10，4分)如圖，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點，PQ切⊙O于點Q，則PQ的最小值為()A.eq\r(13) B.eq\r(5)C．3 D．2解析∵PQ切⊙O于點Q，∴∠OQP＝90°，∴PQ2＝OP2－OQ2，而OQ＝2，∴PQ2＝OP2－4，即PQ＝eq\r(OP2－4)，當(dāng)OP最小時，PQ最?。唿cO到直線l的距離為3，∴OP的最小值為3，∴PQ的最小值為eq\r(9－4)＝eq\r(5).答案B二、填空題5．(2013·浙江嘉興，14，5分)在同一平面內(nèi)，已知線段AO＝2，⊙A的半徑為1，將⊙A繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到的像為⊙B，則⊙A與⊙B的位置關(guān)系為________．解析∵⊙A繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到的⊙B，∴OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△OAB為等邊三角形，∴AB＝OA＝2.∵⊙A、⊙B的半徑都為1，∴AB＝1＋1，∴⊙A與⊙B外切．答案外切6．(2013·浙江臺州，14，5分)如圖，在⊙O中，過直徑AB延長線上的點C作⊙O的一條切線，切點為D，若AC＝7，AB＝4，則sinC的值為______________．解析連結(jié)OD，∵CD切⊙O于D，OD⊥DC，在⊙O中，OA＝OD＝eq\f(1,2)AB＝2，OC＝AC－OA＝5.在Rt△ODC中，sinC＝eq\f(OD,OC)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)7．(2011·浙江衢州，16，4分)木工師傅可以用角尺測量并計算出圓的半徑r，用角尺的較短邊緊靠⊙O，并使較長邊與⊙O相切于點C，假設(shè)角尺的較長邊足夠長，角尺的頂點為B，較短邊AB＝8cm，若讀得BC長為acm，則用含a的代數(shù)式表示r為________．解析①如圖1所示，r＝8時，∵OA⊥BA，OC⊥BC，∠B＝90°，AO＝CO，∴四邊形OABC是正方形，∴BC＝CO，∴r＝a；②當(dāng)r＞8時，如圖2：連結(jié)OC，∵BC與⊙O相切于點C，∴OC⊥BC，連結(jié)OA，過點A作AD⊥OC于點D，則四邊形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB.在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即：r2＝(r－8)2＋a2，整理得：r＝eq\f(1,16)a2＋4.答案r＝8時，r＝a，當(dāng)r>8時，r＝eq\f(1,16)a2＋48.(2013·浙江杭州，16，4分)射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.動點P從點Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經(jīng)過t秒，以點P為圓心，eq\r(3)cm為半徑的圓與△ABC的邊相切(切點在邊上)，請寫出t可取的一切值________(單位：秒)．圖1解析因為該圓的半徑為eq\r(3)，圓心P從Q點開始運動時會與圓3次相切，而AM＝MB，AC∥QN，所以MN為正三角形ABC的中位線，MN＝2.圖1(1)當(dāng)圓與正三角形AB邊相切時，如圖1，則PD＝eq\r(3)，易得DM＝1，PM＝2，則QP＝2，則t＝2；圖2(2)當(dāng)圓與正三角形AC邊相切時，如圖2，事實上圓的半徑剛好等于AC與射線QN之間的距離eq\r(3)，所以AP＝eq\r(3)，則PM＝1，QP＝3，同理NP＝1，QP＝7，而在此之間圓始終與AC邊相切，所以3≤t≤7.圖2圖3(3)當(dāng)圓與正三角形BC邊相切時，如圖3，則PD＝eq\r(3)，易得DN＝1，PN＝2，則QP＝8，則t＝8，圖3綜上所述，t＝2或3≤t≤7或t＝8.答案t＝2或3≤t≤7或t＝8三、解答題9.(2013·浙江湖州，20，8分)如圖，已知P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連結(jié)PB.(1)求BC的長；(2)求證：PB是⊙O的切線．(1)解連結(jié)OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，∴∠COB＝60°.又∵OC＝OB.∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2.(2)證明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB.∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB⊥BP.∵點B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線．10.(2014·浙江麗水，22，10分)如圖，已知等邊△ABC，AB＝12.以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，連結(jié)GD.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)求FG的長；(3)求tan∠FGD的值．(1)證明連結(jié)OD.∵以等邊三角形△ABC的邊AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，∴∠B＝∠C＝∠ODB＝60°，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF.∵DF⊥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，即OD⊥DF.∵OD是以邊AB為直徑的半圓的半徑，∴DF是⊙O的切線．(2)解∵OD∥AC，點O為AB的中點，∴OD為△ABC的中位線，∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝eq\f(1,2)CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9.在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF×sinA＝9×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),2).(3)解作DE⊥FG于E，